Introdução às Comunicações Digitais - IE533Prof. Cândido

1º semestre de 2010

Prova 2

1. Algoritmo de Viterbi. Considere um PAM binário (alfabeto = {0,1}) com modelo discreto equivalente (entre a saída do equalizador precursor e os símbolos transmitidos) dado por mk = δk + 0,4 δk-1 + 0,2 δk-2. Considere ainda que para uma transmissão de 3 símbolos a sequência observada na saída do equalizador precursor é {0,3; 0,6; 0,9; 0,1}. Utilize o algoritmo de Viterbi para detectar a sequência de símbolos de distância mínima. Compare o resultado com a detecção símbolo a símbolo.

2. Probabilidade de erro PAM em canal AWGN. Considere uma constelação 16-QAM com mapeamento Gray em canal AWGN e um receptor de distância mínima.

a. Calcule a probabilidade de erro de símbolo exata. Expresse seu resultado em termos da energia recebida por bit (Eb) e da densidade espectral de potência do ruído (N0/2).

b. Usando o fato de que um símbolo é mais comumente confundido com um de seus vizinhos, calcule a Eb/N0 necessária para garantir uma probabilidade de erro de bit de 10-7. Quanto excesso tal Eb/N0 representa em relação ao limite de Shannon?

3. Modulação M-ária. O exemplo 6-4 do livro-texto (reproduzido a seguir) afirma que, em se tratando de modulações binárias, a modulação antipodal é 3 dB superior às modulações OOK (on-off keying) e ortogonal. O que isso quer dizer? O exemplo apresenta fórmulas que sustentam a afirmação, mas a argumentação me parece direta demais. Por exemplo, onde entraria a influência do formato dos pulsos? O que aconteceria se eles não fossem retangulares como no exemplo? Em cada modulação, de onde vêm os valores marcados nos eixos Φ1 e Φ2? Explique melhor a conclusão do exemplo e o caminho até as fórmulas.

4. Modulação ortogonal. Compare PAM e modulação ortogonal em termos de imunidade a ruído (probabilidade de erro) e eficiência espectral. Comente, em cada caso, sobre a dependência desses critérios de desempenho em relação ao tamanho da modulação (tamanho do alfabeto PAM ou número de sinais ortogonais). Interprete os resultados.

5. OPAM. Uma aplicação do OPAM é acesso múltiplo, onde diversos usuários compartilham o mesmo canal, cada usuário sendo associado a um pulso ortogonal. Em particular, técnicas de espalhamento espectral podem ser usadas para prover os pulsos ortogonais, como nos sistemas CDMA. Mostre que N pulsos ortogonais da forma

podem ser gerados pela escolha apropriada das sequências de espalhamento {x0, x1,…, xN-1}, considerando que os pulsos de chip hc(t) satisfaçam o critério de Nyquist para taxa 1/Tc, onde Tc = T/N. Especifique as propriedades necessárias de tais sequências.

6. Modulação com memória. Considere uma modulação binária CPFSK com pulsos gi(t) = ± sin(2π fi t) w(t), i = {0; 1}, onde w(t) é uma janela retangular de duração igual ao intervalo de símbolo T. Assuma que a frequência nominal da portadora é fc = (f0 + f1)/2 = K/(4T), para algum K inteiro. Mostre que a separação de frequência dos sinais MSK f1 - f0 = 1/(2T) é a mínima separação que resulta em pulsos ortogonais. Dica: escreva f0 e f1 em termos de fc e do desvio de frequência fd = (f1 - f0)/2, e estabeleça então a condição de ortogonalidade entre g1(t) e g0(t).

7. Detecção de um símbolo (caso discreto). Suponha que um símbolo binário A ∈ {0, 1} com probabilidades a priori pA(0) = q e pA(1) = 1 - q é transmitido através de um canal binário simétrico (BSC), descrito na figura abaixo. Note que a observação Y ∈ {0, 1} se iguala a A com probabilidade 1 - p.

a. Encontre a regra de detecção ML. Assuma p < 0,5.b. Encontre a probabilidade de erro do detector ML em função de p e q.c. Assuma que p = 0,2 e q = 0,9. Encontre a regra de detecção MAP e sua

probabilidade de erro. Compare a probabilidade de erro com aquela obtida em (b).d. Encontre a regra geral de detecção MAP para p e q arbitrários.e. Encontre a condição sobre p e q tal que o detector MAP sempre decida por  = 0.

h(t) = xmhc (t ! mTc )m=0

N !1

"

8. Detecção de um símbolo (caso contínuo). Considere uma variável aleatória X ∈ {-3, -1, 1, +3} com probabilidades a priori pX(±3) = 0,1 e pX(±1) = 0,4. Dada uma observação y da variável aleatória Y = X + N, onde N é uma variável real Gaussiana de média nula e variância σ2, independent de X, encontre a regra de detecção MAP. Em particular, para σ2 = 0,25 e y = 2,1, qual a decisão do detector?

9. Detecção de um vetor. Dado um canal Gaussiano bidimensional com componentes de ruído reais independentes de variância σ2, um dos quatro sinais equiprováveis são transmitidos: (1, 1), (1, -1), (-1, 1) ou (-1, -1). Determine a probabilidade de erro exata de um detector ML.

10.Detecção de sinais em ruído Gaussiano. Suponha que um símbolo A ∈ {0, 1} é transmitido através de um sistema LTI (linear e invariante no tempo) de resposta ao impulso hk = δk - 0,5 δk-1 + 0,1 δk-2, corrompido por ruído aditivo real Gaussiano branco de variância σ2.

a. Determine a estrutura do detector ML.b. Calcule a probabilidade de erro do detector ML.