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Faculdade de Engenharia – NuGeo/Núcleo de Geotecnia Prof. M. Marangon Mecânica dos Solos II EQUILÍBRIO PLÁSTICO DOS SOLOS

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Unidade 4 – EQUILÍBRIO PLÁSTICO DOS SOLOS 4.1 – Introdução

A resistência ao cisalhamento (τ - tensão cisalhante máxima) desenvolvida no interior das massas de solos é a responsável pela capacidade que os solos tem de suportar as tensões desenvolvidas pelas solicitações internas (desenvolvidas pelo seu peso próprio) e solicitações externas (cargas aplicadas), conservando sua estabilidade. Caso contrário as tensões desenvolvidas nas massas de solo pode levar a uma condição de desequilíbrio e consequentemente à sua ruptura. Neste caso o nível de tensões supera o regime de deformação elástica passando para o regime plástico de deformação.

Então, a análise desse equilíbrio consiste em se identificar o valor da componente tangencial no possível plano de rutura, tensão esta que irá traduzir a resistência interna ao cisalhamento.

Conhecendo-se a resistência interna ao cisalhamento estaremos aptos a realizar dimensionamentos de estruturas de terra e fazer verificações das condições de estabilidades destas massas de solos.

Na figura 4.1 vê-se como exemplo um terreno em plano inclinado (talude). Esta

massa de solo está dividida em várias fatias (porções), em que se tem uma cunha possível de movimentação (escorregamento), que são calculadas as tensões nos planos das suas bases, para posterior comparação com os valores de tensão de resistência do solo. Pode-se assim determinar a condição de estabilidade do conjunto.

Figura 4.1 - Terreno em plano inclinado (talude), com as tensões de cisalhamento e

normal aos planos das bases das fatias.


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4.2 – Tensões em um ponto:

Um ponto, considerado no interior de uma massa de solo, está sujeito a esforços em todas as direções (equilibradas por reações ocorrentes pela própria continuidade da massa). Assim o ponto estará em equilíbrio estável, instável ou incipiente (eminência da ruptura), dependendo da maior ou menor capacidade que a massa tem de absorver esforços (internos e/ou externos).

Figura 4.2 – Tensões de um ponto no interior de uma massa de solo

Para o estudo das forças atuantes em um ponto O, por exemplo como mostra a

Figura 4.2 (terreno horizontal), considerando apenas as forças devidas ao peso próprio dos solos, desprezando àquelas devido aos carregamentos externos, devemos analisá-las segundo direções específicas, isto é, devemos considerá-las como tensões agentes no ponto O traduzidas por esforços por unidade de área em direções definidas e determináveis (no caso, a resultante agirá segundo a direção da gravidade).

Assim, sabemos que a ação da componente do peso próprio do solo, agindo na direção da gravidade sobre um plano horizontal, terá seu valor absoluto, mas, sobre um plano inclinado (qualquer) em relação a sua direção é definida por duas componentes, uma normal a esse plano e outra tangencial ou contida no plano (a componente tangencial é que terá que ser equilibrada pela resistência interna).

Para o caso da figura 4.2 em que o plano do terreno é horizontal não haverá

componente tangencial e o esforço absoluto, age normal ao plano paralelo ao da superfície.

Ponto O definido como a interseção de três

planos ortogonais

Podemos definir um ponto O, como a intersecção de três planos ortogonais entre si. Se tomarmos, nessa definição gráfica, o ponto no interior da massa, podemos agrupar os esforços que agem em torno do ponto, seguindo essas três direções consideradas. Assim, suas ações limitadas às resultantes com direções definidas seriam tensões ortogonais entre si, que agem, cada uma delas, normal a cada um dos planos sucessivamente.


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As solicitações no ponto O serão definidas por um sistema tri-dimensional de tensões, representadas, por σ1, σ2 e σ3 (e suas respectivas reações pela continuidade da massa), contidas respectivamente no encontro de dois planos (traço desse encontro) e normal ao terceiro onde age integralmente.

Se a orientação dos planos se der a partir do referencial horizontal, σ1 será uma

tensão devida ao peso próprio dos solos e agirá normal a esse plano horizontal em toda sua intensidade. Não ocorrerão componentes tangenciais nesses planos e cada uma das tensões agirá, integralmente, sobre cada um dos planos que lhe são, sucessivamente normais.

Nessa situação, as tensões serão denominadas tensões principais e os planos serão

os principais de tensões.

Temos a representação do ponto O com as tensões agentes e, seguindo a nomenclatura teremos para esse sistema tri-dimensional de tensões: σσσσ1 = tensão principal maior, agindo em valor absoluto sobre o plano principal maior,

no caso o horizontal; σσσσ2 = tensão principal intermediária agindo normal ao plano principal intermediário; σσσσ3 = tensão principal menor, agindo sobre o plano principal menor.

No caso dos solos, iremos considerar, dentro de um espaço semi-infinito (nas características dos horizontes) o solo como homogêneo e contínuo em todas as direções. Nessas características a elasticidade (reação da massa) será a mesma em todas as direções dando-nos a condição particular de σ2 = σ3.

Com essa consideração reduzimos o sistema a uma condição bi-dimensional de

tensões onde teremos:

σσσσ1 = tensão principal maior agindo normal ao plano principal maior;

σσσσ3 = tensão principal menor agindo normal ao plano principal menor.

Figura 4.3 – Representação infinitesimal do ponto O

Representando o ponto O como um cilindro

infinitesimal, de acordo com a Figura 4.3, teremos o problema de análise das tensões a ser resolvido num sistema bi-dimensional de tensões ou sistema plano de tensões.


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Direção das tensões principais É interessante observar que sendo a superfície do terreno horizontal, em qualquer

profundidade z, a tensão principal maior σ1 terá como direção à vertical e a tensão principal menor σ3 à sua perpendicular, ou seja, a direção horizontal.

No caso da superfície ser diferente da situação anterior, ou tiver carga aplicada na superfície em cada profundidade z, terá sua tensão principal maior e menor (perpendiculares entre si) inclinada segundo uma direção diferente à cada posição, como ilustrada na figura 4. 4. Isto ocorre devido a influência direta da condição do carregamento resultante.

Figura 4. 4 - Direção das tensões principais para alguns pontos no interior da massa

de solo, para uma condição de carga aplicada na superfície Cálculo das tensões normal (σσσσαααα ) e tangencial (τττταααα ) em um plano αααα Pelo ponto O podemos, ainda, além dos dois planos principais considerados, passar

outro plano qualquer (por um ponto podemos passar uma infinidade de planos). Mas, nesse terceiro plano, daremos uma orientação de posição, isto é, ele fará um ângulo αααα com o plano principal maior (terá uma inclinação em relação ao plano horizontal).

Nesse caso, o plano estará inclinado em relação as duas tensões principais, que, com suas ações, darão, como decorrência, duas componentes agindo nesse plano, uma normal σα e uma tangencial τα.

Representando-se, agora, o ponto O pela interseção desses três planos, teríamos por

seus traços a figura abaixo, onde temos (traços dando um triângulo infinitesimal).

Ponto O representado como um

triângulo infinitesimal

OA = traço do plano principal maior onde age a tensão σ1, representada pela reação a mesma ;

OB = traço do plano principal menor onde age a tensão σ3;

AB = traço do terceiro plano que faz um ângulo α com o plano principal maior (a horizontal).


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O estado de tensões traduzidos pelas ocorrências de σ1 e σ3 pode ser expresso no plano inclinado α, pelas componentes σα e τα. Isto é, as duas componentes σα e τα que agem no terceiro plano são definidoras do estado de tensões σ1 e σ3 que agem no ponto e esse plano, podendo ser qualquer um, pode até ser o de rutura quando τα se aproximar ou ultrapassar o valor da resistência interna ao cisalhamento.

Nesse caminho, o problema consistirá, então, em se calcular as duas tensões σα e τα

em função das tensões agentes σ1 e σ3 representados pelos esforços por unidade de área.

Figura 4.5 – Traços do ponto O

representado por unidades de área

Assim, considerando-se a figura ao lado com uma profundidade unitária, normal ao papel, o traço AB terá o comprimento ds e os outros subseqüentemente. OA ds

OB ds

=

=

cos

sen

α

α

Sobre essas áreas agem as tensões, as forças aplicadas, são mostradas no esquema

da Figura 4.6 a seguir:

Figura 4.6 – Tensões agentes

Donde temos os esforços com suas direções definidas em relação a suas ações sobre os planos considerados.

Supondo-se o ponto O em equilíbrio (condição de indeslocável) teremos condição

de decompor os esforços segundo as direções de σ1 e σ3 (ação nos planos principais), com a representação mostrada na Figura 4.7:

Figura 4.7 – Decomposição dos esforços segundo direções de σ1 e σ3

Esforço se equilibram quando o ponto O está estável, sem condição de deslocamento.


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Estando o sistema em equilíbrio serão satisfeitas as equações fundamentais da estática, donde teremos:

H ds ds ds

V ds ds ds

∑ = − + =∑ = − − =

0 0

0 03

1

σ α σ α τ ασ α σ α τ α

α α

α α

sen sen cos

cos cos sen

Ou (cancelando-se o ds): σ α σ α τ ασ α σ α τ α

α α

α α

3

1

0

0

sen sen cos

cos cos sen

− + =− − =

Multiplicando-se 1 por cos α e 2 por sen α, teremos:

σ α α σ α α τ α

σ α α σ α α τ αα α

α α

32

12

0

0

sen cos sen cos cos

sen cos sen cos sen

− + =

− − =

Subtraindo-se II de I, temos:

( ) ( )σ σ α α τ α αα1 32 2 0− − + =sen cos sen cos

Sabemos que: ( )sen sen cos sen cosa b a b b a± = ±

sen sen cos2 2a a a= sen

sen cos2

2

aa a=

Ou, sen

sen cos2

2

α α α=

Substituindo em III, temos:

ασ−σ

=τα 2sen2

31 (IV) tensão tangencial (cisalhamento) no plano αααα

Somando-se I e II ,temos:

( ) ( )

( )

σ σ α α σ α α τ α α

σ σα σ α τ α α

α α

α α

1 32 2

1 3 2 2

2 0

22 2 0

+ − + − =

−− + − =

sen cos sen cos cos sen

sen sen cos sen

(1)

(V)

(2)

(I)

(II)

(III)


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Sabemos que:

( )cos cos cos sen sena b a b a b± = ±

cos cos sen

cos cos sen

2

2

2 2

2 2

a a a= −

= −α α α

Substituindo em V:

σ σ

α σ α τ αα α1 3 2

22 2 0

−− + =sen sen cos

Substituindo τ∝ por seu valor expresso em IV:

σ σ

α σ ασ σ

α αα1 3 1 3

22 2

22 2 0

+− +

−=sen sen sen cos ou

As expressões IV e VI são as definidoras do estado de tensões, ou seja, calculam as tensões definidoras do estado de tensões resultante da ocorrência de σ1 e σ3 agentes num ponto O, situado no interior da massa de solo.

Nesse estudo, estabelecemos o desenvolvimento analítico para o cálculo das tensões

definidoras do estado de solicitações no ponto O (interior da massa de solo) onde ocorrem σ1 e σ3.

4.3 – Análise gráfica de estado de tensões

Para a análise gráfica iremos representar o estado de tensões pelo círculo de Mohr que é o lugar geométrico dos pontos de coordenadas σα e τα definidores do estado de tensões no ponto O, quando agem, no mesmo as tensões principais σ1 e σ3, como mostra a Figura 4.8.

Esse lugar geométrico (círculo de Mohr) traduz todos os valores de coordenadas correspondentes a todos os possíveis planos inclinados, em relação aos planos principais, que podemos passar no ponto O e que fazem um ângulo α qualquer, com o plano principal maior (ou em termos de nossa referência inicial com a horizontal).

O lugar geométrico, círculo de Mohr, identifica os pontos definidores do estado de

tensões no ponto O para qualquer plano referencial aos possíveis α e, esse ângulo será definido pela posição do ponto no círculo.

σ σ σ σα σα

1 3 1 3

2 22

++

−=cos

(VI) tensão normal no plano αααα


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Figura 4.8 – Representação gráfica dos estados de tensões no ponto O

Em outras palavras, o estado de tensões no ponto O, qualquer, no interior e uma

massa de solo, pode ser, graficamente, representado, num sistema cartesiano de coordenadas σ e τ, coordenadas agentes no plano qualquer, quando o mesmo, está sujeito as tensões σ1 e σ3.

Para se traçar o lugar geométrico representativo das tensões nos planos α: a) Marca-se no eixo das abscissas as tensões σ1 e σ3; b) No intervalo entre σ1 e σ3 traça-se o círculo de tensões, cujo diâmetro é σ1 - σ3,

portanto o raio é igual a:

r =−σ σ1 3

2

c) Toma-se o ponto M, sobre o círculo, obtendo-se os coordenadas σα e τα; * Pela propriedade do círculo de Mohr, temos:

“Todo raio que forma com o eixo das abscissas um ângulo 2α, corta o círculo num ponto M cujas coordenadas são σα e τα, definidoras do estado de tensões no ponto O, submetido ao par de tensões principais σ1 e σ3. Esse ângulo α é o ângulo que o plano qualquer, onde agem σα e τα, faz com o plano principal maior”. . Pelas propriedades conhecidas, ligando-se o ponto M ao início do círculo, a corda define o ângulo α. O início do círculo é o pólo.

* O centro do círculo terá as coordenadas:

τ

σ σ σσ σ σ σ

o

o r

,

,

=

= + = +−

=+

0

2 23 31 3 1 3

Coordenadas do ponto M em função das tensões σ1 e σ3

Raio do círculo: r =−σ σ1 3

2

Coordenadas de o, : τo, = 0 e σσ σ

o, =

+1 3

2


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Então, temos:

σ σ σ ασ σ σ σ

αα = + = + =+

+−

o o o o r, , ,, , cos cos22 2

21 3 1 3

τ ασ τ

αα = =−

∴r sen sen22

21 3

Essas expressões obtidas do sistema gráfico de representação são as mesmas deduzidas analiticamente o que nos permite trabalhar com o gráfico, num sistema muito mais simples de visualização.

4.4 – Critério de rutura de Mohr

Dentre os vários critérios de rutura considerados em Resistência dos Materiais, para os diversos materiais diferentes, um se caracteriza por sua condição essencialmente empírica, o critério de rutura de Mohr. Sendo o solo um material heterogêneo por excelência, um critério como o de Mohr traduz muito bem as características diferenciadas dos solos. Assim, toma-se o critério de Mohr, que se obtém com traçados gráficos de círculos de Mohr em condições experimentais práticas a partir de informações obtidas diretamente em corpos-de-prova ensaiados.

Como o estado de tensões ocorrentes em um ponto, no interior do maciço de solo se

traduz, perfeitamente pelo círculo de Mohr, vamos, levar as solicitações de σ1 e σ3 ao estado de rutura e procurar identificar, nos inúmeros planos ∝∝∝∝, aquele que corresponde ao de rutura do material. Esse plano será, portanto, o plano de rutura e o ângulo α correspondente, aquele que define o limite da cunha instável para o estado de tensões de rutura considerado nos ensaios.

O critério de Mohr consiste em se ensaiar uma infinidade de corpos-de-prova

indeformados (obtidas a partir de amostragem “shelby”, quando amostra de argilas ou “blocos” para outros materiais, ou deformadas (solo compactado ou areias para diferentes graus de compacidade) do mesmo horizonte de solo a ser analisado. Essa abordagem inicial é teórica, pois, esse esquema de coletas de amostras, nessa quantidade, é de difícil viabilidade prática; mas, a partir da teoria, vamos conferir algumas considerações, em paralelo, que poderão contribuir para simplificação do processo e sua conseqüente esquematização prática.

Vamos tomar um corpo-de-prova cilíndrico O ensaio consistirá, em princípio, de acordo com a Figura 4.9, nas seguintes fases:

σσ σ σ σ

αα =+

+−1 3 1 3

2 22cos

τσ σ

αα =−1 3

22sen


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Figura 4.9 – Critério de Mohr

Proteger o corpo-de-prova com membrana elástica de impermeabilização de maneira que se pode submetê-lo, lateralmente a uma pressão σ3, controlada, através de um esquema especial de uma câmara ou célula de pressão hermeticamente fechada. Por exemplo, podemos injetar na câmara água com pressão manométrica controlada e constante, de maneira que se tenha a efetiva execução desta pressão (confinamento).

Em seguida, nesse ensaio especial de laboratório, temos condição de acionar um

dispositivo capaz de fazer agir, sobre o corpo-de-prova, uma pressão axial σ1 até romper a sua estrutura. Nota-se que, durante o processo de aplicação da tensão axial, a tensão lateral σ3 é mantida constante e, no instante em que o corpo se rompe, mede-se a máxima σ1 correspondente a σ3 aplicada (Figura 4.9).

No caso haverá um cisalhamento do corpo-de-prova segundo um ângulo αααα, do

plano de rutura, conforme se representa na figura anterior e a parte de cima se desloca em relação à debaixo caracterizando bem o fenômeno (podem ocorrer rupturas com outras características dependendo do tipo de solo que terá elasticidade diferente. Foi dado esse exemplo para caracterizar melhor o que, teoricamente se afirma).

No final desse ensaio, nesse primeiro corpo-de-prova teríamos um par de tensões

de solicitações σσσσ1 e σσσσ3, correspondentes ao estado de rutura do corpo-de-prova, portanto, são tensões de rutura. Tomaríamos esses valores e traçaríamos o círculo de tensões correspondente, sabendo-se que esse lugar geométrico, pelas condições de execução do ensaio, terá embutido o plano de rutura que faz um determinado ângulo com a horizontal e sobre o qual agirão as tensões σα e τα definidoras do estado de rutura.

Se repetirmos esse ensaio para um segundo corpo-de-prova, agora tomando σ3

’ > σ3 teríamos, para romper o corpo-de-prova, σ1

’ > σ1. Portanto, identificaríamos um novo par de tensões de rutura que nos daria condição de traçar um novo círculo de Mohr onde se poderia identificar o mesmo plano de rutura para o mesmo material nas mesmas condições de utilização.

Poderíamos repetir o ensaio, sucessivamente, para a infinidade de corpos-de-prova,

e teríamos no final, ao plotarmos essa infinidade de círculos, algo bem próximo da figura representativa 4. 10.


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Figura 4.10 – Representação do círculo de Mohr para várias amostras Nota-se, que temos uma linha curva que tangencia essa infinidade de círculos

correspondentes a rutura. Essa linha que dá o contorno do lugar geométrico desses círculos (Mohr chamou de curva intrínseca ou curva de envoltória dos círculos) correspondente a condição de tensão na ruptura.

Da figura, podemos ter outros traçados que nos levará as seguintes análises quanto

aos valores das tensões aplicadas e sua condição de estabilidade à ruptura.

− Tomar σ3 de um dos círculos e formar um par com σ1’ menor que σ1

correspondente a rutura. Ao traçarmos esse círculo notaremos que ele ficará aquém da envoltória dos círculos de Mohr correspondente a rutura;

− Tomar σ3 de um dos círculos e formar um par com σ1’ maior que σ1 correspondente

a rutura. Da mesma forma, notaremos que parte do círculo extrapolará o limite da envoltória, isto é, para tensões maiores que a tensão de rutura, termos tensões definidoras do estado de tensão maiores do que aquelas que definem o estado de rutura.

Conclusão: a envoltória dos círculos de Mohr correspondentes a rutura limita um

espaço onde se podem representar, graficamente estados de tensões ocorrentes até o estado de rutura. Ou seja, essa linha é o lugar geométrico dos pontos (de cada círculo traçado com tensões de rutura) correspondentes ao plano de rutura definido em função ao material em análise. Destacando-se da figura 4.11 três círculos, teríamos a figura seguinte em que se identifica, de maneira genérica e completa, as tensões em relação ao critério de rutura de Mohr.

Tendo-se a curva intrínseca de Mohr de equação: ( ) ( )τ σ αr f f= = , a situação de

solicitação no material, pode ser avaliada em relação a essa envoltória, onde temos:


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− 1º caso: o círculo correspondente à solicitação indica um equilíbrio estável.

Tendo-se a solicitação representada pelo par de tensões ( )σ σ1 3, , traça-se o círculo

correspondente numa planilha onde já está plotada a envoltória correspondente as características do material. Se o círculo traçado se situar no interior da curva intrínseca de rutura, concluímos que o equilíbrio é estável, isto é, a máxima tensão τα é menor do que a correspondente a envoltória limite;

− 2º caso: o círculo correspondente à solicitação indica um equilíbrio incipiente (que

está no limite da instabilidade/estabilidade). Nesse caso o círculo corresponde a solicitação tangente a envoltória:τ τα = r .

Haverá possibilidade de rutura do material, por cisalhamento, ao longo do plano de rutura caso haja qualquer infinitésimo de aumento de qualquer uma das duas tensões de solicitação ou pequena queda do valor de τr;

− 3º caso: o círculo correspondente à solicitação indica um equilíbrio instável.

Nesse caso, plotado o círculo corresponde às tensões de solicitação, esse ultrapassa a área limitada pela envoltória, isto é, ocorrerá tensão que ultrapassará a resistência interna ao cisalhamento, do material τr. Ocorrerá a rutura do material caso a solicitação prevista seja efetiva ou determinado colapso já se deu porque houve esse desequilíbrio constatado.

Figura 4.11 – Pontos de tangência para vários círculos de Mohr

Chamamos, na figura, de T os pontos de tangência dos círculos que definem o

conceito descrito, isto é, os pontos T são pontos do lugar geométrico da curva intrínseca de Mohr ou da envoltória de Mohr, correspondentes aos pares de tensões de rutura.

Se os pontos são de tangência aos círculos de rutura, cada um corresponde

(coordenadas de rutura) ao início do comportamento inelástico (comportamento plástico)


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do material. Sendo assim, nesse ponto a coordenada τα se iguala a τr = tensão de resistência interna do material ou resistência ao cisalhamento do material. Propriedades da envoltória de Mohr:

A Figura 4.11 nos dá um exemplo de uma curva geométrica definidora da resistência de um solo considerando as várias particularidades do solo ensaiado.

Dentro desse enfoque a envoltória de Mohr varia de material para material,

possuindo ela as seguintes propriedades:

− É simétrica em relação ao eixo–σ; − É aberta para o lado dos σ positivos (tensões de compressão) e fechadas do lado dos

σ negativos (tensão de tração); − Sua inclinação sobre o eixo–σ diminui à medida que τ cresce, tendendo a tornar-se

paralela tanto mais elástico e flexível for o material.

A teoria do critério de rutura de Mohr, sendo baseada, quase inteiramente na experimentação é a mais satisfatória, como teoria básica, para o assunto de aplicações em solos, cujo caráter, heterogêneo de ocorrência é profundamente aleatório, requer, obrigatória ligação com a experiência prática.

A maior objeção que lhe é imposta é a de que essa teoria considera σ3 = σ2 embora

se comprove, em inúmeras verificações práticas, ser muito pequena a influência dessa real diferenciação. As aproximações de cálculos, dentro do esquema básico do critério, têm satisfeito aos requisitos práticos de dimensionamentos e análises.

Resumindo esquematicamente o critério, associa as tensões como mostrado na Figura 4.12:

Figura 4.12 – Resumo das tensões do critério de

Mohr

Representação do ponto O

Considerado profundamente ampliado por ser um elemento infinitesimal.


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4.5 – Teoria de Coulomb

Esta teoria se desenvolveu para análise das forças internas de resistência nos maciços pulverulentos (granulares).

Princípios da física Partindo-se da teoria do plano

inclinado (da Física): Na superfície de contato entre o plano inclinado e o corpo de peso P temos o desenvolvimento da força de atrito de contato Fa de mesma direção e sentido contrário a T, como mostra a Figura 4.13. O plano pode se movimentar fazendo-se variar o ângulo.

No momento em que o ângulo deixa de ser zero o peso do corpo P deixa de agir integralmente sobre o plano horizontal, passando a agir duas componentes: N = tensão principal maior, agindo em valor absoluto sobre o plano principal maior, no

caso o horizontal; T = componente tangencial no plano, que tende a fazer o corpo deslizar, sobre o plano,

por anteposição a força Fa; Fa = Força de atrito. Quanto mais ásperas forem a superfícies de contato, maior será (Fa)

e quando mais lisa e/ou lubrificada menor será. Condições resultantes da inclinação do plano: α = 0 ⇒ P é normal ao plano, N = P e T = 0. Nesse caso, o equilíbrio é estável sem

possibilidade de ocorrência da componente tangencial no plano; α ≠ 0 ⇒ P se decompõe em N e T, mas, devido ao tamanho de T < Fa (T será menor que

Fa), o corpo permanece estável (α < ϕ), sem possibilidade de deslocamento; ϕ = ângulo de atrito de contato entre as superfícies

α ≠ 0 ⇒ continuando a aumentar α, chegaremos a um ponto em que α = ϕ e T se iguala a Fa. Nesse caso, T = Fa e o ângulo α é denominado ângulo de atrito entre as duas superfícies. O equilíbrio é incipiente, isto é, qualquer infinitésimo de variação de α o equilíbrio variará para instável ou estável. α se igualou ao ângulo de atrito entre as superfícies em contato e passa a ser denominado ângulo interno de atrito.

α ≠ 0 ⇒ Quando ultrapassa o valor de ϕ (α > ϕ no plano), a componente tangencial T ultrapassará o valor de Fa, e o corpo escorre paraT > Fa no plano.

Para o cálculo do valor da componente tangencial no plano, temos:

Figura 4.13 – Forças geradas num plano inclinado


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Equação do atrito

T = P.sen α N = P.cos α

⇒ α=∴α=αα= tg.NTtg

cos

sen

N

T

Isto é, a componente tangencial é o resultado do produto da componente normal N

vezes a tangente do ângulo α (coeficiente angular).

Quando α = ϕ, temos tg α = coeficiente de atrito entre as duas superfícies e o ϕ‚ o ângulo de atrito interno entre essas duas superfícies (ângulo de atrito crítico).

T1 = N1.tg ϕ

T1, no caso, corresponde a resistência de atrito entre as duas superfícies e será sempre calculada em função da componente normal ao plano de escorregamento. T1 corresponderá ao valor da resistência limite ao escorregamento.

Análise do Fenômeno nos Solos

No caso de maciços pulverulentos, em que se considera uma quantidade granular (agregado, como exemplo, areia seca), teremos certeza de que a única força de resistência interna será o atrito de contato grão a grão. Portanto, só haverá força interna de atrito. Logo, o fenômeno será idêntico a análise da física feita no plano inclinado. Assim, suponhamos que se tenha, sobre uma mesa um monte de areia seca (I). Esse monte de areia estará em repouso (equilíbrio) ou estável quando limitada por um ângulo de inclinação α = ϕ = ângulo de atrito interno do material granular.

No desenho (II) representamos a mesma massa de areia seca, agora contida por

anteparos A que retém a massa instável (cunha instável) que, no primeiro desenho caiu no chão por não ter o que a contivesse. Nesses termos, podemos afirmar que a cunha instável é limitada em relação à massa estável por um plano, acima do qual as forças internas de resistência estão suplantadas pelas componentes tangenciais geradas pela existência da própria massa. Nesse caso, chamaremos esse plano de plano de escorregamento (limite em que o equilíbrio é rompido).

E = empuxo que a areia desenvolve sobre o paramento interno da caixa

correspondente ao esforço desenvolvido pela cunha instável.

Caixa móvel que serve de anteparo à massa de areia seca.


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O anteparo deverá ser dimensionado para resistir ao movimento da cunha instável, pressão que o solo faz a partir da cunha instável, ou seja, a porção da massa que age sobre o paramento vertical de contenção, como será visto na Unidade 6.

Por analogia da Física podemos escrever:

τα = σα tg ϕ = τR (no plano de rutura) Sendo: τα = componente tangencial no plano que faz ângulo com a horizontal (plano de rutura); σα = componente normal ao plano; tgϕ = coeficiente de atrito interno do material (coeficiente angular da reta); τR = tensão interna de resistência ao cisalhamento do material. Tem mesma direção e

sentido contrário a τα, agindo, ambos no plano de rutura. É resultante da resistência interna desenvolvida nos agregados secos que ocorrem na massa

O atrito desenvolvido em agregados secos é aquele ocorrente pelo contato grão a

grão, correspondente à força de atrito de contato grão a grão. Graficamente, temos para a envoltoria de equilíbrio limite, corresponde à resistência ao cisalhamento do solo, a figura abaixo

Coulomb, portanto, concluiu que pelo atrito entre os grãos (em função da tensão de compressão) se desenvolve a resistência interna dos agregados secos, e que o plano de escorregamento das massas desses solos, corresponde a situação em que a possível componente tangencial no plano se iguala a essa resistência interna ao cisalhamento.

Caso os solos possuam também ligantes (fração fina) com desenvolvimento de

coesão (ligação dos grãos por atração físico-química, contribuindo na de resistência ao cisalhamento) haverá um aumento de τR devido a esse acréscimo de resistência interna, tensão de tração, que será representada por “c” e a equação ficará:

τ = c + σ tg ϕ


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Essa é a equação de Coulomb que traduz a resistência interna dos solos: dado

pelo somatório da resistência por atrito de contato grão a grão, devida aos agregados e a resistência por ligação (atração físico-química por carga elétrica) devida aos ligantes (coesão).

Figura – Análise comparativa dos contatos entre os grãos de areia e os grãos de

argila. PINTO (2000)

A coesão é um fenômeno físico diferente do atrito de contato grão a grão, mas de comportamento idêntico ao atrito interno, pois impede o cisalhamento das partículas por ligação que lhe dão resistência a tração (partícula a partícula). Graficamente, temos: a envoltória de equilíbrio limite:

σi é a tensão inicial de tração que gera na equação o valor de c. Ambas as tensões de compressão e de tração agem normais ao plano. Pelo próprio gráfico, temos: c = σi tg ϕ

Logo, a equação de Coulomb ficará:

τ = σi tg ϕ + σ tg ϕ = f (σ) Isto é, a resistência ao cisalhamento será função dos componentes normais ao plano de rutura, logo:

ττττ = f (σσσσ)


102

Para os possíveis tipos de ocorrências de solos temos: Só Agregado Só Ligante Agregado e Ligante (fração granular) (fração fina) areno-argiloso ou “arenoso” “argiloso” argilo-arenoso

Conclusão importante:

A ocorrência da parcela interna de resistência a coesão “c” dará como decorrência a possibilidade de se ter um ângulo αααα do plano de rutura maior que ϕ (atrito interno só dos agregados).

Assim, a massa estável representada nas figuras I e II, terá outra conformação podendo, ter até um ângulo de 90o sem necessidade de anteparo. No desenho abaixo representamos uma situação intermediária:

Esta situação estará, logicamente condicionada a capacidade do ligante desenvolver

força de coesão o que, condicionará análises mais técnicas e capazes de situar, conceitualmente, as situações mais desfavoráveis.

Por exemplo, a proporção agregado/ligante é um fator importante a ser considerado. No caso de termos muito ligante e pouco agregado, quando o ligante perder, eventualmente sua resistência (por exemplo por entrada de água na massa) o agregado passará a atuar. No caso não só o ligante definirá a resistência interna deste solo.

No caso temos: αααα = ângulo do plano de escorregamento; ϕϕϕϕ = ângulo de atrito interno (do agregado componente do solo)


103

4.6 - Critério de rutura Mohr–Coulomb

Considerando-se as teorias do Critério de Rutura de Mohr e de Coulomb, verifica-se que os comportamentos físicos são idênticos para as duas linhas de limitação e ambas têm a mesma equação. Isto é, no critério de rutura temos a envoltória, linha que define o esforço limite de rutura, de equação ( )τ α= f e na teoria de Coulomb, temos a linha que

limita a resistência da estrutura dos solos, de equação, também, ( )τ α= f .

Ora, se ambas tem a mesma forma matemática, podemos assimilá-las, isto é, particularizar, para o caso dos solos, a envoltória de Mohr como se fosse uma reta.

Temos, então o critério de rutura Mohr – Coulomb em que a premissa básica é a afirmativa de que nos solos, a envoltória dos círculos de Mohr, correspondentes a rutura é uma reta de equação τ σ ϕr c tg= + .

Algum erro pode decorrer dessa assimilação (figura), mas, a prática tem demonstrado que os resultados são perfeitamente compatíveis com os valores requeridos.

Com essa assimilação temos condição de traçar a envoltória, correspondente a

determinado solo com o traçado de dois círculos, mas, praticamente, pela própria teoria dos erros adota-se no mínimo três círculos, interpolando-se, graficamente a envoltória tangente aos mesmos, como mostrado na figura abaixo (neste exemplo foram utilizadas tensões efetivas, ou seja, foram subtraídas das tensões totais os valores de pressão neutra geradas no momento da ruptura – veja que os valores de σ’

3 não são inteiros). Veja as informações dos corpos de prova na ruptura (tabela seguinte) e a envoltória

em termos de tensões efetivas, traçada como exemplo.

Figura – Traçado da envoltória de Mohr-Coulomb a partir da realização de três

ensaios em laboratório (3 corpos de prova) e a obtenção de três círculos de Mohr efetivos.


104

Tabela: Informações dos corpos de prova ensaiados quanto a resistência ao cisalhamento, no momento da ruptura

De acordo com o critério de rutura Mohr–Coulomb, quando a tensão de

cisalhamento, expressa pela reta de Coulomb τ σ ϕ= +c tg se iguala a resistência ao cisalhamento τ r , em cada ponto, ao longo da superfície de rutura, o maciço se romperá. O círculo correspondente ao estado de tensões, em torno do ponto O, será tangente a reta de Coulomb e o solo estará no estado incipiente de equilíbrio, isto é, no estado plástico em que, qualquer deformação, uma vez cessado o esforço, permanece, sem retorno a posição original. Se a condição de equilíbrio incipiente ocorre, ela existe em todos os pontos ao longo do plano de rutura e diz-se que a massa de solo está no Estado de Equilíbrio Plástico.

Condição Analítica da Rutura

Baseados no critério de rutura Mohr–Coulomb vamos traçar um gráfico onde temos

um círculo tangente a linha de rutura e todos os elementos indicados para consolidar em demonstração a teoria considerada até aqui.

Componentes Principais da Figura:

σ i = tensão inicial de tração normal ao plano de escorregamento; σα = tensão de compressão normal ao plano de escorregamento;

τα = tensão tangencial (de rutura) ao plano de escorregamento;


105

α = ângulo do plano de ruptura com plano principal maior; r = raio do círculo; ϕ = ângulo de atrito interno do solo; σ1 e σ3 = tensões de rutura agentes no ponto considerado; tgϕ = coeficiente de atrito interno do solo; c tgi= =σ ϕ coesão do solo (devido ao ligante - presença da fração argila); σ ϕα tg = atrito interno do solo (devido ao agregado - presença da fração areia);

Expressão de Cálculo do ângulo αααα: Pela propriedade do círculo de Mohr o ângulo interno feito como o raio de T é 2α

conforme figura, portanto: 2 90

452

α ϕ

α ϕ= °+

= °+

Dedução da Equação Analítica da Rutura

Pela figura: ND NC CD= +

NB NC CB= − mas, CD CB CT r= = = Dividindo-se membro a membro, temos: ND

NB

NC CD

NC CB= +

− ou

ND

NB

NC CT

NC CT= +

−

Dividindo-se numerador e denominador por NC , temos:

ND

NB

NC

NC

CT

NCNC

NC

CT

NC

=+

−= +

−= °+

°−1

1

90

90

sen

sen

sen sen

sen sen

ϕϕ

ϕϕ

Da figura tiramos: ND i= +σ σ1

NB i= +σ σ3

Substituindo:σ σσ σ

ϕϕ

i

i

++

= °+°−

1

3

90

90

sen sen

sen sen

Pela Trigonometria:sen sen

sen sen

a b

a b

tga b

tga b

+−

=

+

−2

2

ou podemos escrever:


106

σ σσ σ

ϕ

ϕϕ ϕ

ϕi

i

tg

tgtg tg N

++

=

°+

°− = °+ = °+

=1

3

2 2

90

290

2

90

245

2

Nϕ = Chamado por Terzaghi de número de fluência

A equação ficará: σ σσ σ ϕ

i

iN

++

=1

3 ou ( )σ σ σ σϕi iN+ = +1 3

σ σ σ σϕ ϕ1 3= + −N Ni i

( )σ σ σϕ1 3 1= + −N N i mas, σϕi

c

tg=

ϕϕϕσσtg

NcN

131

−+=

Demonstra-se que N

tgN

ϕϕϕ

−=

12 , conforme feito adiante.

Finalmente, temos

A partir da equação analítica de rutura temos a condição de calcular uma das tensões (σ1 ou σ3) quando se conhece a outra delas e se determinou os parâmetros c e ϕϕϕϕ que são valores característicos dos solo em suas condições de utilização (dependendo do problema a resolver teremos necessidade de determinar os parâmetros nas condições mais desfavoráveis possíveis).

Para se obter os valores de c e/ou ϕ, temos a necessidade de realizar ensaios especiais de laboratório, com a necessária sofisticação, para representar, com a maior precisão possível, as condições de ocorrência do material em suas situações naturais de ocorrência e utilização.

Temos, também, ensaios "in situ" cujas determinações são de melhor avaliação pela

manutenção real das condições de campo, mas, cujas aplicações são restritas a situações especiais de ocorrência e aos parâmetros que se pretende determinar.

Obeservação: Nesta unidade (04) do curso foi enfocadas com ênfase as tensões principais atuantes

nas massas do solo porque objetivou o estudo da resistência ao cisalhamento dos solos, como será visto na unidade seguinte.

σ σ ϕ ϕ1 3 2= +N c N EQUAÇÃO ANALÍTICA DA RUPTURA


107

Estado de tensões atuantes em ponto da massa de um material: Através do traçado do círculo de Mohr, pode-se estudar o estado de tensões

atuantes em qualquer ponto da massa de solo, assim como em qualquer outro material. Este assunto é estudado nos cursos de resistência dos materiais (na UFJF é visto em Resistência dos Materiais II).

A figura a seguir ilustra o círculo de Mohr referente às tensões atuantes no elemento ao seu lado, cujos planos (x e y):

* (a) COINCIDEM com a horizontal e vertical e * (b) NÃO COINCIDEM com a horizontal e vertical Observe que em (a) a tensão cisalhante no plano y - τy, tem sinal negativo e em (b)

a tensão cisalhante no plano α - τα tem sinal positivo. O sentido de se considerar a reta que passa pelo centro do círculo de Mohr, definindo assim as tensões atuantes implica em determinar valores positivos ou negativos para as tensões cisalhantes mas não implica em determinar valores numéricos diferentes para as tensões normais.

Effective Stress at Node 760

Normal

0 10 20 30 40 50 60 70 80

She

ar

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

sx

sy

14.318

-14.811

73.242

10.805

76.756

Figura – Exemplo de estado de tensões atuantes em um ponto no interior da massa de solo,

e valores e direção em que atuam as tensões principais maior e menor.

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