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Lyc´ ee Thiers - MP S´ eries num´ eriques - Familles sommables 2017-18 Exos Banque CCP : Banque CCP - Exo 5 : 1. On consid` ere la s´ erie de terme g´ en´ eral u n = 1 n (ln n) α o` u n > 2 et α ∈ R. (a) Cas α 6 0 En utilisant une minoration tr` es simple de u n , d´ emontrer que la s´ erie diverge. (b) Cas α> 0 ´ Etudier la nature de la s´ erie. Indication: on pourra utiliser la fonction f d´ efinie par f (x) = 1 x(ln x) α . 2. D´ eterminer la nature de la s´ erie X n>2 e - 1+ 1 n n e 1 n (ln(n 2 + n)) 2 . Banque CCP - Exo 6 : Soit (u n ) n∈N une suite de r´ eels strictement positifs et l un r´ eel positif strictement inf´ erieur ` a 1. 1. D´ emontrer que si lim n→+∞ u n+1 u n = l, alors la s´ erie X u n converge. Indication:´ ecrire, judicieusement, la d´ efinition de lim n→+∞ u n+1 u n = l, puis majorer, pour n assez grand, u n par le terme g´ en´ eral d’une suite g´ eom´ etrique. 2. Quelle est la nature de la s´ erie X n>1 n! n n ? Banque CCP - Exo 7 : 1. Soient (u n ) n∈N et (v n ) n∈N deux suites de nombres r´ eels positifs. On suppose que (v n ) n∈N est non nulle ` a partir d’un certain rang. Montrer que: u n ∼ +∞ v n = ⇒ X u n et X v n sont de mˆ eme nature. 2. ´ Etudier la convergence de la s´ erie X n>2 (i - 1) sin 1 n (√ n +3 - 1 ) ln n . Remarque : i d´ esigne le nombre complexe de carr´ e´ egal ` a -1. Banque CCP - Exo 8 - Premi` ere question : Soit (u n ) n∈N une suite d´ ecroissante positive de limite nulle. 1. D´ emontrer que la s´ erie X (-1) k u k est convergente. Indication: on pourra consid´ erer (S 2n ) n∈N et (S 2n+1 ) n∈N avec S n = n X k=0 (-1) k u k . 2. Donner une majoration de la valeur absolue du reste de la s´ erie X (-1) k u k . Banque CCP - Exo 46 : On consid` ere la s´ erie: X n>1 cos π p n 2 + n +1 . 1. Prouver que, au voisinage de +∞, π p n 2 + n +1= nπ + π 2 + α π n + O 1 n 2 o` u α est un r´ eel que l’on d´ eterminera. 2. En d´ eduire que X n>1 cos π p n 2 + n +1 converge. 3. X n>1 cos π p n 2 + n +1 converge-t-elle absolument? Feuille exos - S´ eries num´ eriques - Familles sommables
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Lycee Thiers - MP Series numeriques - Familles sommables 2017-18
Exos Banque CCP :
Banque CCP - Exo 5 :
1. On considere la serie de terme general un =1
n (lnn)α ou n > 2 et α ∈ R.
(a) Cas α 6 0
En utilisant une minoration tres simple de un, demontrer que la seriediverge.
(b) Cas α > 0
Etudier la nature de la serie.Indication: on pourra utiliser la fonction f definie par f(x) =
1
x(lnx)α.
2. Determiner la nature de la serie∑n>2
(e−
(1 +
1
n
)n)e
1n
(ln(n2 + n))2 .
Banque CCP - Exo 6 :
Soit (un)n∈N une suite de reels strictement positifs et l un reel positif strictementinferieur a 1.
1. Demontrer que si limn→+∞
un+1
un= l, alors la serie
∑un converge.
Indication: ecrire, judicieusement, la definition de limn→+∞
un+1
un= l, puis
majorer, pour n assez grand, un par le terme general d’une suite geometrique.
2. Quelle est la nature de la serie∑n>1
n!
nn?
Banque CCP - Exo 7 :
1. Soient (un)n∈N et (vn)n∈N deux suites de nombres reels positifs.On suppose que (vn)n∈N est non nulle a partir d’un certain rang.Montrer que:
un ∼+∞
vn =⇒∑
un et∑
vn sont de meme nature.
2. Etudier la convergence de la serie∑n>2
(i− 1) sin
(1
n
)(√n+ 3− 1
)lnn
.
Remarque : i designe le nombre complexe de carre egal a −1.
Banque CCP - Exo 8 - Premiere question :
Soit (un)n∈N une suite decroissante positive de limite nulle.
1. Demontrer que la serie∑
(−1)kuk est convergente.
Indication: on pourra considerer (S2n)n∈N et (S2n+1)n∈N avec Sn =n∑k=0
(−1)kuk.
2. Donner une majoration de la valeur absolue du reste de la serie∑
(−1)kuk.
Banque CCP - Exo 46 :
On considere la serie:∑n>1
cos(π√n2 + n+ 1
).
1. Prouver que, au voisinage de +∞, π√n2 + n+ 1 = nπ+
π
2+α
π
n+O
(1
n2
)ou α est un reel que l’on determinera.
2. En deduire que∑n>1
cos(π√n2 + n+ 1
)converge.
3.∑n>1
cos(π√n2 + n+ 1
)converge-t-elle absolument?
Feuille exos - Series numeriques - Familles sommables
Lycee Thiers - MP Series numeriques - Familles sommables 2017-18
Series numeriques :
Exercice 1 :
Nature et somme des series de terme general :
un = ln
((n+ 1)2
n(n+ 2)
)vn =
n
n4 + n2 + 1
Exercice 2 :
Montrer que la serie de terme general un =(−1)n
n+ 1converge et calculer sa somme.
On pourra remarquer que1
n+ 1=
∫ 1
0
tndt.
Exercice 3 :
Etudier la nature des series de terme general :
un =n!
nnvn =
n√
3− 1
nwn = (
√n+ 1−
√n)α tn =
n∑k=1
1
(n2 + k)β
an = arctan
(1 +
1
na
)−π
4bn =
(n
n+ 1
)nacn = lnn+a ln(n+1)+b ln(n+2)
Exercice 4 : Constante d’Euler.
Soit v la suite definie par vn =
n∑k=1
1
k− lnn .
Montrer que v converge vers une limite notee γ appelee constante d’Euler.
En deduire que
n∑k=1
1
k∼+∞
lnn puis retrouver le resultat par une autre methode.
En utilisant le reste de la serie de terme general vn+1 − vn, determiner unequivalent de γ − vn lorsque n tend vers +∞.
Exercice 5 : Formule de Stirling.
Soit u la suite definie par un = ln(n!).
1. Demontrer que un ∼+∞
vn avec vn = n lnn.
2. On note wn = un+1 − un − vn+1 = vn. Demontrer qu’il existe des reels a et
b tels que la serie de terme general wn − a−b
nsoit convergente.
3. Montrer que la suite
(√nnne−n
n!
)n
converge.
4. On note In =
∫ π2
0
cosn td t. On a pour ∀n ∈ N, In+2 =n+ 1
n+ 2In et
In ∼+∞
√π
2n
Exprimer I2n a l’aide de factorielles puis en deduire que n! ∼+∞
(ne
)n√2πn.
Exercice 6 :
Etudier la nature de la serie de terme general un ou u est la suite definie par larelation de recurrence un+1 = ln(1 + un) et la donnee de u0 > 0.
Montrer que la suite u converge vers 0.
Trouver un reel β tel que la suite
(1
uβn+1
− 1
uβn
)n
converge vers une limite finie
non nulle. En deduire un equivalent de un lorsque n tend vers +∞.
Exercice 7 : Etudier la nature des series de terme general :
un =(−1)n
lnn+ (−1)nvn = cos
(πn2 ln
(n− 1
n
))
Exercice 8 : Soit∑
un une serie a termes strictement positifs convergente.
Determiner la nature de∑
ln
(un+1
un
),∑
eun ,∑
ln(1 + un) et∑
u2n.
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Lycee Thiers - MP Series numeriques - Familles sommables 2017-18
Exercice 9 :
Determiner la nature de la serie de terme general un = (−1)nn∏k=2
(1− 1√
k
).
Exercice 10 : Determiner limn→+∞
n
+∞∑k=n
1
k2enk .
Exercice 11 : Soit (an)n une suite decroissante de limite nulle en +∞.
Soit un =anan+1
− 1. Montrer que∑
un diverge.
Exercice 12 : Etudier la nature des series de terme general :
un =
∣∣∣∣∣+∞∑k=n
(−1)k
ln k
∣∣∣∣∣lnn
vn = a1+ 1√
2+...+ 1√
n (a > 0)
Familles sommables
Exercice 13 :
Demontrer que l’application f definie par f(p, q) = 2p(2q + 1) est une bijectionde N2 dans N∗. Trouver l’antecedent de 2016 par cette application.
Exercice 14 :
On dit qu’un reel x est algebrique si x est racine d’un polynome a coefficientsentiers. Demontrer que l’ensemble des reels algebriques est denombrable.
Exercice 15 :
On note up,q =1
p!q!(p+ q + 1).
Montrer que (up,q)(p,q)∈N2 est sommable et calculer sa somme.
Exercice 16 : On note up,q = 2−3q−p−(p+q)2
.
Montrer que (up,q)(p,q)∈N2 est sommable et calculer sa somme.
Exercice 17 : Ecrit CCP 2017
Demontrer que la famille
(1
p2 + q2
)(p,q)∈N∗×N∗
n’est pas sommable.
Exercice 18 :
Soit (an)n une suite positive telle que∑
an converge.
Montrer l’existence et calculer
+∞∑k=1
k
(+∞∑n=k
ann(n+ 1)
).
Exercice 19 :
Soit q un nombre complexe tel que |q| < 1. Pour n et m entiers naturels, on pose
anm = (−1)nqn+m+2nm. Montrer que
+∞∑n=0
qn
1 + q2n+1=
+∞∑n=0
(−1)nqn
1− q2n+1.
Exercice 20 :
Soit∑
un une serie absolument convergente et pour tout n, vn =1
2n
n∑k=0
2kuk.
Montrer que∑
vn converge absolument et determiner sa somme.
Exercice 21 : On rappelle que e =
+∞∑n=0
1
n!.
Montrer que e
(+∞∑n=1
(−1)n−1
nn!
)=
+∞∑n=1
Hn
n!ou Hn =
n∑k=1
1
k.
(On pourra montrer que Hn =n∑k=1
(−1)k−1(nk
)∫ 1
0
tk−1dt.)
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