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LEZIONE 9 LE VERIFICHE DI SICUREZZA

Il dimensionamento di una struttura e, conseguentemente, i costi ed i rischi connessi

alla sua realizzazione, dipendono dalla MISURA DELLA SICUREZZA

Un aspetto importante e delicato per il progettista è quello che riguarda la

connessione tra scelte di progetto e misura della sicurezza.

Per pervenire ad un efficace misura della sicurezza occorre esaminare:

− Gli aspetti di comportamento della struttura;

− Le fonti di incertezza;

− Il carattere aleatorio delle grandezze in gioco.

ASPETTI DI COMPORTAMENTO

Nella letteratura e negli Eurocodici gli aspetti di comportamento della struttura

vengono indicati come Stati Limite, intendendo con essi:

“una condizione, raggiunta la quale, la struttura o una sua parte

non svolge più le funzioni per le quali è stata realizzata”

Stato limite ultimo COLLASSO

Stato limite di esercizio DEF. ECCESSIVE, CEDIMENTI DIFF.,

ROT. RIGIDE

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FONTI DI INCERTEZZA

Esse sono molteplici e, spesso, difficilmente individuabili.

Operativamente si possono racchiudere in:

− Caratteristiche dei materiali;

− Azioni applicate;

− Dimensioni geometriche;

− Differenza tra valori effettivi e valori di calcolo (incertezza di modello).

ALEATORIETA’ DELLE GRANDEZZE

A rigore sarebbe richiesta un’analisi probabilistica del margine di sicurezza con

difficoltà che rendono poco praticabile la misura della sicurezza nelle applicazioni

correnti.

FATTORE DI SICUREZZA

Nell’Ingegneria Civile la misura della sicurezza viene, convenzionalmente, espressa

attraverso un fattore di sicurezza FS, dato dal rapporto tra la resistenza R e la

sollecitazione S.

SRFS =

I valori di R ed S utilizzati per il calcolo di FS sono puramente nominali, calcolati in

base all’esperienza.

Non sono generalmente valori medi, bensì piuttosto estremi.

Quando si fa riferimento ai valori medi il coefficiente di sicurezza viene detto

Coefficiente di Sicurezza Centrale

][][

SERECFS

def=

Questo significa che, anche quando si è in presenza di un accettabile valore di FS o

CFS può sussistere una certa probabilità di rottura.

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STATO DI EQUILIBRIO LIMITE ATTIVO E PASSIVO

STATI DI EQUILIBRIO LIMITE IN UN MEZZO NON COESIVO DELIMITATO DA UN PIANO

ORIZZONTALE

Consideriamo una massa di terreno omogeneo, con parametri di resistenza al taglio

c’ = 0 e φ’ ≠ 0 e peso unitario efficace γ’.

Alla generica profondità z lo stato pensionale è individuato dalle tensioni verticale

ed orizzontale, che sono tensioni principali.

Se tale stato è lontano dalla rottura, esso è staticamente indeterminato. (∞ σ’h)

Il rapporto tra la pressione orizzontale σ’h0 (detta pressione a riposo) e quella

verticale σ’v0 è noto come coefficiente di spinta a riposo K0.

'0

'0

0v

hKσσ

=

4

Esso dipende dalla natura del terreno e dalla storia tensionale che ha interessato il

deposito.

A rottura, invece, esistono soltanto due cerchi di Mohr che soddisfano

contemporaneamente le condizioni di equilibrio e di rottura; queste due situazioni di

equilibrio limite o plastico possono essere raggiunte seguendo due diversi

meccanismi di deformazione.

Immaginiamo di produrre un’espansione laterale del provino, allontanando le due

pareti verticali.

Si ottiene: σ’h con σ’v0 costante.

5

Visto che il materiale ha una resistenza a taglio limitata, la σ’h può diminuire fino al

raggiungimento di uno stato di equilibrio limite (rottura), in corrispondenza del

quale si verifica uno scorrimento plastico senza alterazione dello stato tensionale.

Tale stato di equilibrio limite è definito stato limite attivo e la pressione

corrispondente pressione attiva.

Utilizzando la rappresentazione di Mohr, la σ’v0 corrisponde all’ascissa del punto B,

la pressione orizzontale limite attiva σ’A è rappresentata dall’ascissa del punto A del

cerchio di rottura e, con riferimento al criterio di rottura di Coulomb-Terzaghi '' tanφστ ⋅= ffff si ottiene:

AvvvA K⋅=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−°⋅=

+−

⋅= '0

'2'

0'

''0

'

245tan

sin1sin1 σφσ

φφσσ

dove KA è definito coefficiente di spinta attiva.

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Dall’analisi del cerchio di Mohr a rottura è possibile dedurre che le superfici di

rottura generate dal raggiungimento della condizione di equilibrio limite attivo sono

costituite da una famiglia di piani inclinati di 2

45'φ

+° rispetto alla direzione della

σ’3 (coincidente questa volta con la σ’A).

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Immaginiamo ora di produrre una compressione laterale del provino, avvicinando le

due pareti verticali.

Si ottiene: σ’h con σ’v0 costante.

Visto che il materiale ha una resistenza a taglio limitata, la σ’h può aumentare fino al

raggiungimento di uno stato di equilibrio limite (rottura), in corrispondenza del

quale si verifica uno scorrimento plastico senza alterazione dello stato tensionale.

Tale stato di equilibrio limite è definito stato limite passivo e la pressione

corrispondente pressione passiva.

8

Utilizzando ancora la rappresentazione di Mohr, la σ’v0 rimane costante mentre la

pressione orizzontale limite attiva σ’P e, con riferimento al criterio di rottura di

Coulomb-Terzaghi '' tanφστ ⋅= ffff si ottiene:

PvvvP K⋅=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+°⋅=

−+

⋅= '0

'2'

0'

''0

'

245tan

sin1sin1 σφσ

φφσσ

dove KP è definito coefficiente di spinta passiva.

Le superfici di rottura generate dal raggiungimento della condizione di equilibrio

limite passivo sono ancora costituite da una famiglia di piani inclinati di 2

45'φ

+°

rispetto alla direzione della σ’3 (coincidente questa volta con la σ’v0).

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Sulla base della loro definizione, i coefficienti KA e KP, trascurando le differenze

eventualmente indotte da diversi stress-path, sono legati dalla relazione:

1=⋅ PA KK

Poiché il problema della determinazione dello stato tensionale associato alle due

situazioni limite illustrate è stato risolto per la prima volta da Rankine (1857), gli

stati di equilibrio plastico sono di solito indicati come stato attivo o passivo di

Rankine.

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STATO DI EQUILIBRIO LIMITE IN UN MEZZO NON COESIVO DELIMITATO DA UN PIANO

INCLINATO

Supponiamo ora di avere un mezzo non coesivo delimitato da un piano avente

inclinazione rispetto all’orizzontale pari a i < φ’

Nel caso di pendio indefinito, lo stato tensionale agente su ogni sezione verticale

tipo AE oppure BD è indipendente dall’ubicazione della sezione per cui, alla

generica quota z sulla parete AE esso deve essere uguale ed opposto a quello

esistente sulla parete BD alla stessa quota.

Considerando inoltre l’equilibrio alla rotazione attorno al punto C dell’elemento

ABDE si deduce che le risultanti p’L e p’R hanno la stessa retta di azione e sono

parallele al pendio.

Se le due sezioni AB e DE sono ad una distanza unitaria si ha:

izv cos''0 ⋅⋅= γσ

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e le componenti normale e tangenziale ad AB valgono:

iizizsincos

cos'

2''

⋅⋅⋅=

⋅⋅=

γτ

γσ

Lo stato tensionale a rottura è rappresentato da un cerchio di Mohr passante per il

punto M (σ’,τ) e tangente all’inviluppo di rottura.

L’origine dei piani è rappresentata dal punto P e l’inclinazione delle superfici di

rottura dalle due rette a e b.

Lo stato tensionale limite agente sulla parete verticale è dato dalle coordinate del

punto A. Il segmento OA rappresenta il valore della pressione limite attiva σ’A

agente sulla parete verticale. Valgono inoltre le seguenti relazioni:

'

'

''0

sinsin

cos

φ

σ

γσ

⋅=

⋅==

⋅⋅==

OCMCiOCNC

OA

izOM

A

v

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da cui si ottiene:

ed ancora:

5,0'22

5,0'22'0

'

)cos(coscos)cos(coscos

φφσσ

−+−−

⋅=iiii

vA

Analogamente, nel caso del raggiungimento dello stato limite passivo, l’origine dei

piani è rappresentata dal punto P, l’inclinazione delle superfici di rottura è data dalle

rette a e b e lo stato tensionale sulla parete verticale è individuato dalle coordinate

del punto T.

Anche in questo caso σ’P è parallela al pendio ed il suo modulo è dato da OT, per

cui:

5,0'22

5,0'22'0

'

)cos(coscos)cos(coscos

φφσσ

−−−+

⋅=iiii

vP

5,022'22

5,022'22

'0

'

)sinsin(cos)sinsin(cos

iOCOCiOCiOCOCiOC

MNONMNON

v

A

⋅−⋅+⋅⋅−⋅−⋅

=+−

=φφ

σσ

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STATO DI EQUILIBRIO LIMITE IN UN MEZZO DOTATO DI COESIONE ED ATTRITO

Nel caso di un mezzo con f’ > 0 e c’ > 0, la condizione di equilibrio limite espressa

in termini di tensioni principali diventa:

''

''

'3

'1

'3

'1 sin

sincos

22φ

φφσσσσ

⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅+

+=

−c

che porta ad ottenere:

( ) 5,0''3

''

'2'

3'1 2

245tan2

245tan PP KcKc ⋅+⋅=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+°⋅+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+°⋅= σφφσσ

Se il mezzo è delimitato da un piano orizzontale i valori limite della tensione

orizzontale diventano pertanto:

( )( ) 5,0''

0'

5,0''0

'

2

2

PPvP

AAvA

KcK

KcK

−⋅=

−⋅=

σσ

σσ

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Se il mezzo è delimitato da un piano inclinato con i < φ’ gli stati di equilibrio limite

possono essere individuati osservando:

− Tutti i punti che rappresentano lo stato tensionale su una sezione parallela alla

superficie devono appartenere alla retta passante per l’origine ed inclinata di

un angolo i;

− I punti M e P nella figura sotto rappresentano lo stato tensionale agente a

diverse profondità su sezioni parallele alla superficie;

− I cerchi di Mohr a rottura passano per tali punti e sono tangenti all’inviluppo

di rottura;

− Nei due casi illustrati in figura, per la ricerca della condizione limite attiva,

l’origine dei piani è rappresentata dai punti O ed N e le superfici di rottura

dalle rette a,b e a1, b1;

− Poiché tale origine si sposta all’aumento della profondità, l’inclinazione dei

piani di rottura cambia e le superfici di scorrimento risultano curve;

− Nel caso di resistenza passiva, le considerazioni sono analoghe, con

l’eccezione che l’origine dei piani è rappresentata dal punto P.