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UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI FIRENZEDipartimento di Ingegneria Civile e AmbientaleSezione geotecnica (www.dicea.unifi.it/geotecnica)

“SPINTA DELLE TERRE”

Johann [email protected]

http://www.dicea.unifi.it/~johannf/

Corso di Fondamenti di GeotecnicaScienze dell’Ingegneria Edile, A.A. 2009\2010

Spinta delle terreUNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI FIRENZEDIPARTIMENTO DI INGEGNERIA CIVILESezione geotecnica

Origine e struttura dei terreni Origine e struttura dei terreni –– Fondamenti di GeotecnicaFondamenti di GeotecnicaCorso di Laurea in Scienze dell’Ingegneria Edile A.A. 2009/2010Corso di Laurea in Scienze dell’Ingegneria Edile A.A. 2009/2010 22/69/69

SPINTA DELLE TERRELa determinazione della spinta esercitata dal terreno contro un’opera di sostegno è un problema classico di ingegneria geotecnica che viene affrontato utilizzando due teorie “storiche”:

Entrambi le teorie, nel calcolo della spinta del terreno, si riferiscono agli stati limite (ovvero prossimi alla rottura) ed ipotizzano superfici di scorrimento piane, ma per effetto dell’attrito fra la parete e il terreno:

• le reali superfici di scorrimento sono in parte curvilinee• i risultati che si ottengono applicando i metodi classici sono spesso noncautelativi.

la teoria di Rankine (1857) la teoria di Coulomb (1776).

È pertanto opportuno riferirsi al metodo di Caquot e Kérisel (1948) che è il più noto e applicato metodo fra quelli che assumono superfici di scorrimento curvilinee.

Teoria di RankineUNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI FIRENZEDIPARTIMENTO DI INGEGNERIA CIVILESezione geotecnica


TEORIA DI RANKINE (o DEGLI STATI LIMITE)

terreno omogeneo (γ costante con la profondità) superficie del p.c. piana, orizzontale ed infinitamente estesa (stato assial‐sim.)terreno incoerente (c’ = 0)assenza di falda (u = 0, σ = σ’)validità del criterio di rottura di Mohr‐ Coulomb (τf = σ’n tg ϕ’)

IPOTESI:

Stato tensionale assial‐simmetrico

σ’v0 = σ’1σ’h0 = σ’2 = σ’3

Z

Q

v0

v00h0

σ γ’ = Z

σ σ’ = K ’

1

γ

1

K0γ

per K0 < 1 (terreni NC o debolmente OC)

Cerchio O

σ’

φ’

τ

σ’h0 σ’ v0

γZK0γZ

Press.orizzontali

Press.verticali

σ’v0,σ’h0



SPINTA A RIPOSO

vengono inserite due pareti verticali ideali, cioè tali da non modificare lo stato tensionale nel terreno (assenza di attrito)

IPOTESI:

Stato tensionale a riposo (cerchio O)La spinta orizzontale S0 (spinta a riposo) presente sui due lati di ciascuna parete (risultante delle tensioni orizzontali dalla superficie fino alla generica profondità H) vale:

02

H

00h0 KH

21dZʹS ⋅⋅γ⋅=⋅σ= ∫

ed è applicata alla profondità (baricentro del triangolo della distribuzione delle tensioni orizzontali):

H32

S

dZZZ

0

H

0

ʹ0h

0 ⋅=⋅⋅σ

=∫

HS

K Hγ

A

h0σ’ h0

0

0

0

σ’ Z = 2/3 H

K Hγ0

Q

Cerchio OCerchio A

σ’

φ’

π ϕ/4+ ’/2

τ

τ

σ’ha σ’ v0

f

C

F

RO

SPINTA ATTIVA



Stato tensionale limite attivo (cerchio A)nel punto Q permangono condizioni di simmetria (la tensione verticale ed orizzontale sono ancora principali);la tensione verticale σ’v0 = γ∙Z non variala tensione orizzontale efficace si riduce progressivamente

Q

v0

ha

σ’ σ’

Si allontanano gradualmente le due pareti:IPOTESI:

Il valore minimo della tensione orizzontale , σ’ha, compatibile con l’equilibrio è detto tensione limite attiva, e corrisponde alla tensione principale minore del cerchio di Mohr tangente alla retta di inviluppo a rottura.



Cerchio OCerchio A

σ’

φ’

π ϕ/4+ ’/2

τ

τ

σ’ha σ’ v0

f

C

F

R

O

R = ½ (σ’v0 ‐ σ’ha)Il raggio del cerchio di Mohr (A) vale:

OC = ½ (σ’v0 + σ’ha)

Considerando il triangolo (rettangolo) OFC:

( ) ( )

0v2

0vha

0vha

ha0vha0v

ʹ2ʹ

4tanʹ

ʹsen1ʹsen1ʹ

)ʹsen1(ʹ)ʹsen1(ʹ

ʹsenʹʹ21ʹʹ

21

ʹsenOCFCR

σ⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ φ

−π

=σ⋅φ+φ−

=σ

φ−⋅σ=φ+⋅σ

φ⋅σ+σ⋅=σ−σ⋅

φ⋅==

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ φ

−π

=φ+φ−

=2'

4tan

'sen1'sen1K 2

A

voAha ʹKʹ σ⋅=σ Coefficiente di spinta attiva

SPINTA ATTIVA

e l’ascissa del centro:



Cerchio OCerchio A

σ’

φ’

π ϕ/4+ ’/2

τ

τ

σ’ha σ’ v0

f

C

F

R

O

SPINTA ATTIVALa tensione agente sulla superficie di scorrimento (ipotizzata piana) è rappresentata dal punto F del cerchio di Mohr, ha componente normale σn e tangenziale τf ed agisce su un piano forma un angolo di con la direzione orizzontale.

Q

v0

ha

f

n

σ’

τ

σ’ σ’

π φ/4+ ’/2

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ φ

+π

2'

4

Z

Q

π φ/4+ ’/2

In condizioni di rottura per raggiungimento dello stato di equilibrio limite inferiore (spinta attiva), il terreno inizia a scorrere lungo questi piani.

σ’n



SPINTA ATTIVALa spinta orizzontale SA (risultante delle tensioni orizzontali dalla superficie fino alla generica profondità H) che agisce sulla parte interna di ciascuna parete vale:

S

ha

A

σ’

A

K HγA

Z = 2/3 HA

H

A2

H

0hAA KH

21dZʹS ⋅⋅γ⋅=⋅σ= ∫

0A ZH32Z =⋅=

ed è applicata alla profondità (baricentro del triangolo della distribuzione delle tensioni orizzontali):

Cerchio O

Cerchio P

φ’π φ/4- ’/2

τ

τ

σ’

f

C

F

R

O σ’hpσ’ v0

C

SPINTA PASSIVA



Stato tensionale limite passivo (cerchio P)nel punto A permangono condizioni di simmetria (la tensione verticale ed orizzontale sono ancora principali);la tensione verticale σ’v0 = γ∙Z non variala tensione orizzontale efficace cresce progressivamente

Si avvicinano gradualmente le due pareti:IPOTESI:

Il valore massimo della tensione orizzontale , σ’pa, compatibile con l’equilibrio è detto tensione limite passiva, e corrisponde alla tensione principale maggiore del cerchio di Mohr tangente alla retta di inviluppo a rottura.

Q

v0

hp

σ’ σ’



R = ½ (σ’hp ‐ σ’v0)

Il raggio del cerchio di Mohr (A) vale:

OC = ½ (σ’v0 + σ’hp)


Coefficiente di spinta passiva

SPINTA PASSIVA


Cerchio O

Cerchio P

φ’π φ/4- ’/2

τ

τ

σ’

f

C

F

R

O σ’hpσ’ v0

C

( ) ( )

0v2

0vhP

0vhP

hP0v0vhP

ʹ2ʹ

4tanʹ

ʹsen1ʹsen1ʹ

)ʹsen1(ʹ)ʹsen1(ʹ

ʹsenʹʹ21ʹʹ

21

ʹsenOCFCR

σ⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ φ

+π

=σ⋅φ−φ+

=σ

φ+⋅σ=φ−⋅σ

φ⋅σ+σ⋅=σ−σ⋅

φ⋅==

A

2P K

12'

4tan

'sen1'sen1K =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

−+

=φπ

φφ

voPhp ʹKʹ σ⋅=σ



SPINTA PASSIVALa tensione agente sulla superficie di scorrimento (ipotizzata piana) è rappresentata dal punto F del cerchio di Mohr, ha componente normale σn e tangenziale τf ed agisce su un piano forma un angolo di con la direzione orizzontale.

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ φ

−π

2'

4

Cerchio O

Cerchio P

φ’π φ/4- ’/2

τ

τ

σ’

f

C

F

R

O σ’hpσ’ v0

C

Z

Q

π φ/4 - ’/2

A

v0

hp

f

n

σ’

τ

σ’

σ’

π φ/4 - ’/2

In condizioni di rottura per raggiungimento dello stato di equilibrio limite superiore (spinta passiva), il terreno inizia a scorrere lungo questi piani.

σ’n



La spinta orizzontale SP (risultante delle tensioni orizzontali dalla superficie fino alla generica profondità H) che agisce sulla parte interna di ciascuna parete vale:

ed è applicata alla profondità (baricentro della distribuzione delle tensioni orizzontali):

P2

H

0hPP KH

21dZʹS ⋅⋅γ⋅=⋅σ= ∫

0P ZH32Z =⋅=

S

hp

P

σ’

Q

K HγP

Z = 2/3 HP

H

SPINTA PASSIVA

N.B. I coefficienti di spinta attiva, KA, e passiva, KP, rappresentano i valori limite, rispettivamente inferiore e superiore, del rapporto tra le tensioni efficaciorizzontale e verticale:

P0v

hA K

ʹʹK ≤

σσ

≤

Rotazione del muro, Y/H

Stato passivo

Sabbia densa

Sabbia densa

Rap

porto

tra

pres

sion

e or

izzo

ntal

e e

verti

cale

, K

Stato attivo

Sabbia sciolta

Sabbia scioltaSabbia compatta

K

K

K

0

a

p



Le deformazioni di espansione necessarie per far decadere la pressione orizzontale dal valore σ’h0 al valore limite inferiore σ’ha, sono piccole, e comunque molto inferiori alle deformazioni di compressionenecessarie per far elevare la pressione orizzontale dal valore σ’h0, al valore limite superiore σ’hp. In genere si considera l’angolo di resistenza al taglio di picco per il calcolo della spinta attiva, e l’angolo di resistenza al taglio a volume costante(≅ residuo) per il calcolo della spinta passiva. Rotazione Y / H Terreno

Decompressione (Stato attivo)

Compressione (Stato passivo)

Incoerente denso 0,001 0,020 Incoerente sciolto 0,004 0,060 Coesivo consistente 0,010 0,020 Coesivo molle 0,020 0,040

Kp

K0Ka

Kapersabbie dense

∆Y (attiva) ∆Y (passiva)



Si suppone che il deposito sia delimitato superiormente da una superficie piana, inclinata di un angolo β < ϕ’ rispetto all’orizzontale (le tensioni verticale ed orizzontali non sono più principali, non essendovi più simmetria).

Effetto dell’inclinazione della superficie del deposito

b

l

β

ZWS

S

T

N

le risultanti, S, delle tensioni che agiscono sulle due superfici laterali (per ragioni di simmetria eguali ed opposte, aventi la stessa retta d’azione inclinata dell’angolo β sull’orizzontale)

il peso W = γ ∙Z∙ b

l = b/cosβ

Sul concio agiscono:

la risultante delle tensioni normali alla base del concio: N = W ∙cosβ

la risultante delle tensioni tangenziali alla base del concio: T = W ∙sen β



Effetto dell’inclinazione della superficie del depositoLa tensione normale alla base del concio vale:σ’n = N/l = γ ∙Z ∙cos2 β

φ’

β

τ

σ’O

Q

σ γ β’ = Z cos n2

τ = γ β βZ sen cos

La tensione tangenziale alla base del concio vale:τ =T/l = γ ∙Z ∙ sen β ∙cos β.Nel piano di Mohr il punto Q (σ’n,τ) appartiene alla retta τ = σ∙tgβ rappresenta la componente normale e tangenziale della tensione agente sulla base del concio (alla profondità Z e inclinata di β rispetto all’orizzontale), che per l’equilibrio del concio è verticale e il cui modulo vale:

OQ=γ ∙Z ∙cos β = W/l= σ’v0

e rappresenta la tensione verticale sulla base del concio.

φ’

β

τ

σ’O

Q

A

E

B

P

Cerchio P

Cerchio A

C



Effetto dell’inclinazione della superficie del depositoTutti i cerchi di Mohr passanti per il punto Q e sottostanti alla retta di inviluppo a rottura rappresentano stati di tensione alla profondità Z compatibili con l’equilibrio.Lo stato di tensione limite inferiore (attivo) e lo stato di tensione limite superiore (passivo) alla profondità Z sono rappresentati dai cerchi A e P passanti per Q e tangenti all’inviluppo a rottura

I segmenti OA e OP sono rispettivamente il valore minimo (condizioni di spinta attiva), ed il valore massimo (condizioni di spinta passiva), della tensione, inclinata dell’angolo β sull’orizzontale, agente sulla superficie verticale alla profondità Z

A è il polo del cerchio AP è il polo del cerchio P

φ’

β

τ

σ’O

Q

A

E

B

P

Cerchio P

Cerch io A

C

φ’

β

τ

σ’O

Q

A

E

B

P

Cerchio P

Cerch io A

C

β

A’



Effetto dell’inclinazione della superficie del depositoTutti i cerchi di Mohr passanti per il punto Q e sottostanti alla retta di inviluppo a rottura rappresentano stati di tensione alla profondità Z compatibili con l’equilibrio.Lo stato di tensione limite inferiore (attivo) e lo stato di tensione limite superiore (passivo) alla profondità Z sono rappresentati dai cerchi A e P

A è il polo del cerchio AP è il polo del cerchio P

A è il polo del cerchio A (attivo) e P il polo del cerchio P (passivo), quindi i segmenti OA e OP sono rispettivamente il valore minimo (condizioni di spinta attiva), ed il valore massimo (condizioni di spinta passiva), della tensione agente sulla superficie verticale alla profondità Z, che è inclinata dell’angolo β sull’orizzontale. A’ rappresenta la tensione agente sul piano

verticale in condizione di spinta attiva

φ’

β

τ

σ’O

Q

A

E

B

P

Cerchio P

Cerchio A

C




ABOBBQOBcosZOQABOBOAʹa

+=+=β⋅⋅γ=−==σ

βcosOCOB ⋅=

( ) ( )22

2222

senʹsenOC

senOCʹsenOCBCACAB

β−φ⋅=

=β⋅−φ⋅=−=

Quindi la pressione limite attiva vale:

β⋅⋅γ⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−

=σ cosZABOBABOBʹa

ʹsenOCRECAC φ⋅===β⋅= senOCBC

1)

2)




[ ][ ] β⋅⋅γ⋅

β−φ+β⋅

β−φ−β⋅=β⋅⋅γ⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+−

=σ cosZsenʹsencosOCsenʹsencosOCcosZ

ABOBABOBʹ

22

22

a

Si può quindi dimostrare che nel caso di pendio inclinato di un angolo β rispetto all’orizzontale le tensioni limite attiva e passiva (tensioni agenti su una parete verticale) sono parallele al pendio e valgono rispettivamente :

Aa KcosZʹ ⋅β⋅⋅γ=σ con ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−+

−−=

22

22

A'coscoscos

'coscoscosK

φββ

φββe A

2

A K2

ZcosS ⋅⋅⋅= βγ

Pp KcosZʹ ⋅β⋅⋅γ=σ con ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−−

−+=

22

22

P'coscoscos'coscoscos

Kφββ

φββe P

2

P K2

ZcosS ⋅⋅⋅= βγ

Per la condizione di spinta a riposo, staticamente indeterminata, si assume in genere:

)sen1()ʹsen1()sen1(KK 0,0 β+⋅φ−=β+⋅=β



Si suppone il deposito dotato anche di coesione oltre che di attrito, ovvero resistenza al taglio definita dal criterio di rottura di Mohr‐Coulomb:

Effetto della coesione

'tan''c φ⋅σ+=τ

O

c’

φ’

τ

σ’C

R

F

σ’ σ’ 3 1

c’tan ’ϕ

σ σ’ + ’1 32

D

R = ½ (σ’1 ‐ σ’3)Il raggio del cerchio di Mohr a rottura vale:

OC = ½ (σ’1 + σ’3)



( ) ( )

( )ʹcosʹc2)ʹsen1(ʹ)ʹsen1(ʹ

ʹcosʹc2ʹsenʹʹ

ʹsenʹctgʹcʹʹ21ʹʹ

21

ʹsen)OCDO(ʹsenDCFCR

31

ʹ3

ʹ131

3131

φ⋅+φ+⋅σ=φ−⋅σφ⋅+φ⋅σ+σ=σ−σ

φ⋅⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ φ⋅+σ+σ⋅=σ−σ⋅

φ⋅+=φ⋅==

O

c’

φ’

τ

σ’C

R

F

σ’ σ’ 3 1

c’tan ’ϕ

σ σ’ + ’1 32

D




⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ φ

+π

⋅⋅+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ φ

+π

⋅σ=σ2ʹ

4tanʹc2

2ʹ

4tanʹʹ 2

31

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ φ

−π

⋅⋅−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ φ

−π

⋅σ=σ2ʹ

4tanʹc2

2ʹ

4tanʹʹ 2

13

AA2

a,h Kʹc2KZ2ʹ

4tanʹc2

2ʹ

4tanZʹ ⋅⋅−⋅⋅γ=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ φ

−π

⋅⋅−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ φ

−π

⋅⋅γ=σ

PP2

p,h Kʹc2KZ2ʹ

4tanʹc2

2ʹ

4tanZʹ ⋅⋅+⋅⋅γ=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ φ

+π

⋅⋅+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ φ

+π

⋅⋅γ=σ




Nelle applicazioni pratiche si assume che per Z < Zcr, σ’ha= 0 (terreno non resistente a trazione).

OSS. Nella fascia di spessore Zc il terreno sarà interessato da fessure verticali di trazione che possono riempirsi d’acqua. Si considera, per il calcolo della spinta, anche un triangolo di pressione idrostatica di altezza Zc e base γw Zc

Z

2c’γ K

2 c’ K

σ’ (Z)

Z =

S’

S

A

W

ha

C

Ca

a

2/3 (Z - Z )γ Ζcw

1/3 (Zc+ 2 Z)

La pressione limite attiva in questo caso può diventare negativa per Z< Zc, dove Zc (profondità critica) è la profondità per cui σ’ha = 0:

Ac K

'c2Z⋅γ

⋅=

AA2

a,h Kʹc2KZ2ʹ

4tanʹc2

2ʹ

4tanZʹ ⋅⋅−⋅⋅γ=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ φ

−π

⋅⋅−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ φ

−π

⋅⋅γ=σ




H

2c’γ K

2 c’ K

σ’ (Z)

Z =

S’

S

A

W

ha

Ca

a

1/3 (2H+Z )cγ Ζcw

2AcAAA )ʹc2KH(

21)ZH()Kʹc2KH(

21S ⋅−⋅⋅γ⋅

γ=−⋅⋅⋅−⋅⋅γ⋅=

La spinta attiva SA (risultante delle tensioni orizzontali dalla superficie fino alla generica profondità H > Zc) vale dunque:


)ZH2(31)ZH(

32ZZ cccA +⋅=−⋅+=




PP2

p,h Kʹc2KZ2ʹ

4tanʹc2

2ʹ

4tanZʹ ⋅⋅+⋅⋅γ=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ φ

+π

⋅⋅+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ φ

+π

⋅⋅γ=σ

P2

P2,P1,PP KH21HKʹc2SS)Z(S ⋅⋅γ⋅+⋅⋅⋅=+=

⋅⋅⋅+⋅

=)(

32

2)(2,1,

ZS

ZSZSSZ

P

PP

P

Z

2 c’ K

σ’ (Z)

S’ (1)P

hp

p

2/3 ZZ/2

S’ (2)P

La pressione limite passiva è sempre positiva.

La spinta passiva SP (risultante delle tensioni orizzontali dalla superficie fino alla generica profondità H ) vale dunque:




Effetto della coesioneCon riferimento a condizioni non drenate (a breve termine, per terreni coesivi), come ad esempio nel caso di uno scavo in parete verticale, il criterio di rottura è quello di Tresca:

La tensione (totale) limite attiva e passiva diventano rispettivamente:

ua,h c2Z ⋅−⋅= γσ

up,h c2Z ⋅+⋅= γσ

σ’

ϕu = 0

π/4 π/4

τ

c

σha

u

O σv0σ h,a σ h,p

Le superfici di rottura sono inclinate di 45° rispetto all’orizzontale.

τ = cu (formalmente identico a quello di Mohr‐Coulomb con c’ cu; ϕ’ ϕu =0).

τ = cu (Criterio di Tresca)



2ucuA )c2H(

21)ZH()c2H(

21S ⋅−⋅γ⋅

γ=−⋅⋅−⋅⋅γ⋅=

La spinta attiva SA (risultante delle tensioni orizzontali dalla superficie fino alla generica profondità H > Zc) vale dunque (limitatamente al tratto per cui σh >0):


)ZH2(31)ZH(

32ZZ cccA +⋅=−⋅+=

con:γ⋅

= uc

c2Z

2u2,P1,PP H

21Hc2SS)Z(S ⋅γ⋅+⋅⋅=+=

⋅⋅⋅+⋅

=)(

32

2)(2,1,

ZS

ZSZSSZ

P

PP

P

La spinta passiva SP (risultante delle tensioni orizzontali dalla superficie fino alla generica profondità H ) vale dunque:


H1 1

H 2

Hi

2

i

i-1

i+1

σ’ ha

Z

S’A,i

σ’ (Z )ha i-1

σ’ (Z )ha i

c , ’i iϕ

c , ’2 2ϕ

c , ’1 1ϕ



Si suppone che il deposito sia costituito da strati orizzontali omogenei.Effetto della presenza di strati orizzontali

La spinta risultante esercitata sulla parete verticale è la somma dei contribuiti di ciascuno strato.

e il diagramma delle pressioni orizzontali può essere:nullo (se le pressioni orizzontali

all’estremità sono entrambe nulle),triangolare (se le pressioni sono una

negativa e l’altra positiva),trapezio (se le pressioni sono

entrambe positive):

i,Aii,A1i0v1iha Kʹc2K)Z(ʹ)Z(ʹ ⋅⋅−⋅σ=σ −−

i,Aii,Ai0viha Kʹc2K)Z(ʹ)Z(ʹ ⋅⋅−⋅σ=σ

∑−

=− ⋅γ=σ

1i

1jjj1i0v Hʹ)Z(ʹ ii1i0vi0v Hʹ)Z(ʹ)Z(ʹ ⋅γ+σ=σ −

Per ciascuno strato di spessore Hi, peso di volume γi e resistenza al taglio: , le pressioni orizzontali in condizioni di spinta attiva agli

estremi dello strato valgono:

'i

'i tan'c φ⋅σ+=τ

H1 1

H 2

Hi

2

i

i-1

i+1

σ’ hp

Z

S’P,,i

σ’ (Z )hp i-1

σ’ (Z )hp i



Effetto della presenza di strati orizzontali

e il diagramma delle pressioni orizzontali è un trapezio.

i,Pii,P1i0v1ihp Kʹc2K)Z(ʹ)Z(ʹ ⋅⋅+⋅σ=σ −−

i,Pii,Pi0vihp Kʹc2K)Z(ʹ)Z(ʹ ⋅⋅+⋅σ=σ

∑−

=− ⋅γ=σ

1i

1jjj1i0v Hʹ)Z(ʹ

ii1i0vi0v Hʹ)Z(ʹ)Z(ʹ ⋅γ+σ=σ −

Le pressioni orizzontali in condizioni di spinta passiva agli estremi dello strato valgono:

N.B. Nelle zone di ciascun strato non compresse in direzione orizzontale si dovrà tenere conto della spinta esercitata dall’acqua di percolazione.

Teoria di CoulombUNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI FIRENZEDIPARTIMENTO DI INGEGNERIA CIVILESezione geotecnica


TEORIA DI COULOMB

terreno omogeneo (γ costante con la profondità) superficie del terrapieno piana, orizzontale ed infinitamente estesaterreno incoerente (c’ = 0)assenza di falda (u = 0, σ = σ’)resistenza al taglio costante e validità del criterio di rottura di Mohr‐Coulomb (τ = σ’v ∙tg ϕ’) parete verticaleassenza di attrito tra parete e terrenosuperficie di scorrimento piana

IPOTESI:

Il problema della determinazione della spinta esercitata dal terreno su un’opera di sostegno è stato anche affrontato con un metodo basato sull’equilibrio globale delle forze in gioco agenti sul cuneo di terreno delimitato dalla superficie di scorrimento sempre con riferimento agli stati limite inferiore e superiore (METODO DELL’EQUILIBRIO LIMITE GLOBALE)



SPINTA ATTIVAForze che agiscono sul cuneo in condizioni di equilibrio limite attivo (ovvero quando la parete si allontana fino al raggiungimento della condizione di equilibrio limite inferiore):peso proprio , che agisce in direzione verticale: η⋅⋅γ⋅= cotH

21W 2

risultante R delle tensioni normali e tangenziali sulla superficie di scorrimento, che è inclinata di un angolo ϕ’ rispetto alla normale alla superficie AC, con componente tangente diretta verso l’alto, ovvero tale da opporsi al movimento incipiente del cuneo (per il criterio di Mohr‐Coulomb)spinta attiva PA, che agisce in direzione orizzontale (per l’ipotesi di assenza

di attrito tra parete e terreno).

η−φ’W

R

AP

EQUILIBRIO DELLE FORZE

H

H

η

φ’

W

RA

A’

B’

B

AP

tan ηC

C’



SPINTA ATTIVAPer l’equilibrio è:

( ) )(f'tancotH21)'tan(WP 2

A η=φ−η⋅η⋅⋅γ⋅=φ−η⋅=

Tra le soluzioni che si ottengono al variare dell’angolo d’inclinazione η del piano di rottura e che soddisfano l’equazione di equilibrio, si considera la soluzione massima (trattandosi di uno stato di equilibrio limite inferiore è la prima soluzione che si incontra quando partendo dalla condizione di riposo, la parete si allontana fino al raggiungimento della condizione di spinta attiva):

0PA =η∂

∂2'

4critφ

+π

=η

A222

A KH21

2'

4tanH

21P ⋅⋅γ⋅=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ φ

−π

⋅⋅γ⋅=

COINCIDENTE CON LA SOLUZIONE DI RANKINE



SPINTA PASSIVA

peso proprio , che agisce in direzione verticale: η⋅⋅γ⋅= cotH21W 2

risultante R delle tensioni normali e tangenziali sulla superficie di scorrimento, che è inclinata di un angolo ϕ’ rispetto alla normale alla superficie AC, con componente tangente diretta verso il basso, ovvero tale da opporsi al movimento incipiente del cuneo (per il criterio di Mohr‐Coulomb)spinta passiva PP, che agisce in direzione orizzontale (per l’ipotesi di

assenza di attrito tra parete e terreno).

η+φ’W

R

PPEQUILIBRIO DELLE FORZE

H

H

ηφ’

WR

AA’

B’B

PP

tan η

C

C’

Forze che agiscono sul cuneo in condizioni di equilibrio limite passivo(ovvero quando la parete si avvicina fino al raggiungimento della condizione di equilibrio limite superiore):



Per l’equilibrio è:

0PP =η∂

∂ 2'

4critφ

−π

=η

P222

P KH21

2'

4tanH

21P ⋅⋅γ⋅=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ φ

+π

⋅⋅γ⋅=

( ) )(f'tancotH21)'tan(WP 2

P η=φ+η⋅η⋅⋅γ⋅=φ+η⋅=

COINCIDENTE CON LA SOLUZIONE DI RANKINE

SPINTA PASSIVA

Tra le soluzioni che si ottengono al variare dell’angolo d’inclinazione η del piano di rottura e che soddisfano l’equazione di equilibrio, si considera la soluzione minima (trattandosi di uno stato di equilibrio limite superiore è la prima soluzione che si incontra quando partendo dalla condizione di riposo, la parete si avvicina fino al raggiungimento della condizione di spinta passiva):



TEORIA DI COULOMB

terrapieno delimitato da una superficie inclinata di un angolo βsull’orizzontaleparete inclinata di un angolo λ sulla verticalepresenza di attrito tra parete e terreno, con coefficiente d’attrito tanδ

IPOTESI:

Si rimuovono alcune delle ipotesi ma non quella di superficie di scorrimento piana:

H

η

β

λ

δ φ’

W

RAP

Per la condizione di spinta attiva:

A2

A KH21P ⋅⋅⋅= γ

( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

2

2

2

A

coscos'sen'sen1coscos

'cosK

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−⋅+−⋅+

+⋅+⋅

−=

βλδλβφφδδλλ

λφ



TEORIA DI COULOMB

Per la condizione di spinta passiva:

P2

P KH21P ⋅⋅γ⋅=

( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

2

2

2

P

coscos'sen'sen1coscos

'cosK

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−⋅++⋅+

−⋅+⋅

+=

βλδλβφφδδλλ

λφ

H

η

β

λ

δ φ’

W

R

PP



terreno coesivo (c’ ≠ 0)parete inclinata di un angolo λ sulla verticalepresenza di adesione e attrito tra parete e terreno (τ = ca + σ’∙tgδ )

IPOTESI

TEORIA DI COULOMB

:Nel caso ancora più generale di:

Per la condizione di spinta attiva:

W

A

F

E

B

C’ = c’ BCA a

D

Ca

Zc

C’

δAP

η

φ’

R

β

C = c BC

W

Ca

C’

AP

R

La soluzione si trova per via grafica o numerica



TEORIA DI RANKINE E DI COULOMBLa teoria di Coulomb è più versatile della teoria di Rankine, ed è alla base del più diffuso metodo pseudo‐statico di calcolo della spinta in condizioni sismiche.Il metodo di Coulomb basato sulle equazioni di equilibrio globale alla traslazione, non consente tuttavia di determinare la quota di applicazione delle forze in gioco, ma solo modulo, direzione e verso.

Entrambi i metodi ipotizzano superfici di scorrimento piane, ma a causa delle presenza di attrito fra la parete e il terreno:

• le reali superfici di scorrimento sono in parte curvilinee• i risultati che si ottengono applicando i metodi derivati dalla teoria di Rankine e dalla teoria di Coulomb sono spesso non cautelativi

Teoria di Caquot e KeriselUNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI FIRENZEDIPARTIMENTO DI INGEGNERIA CIVILESezione geotecnica


H

A

B

C

DH/3

A’ π φ/4 - ’/2

π φ/2+ ’

δ

PP

π φ/4 + ’/2

π φ/2 - ’

δH

H/3

AP

B

D

A CA’b)

δ < 0δ > 0

È pertanto opportuno riferirsi al metodo di Caquot e Kérisel (1948) che è il più noto e applicato metodo fra quelli che assumono superfici di scorrimento curvilinee:

TEORIA DI CAQUOT E KERISEL



TEORIA DI CAQUOT E KERISELLa soluzione fu ottenuta per via numerica da Caquot e Kérisel (1948) ed è riportata in grafici e tabelle in termini di coefficienti di spinta attiva, KA, e passiva, KP, al variare dell’ angolo :

+β

+λ +δ

φ’ 5° 10° 15° 20° 25° 30° 35° 40° 45° 50° 0,81 0,65 0,53 0,44 0,37 0,31 0,26 0,22 0,19 0,16

1'

=φδ

1,26 1,66 2,20 3,04 4,26 6,56 10,7 18,2 35,0 75,0

0,81 0,66 0,54 0,44 0,36 0,30 0,25 0,20 0,16 0,13

32

'=

φδ

1,24 1,59 2,06 2,72 3,61 5,25 8,00 12,8 21,0 41,0

0,82 0,67 0,56 0,45 0,37 0,30 0,25 0,20 0,16 0,13

31

'=

φδ

1,22 1,52 1,89 2,38 3,03 4,02 5,55 8,10 12,0 19,0

0,84 0,70 0,59 0,49 0,41 0,33 0,27 0,22 0,17 0,13 0

'=

φδ

1,19 1,42 1,70 2,04 2,46 3,00 3,70 4,60 5,80 7,50

Esempio: terrapieno orizzontale (β = 0°) e parete verticale (λ = 0°)

di resistenza al taglio ϕ’,di attrito parete‐terreno δ,di inclinazione della parete rispetto alla verticale λ, di inclinazione del piano che delimita il terrapieno rispetto all’orizzontale b

kakp



|δ| < ϕ’Effetto dell’angolo d’attrito δ tra parete e terreno

δ > 0 (spinta attiva)δ < 0 (spinta passiva)Al crescere di |δ| (fissati β, λ e ϕ’) K

TEORIA DI CAQUOT E KERISEL

A varia poco e KP cresce sensibilmente

Effetto dell’angolo d’inclinazione β del terrapieno|β| < ϕ’

Al crescere di β (fissati δ, λ e ϕ’) KA e KP crescono (perché cresce il volume di terreno interessato dalla rottura)

β > 0 (pendio inclinato verso l’alto)β < 0 (pendio inclinato verso il basso)

Effetto dell’angolo d’inclinazione λ della parete−(π/2 – ϕ’) < λ < (π/4 ‐ ϕ’/2)

Al decrescere di λ (fissati δ, β e ϕ’) KA decresce e KP cresce

λ > 0 (parete inclinata verso monte, cioè verso il terrapieno)

in condizioni di spinta attiva−(π/2) < λ < (π/4 + ϕ’/2) in condizioni di spinta passiva

λ < 0 (parete inclinata verso valle)



CONFRONTI TRA LE TEORIE DI COULOMB E CAQUOT E KERISEL

Il metodo di Coulomb impone la forma della superficie di scorrimento piana: i valori di PA e di PP, rispettivamente ottenuti dalle condizioni di massimo e di minimo della funzione P(η) (η angolo tra la superficie di rottura e l’orizzontale) non sono il massimo ed il minimo assoluti (variano con la forma della superficie di scorrimento).

In particolare, ipotizzando una superficie di scorrimento curvilinea (Caquote Kérisel):

PA (Coulomb) < PA (Caquot e Kérisel)

PP (Coulomb) > PP (Caquot e Kérisel)

PA (Coulomb) non è massimo assoluto

PP (Coulomb) non è minimo assoluto



CONFRONTI TRA LE TEORIE DI COULOMB E CAQUOT E KERISEL

OSSERVAZIONI

2. Nel caso di spinta attiva, nella maggior parte dei casi pratici (ovvero per β, λ, δ >0) le differenze sono modeste

3. Nel caso di spinta passiva, invece, le differenze possono essere molto sensibili

4. In entrambi i casi, essendo in genere la spinta attiva un’azione destabilizzante e la spinta passiva un’azione resistente, il metodo di Coulomb non è conservativo

1. Le differenze con il metodo di Coulomb, in termini quantitativi, sono tanto più rilevanti quanto più la superficie ipotizzata si discosta da quella piana

Spinta dell’acquaUNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI FIRENZEDIPARTIMENTO DI INGEGNERIA CIVILESezione geotecnica


SPINTA DOVUTA ALLA PRESENZA DELL’ACQUA Se un terreno è anche solo parzialmente sotto falda, la spinta totale STOTesercitata contro una parete è la somma di due forze: 1. la spinta S’ esercitata dal terreno (valutata, come si è visto, utilizzando

le tensioni verticali efficaci)2. la spinta SW esercitata dall’acqua interstiziale (che si calcola

integrando il diagramma delle pressioni interstiziali)

Con riferimento a condizioni non drenate (a breve termine, per terreni coesivi), come ad esempio nel caso di uno scavo in parete verticale, possono essere determinate solo la tensione (totale) limite attiva e passiva e le relative spinte risultanti, S, che sono comprensive anche della spinta idrostatica:

STOT = S’ + SW

STOT = SN.B. Nell’ipotesi di terreno coesivo, quando si calcola la spinta attiva e limitatamente allo strato al di sopra della profondità critica (in cui si è assunta la tensione limite attiva nulla) si considera anche la spinta idrostatica dell’acqua di infiltrazione, sia nel caso di breve che lungo termine: STOT = S’ + SW + SW(inf) STOT = S+ Sw(inf)



La spinta idrostatica dell’acqua vale:Z 3

γ (Z-Z )

Sw

w

w

w

wZ

1 (Z + 2Z)

Nel caso di falda freatica a profondità Zw:u(Z) = 0 per Z < Zwu(Z) = gw (Z‐Zw) per Z ≥ Zw

( )2www ZZ

21)Z(S −⋅⋅= γ

ed è applicata alla profondità:

)ZZ2(31)ZZ(

31Z)S(Z www +⋅=−⋅−=

Nel caso in cui si consideri la spinta idrostatica prodotta dall’acqua di infiltrazione al di sopra delle profondità critica nei terreni coesivi:

2cw(inf)w Z

21S ⋅γ⋅=

ed è applicata alla profondità:

C(inf)w Z32)S(Z ⋅=

H

2c’γ K

2 c’ K

σ’ (Z)

Z =

S’

S

A

W

ha

Ca

a

1/3 (2H+Z )cγ Ζcw



Se vi è filtrazione sotto e intorno alla parete SPINTA DOVUTA ALLA PRESENZA DELL’ACQUA

si può assumere in prima approssimazione (se il terreno è omogeneo) che il carico idraulico vari linearmente con la profondità (altrimenti si deve determinare il reticolo idrodinamico).Differenza di carico piezometrico tra monte e valle: ∆h = h + k – jpercorso di filtrazione: L = h + 2d –j – kgradiente idraulico: i = ∆h/L = (h + k – j) / (h + 2d – j – k)

Percorso difiltrazione

Pressione dell’acqua totale

h

ub

k

d

j

ub

A monte la filtrazione è discendente⇒ u si riduce rispetto alla condizione idrostaticaA valle la filtrazione è ascendente⇒ u aumenta rispetto alla condizione idrostatica

)1()()1()( ikdijdhu wwb +⋅−⋅=−⋅−+⋅= γγAl piede della parete (trascurandone lo spessore):

Spinta dovuta a un sovraccaricoUNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI FIRENZEDIPARTIMENTO DI INGEGNERIA CIVILESezione geotecnica


SPINTA DOVUTA ALLA PRESENZA DI UN SOVRACCARICO Una pressione q verticale, uniforme ed infinitamente estesa sulla superficie di un deposito delimitato da un piano orizzontale produce in ogni punto del semispazio un incremento costante della tensione verticale ∆σ’v0= q ed un incremento costante della tensione orizzontale ∆σ’h= K∙q con K coefficiente di spinta.

2q HK

21HqKSSS ⋅γ⋅⋅+⋅⋅=+= γ

N.B. la profondità di applicazione della componente S(q) è Z(Sq) = H/2la profondità di applicazione della componente S(γ) è Z(Sγ) = 2H/3

q

z

σ’h

K∙q K∙γ∙z

H

La spinta orizzontale S fino ad una generica profondità H può essere calcolata come somma:

• dell’area rettangolare di base K∙q e altezza H, Sq• dell’area triangolare di base K∙γ∙H e altezza H, Sγ

− le tensioni verticale ed orizzontali continuano ad essere le tensioni principali,− il diagramma delle tensioni orizzontali è trapezio,

Opere di sostegnoUNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI FIRENZEDIPARTIMENTO DI INGEGNERIA CIVILESezione geotecnica


OPERE DI SOSTEGNOPrincipali tipologie di opere di sostegno:opere di sostegno a gravità (muri, gabbionate, crib walls) e in cemento armato (muri a mensola, muri a contrafforti e speroni);terra armata;paratie (palancole e diaframmi);strutture di sostegno di scavi e trincee

La principale differenza fra i muri, di ogni tipo (opere di sostegno rigide) e le paratie (opere di sostegno flessibili) consiste nel meccanismo di trasmissione della spinta esercitata dal terreno sostenuto al terreno di fondazione:• nei muri la trasmissione avviene attraverso la struttura di fondazione dell’opera (l’equilibrio è garantito dal peso proprio dell’opera e del terreno che grava sulla fondazione) • nelle paratie la trasmissione (e quindi la stabilità) è assicurata dal prolungamento della parete nel terreno di fondazione, e dal sistema equilibrato di spinte e controspinte che viene a determinarsi.

Altra differenza: il terreno sostenuto dai muri è generalmente di riporto, il terreno sostenuto dalle paratie è spesso terreno naturale

Muri di sostegnoUNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI FIRENZEDIPARTIMENTO DI INGEGNERIA CIVILESezione geotecnica


MURI DI SOSTEGNO

FASI DI REALIZZAZIONE:• sbancamento• costruzione dell’opera • riempimento a tergo e realizzazione delle necessarie opere di drenaggio

Figura 14.1: Muri in sterro (a) e in rilevato (b)

Terreno di riempimento

Terreno di riempimento

Piattaforma

Piattaforma

Terrazzamento provvisorio

Terrazzamento provvisorio

a) b)

A) MURO IN STERRO B) MURO IN RILEVATO



MURI DI SOSTEGNOLa realizzazione di un muro di sostegno modifica le condizioni di equilibrio generale ⇒ se in pendio le modifiche possono produrre instabilità generale o localizzata.

Nel caso di muro in sterro: può determinarsi la rottura localizzata del ripido pendio a monte che si crea con i lavori di sbancamento preliminari.

Nel caso di muro in rilevato : rischio di una rottura generale profonda (a) o superficiale (b) del pendio dovuta al sovraccarico trasmesso dal terreno di riporto.

Scavo

SovraccaricoSovraccarico

Terreno a minoreresistenza

a) b)



CRITERI DI DIMENSIONAMENTOa) muri di sostegno a gravità (altezza max3.5.): resistono alla spinta esercitata dal terreno solo in virtù del proprio peso. Sono realizzati con muratura di mattoni o di pietrame, o in calcestruzzo. La risultante delle azioni sulla fondazione deve essere interna al nocciolo d’inerzia.

b) muri di sostegno a mensola e a contrafforti e speroni (c): sfruttano anche il peso del terreno che grava sulla fondazione per la stabilità al ribaltamento ed alla traslazione orizzontale. Le diverse parti della struttura sono armate in modo da resistere anche a flessione e taglio. I muri a contrafforti e speroni sono preferiti per i muri di grande altezza (fino a 7÷7.5m), ma richiedono molto lavoro di carpenteria e di armatura.

a)

b)

c)

sufficientemente grande

Terreno diriempimento


Materialedrenante

Argilla Argilla

Tappeto drenante

Canaletta al piede

Fori di drenaggio



Per ridurre l’intensità della spinta esercitata dal terreno si utilizzano terreni di riempimento sabbiosi e ghiaiosi, con elevato angolo di resistenza al taglio.Per ridurre, e possibilmente eliminare, la spinta esercitata dall’acqua si realizza un sistema di drenaggio dietro l’opera di sostegno (le acque di drenaggio vengono convogliate in una canaletta al piede) :• fori di drenaggio, di 10÷15 cm di diametro e interasse 2÷4 m, muniti apposito di filtro, disposti a quinconce su tutta l’altezza del muro, con maggiore densità nella parte inferiore;•materiali drenanti a tergo del muro, sia verticalmente a contatto con la parete, sia come tappeti drenanti inseriti nel pendio di terreno naturale prima del riempimento

MURI DI SOTEGNO




Terrenonaturale

GABBIONATE

CRIB‐WALL




TERRE ARMATE O RINFORZATE


Armature

Zona attiva

Zona resistente

Paramentoesterno

Ripartizione degli sforzi di trazioneLarghezza

Lunghezza

Terreno

Spaziatura

Verifiche di stabilitàUNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI FIRENZEDIPARTIMENTO DI INGEGNERIA CIVILESezione geotecnica


VERIFICHE DI STABILITÀPer la progettazione di un muro di sostegno devono essere eseguite:verifica al ribaltamentoverifica allo slittamentoverifica di capacità portanteverifica di stabilità generale

Per le altre verifiche si considerano le forze risultanti agenti sul muro:

•W = peso del muro e del terreno che grava sulla fondazione• PA = spinta esercitata dal terreno a monte

(compresa l’eventuale spinta dell’acqua)• PP = spinta esercitata dal terreno a valle

(trascurata di norma a favore di sicurezza)•N = componente normale della reazione di appoggio• F = componente tangenziale della reazione di appoggio

La verifica di stabilità generale consiste in un’analisi di stabilità del pendio in cui è inserito il muro, e si esegue secondo i tradizionali metodi



In base al D.M. 11.03.1988VERIFICA AL RIBALTAMENTO

VERIFICHE DI STABILITÀ

5.1ribaltanti forze momento

ntistabilizzaforzemomento*

*

≥⋅−⋅

⋅==

bPhPaWFS

aVaH

VERIFICA ALLO SLITTAMENTO (LUNGO LA BASE)* calcolati rispetto al punto O

FS ≥ 2

( ) 3.1tanspingenti forzeresistenti forze

≥⋅+

==aH

baV

PPWFS δ

W

Pa

N

FOPp

a

h

bal massimo il 50%

VERIFICA DI CAPACITÀ PORTANTE

Il calcolo della capacità portante della fondazione è eseguito con i metodi noti (tenendo conto dell’inclinazione e dell’eccentricità della risultante delle azioni trasmesse dall’opera al terreno tramite la fondazione e delle condizioni più cautelative nella stima del sovraccarico agenti ai bordi della fondazione).




In base al D.M. 14.01.2008 (NTC‐08)Le nuove Norme Tecniche per le Costruzioni (NTC‐08) si applicano alle “opere di sostegno” intese come tutte le opere geotecniche e gli interventi atti a sostenere in sicurezza un corpo di terreno o di materiale con comportamento simile:muri, per i quali la funzione di sostegno è affidata al peso proprio del muro

e a quello del terreno direttamente agente su di esso (ad esempio muri a gravità, muri a mensola, muri a contrafforti);paratie, per le quali la funzione di sostegno è assicurata principalmente

dalla resistenza del volume di terreno posto innanzi l’opera e da eventuali ancoraggi e puntoni;strutture miste, che esplicano la funzione di sostegno anche per effetto di

trattamenti di miglioramento e per la presenza di particolari elementi di rinforzo e collegamento (adesempio, ture, terra rinforzata, muri cellulari).

Le verifiche agli stati limite eseguite mediante analisi di interazione terreno‐struttura o con metodi semplificati devono sempre rispettare le condizioni di equilibrio e congruenza e la compatibilità con i criteri di resistenza del terreno. E’ necessario inoltre portare in conto la dipendenza della spinta dei terreni dallo spostamento dell’opera.




Gli stati limite di esercizio sono definiti in relazione agli spostamenti compatibili e le prestazioni attese per lʹopera stessa.

In base al D.M. 14.01.2008 (NTC‐08)

Le NTC‐08 prevedono per le “opere di sostegno”:

A. le analisi relative alle condizioni di esercizio (SLE) e B. le verifiche di sicurezza relative agli stati limite ultimi (SLU)

A. Analisi relative alle condizioni di esercizio (SLE)

Per ciascun stato limite di esercizio deve essere rispettata la condizione:Ed ≤ Cddove Ed è il valore di progetto dell’effetto delle azioni e Cd è il prescritto valore limite dell’effetto delle azioni. Quest’ultimo deve essere stabilito in funzione del comportamento della struttura in elevazione.



Per ogni stato limite ultimo deve essere rispettata la condizione:B. Verifiche di sicurezza relative agli stati limite ultimi (SLU)

Ed ≤ Rddove Ed è il valore di progetto dell’azione o dell’effetto dell’azione:

e Rd il valore di progetto della resistenza del sistema geotecnico:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡γ

⋅γ=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡γ

γ= dM

kkEd

M

kkFd a;X;Fa;X;FEE

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡γ

γ⋅γ

= dM

kkF

Rd a;X;FR1R

L’azione (o l’effetto dell’azione) e la resistenza di progetto sono espresse in funzione:delle azioni di progetto, γFFkdei parametri geotecnici di progetto, Xk/γMdella geometria di progetto, ad.

I valori di progetto delle azioni, dei parametri geotecnici e della resistenza sono ottenuti applicando dei coefficienti di sicurezza parziali, che vanno a moltiplicare nel caso delle azioni (γF o γE) e a dividere nel caso dei parametri geotecnici (γM) e della resistenza (γR).



In base al D.M. 14.01.2008 (NTC‐08)La verifica della condizione (Ed ≤ Rd) deve essere effettuata impiegando diverse combinazioni di gruppi di coefficienti parziali, rispettivamente definiti:per le azioni (A1 e A2)per i parametri geotecnici (M1 e M2)per le resistenze (R1, R2 e R3).

I diversi gruppi di coefficienti di sicurezza parziali sono scelti nell’ambito di due approcci progettuali distinti e alternativi:• Approccio 1 ‐ sono previste due diverse combinazioni di gruppi di coefficienti, la prima combinazione è generalmente più severa nei confronti del dimensionamento strutturale delle opere a contatto con il terreno, mentre la seconda combinazione è generalmente più severa nei riguardi del dimensionamento geotecnico.• Approccio 2 ‐ è prevista un’unica combinazione di gruppi di coefficienti, daadottare sia nelle verifiche strutturali sia nelle verifiche geotecniche.



Tabella 6.2.I (2.6.I) – Coefficienti parziali per le azioni o per l’effetto delle azioni

CARICHI EFFETTOCoefficienteParzialeγF (o γE)

EQU ( A1 )STR

( A2 )GEO

Favorevole 0,9 1,0 1,0

Sfavorevole 1,1 1,3 1,0




Sfavorevole 1,5 1,5 1,3γQiVariabili

γG2Permanenti non strutturali

γG1Permanenti

AZIONI

Nelle verifiche agli stati limite ultimi si distinguono:‐ lo stato limite di equilibrio come corpo rigido: EQU‐ lo stato limite di resistenza della struttura compresi gli elementi difondazione: STR‐ lo stato limite di resistenza del terreno: GEO



Tabella 6.2.I (2.6.I) – Coefficienti parziali per le azioni o per l’effetto delle azioni

CARICHI EFFETTOCoefficienteParzialeγF (o γE)

EQU ( A1 )STR

( A2 )GEO






Sfavorevole 1,5 1,5 1,3γQiVariabili

γG2Permanenti non strutturali

γG1Permanenti

Per le verifiche nei confronti dello stato limite ultimo di equilibrio come corpo rigido (EQU) si utilizzano i coefficienti parziali γF relativi alle azioni riportati nella colonna EQU (un solo approccio, una sola combinazione).

Nelle verifiche nei confronti degli stati limite ultimi strutturali (STR) e geotecnici (GEO) si possono adottare, in alternativa, i due diversi approcci progettuali (Approccio 1: Combinazione 1 (A1), Combinazione 2 (A2); Approccio 2 (A1).



γG1 coefficiente parziale del peso proprio della struttura, nonché delpeso proprio del terreno e dell’acqua, quando pertinenti;γG2 coefficiente parziale dei pesi propri degli elementi non strutturali;γQi coefficiente parziale delle azioni variabili

Nel caso delle opere di sostegno si considerano azioni quelle dovute al peso proprio del terreno e del materiale di riempimento, ai sovraccarichi, all’acqua, ad eventuali ancoraggi presollecitati, al moto ondoso, ad urti e collisioni, alle variazioni di temperatura e al ghiaccio.Nel valutare il sovraccarico a tergo di un’opera di sostegno si deve tener conto della eventuale presenza di costruzioni, di depositi di materiale, di veicoli in transito, di apparecchi di sollevamento.

N.B. Il terreno e l’acqua costituiscono carichi permanenti (strutturali)quando, nella modellazione utilizzata, contribuiscono al comportamento dell’opera con le loro caratteristiche di peso, resistenza e rigidezza. Se i carichi permanenti non strutturali siano compiutamente definiti, si possono adottare gli stessi coefficienti validi per le azioni permanenti.



PARAMETRI DI PROGETTO

I coefficienti parziali γM da adottare per determinare i parametri geotecnici di progetto del terreno sono:

Tabella 6.2.II – Coefficienti parziali per i parametri geotecnici del terreno

PARAMETRO GRANDEZZA ALLA QUALE APPLICARE IL COEFFICIENTE

PARZIALE

COEFFICIENTEPARZIALE

( M1 ) ( M2 )

Tangente dell’angolo diresistenza al taglio

tan φ’k γφ’ 1.0 1.25

Coesione efficace c’k γc’ 1.0 1.25

Resistenza non drenata cuk γcu 1.0 1.4

Peso dell’unità di volume γ γγ 1.0 1.0



Tabella 6.5.I – Coefficienti parziali γR per le verifiche agli stati limie ultimi STR e GEO dei muri di sostegno

VERIFICA COEFFICIENTE PARZIALE (R1)

COEFFICIENTE PARZIALE (R2)

COEFFICIENTE PARZIALE (R3))

Capacità portante della fondazione 1.0 1.0 1.4

Scorrimento 1.0 1.0 1.1

Resistenza del terreno a valle 1.0 1.0 1.4

RESISTENZA

Il coefficiente parziale γR da adottare per determinare la resistenza di progetto del sistema geotecnico , è applicato solo in specifici casi:

1.15γR

( R2 )COEFFICIENTE

Tabella 6.8.I – Coefficienti parziali per le verifiche di sicurezza di opere di materiali sciolti e di fronti di scavo


6565/69/69

SLU di tipo geotecnico (GEO) e di corpo rigido (EQU)1. Stabilità globale del complesso opera di sostegno‐terreno (GEO)(Approccio 1 – Comb. 2 (A2+M2+R2)) ‐ Tab. 6.2.I, 6.2.II, 6.8.I

2. Ribaltamento (EQU) (Azioni (EQU); Parametri di progetto (M2); Resistenza (‐))Tab. 2.6.I (= 6.2.I), 6.2.II)

3. Scorrimento del piano di posa (GEO)(Approccio 1 – Comb. 1 (A1+M1+R1) e Comb. 2 (A2+M2+R2)e/o Approccio 2 ‐ (A1+M1+R3)) ‐ Tab. 6.2.I, 6.2.II, 6.5.I

4. collasso per carico limite dell’insieme fondazione‐terreno (GEO)(Approccio 1 – Comb. 1 (A1+M1+R1) e Comb. 2 (A2+M2+R2)e/o Approccio 2 ‐ (A1+M1+R3)) ‐ Tab. 6.2.I, 6.2.II, 6.5.I

SLU di tipo strutturale (STR)5. raggiungimento della resistenza negli elementi strutturali

(Approccio 1 – Comb. 1 (A1+M1+R1) e Comb. 2 (A2+M2+R2) e/o Approccio 2 – (A1+M1+R3)) ‐ Tab. 6.2.I, 6.2.II, 6.5.I

Muri di sostegno (§ 6.5.3.1.1)

Nel caso dei muri di sostegno (o per altre strutture miste ad essi assimilabili) devono essere effettuate le verifiche con riferimento almeno ai seguenti stati limite (ultimi):

Verifiche agli stati limite ultimi (SLU)



Ed = qes (carico di esercizio agente sul piano di posa)Rd =qlim (capacità portante)

Nel caso della verifica di collasso per carico limite dell’insieme fondazione‐terreno (4):

Ed = H (carico orizzontale agente sul piano di posa)Nel caso della verifica di collasso per scorrimento del piano di posa (3):

Rd = H∙tg(δ) = H∙f(ϕ)

Ed = ? (?)Nel caso della verifica di ribaltamento (2):

Rd = ?

Verifiche agli stati limite ultimi (SLU)



OSSERVAZIONI

1) Nel caso di muri di sostegno dotati di ancoraggi al terreno, le verifiche devono essere effettuate con riferimento al solo approccio 1.

2) Nelle verifiche effettuate con l’approccio 2 che siano finalizzate al dimensionamento strutturale, il coefficiente γR non deve essere portato in conto.

3) Lo stato limite di ribaltamento non prevede la mobilitazione della resistenza del terreno di fondazione e deve essere trattato come uno stato limite di equilibrio come corpo rigido (EQU), utilizzando i coefficienti parziali sulle azioni della tabella 2.6.I e adoperando coefficienti parziali del gruppo (M2) per il calcolo delle spinte.

4) Essendo R1 < R3 la verifica secondo l’Approccio 1‐Combinazione 1 può essere omessa.

5) In generale, le ipotesi di calcolo delle spinte devono essere giustificate sulla base dei prevedibili spostamenti relativi manufatto‐terreno, ovvero determinate con un’analisi dell’interazione terreno‐struttura.



7) Le spinte devono tenere conto del sovraccarico e dell’inclinazione del piano campagna, dell’inclinazione del paramento rispetto alla verticale, delle pressioni interstiziali e degli effetti della filtrazione nel terreno.

8) Nel calcolo della spinta si può tenere conto dell’attrito che si sviluppa fra parete e terreno. I valori assunti per il relativo coefficiente di attritodevono essere giustificati in base alla natura dei materiali a contatto e all’effettivo grado di mobilitazione.

6) In generale, le ipotesi di calcolo delle spinte devono essere giustificate sulla base dei prevedibili spostamenti relativi manufatto‐terreno, ovvero determinate con un’analisi dell’interazione terreno‐struttura.

9) Ai fini della verifica alla traslazione sul piano di posa di muri di sostegno con fondazioni superficiali, non si deve in generale considerare il contributo della resistenza passiva del terreno antistante il muro. In casi particolari, da giustificare con considerazioni relative alle caratteristiche meccaniche dei terreni e alle modalità costruttive, la presa in conto di un’aliquota (comunque non superiore al 50%) di tale resistenza èsubordinata all’assunzione di effettiva permanenza di tale contributo, nonché alla verifica che gli spostamenti necessari alla mobilitazione di tale aliquota siano compatibili con le prestazioni attese dell’opera.



10) Nel caso di strutture miste o composite, le verifiche di stabilità globale devono essere accompagnate da verifiche di stabilità locale e difunzionalità e durabilità degli elementi singoli.

Verifiche agli stati limite di esercizio (SLE)

In tutti i casi, nelle condizioni di esercizio, gli spostamenti dell’opera di sostegno e del terreno circostante devono essere valutati per verificarne la compatibilità con la funzionalità dell’opera e con la sicurezza e funzionalità e di manufatti adiacenti, anche a seguito di modifiche indotte sul regime delle acque sotterranee.

In presenza di manufatti particolarmente sensibili agli spostamenti dell’opera di sostegno, deve essere sviluppata una specifica analisi dell’interazione tra opere e terreno, tenendo conto della sequenza delle fasi costruttive.

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