Catatan Kuliah 2 Matematika Ekonomi

Memahami dan Menganalisa Aljabar Matriks (2)

1. Vektor dan Akar Karakteristik

Apabila A adalah matriks berordo n n× dan X adalah vector 1n× , akan dicari

skalar λ ∈ℜ yang memenuhi persamaan :

AX Xλ= atau ( ) 0A I Xλ− =

Agar 0X ≠ (solusinya bukan trivial) maka haruslah 0=− IA λ .

Selanjutnya λ disebut akar karakteristik. Sedangkan X yang memenuhi

persamaan di atas dikatakan sebagai vektor karakteristik yang bersesuaian dengan

akar karakteristik apabila juga memenuhi 2 2 21 2 ... 1nX X X+ + + =

Akar karakteristik digunakan untuk menguji sign-definiteness.

Misalkan suatu matriks A berdimensi 2 2× , 11 12

21 22

a aA

a a⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

( ) 0AX X A I Xλ λ= → − =

11 12

21 22

1 00

0 1a a

Xa a

λ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞

− =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦

11 12 1

21 22 2

0a a x

a a xλ

λ−⎛ ⎞⎛ ⎞

=⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠⎝ ⎠

11 1 12 2

21 1 22 2

( )0

( )a x a x

a x a xλ

λ−⎛ ⎞

=⎜ ⎟−⎝ ⎠

Maka determinan dari matriks di atas adalah :

11 12

21 22

0a a

a aλ

λ−

=−

11 22 21 22( )( ) 0a a a aλ λ− − − =

11 22 11 22 21 22 0a a a a a aλ λ λλ− − + − =

211 22 11 22 12 21( ) ( ) 0a a a a a aλ λ− + + − =

Kesimpulan hasil akar karakteristik :

Jika seluruh akar karakteristik (λ ) positive, A adalah positive definite

Jika seluruh λ negative, A adalah negative definite

Jika seluruh λ nonnegative dan minimal salah satu 0λ = , A positive

semidefinite

Jika seluruh λ nonpositive dan minimal salah satu 0λ = , A negative semi

definite.

Jika λ ada yang positif dan negative, A adalah indefinite.

Contoh :

6 33 6

A−⎡ ⎤

= ⎢ ⎥−⎣ ⎦

Tentukan akar dan vektor karakteristiknya.

Untuk menemukan akar karakteristik dari A, determinan dari matriks

karakteristik IA λ− harus sama dengan nol.

6 30

3 6A I

λλ

λ− −

− = =− −

( 6 )( 6 ) (3)(3) 0λ λ− − − − − =

2 12 27 0λ λ+ + =

( 9)( 3) 0λ λ+ + =

1 9λ = − dan 2 3λ = −

Karena kedua akar karakteristik memiliki tanda negative, matriks A

merupakan negative definite.

Vektor karakteristik ?

2. Matriks Inverse

• Analoginya sama dengan kebalikan dari suatu bilangan. Misal kebalikan

(inverse) dari 4 adalah 14

dimana 14 14

× =

• Sedangkan untuk matriks, hasil perkalian matriks inverse dengan matriks

asalnya adalah matriks identitas.

• Invers suatu matriks A dinotasikan dengan 1A−

• 1 1AA A A I− −= =

• Matriks yang mungkin memiliki invers adalah matriks bujur sangkar (square

matrix) tapi tidak setiap matriks bujur sangkar memiliki invers.

• Matriks bujur sangkar yang memiliki inverse adalah matriks yang bersifat

non-singular matrix.

• Sifat Inverse :

a. Inverse dari suatu inverse matriks adalah matriks asalnya.

( ) 11A A−− =

b. Hasil perkalian suatu matriks adalah perkalian dari suatu inverse matriks

dalam urutan yang terbalik.

( ) 1 1 1AB B A− − −=

c. Inverse dari suatu transpose adalah transpose dari inverse matriks tersebut.

( ) ( )1 1' 'A A− −=

• Invers matriks dapat dirumuskan sebagai berikut:

AadjA

A 11 =−

Invers dari matriks 2X2

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

2221

1211

aaaa

A

AadjA

A 11 =−

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=−

2212

21111 1cccc

AA

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−−

=−

1121

1222

1121

1222

12211122

1

||1

)(1

aaaa

Aaaaa

aaaaA

Contoh :

1) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

0123

A

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−−

=−

23

21

10

3120

211A

Invers untuk matriks 3X3

• Untuk mencari invers matriks 3X3 perlu diketahui matriks adjoint terlebih

dahulu

• Matriks adjoint adalah transpose dari sebuah matriks yang terbentuk dari

kofaktor-kofaktor matriks asalnya (transpose dari “matriks kofaktor”).

Misalkan matriks 11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a aA a a a

a a a

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

Matriks kofaktor : 11 12 13

21 22 23

31 32 33

C C CC C C C

C C C

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

dimana

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−

−

=

2221

1211

2321

1311

2322

1312

3231

1211

3331

1311

3332

1312

3231

2221

3331

2321

3332

2322

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

C

Matriks Adjoint : 11 21 31

12 22 32

13 23 33

Adj(A) T

C C CC C C C

C C C

⎡ ⎤⎢ ⎥= = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

Invers matriks A diperoleh dengan cara :

11 21 311

12 22 32

13 23 33

1 1Adj(A)| | | |

C C CA C C C

A AC C C

−

⎡ ⎤⎢ ⎥= = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

Contoh :

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

2301218110

A

Tentukan matriks inversnya.

Jawab :

Matriks kofaktor dari A adalah :

2 1 1 1 1 23 2 0 2 0 3

1 2 31 8 10 8 10 1

22 20 303 2 0 2 0 3

15 2 191 8 10 8 10 12 1 1 1 1 2

C

⎡ ⎤−⎢ ⎥

⎢ ⎥ −⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥= − − = −⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦

1 22 15(A) 2 20 2

3 30 19

TAdj C−⎡ ⎤

⎢ ⎥= = − −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

151 2232 32 32

1 202 232 32 32

3 30 1932 32 32

1 22 151 2 20 232

3 30 19A

−

− − −

−

−⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= − − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦

3. Sistem Persamaan Linear

0d ≠

Non-homogen

0d =

Homogen

0A ≠ AX d= I 1*X A d−=

Unique solution

0AX = II 1* 0 0X A−= =

Unique, Trivial solution

0A = AX d= III

0A =

Tidak unique atau banyak solusi

Tidak termasuk ( )0,0

0AX = IV

0A =

Banyak solusi, satu diantaranya

adalah ( )0,0

Contoh SPL I :

*

1 2 1*

1 2 2

2 5 32 5 1x x xx x x+ = =⎫

⎬− = =⎭

Contoh SPL II :

*

1 2 1*

1 2 2

2 0 02 0 0x x xx x x+ = =⎫

⎬− = =⎭

Contoh SPL III :

1 2

1 2

2 52 4 10x x

solusi tidak uniquex x+ = ⎫

⎬+ = ⎭

Contoh SPL IV :

1 2

1 2

2 02 4 0x x

solusi tidak uniquex x+ = ⎫

⎬+ = ⎭

(3,1)

52 21 =+ xx

52 21 =− xx

2x

1x

52 21 =+ xx

2x

1x

1x

2x 1 22 0x x− =

1 22 0x x+ =

1x

2x

1 22 0x x+ =

4. Cramer’s Rule

Solusi persamaan linear bisa dihitung dengan Cramer’s rule.

A

Ax j

j = ; 0A ≠

dimana jA adalah matriks yang kolom ke-j nya diganti vektor B .

Misalkan suatu SPL :

11 1 12 2 1a x a x d+ =

21 1 22 2 2a x a x d+ =

Jika kedua persamaan di atas diubah ke dalam bentuk matriks AX B= maka :

11 12 1 1

21 22 2 2A X B

a a x da a x d⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞

=⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

11 1211 22 21 12

21 22

( )a a

A a a a aa a

= = −

1 121 1 22 2 12

2 22

( )d a

A d a d ad a

= = −

11 12 11 2 21 1

21 2

( )a d

A a d a da d

= = −

11

Ax

A

−

= dan 22

Ax

A

−

=

Contoh :

Carilah solusi dari sistem persamaan berikut :

a. 1 23 3x x− + = −

1 24 12x x− =

b. 4 3 2 7x y z+ − =

5x y+ =

3 4x z+ =

5. Aplikasi Dalam Model Ekonomi

a. Market Model

Diketahui fungsi permintaan dan penawaran dari 2 komoditi :

1 1 210 2dQ P P= − + 2 1 215dQ P P= + −

1 12 3sQ P= − + 2 21 2sQ P= − +

Tentukan solusi equilibrium.

Jawab :

Syarat equilibrium : d sQ Q=

1 1 1 2 110 2 2 3d sQ Q P P P= → − + = − +

1 25 12P P− = …(i)

1 1 1 2 215 1 2d sQ Q P P P= → + − = − +

1 23 16P P− = − …(ii)

Persamaan (i) dan (ii) diubah ke dalam bentuk matriks AX B= :

1

2

5 1 121 3 16

A BX

PP

− ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞=⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

Dengan aturan Cramer’s, diperoleh nilai 1 *P dan 2 *P

Kemudian substitusi nilai 1 *P dan 2 *P ke fungsi permintaan atau penawaran

komoditi 1 dan 2, sehingga diperoleh nilai 1 *Q dan 2 *Q

b. Model Pendapatan Nasional

0 0Y C I G= + +

C a bY= + ( )0;0 1a b> < <

Tentukan solusi *Y dan *C

Jawab :

Pisahkan antara variabel endogen dan eksogen :

0 0Y C I G− = +

bY C a− + =

Kemudian ubah ke dalam bentuk matriks AX B= :

0 01 11

A X B

Y I Gb C a

− +⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞=⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Dengan aturan Cramer’s, diperoleh nilai *Y dan *C

c. Model IS-LM : Closed Economy

IS : Y C I G= + +

( )1C a b t Y= + −

I d ei= −

0G G=

LM : d sM M=

dM kY li= −

0sM M=

Tentukan solusi *Y

Jawab :

Jika disederhanakan persamaan LM menjadi : 0M kY li= −

Pisahkan antara variabel endogen dan eksogen dari persamaan IS dan LM :

0Y C I G− − =

( )1b t Y C a− − = −

I ei d+ =

0kY li M− =

Kemudian ubah ke dalam bentuk matriks AX B= :

( )0

0

1 1 1 01 1 0 00 0 1

0 0A X B

GYab t C

de IMk l i

− − ⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ −− − ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟

−⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Dengan aturan Cramer’s, diperoleh nilai *Y