LDY_01__

Κεφάλαιο 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Ο σκεπτικισμός (των μηχανικών), απέναντι στις έτοιμες συνταγές για υποστήριξη, εμφανίζεται

συνήθως ως παραξενιά, όταν στην πραγματικότητα είναι η μοναδική πολύτιμη δεξιότητα την

οποία μπορεί να κληθούν να ασκήσουν. Σε αντίθεση με τη γενική πεποίθηση, οι καλοί

επιστήμονες δεν επιδιώκουν να αποδείξουν μια υπόθεση αληθή. Κάνουνε κάθε δυνατή

προσπάθεια για να την αποδείξουνε λανθασμένη, υποβάλλοντάς την στις πιο επίπονες δοκιμές

που θα μπορούσαν να ονειρευτούν. (Είναι πραγματικά μεγάλη διασκέδαση). Αυτή η άρνηση

αποδοχής μιας νέας ιδέας μέχρι να επιβεβαιωθεί από επαρκή αριθμό δοκιμών, είναι ο λόγος

ακριβώς για τον οποίο μια επιστημονική «αλήθεια» είναι τόσο αξιόπιστη.

Σε ελεύθερη ερμηνεία-συμπληρώσεις, από:

Paul G. FitzGerald, (2008) Time magazine

1 ΓΕΝΙΚΑ Η δυνατότητα διάνοιξης υπογείων ανοιγμάτων σήμερα, τόσον όσον αφορά το

μέγεθος όσον και τις συνθήκες, θα φάνταζε ασύλληπτη πριν από 50 χρόνια. Τούτο

κατέστη δυνατό χάρη στην απόκτηση καλύτερης αντίληψης της μηχανικής

συμπεριφοράς των πετρωμάτων, αλλά και χάρη στις τεχνικές σταθεροποίησης που

αναπτύχθηκαν. Εν τούτοις, οι καταπτώσεις εξακολουθούν να παραμένουν βασικό

αίτιο απώλειας ζωής και χρόνου εργασίας λόγω τραυματισμών στα μεταλλεία, κάτι

που δηλώνει ότι εξακολουθεί να είναι μακρύς ακόμη ο δρόμος προς την αποφυγή

τους.

Τα υπόγεια έργα διακρίνονται σε μεταλλευτικά και σε τεχνικά. Τα Μεταλλεία

είναι προσωρινά έργα που κατασκευάζονται από μόνιμα συνεργεία, και το

παραγόμενο προϊόν είναι το σκαπτόμενο υλικό. Αντίθετα, τα Τεχνικά έργα είναι

μόνιμα έργα που κατασκευάζονται από προσωρινά συνεργεία, και το παραγόμενο

προϊόν είναι ο υπόγειος χώρος. Η μελέτη τους επομένως διαφοροποιείται,

λαμβάνοντας υπόψη τις παραπάνω ιδιαιτερότητες. Στα υπόγεια μεταλλεία τέσσερις

είναι οι στόχοι των μέτρων σταθεροποίησης, ήτοι: η εξασφάλιση της γενικής

ευστάθειας του ευρύτερου μεταλλείου, η προστασία των κυρίων ανοιγμάτων

εξυπηρέτησης, η ασφαλής πρόσβαση και λειτουργία των θέσεων παραγωγής, και η

διατήρηση της δυνατότητας εκμετάλλευσης των μη εισέτι εξορυχθέντων αποθεμάτων

Μέτρα Στήριξης Σηράγγων Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή ΑΙ Σοφιανός ΔΠΜΣ/ΣΚΥΕ Σχολή ΜΜΜ/ΕΜΠ

2

μεταλλεύματος. Αντίθετα στα τεχνικά έργα οι στόχοι διακρίνονται χρονικά, ήτοι στη

φάση διάνοιξης και στη φάση λειτουργίας.

Η στήριξη και η ενίσχυση των πετρωμάτων είναι βασικά αλλά όχι τα μόνα

μέτρα σταθεροποίησης των υπογείων ανοιγμάτων. Η επίτευξη των παραπάνω

στόχων μπορεί να υποβοηθηθεί με κατάλληλη επιλογή, του μεγέθους, του σχήματος

και της διεύθυνσης της εκσκαφής, της αλληλουχίας των φάσεων εξόρυξης, και της

εφαρμοζόμενης μεθόδου των ανατινάξεων.

Έως και πριν 40 χρόνια ο τρόπος δράσης της στήριξης ενός υπόγειου

ανοίγματος θεωρείτο απλουστευτικά ως η υποστήριξη του υπερκείμενου

χαλαρωμένου πετρώματος έναντι των δυνάμεων της βαρύτητας. Η επίτευξη του

σκοπού αυτού επιτυγχάνονταν αρχικά με ξύλινους ορθοστάτες, και αργότερα με

μεταλλικούς ορθοστάτες ή φορείς από σκυρόδεμα. Η διαστασιολόγησή της επιδίωκε

στην εξασφάλιση της ανάληψης των υπερκείμενων φορτίων ή εφόσον απαιτείτο και

των φορτίων λόγω διόγκωσης. Γι’ αυτό ονομάσθηκε και υποστήριξη.

Η θεώρηση της αλληλεπίδρασης πετρώματος-υποστήριξης αναπτύχθηκε το

1960, που παρουσιάσθηκε με τη μορφή των χαρακτηριστικών καμπύλων του

πετρώματος. Βασικό στοιχείο της σύλληψης είναι η δυνατότητα χρησιμοποίησης της

παραμένουσας αντοχής του πετρώματος, μετά τη διαρροή του, επί ωφελεία της

οικονομικής εκτέλεσης του έργου. Δεδομένου ότι η παραμένουσα αντοχή του

πετρώματος δεν είναι σταθερή, αλλά αυξάνει με τον πλευρικό περιορισμό, η

υποστήριξη θα είχε βασικότερο σκοπό τώρα τη δημιουργία συνθηκών περιορισμού

και μικρότερο αυτόν της ανάληψης των κλασσικών φορτίων υποστήριξης από αυτήν.

Τον περιορισμό του πετρώματος επιτυγχάνουν πολύ αποτελεσματικά η επένδυση των

παρειών του υπόγειου ανοίγματος με σκυρόδεμα και η ήλωση του πετρώματος,

τεχνικές που αναπτύχθηκαν μέσα στον 20 αιώνα. Την χρησιμοποίηση της μετά την

διαρροή αντοχής του εδάφους εκμεταλλεύονταν στα μεταλλεία, χωρίς σημαντικό

θεωρητικό υπόβαθρο, ήδη από τότε που εφαρμοζότανε η υποχωρούσα υποστήριξη.

Οι νέες αντιλήψεις σε συνδυασμό με την επινόηση νέων ή βελτιωμένων συστημάτων

στήριξης, καθώς και εξοπλισμού τοποθέτησης, έδωσαν τη δυνατότητα διάνοιξης των

σύγχρονων υπόγειων έργων.


3

2 ΟΡΟΛΟΓΙΑ Η τεχνολογία των μέτρων υποστήριξης, όπως όλες οι τεχνολογίες, απαιτεί τη χρήση

ειδικών όρων. Κάθε τέτοιος όρος δεν είναι παρά ένα καινούργιο σύμβολο, μία λέξη ή

φράση η οποία έχει περιορισμένο ή αποκλειστικά δικό της περιεχόμενο (Τάσιος,

1977). Εν τούτοις, η ονοματολογία που χρησιμοποιείται για τα μέτρα αυτά, για

ιστορικούς ή πρακτικούς λόγους, δεν είναι πάντα ενιαία και συχνά δεν

ανταποκρίνεται στον τρόπο λειτουργίας τους. Έτσι, είναι δυνατόν να διαφέρει και να

δημιουργεί σύγχυση ανάλογα με το χρήστη, όπως π.χ. μεταξύ του κύριου του έργου,

του μελετητή και της κατασκευάστριας εταιρίας. Εμείς οι τεχνικοί, βέβαια, δεν

είμαστε ειδικοί στην ανάλυση και στη δημιουργία λέξεων. Όμως, και οι ειδικοί αυτοί

δε γνωρίζουν τις έννοιες που αντιμετωπίζουμε. Καταλήγει λοιπόν την ευθύνη για τη

συντήρηση, για τον τροχισμό, για τις επισκευές κλπ, να την έχουμε όλοι. Κι έτσι

νομιμοποιείται κι ενός μηχανικού ο γλωσσικός προβληματισμός (Τάσιος, 1977).

2.1 Υποστήριξη

Τα μέτρα που λαμβάνονται για την ασφαλή διέλευση μέσα από ένα υπόγειο άνοιγμα

αλλά και για τη διατήρηση του σχήματός του ονομάζονται στη βιβλιογραφία με τον

όρο υποστήριξη (π.χ. Οικονομόπουλος, 1989). Παρόμοιος είναι και ο όρος support

που χρησιμοποιείται στην αντίστοιχη αγγλοσαξονική βιβλιογραφία (π.χ. Hoek.,

Kaizer & Bawden, 1995). Ο όρος αυτός έχει ως πρώτο συνθετικό το λήμμα υπό (λατ.

sub), το οποίο υποδηλώνει ακριβολογώντας την υποκάτωθεν στήριξη της οροφής

(Δημητράκος, 1964), προκειμένου να προστατευθούν οι εργαζόμενοι από

καταπτώσεις ασταθών βραχωδών όγκων λόγω βαρύτητας. Αυτός πράγματι ήταν

ιστορικά ο σκοπός της υποστήριξης όταν διανοίγονταν υπόγεια ανοίγματα έως και

τον προηγούμενο αιώνα. Οι σύγχρονες τεχνικές σταθεροποίησης των πετρωμάτων

προσπαθούν να μεταφέρουν όσο το δυνατόν περισσότερο φορτίο μέσα από το

πέτρωμα. Για το λόγο αυτό δίνεται ιδιαίτερη προσοχή στη διατήρηση της αντοχής

του πετρώματος και στην τριαξονικότητα της θλιπτικής του κατάστασης. Ο κίνδυνος

αστοχίας της κατασκευής στις σύγχρονες διανοίξεις δε βρίσκεται πλέον μόνο στις

καταπτώσεις της οροφής, αλλά και στην εισβολή του μετώπου, στις συγκλίσεις των

πλευρών και στην ανύψωση του δαπέδου. Δεν μπορεί, επομένως, να

χρησιμοποιείται πλέον γενικά ο πολύ περιορισμένος λεκτικά όρος υποστήριξη.

Ο όρος αντιστήριξη (πρβ. τοίχοι αντιστήριξης) υποδηλώνει τη στήριξη εξ

αντιθέτου (Δημητράκος, 1964). Ο όρος είναι ευρύτερος και περιλαμβάνει φορείς που

αναλαμβάνουν και οριζόντια φορτία ή ωθήσεις πυθμένα. Παρ’ όλα αυτά ο όρος δεν


4

περιλαμβάνει τον οπλισμό του πετρώματος ή τα μέτρα που βελτιώνουν την ποιότητά

του ούτε υποδηλώνει το σκοπό των μέτρων. Αυτός είναι η σταθεροποίηση του

πετρώματος με την καθοδήγηση της ανακατανομής των τάσεων μέσα στο πέτρωμα

και με την αύξηση της δυνατότητάς του να αναλαμβάνει φορτίο. Ο Stillborg (1986) τα

συνδυασμένα μέτρα αντιστήριξης (support) και οπλισμού (reinforcement) του

πετρώματος τα ονομάζει μέτρα σταθεροποίησης. Οι όροι έλεγχος των πετρωμάτων

(ground control) ή των στρωμάτων (strata control) -όρος που χρησιμοποιείται στα

ανθρακωρυχεία- αποδίδουν το σκοπό των μέτρων κατά τον καλύτερο τρόπο.

Τα μέτρα σταθεροποίησης συχνά διακρίνονται σε προσωρινά (temporary) και

σε μόνιμα (permanent). Οι όροι αυτοί έχουν μάλλον ιστορική αξία. Προσωρινή

ονομαζόταν η ξύλινη υποστήριξη επειδή αφαιρούνταν κατά την τοποθέτηση της

μόνιμης η οποία συνήθως αποτελούνταν από αψιδολίθους. Σήμερα, προσωρινή

λειτουργία θα μπορούσε να χαρακτηρισθεί ότι έχουν τα χωρίς αντιδιαβρωτική

προστασία αγκύρια.

τόξο,

στύλος, πλαίσιο

ανάστροφο

τόξο,

κλπ.

εσωτερική

(τελική),

επένδυση αντιστήριξη

εξωτερική

(αρχική)

έλεγχος ή

σταθεροποίηση

των

στρωμάτων ή

ορθοστάτες, υποστήριξη πετρωμάτων

υδραυλική

υποστήριξη

ήλοι, ράβδοι

κοχλίες, (δύσκαμπτες ή οπλισμός

τένοντες, εύκαμπτες)

κλπ.


5

τσιμέντου,

ρητίνης,

κλπ.

ενέσεις

σταθεροποίησης

βελτίωση

ψύξη

Σχήμα 1. Κάποια υποσύνολα των μέτρων σταθεροποίησης των πετρωμάτων.

Οικονομικοί λόγοι και σύγχρονες δυνατότητες επιβάλλουν όλο και

περισσότερο τη μόνιμη λειτουργία του συνόλου όλων των μέτρων. Σήμερα, η

σημαντικότερη διάκριση είναι μεταξύ αρχικών (primary) και τελικών (secondary)

μέτρων. Στα αρχικά μέτρα συχνά συμπεριλαμβάνεται η εξωτερική επένδυση από

εκτοξευόμενο σκυρόδεμα, ενώ στα τελικά μέτρα η εσωτερική επένδυση από έγχυτο

σκυρόδεμα. Στο διάγραμμα στο Σχήμα 1 δίνονται σε σειρά, υπερσυνόλου-

υποσυνόλου, κάποια επιλεγμένα μέτρα, φορείς και υλικά σταθεροποίησης του

πετρώματος.

Τέλος, κατά την ανάλυση της αλληλεπίδρασης των μέτρων σταθεροποίησης

του πετρώματος είναι απαραίτητη η γνώση του βαθμού δυσκολίας του στην

παραμόρφωση. Αυτός δεν μπορεί να ονομάζεται δυσκαμψία ή ακαμψία, καθόσον

δεν πρόκειται για καμπτική παραμόρφωση. Ο όρος δυστροπία (Γκαζέτας, 1988),

παράγωγο του τροπή (Μυλωνάς, 1986), είναι μία επιτυχημένη νεολεξία (Κολαΐτης,

1976) η οποία ήδη χρησιμοποιείται ως γενικότερος όρος που περιλαμβάνει και τη

δυσκαμψία. Αντί αυτού, επιτυχημένος όρος είναι η στιβαρότητα (Παπαντωνόπουλος

Κ. - stiffness).

2.2 Μονοδιάστατα στοιχεία – Εσωτερική στήριξη

Το πέτρωμα γύρω από το άνοιγμά του δεν έχει συνήθως τη δυνατότητα να

παραλαμβάνει σημαντικές εφελκυστικές ή διατμητικές δυνάμεις. Η αδυναμία αυτή,

όπως και στο σκυρόδεμα, αντιμετωπίζεται με τη χρήση διαμηκών ράβδων,

χαλύβδινων τις περισσότερες φορές, που αναλαμβάνουν τις πιο πάνω δυνάμεις. Η

ορολογία για τα στοιχεία αυτά δεν είναι πάντα ενιαία και σαφής, χρησιμοποιούνται δε

συχνά εναλλακτικά οι όροι κοχλίας (Οικονομόπουλος, 1989), μπουλόνι

(Παπασπύρου, 1985), βλήτρο, ήλος, καρφί, αγκύριο (Anon, 1990), κ.α. χωρίς να είναι

πάντα σαφής η διάκριση της λειτουργίας τους. Στην αγγλοσαξονική βιβλιογραφία

χρησιμοποιείται ο γενικός όρος rockbolt (π.χ. Stillborg, 1986, 1996), από τον οποίο


6

προέρχονται και οι όροι κοχλίας και μπουλόνι (boulon). Οι ράβδοι αυτές διακρίνονται

ανάλογα με τον τρόπο μεταβίβασης του φορτίου τους σε εκείνες που διαβιβάζουν

φορτίο από ή προς το πέτρωμα καθ’ όλο το μήκος τους και σε εκείνες που

διαβιβάζουν φορτίο μόνο από τα άκρα τους. Οι πρώτες δύνανται να είναι τανυσμένες

ή μη, οπότε ονομάζονται ενεργητικές ή παθητικές αντίστοιχα. Οι δεύτερες συνήθως

είναι τανυσμένες.

Σχήμα 2. Ράβδοι μέσα στο πέτρωμα

α. Ράβδος DSI συγκολλημένη σε όλο το μήκος της με ρητίνη

β. Ράβδος Swellex πακτωμένη σε όλο το μήκος της

γ. Ράβδος ∅rsta τύπου διαστελλομένου άκρου


7

Στις μη τανυσμένες ράβδους ολόσωμης πάκτωσης (ή κατανεμημένης

αγκύρωσης, Οικονομόπουλος, 1989) (Σχήμα 2α) συμπεριλαμβάνονται οι ράβδοι με

ολόσωμη συγκόλληση, οι τύπου perfo, τριβής, διόγκωσης, κλπ. Για τις ράβδους αυτές

αρμόζουν καλύτερα οι όροι ήλος, βλήτρο και καρφί. Στην αγγλόφωνη βιβλιογραφία

χρησιμοποιείται γι’ αυτές σήμερα ο όρος dowel (βλήτρο, π.χ. Hoek et al., 1995). Ο

όρος βλήτρο (ρήμα βλητρώ = συναρμόζω, Δημητράκος, 1964) στο οπλισμένο

σκυρόδεμα χρησιμοποιείται με την έννοια γραμμικού στοιχείου (πείρου) που

ανθίσταται στη διάτμησή (ψαλιδισμό) του (πρβ. τη δράση βλήτρου, dowel action). Η

ράβδος διόγκωσης που φαίνεται στο Σχήμα 2β έχει οπωσδήποτε σχετικά μειωμένη

ικανότητα ανάληψης ψαλιδισμού σε σχέση με την εφελκυστική της ικανότητα και ο

όρος βλήτρο δεν την εκφράζει. Αντίθετα, ο ήλος (καρφί) είναι γραμμικό στοιχείο

που δυνάμεθα να θεωρήσουμε ότι αντιδρά τόσο σε διατμητικές, όσο και σε

εφελκυστικές δυνάμεις. Οι Hoek & Brown (1980, p.281) ορθά θεωρούν ότι τα

στοιχεία αυτά σκοπό έχουν τη συρραφή του πετρώματος. Στα παραδείγματα μάλιστα

αλληλεπίδρασης πετρώματος - υποστήριξης τα λαμβάνουν έμμεσα μόνο υπόψη με

την αύξηση της τιμής των παραμέτρων μηχανικής αντοχής του πετρώματος.

Στις τανυσμένες ράβδους (Σχήμα 2γ) το ένα άκρο αγκυρώνεται (σημειακή

αγκύρωση, Οικονομόπουλος, 1989 ή σημειακή στήριξη, Παπασπύρου, 1985). Στις

ράβδους αυτές συμπεριλαμβάνονται οι ράβδοι διαστελλομένου άκρου ή με εγκοπή

και σφήνα ή ράβδοι συγκολλούμενες στο άκρο τους με ρητίνη, κλπ. Γι’ αυτές

αρμόζουν οι όροι κοχλίας, μπουλόνι και αγκύριο (υποκοριστικό της άγκυρας,

Δημητράκος, 1964). Στην αγγλική βιβλιογραφία χρησιμοποιείται ο όρος rockbolt

(κοχλίας) περιοριστικά πια για τα διαμήκη αυτά στοιχεία μόνο (π.χ. Hoek et al.,

1995). Ο όρος οφείλεται στην ομοιότητά τους με τους συνήθεις συνδετικούς κοχλίες

οι οποίοι αποτελούνται από στέλεχος και περικόχλιο. Με την αγκύρωση του άκρου

του κοχλία στο βάθος του διατρήματος και την περιστροφή του περικοχλίου πάνω

στην πλάκα στήριξης στο πέτρωμα προκαλείται τάνυση του στελέχους του κοχλία.

Κατ’ αυτόν τον τρόπο επιβάλλεται η συμπίεση των παρειών των ασυνεχειών του

πετρώματος με αποτέλεσμα την εξ αρχής συνεχή του συμπεριφορά. Επίσης, τυχόν

επισφαλείς σφήνες της οροφής αγκυρούνται σε ισχυρότερα πετρώματα που

βρίσκονται πίσω από την παρειά της στοάς και αναρτώνται από αυτά.

Οι ράβδοι ολόσωμης πάκτωσης, τανυσμένες ή μη, δημιουργούν μαζί με το

πέτρωμα ένα σύνθετο υλικό στο οποίο παραμορφώνονται από κοινού. Δυνάμεθα,

επομένως, να τις θεωρήσουμε ως οπλισμό ή ενίσχυση (reinforcement, Brady &


8

Brown, 1985) του πετρώματος (πρβ. οπλισμένο σκυρόδεμα, οπλισμένη γη, κλπ.).

Κατ’ επέκταση, και οι ράβδοι σημειακής στήριξης, μολονότι οι μετακινήσεις τους

είναι κοινές με το πέτρωμα μόνο στα άκρα τους, ονομάζονται διεθνώς οπλισμός

(reinforcement) του πετρώματος.

Οι όροι προόπλιση, προενίσχυση, προϋποστήριξη υποδηλώνουν τη δράση των

μέτρων πριν ακόμη πραγματοποιηθεί η εκσκαφή στο χώρο δράσης τους.

Τα συρματόσχοινα, οι τένοντες καθώς και τα καλώδια είναι και αυτά γραμμικά

στοιχεία που έχουν την ίδια λειτουργία με τις ράβδους ολόσωμης πάκτωσης.

Επομένως, και αυτά αποτελούν οπλισμό του πετρώματος.

Η ράβδοι, όπως και τα άλλα μέτρα στήριξης, δύνανται να αναλαμβάνουν

φορτία. Τα φορτία αυτά τα διακρίνουμε σε λειτουργίας, διαρροής και αστοχίας.

2.3 Διδιάστατα στοιχεία – Χαλύβδινα πλαίσια

Τα πλαίσια, γενικά, είναι σκελετοί που περιβάλλουν και συγκρατούν κάποιο

αντικείμενο προς στερέωση (Δημητράκος, 1964), αναλαμβάνοντας φορτία εντός του

επιπέδου τους. Στα υπόγεια έργα αυτά κατασκευάζονται από χάλυβα, αναφέρονται

δε στην αγγλική βιβλιογραφία με τον όρο sets.

Το χαλύβδινο τόξο (rib) είναι πάντα καμπύλος φορέας και μπορεί να αποτελεί

τμήμα πλαισίου. Συνήθως, τοποθετείται για τη στήριξη του θόλου της στοάς.

Εφόσον η οροφή της στοάς είναι επίπεδη, τότε ο φορέας που είναι σε επαφή μ’ αυτή

και τη στηρίζει ονομάζεται (ευθύγραμμη) δοκός (beam). Ο στύλος (post) είναι

ευθύγραμμος και κατακόρυφος συνήθως φορέας, αποτελεί δε συνήθως τμήμα

πλαισίου (Σχήμα 3).

Εφόσον απαιτείται το κλείσιμο της διατομής της σήραγγας, το δάπεδο παίρνει

ανεστραμμένη καμπύλη μορφή. Η ανάστροφη αντηρίδα (invert strut) ή ανάστροφο

χαλύβδινο τόξο είναι ο καμπύλος φορέας που αποτελεί εκείνο το τμήμα του πλαισίου

που βρίσκεται σε επαφή με το καμπύλο δάπεδο (Σχήμα 3). Σκοπός της είναι η

παρεμπόδιση της σύγκλισης των παρειών και της ανύψωσης του δαπέδου. Εκτός

αυτού όμως συντελεί και στην καλύτερη θεμελίωση του στύλου.


9

Σχήμα 3. Χαλύβδινο πλαίσιο στην περιοχή του ανάστροφου τόξου.

2.4 Τριδιάστατη στήριξη – Επένδυση από σκυρόδεμα

Η επένδυση από εκτοξευόμενο σκυρόδεμα δε χρειάζεται καλούπι και ως εκ τούτου

δύναται να τοποθετείται άμεσα και να αναλαμβάνει φορτία. Ως φορέας είναι

κέλυφος κα επόμένως δύναται να μεταφέρει φορτία και προς τις τρεις διαστάσεις. Η

δυνατότητα αυτή χρησιμοποιείται ιδιαίτερα κατά την ώθηση των μηχανών διάτρησης

των σηράγγων (TBM), οι οποίες ωθούνται, επί των ήδη τοποθετημένων

προκατασκευασμένων τόξων, σε διεύθυνση κάθετη στο επίπεδο της διατομής της

σήραγγας.

2.5 N.A.T.M.

Η διατύπωση “κατασκευή και υποστήριξη με τη νέα αυστριακή μέθοδο”

χρησιμοποιείται στη διεθνή αρθρογραφία για μία πληθώρα μεθόδων διάνοιξης

σηράγγων, που περιλαμβάνουν ποικίλες τεχνικές. Συγκεκριμένες μάλιστα

δημοπρατήσεις έργων απαιτούν την κατασκευή των σηράγγων με τη μέθοδο αυτή.

Ο επίσημος ορισμός της N.A.T.M. (Anon., 1980) έχει ως εξής : “Η Νέα

Αυστριακή Μέθοδος Διάνοιξης Σηράγγων βασίζεται στη θεώρηση ότι το πέτρωμα

που περιβάλλει ένα υπόγειο άνοιγμα γίνεται φέρον στοιχείο της κατασκευής μέσω της

ενεργοποίησης ενός φέροντος δακτυλίου του πετρώματος”. Κάνοντας κριτική στη

μέθοδο, ο Kovari (1994) παρατηρεί ότι κάθε μέθοδος κατασκευής σηράγγων, από

αρχαιοτάτων χρόνων, κάνει χρήση της φέρουσας λειτουργίας του πετρώματος. Όσο


10

για το φέροντα δακτύλιο και την ενεργοποίησή του, παρατηρεί ότι αυτοί οι όροι είναι

τόσο αμφίσημοι ώστε να μην είναι εφαρμόσιμοι από επιστημονική άποψη.

Οι θεμελιωτές της N.A.T.M. ισχυρίζονται ακόμη ότι η μέθοδος επιδιώκει την

ελαχιστοποίηση του φορτίου pi επί της επένδυσης με κατασκευή της τελευταίας ούτε

πολύ νωρίς ούτε πολύ αργά, ούτε πολύ εύκαμπτης ούτε πολύ δύσκαμπτης. Προς

τούτο βασίζονται στη σκαφοειδή καμπύλη του διαγράμματος πίεσης pi - μετακίνησης

δi του πετρώματος στη διεπιφάνειά του με την επένδυση. Με βάση την καμπύλη

αυτή ισχυρίζονται ότι αποφασίζεται η αναπροσαρμογή της υποστήριξης κατά την

κατασκευή. Στο σημείο αυτό ο Kovari (1994) παρατηρεί ότι τέτοια επαρκούς βάθους

σκαφοειδής καμπύλη (Σχήμα 4) δεν εξηγείται θεωρητικά και δεν έχει επαληθευθεί

από την εμπειρία. Και καταλήγει ότι οι χρησιμοποιούμενες θεωρήσεις της N.A.T.M.

είναι πολύσημες ώστε να ξεφεύγουν κάθε απόπειρας κριτικής προσέγγισης.

Σχήμα 4. Διακλάδωση της καμπύλης απόκρισης του πετρώματος λόγω χαλάρωσης και

απώλειας αντοχής του (Muller, 1978).

Η N.A.T.M. εμπεριέχει επίσης στις αρχές της τη χρήση εκτοξευόμενου

σκυροδέματος για την κατασκευή της επένδυσης. Αλλά και άλλες μέθοδοι, όπως η

σουηδική πρακτική στα σκληρά πετρώματα, περιλαμβάνουν τις χρήσεις αυτές.

Τέλος, η μέθοδος κάνει χρήση μετρήσεων για την παρακολούθηση της συμπεριφοράς

του πετρώματος.

Από τα παραπάνω διακρίνεται ότι η N.A.T.M. δεν είναι συγκεκριμένη

κατασκευαστική μέθοδος ούτε είναι θεωρητικά επαρκώς θεμελιωμένη. Παρ’ όλα

αυτά, κατά την εφαρμογή της εφαρμόστηκαν για πρώτη φορά με επιστημονικό τρόπο

οι αρχές της μηχανικής των πετρωμάτων, ούτως ώστε επιτρέποντας την ελεγχόμενη


11

υπερφόρτιση ενός δακτυλίου πετρώματος πέριξ της εκσκαφής, να επιτυγχάνεται

εξοικονόμιση μέτρων στήριξης. Έτσι, κατασκευάσθηκαν πάρα πολλά έργα με

ασφάλεια και οικονομία χρησιμοποιώντας το όνομα της N.A.T.M. ως «μέθοδο

κατασκευής». Η επιτυχία εκτέλεσής τους έγκειται (Anon., 1995) στην πρόσληψη,

κάθε φορά, ειδικού από τον κύριο και τον κατασκευαστή του έργου. Κατά την

κατασκευή ο πρώτος συμβουλεύει τους δεύτερους στη σταδιακή υποστήριξη του

πετρώματος με τα παραπάνω αναφερθέντα ευέλικτα μέτρα, βασιζόμενος στην

παρακολούθηση του πετρώματος. Κατόπιν των ανωτέρω έχει προταθεί (Anon.,

1995) η μετονομασία της σε “Σταδιακή Υποστήριξη βάσει της Μεθόδου της

Παρατήρησης” (I.S.O.M.). Η μέθοδος αυτή έχει εφαρμογή μόνο σε μαλακά

πετρώματα. Σήμερα στη Βρετανία χρησιμοποιείται και ο όρος SCL (Sprayed

Concrete Lining), για να χαρακτηρίσει τις συμβατικές μεθόδους διάνοιξης, αβαθών

αστικών σηράγγων σε μαλακά πετρώματα, με χρήση εκτοξευόμενου σκυροδέματος.

3 ΑΡΧΕΣ ΣΤΑΘΕΡΟΠΟΙΗΣΗΣ Η συμπεριφορά των πετρωμάτων δύναται να διακριθεί σε δύο κατηγορίες. Σε αυτά

που ελέγχονται από τη δομική αστάθεια και σε αυτά που ελέγχονται από το εντατικό

πεδίο. Στα πρώτα είναι οι ασυνέχειες που διέπουν τη συμπεριφορά, ενώ στα δεύτερα

τη διέπει η σχέση της έντασης των τάσεων με την αντοχή της βραχομάζας, δηλαδή η

υπερφόρτισή της. Η πρωτογενής αστοχία στα πρώτα εμφανίζεται ως αποκόλληση

τεμαχών, ενώ στα δεύτερα ως παραμόρφωση. Μακροσκοπικά, τα πρώτα

συμπεριφέρονται ως ασυνεχή μέσα, ενώ τα δεύτερα ως συνεχή. Επομένως, για την

ανάλυση της συμπεριφοράς της βραχομάζας, κατά την εξόρυξή της, αυτή δύναται να

θεωρηθεί είτε ως συνεχής είτε ως ασυνεχής, ή και ως αλλού συνεχής και αλλού

ασυνεχής

3.1 Αποτελέσματα της εκσκαφής

Με την εξόρυξη του υλικού της διατομής, αλλάζει η μορφή του σχηματισμού. Τούτο

έχει ως αποτέλεσμα να:

(α) μηδενίζεται η αντίσταση κατά την ακτινική διεύθυνση επειδή αφαιρείται το

εντεταμένο πέτρωμα, με αποτέλεσμα να εμφανίζονται μετατοπίσεις από το

περιβάλλον πέτρωμα προς το άνοιγμα.


12

(β) μην υπάρχει διατμητική τάση στην αστήρικτη επιφάνεια εκσκαφής και ως εκ

τούτου το όριο εκσκαφής θα είναι ένα κύριο επίπεδο τάσης με μια από τις κύριες

τάσεις να είναι μηδενικού μεγέθους και κάθετη στην επιφάνεια. Γενικά, θα συμβαίνει

μία σημαντική διαταραχή του προϋπάρχοντος εντατικού πεδίου, τόσον στα μεγέθη

των κυρίων τάσεων, όσον και στους προσανατολισμούς τους.

(γ) βρίσκεται υπό ατμοσφαιρική πίεση το άνοιγμα. Όποια προηγούμενη πίεση του

νερού στη βραχομάζα θα μειωθεί στην περιφέρεια της εκσκαφής στην ατμοσφαιρική.

Τούτο εξαναγκάζει την εκσκαφή να λειτουργεί ως συλλεκτήρας (καταβόθρα), και

οποιοδήποτε νερό μέσα στη βραχομάζα θα τείνει να ρεύσει προς την εκσκαφή.

Όσον αφορά τις μετατοπίσεις, υπάρχει η επιλογή να τους επιτραπεί να συμβούν ή να

παρεμποδιστούν με κάποια μέθοδο σταθεροποίησης. Σημασία επομένως έχει η

εκτίμηση της αναμενόμενης μετατόπισης του πετρώματος και του μέγιστου ανεκτού

μεγέθους της. Οι μετατοπίσεις συνδέονται είτε με τεμάχη βράχου που κινούνται προς

την εκσκαφή, είτε με την ελαστική παραμόρφωση της όλης μάζας του πετρώματος ή

και με τη διαρροή της. Οι τρεις παραπάνω μηχανισμοί είναι δυνατόν να συμβαίνουν

ταυτόχρονα, και η μέθοδος σταθεροποίησης θα πρέπει να αποφασίζεται αφού αυτοί

γίνουν πρώτα κατανοητοί.

Η σημαντικότερη συνέπεια της δεύτερης επίδρασης, δηλ. της διαταραχής του

εντατικού πεδίου, είναι η διαρροή του πετρώματος εξ αιτίας του αυξημένου μεγέθους

της αποκλίνουσας τάσης. Η αύξηση της αποκλίνουσας τάσης προκύπτει από την

αλλαγή στο μέγεθος της μέγιστης και ελάχιστης κύριας τάσης, με αποτέλεσμα η

αρχική τριαξονική κατάσταση να μετατρέπεται ουσιαστικά σε μονοαξονική.

Η τρίτη επίδραση, αυτή της αυξανόμενης ροής του νερού, είναι σημαντική επειδή η

αύξηση της βαθμίδας του πιεζομετρικού ύψους μέσα στη βραχομάζα θα τείνει να

ωθήσει τεμάχη πετρώματος προς την εκσκαφή. Εκτός αυτού, η αύξηση της ροής του

νερού, αυξάνει και τον κίνδυνο διάβρωσης, απόπλυσης, και αποσύνθεσης του

πετρώματος.

3.2 Αντιμετώπιση

Η τεχνικές που θα πρέπει να εφαρμοσθούν προκειμένου να αντιμετωπισθούν τα τρία

βασικά αποτελέσματα της εκσκαφής δεν θα πρέπει να στοχεύουν στην εκμηδένισή


13

τους (π.χ. με την εγκατάσταση ισχυρής στήριξης και υδραυλικής σφράγισης

ολόκληρης εκσκαφής), αλλά στον έλεγχό τους αφού πρώτα κατανοηθεί η μηχανική

συμπεριφορά του πετρώματος. Στις μετατοπίσεις μπορεί να επιτραπεί να

αναπτυχθούν πλήρως, ή να ελεγχθούν αργότερα. Ομοίως, η μορφή της εκσκαφής

δύναται να σχεδιασθεί κατάλληλα ώστε να ελαχιστοποιηθούν οι προκαλούμενες

αποκλίνουσες τάσεις. Τέλος, η ροή του νερού προς την εκσκαφή μπορεί να ελεγχθεί

σύμφωνα με το στόχο, που άλλοτε είναι η ελεγχόμενη στράγγιση του περιβάλλοντος

πετρώματος και άλλοτε η πλήρης στεγανοποίηση της επιφάνειας εκσκαφής.

Η σταθεροποίηση του πετρώματος δύναται να επιτευχθεί είτε με μέτρα εσωτερικά

στο πέτρωμα, που το ενισχύουν ως οπλισμός, είτε με μέτρα εξωτερικά του

πετρώματος που το στηρίζουν. Η ενίσχυση του πετρώματος όπως εφαρμόζεται σε

βραχομάζες που δεν κινδυνεύουν από δομική αστάθεια διαφέρει από αυτήν που

χρησιμοποιείται στις ασυνεχείς βραχομάζες λόγω του τρόπου δράσης των στοιχείων

ενίσχυσης. Αντίστοιχα, η λειτουργία της στήριξης του πετρώματος διαφέρει όταν

αυτή εφαρμόζεται σε συνεχείς βραχομάζες, από αυτή που εφαρμόζεται σε ασυνεχείς.

3.2.1 Συνεχής βραχομάζα

Η ενίσχυση συνεχούς βραχομάζας βελτιώνει τις γενικές ιδιότητές της και ως εκ

τούτου τη συμπεριφορά της. Εάν ένα συνεχές πέτρωμα είναι ισχυρό, μπορεί να μη

χρειάζεται περαιτέρω βοήθεια για την ευστάθειά του. Αντιθέτως, εάν ένα συνεχές

πέτρωμα είναι ασθενές, μπορεί να απαιτεί βαριά άμεσα μέτρα εξωτερικής στήριξης.

Η τοποθέτηση εσωτερικής στήριξης δύναται να μειώνει την απαίτηση τέτοιων

βαριών μέτρων. Στο Σχήμα 5, η πλευρική παρεμπόδιση που δημιουργούν οι

τανυσμένοι ήλοι, αυξάνει την αντοχή του πετρώματος του θόλου στην εφαπτομενική

διεύθυνση και δίνει τη δυνατότητα λειτουργίας αψίδας στο πέτρωμα της στέψης.

Όμως, και σε ένα στοιχείο οπλισμένου πετρώματος δίπλα στο όριο εκσκαφής

υπογείου ανοίγματος, η επίδραση μη τανυσμένων ήλων είναι να παραχθεί μια

ισοδύναμη ενεργή ακτινική πίεση παρεμπόδισης σrr, λόγω της αντίδρασης στη

διαστολή του πετρώματος στην ακτινική διεύθυνση. Για ελαστική συμπεριφορά του

πετρώματος και του ήλου, σε πρώτη προσέγγιση:

𝜀𝑏 = 𝜈 ∙𝜎𝜃𝜃𝐸𝑟

; 𝜀𝑏 =𝜎𝑏𝐸𝑏

;𝜎𝑏 = 𝜎𝑟𝑟 ∙𝐴𝑟𝐴𝑏

⇒ 𝜎𝑟𝑟 ∙𝐴𝑟𝐴𝑏

∙1𝐸𝑏

= 𝜈 ∙𝜎𝜃𝜃𝐸𝑟

⇒


14

θθσνσ ⋅⋅⋅=r

b

r

brr E

EAA

Σχήμα 5. Δυνατότητα ανάληψης σημαντικών θλιπτικών εφαπτομενικών τάσεων στο χώρο πάνω από το θόλο λόγω της πλευρικής παρεμπόδισης που παρέχουν οι ράβδοι.

όπου Ab, Eb, οι διατομές και τα μέτρα Young των στοιχείων οπλισμού και Ar, Er, τα

αντίστοιχα του πετρώματος, ν ο λόγος του Poisson του πετρώματος, εb η τροπή του

ήλου, και σθθ η εφαπτομενική τάση θλίψης του πετρώματος. Παρατηρείται, ότι όσο

μεγαλύτεροι οι λόγοι των διατομών και των μέτρων Young, δηλαδή όσο αυξάνεται η

πυκνότητα των αγκυρίων και μικραίνει η δυστροπία του πετρώματος, τόσο μεγαλώνει

η ενεργή πίεση περιορισμού. Για παράδειγμα, θεωρείστε κρητίδα με μέτρο Young

Er=1GPa, ν=0.29 που ενισχύεται με ράβδους χάλυβα (Eb=210GPa) διαμέτρου

db=25mm σε μια πυκνότητα τεσσάρων ράβδων ανά τετραγωνικό μέτρο επιφάνειας

πετρώματος (Ar=0.25m2), σrr=0.12σθθ. Αν και η προκαλούμενη πίεση περιορισμού

είναι μόνο 12% της εφαπτομενικής πίεσης, η επίδρασή της στις ιδιότητες αντοχής και

διαρροής της κρητίδος είναι σημαντική. Μια τέτοια ενίσχυση είναι αποτελεσματική

σε χαμηλής δυστροπίας, ασθενή, ψαθυρά πετρώματα.

3.2.2 Ασυνεχής βραχομάζα

Η ενίσχυση σε ασυνεχή βραχομάζα επιδιώκει εκτός της βελτίωσης των δομικών

ιδιοτήτων του πετρώματος, και την αποφυγή μεγάλων μετατοπίσεων τεμαχών.

Αντικείμενο της διερεύνησης είναι αν πράγματι απαιτείται ενίσχυση, και εφόσον

απαιτείται, η εκτίμηση του βέλτιστου μήκους, του προσανατολισμού και της έντασης

των αγκυρίων. Για παράδειγμα αν τέμαχος πετρώματος στα πλευρά σήραγγας έχει

κλίση μεγαλύτερη από τη γωνία τριβής του πετρώματος (για μηδενική συνοχή της

ασυνέχειας), το τέμαχος θα ολισθήσει. Αυτό είναι επομένως το πρώτο κριτήριο της


15

δυνατότητας αστοχίας. Εξετάζοντας τώρα το μήκος και τη διάμετρο του αγκυρίου,

αυτά πρέπει να είναι επαρκή για να εξασφαλίσουν ότι η συνάφεια στις διεπιφάνειες

αγκυρίου-κονιάματος και κονιάματος-βραχομάζας είναι σε θέση να αναλάβουν την

τάνυση του αγκυρίου, η οποία δεύτερη εξαρτάται από την αντοχή της βραχομάζας.

Τέλος, η διάμετρος των αγκυρίων καθορίζεται και από την εφελκυστική αντοχή του

υλικού των αγκυρίων. Εάν η ενίσχυση εμποδίζει τη σχετική μετακίνηση των

τεμαχών, και ικανοποιητική τάση μπορεί να διαβιβαστεί από τη διεπαφή, τότε σε

γενικές γραμμές η ενίσχυση του πετρώματος έχει μετατρέψει το ασυνεχές πέτρωμα

σε συνεχές. Στην πράξη, όταν τοποθετούνται αγκύρια σε μια ασυνεχή βραχομάζα, η

επιφάνεια του βράχου καλύπτεται συχνά με ψεκασμένο σκυρόδεμα οπλισμένο με

πλέγμα. Σκοπός του ψεκασμένου σκυροδέματος είναι η δημιουργία ενός δύσκαμπτου

επιστρώματος που εμποδίζει τις τοπικές περιστροφές και μετακινήσεις των τεμαχών.

Πριν από την περιστροφή, οι δυνάμεις μπορούν να διαβιβαστούν πλήρως μέσα από

τις διεπιφάνειες, μετά όμως από μία έστω πολύ μικρή περιστροφή, αυτές οι δυνάμεις

συγκεντρώνονται στις ακμές ή κορυφές των τεμαχών, με αποτέλεσμα να

αναπτύσσονται τοπικά πολύ υψηλές τάσεις. Η ακολουθία τέτοιων περιστροφών

οδηγεί στην προοδευτική αστοχία της ασυνεχούς βραχομάζας και της ακεραιότητας

μιας υπόγειας κατασκευής.

3.3 Σύγκλιση - αποτόνωση

Η στήριξη συνεχούς πετρώματος έχει σα σκοπό να παρεμποδίσει τις μετατοπίσεις

προς το μέρος της. Για παράδειγμα, αν θεωρήσουμε υπόγειο ανυποστήρικτο άνοιγμα

σε συνεχές πέτρωμα CHILE (Continuous, Homogeneous, Isotropic, Linearly Elastic),

η ακτινική μετατόπιση δίνεται από τη σχέση:

( )( )[ ]3212

21 2cos12 σνθσσνσσ ⋅−⋅−−⋅++⋅=ERur

(1)

όπου το R είναι η ακτίνα του ανοίγματος, σ1 , σ2 , σ3 είναι οι κύριες συνιστώσες του

φυσικού εντατικού πεδίου, (1 κατακόρυφος άξονας, 2 οριζόντιος, 3 άξονας στη

διεύθυνση της σήραγγας), θ η γωνία μετρούμενη από τον κατακόρυφο άξονα (1), και

E και ν είναι οι ελαστικές σταθερές. Οποιαδήποτε απόκλιση από τη συμπεριφορά

CHILE προς τα χαρακτηριστικά του ασυνεχούς DIANE (Discontinuous,

Inhomogeneous, Anisotropic, Non Elastic) οδηγεί σε αυξανόμενες τιμές


16

μετατοπίσεων. Η στρατηγική σταθεροποίησης της βραχομάζας μπορεί να βασιστεί

στην ανάγκη περιορισμού των μετατοπίσεων. Ο έλεγχος των μετατοπίσεων

επιτυγχάνεται συνήθως με συστήματα που έχουν ελαστική συμπεριφορά. Δεδομένου

ότι μέχρι κάποια τιμή της μετατόπισης η απαιτούμενη δύναμη στήριξης μειώνεται με

την αύξησή της, ο οικονομικός σχεδιασμός των σηράγγων απαιτεί συχνά την

τοποθέτηση εύτροπης στήριξης μη ολοκληρωμένης άμεσα με την εκσκαφή. Σε

ιδιαίτερα συνθλίβοντα πετρώματα, για λόγους τεχνικούς ή οικονομικούς, ισορροπία

μπορεί να επιτευχθεί αφού επιτραπεί σημαντική σύγκλιση του ανοίγματος με χρήση

συμπιέσιμων ένθετων που τοποθετούνται μεταξύ των αρμών της στήριξης. Τέτοιες

τεχνικές χρησιμοποιούνται αποτελεσματικά από παλιά στα επιμήκη μέτωπα των

μεταλλείων.

Αντίστοιχη προσέγγιση με χρήση της καμπύλης απόκρισης του πετρώματος μπορεί

να εξεταστεί για την εκτίμηση της υποστήριξης κερματισμένης βραχομάζας. Όσο πιο

κερματισμένη είναι, τόσο μικρότερη κλίση έχει η καμπύλη απόκρισης. Επιπλέον, τα

διακριτά τεμάχη βράχου δημιουργούν σημειακά φορτία στα στοιχεία υποστήριξης,

ενώ επίσης υπάρχουν οι κίνδυνοι της πτώσης τεμαχών πετρώματος από την οροφή

κατά τη διάρκεια της κατασκευής και των συγκεντρωμένων υψηλών ροών του νερού.

Στην πράξη, υπάρχει ένα ευρύ φάσμα ποιοτήτων βραχομάζας με μεταβατική

συμπεριφορά, από την συνεχή προς την ασυνεχή. Η ανάλυση κατά περίπτωση μπορεί

να βασιστεί σε μεθόδους συνεχούς ή ασυνεχούς πετρώματος, και μπορούν να

χρησιμοποιηθούν τόσον εσωτερικά όσον και εξωτερικά μέτρα στήριξης. Η χρήση

των σύγχρονων κωδίκων υπολογισμού δίνει τη δυνατότητα προσέγγισης τέτοιων

προβλημάτων. Για παράδειγμα, κατά τη διάνοιξη της σήραγγας Μποζαΐτικων στην

οδική παράκαμψη Πατρών, χρειάσθηκε η προσομοίωση συνεχούς πετρώματος που

διαχωρίζονταν από συγκεκριμένες ασυνέχειες.

3.4 Βήματα σχεδιασμού

Κατά τη μελέτη ακολουθούνται τα βήματα που φαίνονται στον Πίνακα.

Παρατηρούμε ότι η μελέτη ακολουθεί διακριτή πορεία σύμφωνα με τη δομή της

βραχομάζας. Η αριστερή στήλη αφορά συμπεριφορά βραχομάζας η οποία οφείλεται

στις μεμονωμένες ασυνέχειες, σε αντίθεση με την δεξιά στήλη, όπου η συμπεριφορά

οφείλεται στην αντοχή της βραχομάζας.


17

Πίνακας 1. Βήματα σχεδιασμού της υποστήριξης Συλλογή τεχνικών γεωλογικών στοιχείων από επιφανειακές εμφανίσεις και πυρήνες γεωτρήσεων

Χαρακτηρισμός της βραχομάζας

Ταξινόμηση της βραχομάζας και προσδιορισμός τύπων αστοχίας

Δομικά ελεγχόμενες αστοχίες λόγω βαρύτητας

Αστοχία λόγω υψηλής τάσης υποβοηθούμενης από τη βαρύτητα

Αποτίμηση των κινηματικά δυνατών τύπων αστοχίας

Προσδιορισμός του επιτόπου εντατικού πεδίου στο περιβάλλον πέτρωμα

Καθορισμός της διατμητικής αντοχής στις δυνατόν να αστοχήσουν επιφάνειες

Καθορισμός των ιδιοτήτων της βραχομάζας

Υπολογισμός του συντελεστή ασφαλείας ή της επικινδυνότητας των δυνατών αστοχιών

Υπολογισμός του μεγέθους των ζωνών υπερφόρτισης γύρω από την εκσκαφή

Προσδιορισμός των απαιτήσεων υποστήριξης

Μη γραμμική ανάλυση διάδρασης πετρώματος υποστήριξης για τον υπολογισμό της υποστήριξης

Εκτίμηση της επίδρασης των ανατινάξεων και των εκτινάξεων στην υποστήριξη

Μελέτη της υποστήριξης λαμβάνοντας υπόψη την ακολουθία των εκσκαφών, τη διαθεσιμότητα των υλικών, και την οικονομικότητα της μελέτης.

Τοποθέτηση της υποστήριξης με πλήρη ποιοτικό έλεγχο ώστε να εξασφαλίζονται το σωστό μήκος των αγκυρίων, η τάνυση και η ενεμάτωσή τους, και η αποτελεσματική εκτόξευση του σκυροδέματος της επένδυσης και η τοποθέτηση των χαλύβδινων πλαισίων όπου απαιτούνται.

Παρακολούθηση της συμπεριφοράς της εκσκαφής και της υποστήριξης ώστε να επιβεβαιώνεται η μελέτη και να δίνεται η δυνατότητα αλλαγών σε μελλοντικές μελέτες.

4 Αποδεκτή διακινδύνευση Η φέρουσα ικανότητα (Capacity) των δομημάτων επιλέγεται κατά τη μελέτη έτσι

ώστε να είναι σε θέση αυτά να αναλαμβάνουν την απαίτηση (Demand) των δράσεων.

Όμως, τόσον η ικανότητα, όσον και η απαίτηση δεν έχουν σαφείς τιμές. Επομένως,

για την ευστοχία ενός (υπογείου) έργου η ικανότητα C, που εξαρτάται από την

ποσότητα των μέτρων στήριξης, θα πρέπει να είναι μεγαλύτερη από την απαίτηση D.


18

Το ερώτημα που τίθεται είναι, πόσο μεγαλύτερη, καθόσον μεγάλη ποσότητα μέτρων

στήριξης έχει σα συνέπεια μεγάλο κόστος για την κατασκευή του έργου. Ο

μηχανικός καλείται να επιλέξει τη βέλτιστη λύση, χρησιμοποιώντας διάφορες δόκιμες

λογικές σχεδιασμού. Αυτές θα εφαρμόσουμε παρακάτω σε ένα απλό παράδειγμα

ανάρτησης στρωσιγενούς οροφής πετρώματος.

Σχήμα 6. Ανάρτηση στρώματος με αγκύρια

Έστω ότι πέτρωμα στρωσιγενούς οροφής έχει μοναδιαίο βάρος 𝛾 = 27 kN/m3,

και μέσο πάχος 𝜇𝑡𝑠 = 1.0 m με τυπική απόκλιση 𝜎𝑡𝑠 = 0.5 m. Το στρώμα αναρτάται

πλήρως από τα υπερκείμενα μέσω ηλώσεων (Σχήμα 6) διαστελλομένου άκρου

διαμέτρου 17mm, τοποθετημένων, όπως φαίνεται στο Σχήμα 7, σε τετραγωνικό

κάναβο 𝑠𝐶 × 𝑠𝑙 = 1.5 m × 1.5 m. Από τις τιμές αυτές υπολογίζεται η απαίτηση D

στήριξης τεμαχών πλακών πετρώματος, με μέση τιμή βάρους 𝜇𝐷 = 61.5 kN

(≈27×1.0×1.52), και τυπική απόκλιση 𝜎𝐷 = 28.2 kN (≈27×0.5×1.52). Από ικανό

αριθμό δοκιμών εξόλκευσης προκύπτει ότι η φέρουσα ικανότητα C των ήλων έχει

μέση τιμή μC = 78.5 kN, και τυπική απόκλιση σC= 3.7 kN.

sc

W

Competent rock layer

Weak rock layers

sc

sl

ts


19

Σχήμα 7. Πλάκα οροφής πάχους t που υποστηρίζεται από αγκύρια σε κάναβο s × s

4.1 Σαφείς παράμετροι σχεδιασμού

Σύμφωνα με τις συνήθως εφαρμοζόμενες μεθόδους σχεδιασμού, οι παράμετροι τόσον

της ικανότητας όσον και της απαίτησης, καθορίζονται ως σαφείς αντιπροσωπευτικές

τιμές, συχνά μέσες. Η ευστοχία του δομήματος θεωρείται ότι εξασφαλίζεται από ένα

συντελεστή ασφαλείας, μεγαλύτερο της μονάδας, που ορίζεται ως ο λόγος της

(φέρουσας) ικανότητας C προς την απαίτηση (ικανότητας) D. Η τιμή του συντελεστή

ασφαλείας, που αναλαμβάνει τη μεταβλητότητα των παραμέτρων, τις αδυναμίες των

μεθόδων ανάλυσης και τις αποκλίσεις κατά την κατασκευή, καθορίζεται μεγαλύτερος

της μονάδας, από κανονισμούς ή οδηγίες με βάση την πρότερη εμπειρία.

Θεωρώντας ότι το βάρος της πλάκας του πετρώματος που φορτίζει κάθε ήλο

ισούται με το μέσο συνεισφέρον βάρος αυτής, το σαφές φορτίο (δράση) που

(απαιτείται να) υποστηρίζεται από αυτόν είναι:

D = W= μD = 61.5 kN

Θεωρώντας επίσης ότι η σαφής φέρουσα ικανότητα (αντίδραση) του ήλου ισούται με

τη μέση τιμή αυτής:

C = μC = 78.5 kN

Επομένως ο σαφής (προσδιορισμικός) συντελεστής ασφαλείας είναι:


20

FS= 78.5/61.5=1.3

Ένας τέτοιος συντελεστής ασφαλείας δύναται να είναι αποδεκτός σύμφωνα με

υπάρχουσες οδηγίες.

4.2 Ευαισθησία της ευστοχίας της μελέτης στις παραμέτρους

Προηγουμένως οι παράμετροι σχεδιασμού θεωρήθηκαν ότι έχουν σαφείς τιμές.

Όμως, σύμφωνα με τις μετρήσεις οι παράμετροι αυτές έχουν μεταβαλλόμενες τιμές.

Είναι επομένως χρήσιμη η εκτίμηση της ευαισθησίας του συντελεστή ασφαλείας στις

παραμέτρους σχεδιασμού.

Στο παράδειγμα δυνάμεθα να θεωρήσουμε ότι το πάχος της πλάκας

(«απαίτηση» ανάρτησης) και η φέρουσα «ικανότητα» του αγκυρίου έχουν τιμές που

είναι μεταβλητές. Αν λοιπόν το πάχος κυμαίνεται από 0.7 έως 1.3m και η φέρουσα

ικανότητα του αγκυρίου από 70 έως 90 kN, τότε ο συντελεστής ασφαλείας, που είναι

ο λόγος της ικανότητας C προς την απαίτηση D, κυμαίνεται από

70/(27×1.3×1.52)=0.88 έως 90/(27×0.7×1.52)=2.12.

Η τιμή 0.88 είναι βέβαια μη αποδεκτή, και εφόσον εκτιμάται ότι σημαντικός

αριθμός αγκυρίων υπερφορτίζονται, θα πρέπει η μέση τιμή του συντελεστή να

αυξηθεί, με μείωση π.χ. του διαστήματος του κανάβου.

4.3 Πιθανότητα αστοχίας

Η εκτίμηση της σημαντικότητας της έκτασης των αστοχιών, αποτελεί, όπως φάνηκε

στην προηγούμενη παράγραφο, παράγοντα για τη λήψη απόφασης αποδοχής ενός

σχεδιασμού. Η διερεύνηση της πιθανότητας αστοχίας μιας μελέτης δομήματος

πραγματοποιείται συνήθως αριθμητικά, με μεθόδους Monte Carlo ή αντίστοιχες, οι

οποίες δύνανται να εφαρμοστούν σε πληθώρα πολύπλοκων προβλημάτων. Αντίθετα,

οι αναλυτικές μέθοδοι προσφέρονται για επίλυση απλοποιημένων προβλημάτων,

προσφέρουν όμως εποπτεία και δυνατότητα άμεσης παρέμβασης.

Στο παράδειγμα, γίνεται θεώρηση ομοιόμορφης κατανομής των μεταβλητών

της ικανότητας C και της απαίτησης D, με κάτω και άνω όρια LC, UC, LD, UD,

αντίστοιχα. Οι αναλυτικές σχέσεις υπολογισμού της πιθανότητας αστοχίας δίνονται

στο παράρτημα (Nomikos & Sofianos, 2011). Οι συναρτήσεις πυκνότητας fC και fD

δίνονται στο Σχήμα 8, όπως υπολογίζονται, για τις δεδομένες μέσες τιμές και τυπικές

αποκλίσεις, από τις παρακάτω σχέσεις:


21

𝜇𝐶 = 78.5𝑘𝑘;𝜎𝐶 = 3.7𝑘𝑘;𝑉𝐶 = 𝜎𝐶/𝜇𝐶 = 0.047

𝑈𝐶 = 𝜇𝐶 + 𝜎𝐶 ∙ √3 = 78.5 + 3.7 ∙ √3 = 84.91𝑘𝑘

𝐿𝐶 = 𝜇𝐶 − 𝜎𝐶 ∙ √3 = 78.5 − 3.7 ∙ √3 = 72.09𝑘𝑘

𝑓𝐶(𝐶) = 1/(𝑈𝐶 − 𝐿𝐶) =1

84.91 − 72.09=

112.8

= 0.078𝑘𝑘−1

𝜇𝑡 = 1.0 𝑚⟹ 𝜇𝐷 = 61.5𝑘𝑘;𝜎𝑡 = 0.5𝑚 ⇒ 𝜎𝐷 = 28.2𝑘𝑘;𝑉𝐷 = 𝜎𝐷/𝜇𝐷 = 0.459

𝑈𝐷 = 𝜇𝐷 + 𝜎𝐷 ∙ √3 = 61.5 + 28.2 ∙ √3 = 110.34𝑘𝑘

𝐿𝐷 = 𝜇𝐷 − 𝜎𝐷 ∙ √3 = 61.5 − 28.2 ∙ √3 = 12.66𝑘𝑘

𝑓𝐷(𝐷) = 1/(𝑈𝐷 − 𝐿𝐷) =1

110.34 − 12.66=

197.68

= 0.010𝑘𝑘−1

Σχήμα 8 Συναρτήσεις πυκνότητας πιθανότητας για τυχαίες μεταβλητές C και D που ακολουθούν την ομοιόμορφη κατανομή.

Η σχετική θέση των τυχαίων μεταβλητών C και D, που φαίνεται στο Σχήμα 8, είναι η

4 σύμφωνα με το Σχήμα 12. Το εύρος του συντελεστή ασφαλείας fs βρίσκεται

μεταξύ της ελαχίστης LC/UD και της μεγίστης UC/LD:

min{𝑓𝑠} =𝐿𝐶𝑈𝐷

=72.09

110.34= 0.65; max{𝑓𝑠} =

𝑈𝐶𝐿𝐷

=84.9112.66

= 6.71

0.000

0.020

0.040

0.060

0.080

0 25 50 75 100 125

f C(C

) o

r f D

(D)

Capacity (C) or Demand (D)

C

D


22

Η μέση τιμή και η διασπορά του fs υπολογίζονται από τις σχέσεις (3) και (4) του

παραρτήματος, αντίστοιχα:

𝜇𝑓𝑓 =(𝑈𝐶 + 𝐿𝐶) ln(𝑈𝐷/𝐿𝐷)

2(𝑈𝐷 − 𝐿𝐷) = 1.74

𝜎2 =(𝑈𝐶 + 𝐿𝐶)2 − 𝑈𝐶𝐿𝐶

3𝑈𝐷𝐿𝐷− 𝜇2 = 1.39 ⇒ 𝜎 = 1.18

Η σ.π.π. του fs ακολουθεί την παραλλαγή α, σύμφωνα με το Σχήμα 11 καθώς 𝐿𝐶𝐿𝐷

= 5.69 > 0.77 =𝑈𝐶𝑈𝐷

Για τη σχεδίαση στο Σχήμα 9 των συναρτήσεων πυκνότητας πιθανότητας και

κατανομής του fs, υπολογίζονται τα αντίστοιχα τμήματα a, d και b (Σχήμα 11α,

Πίνακας 2):

Τμήμα a, για 0.65<fs<0.77.

𝐹𝑓𝑓(𝑓𝑠) =𝑓𝑠2∙

�𝑈𝐷 −𝐿𝐶𝑓𝑠�

2

(𝑈𝐶 − 𝐿𝐶)(𝑈𝐷 − 𝐿𝐷) = 𝑓𝑠 ∙ �2.20 −1.44𝑓𝑠

�2

𝑓(𝑓𝑠) =12∙

𝑈𝐷2 − �𝐿𝐶𝑓𝑠�2

(𝑈𝐶 − 𝐿𝐶)(𝑈𝐷 − 𝐿𝐷) = 4.86 −2.08𝑓𝑠2

Τμήμα d, για 𝑈𝐶𝑈𝐷

= 0.77 ≤ 𝑓𝑠 ≤ 5.69 = 𝐿𝐶𝐿𝐷

𝐹𝑓𝑓(𝑓𝑠) =𝑈𝐷 −

𝑈𝐶 + 𝐿𝐶2 ∙ 𝑓𝑠

𝑈𝐷 − 𝐿𝐷= 1.13 −

0.80𝑓𝑠

𝑓(𝑓𝑠) =1

2 ∙ 𝑓𝑠2∙𝑈𝐶 + 𝐿𝐶𝑈𝐷 − 𝐿𝐷

=1

2 ∙ 𝑓𝑠2∙

84.9 + 72.1110.3 − 12.7

=0.80𝑓𝑠2

Τμήμα b, για 5.69<fs<6.71.

𝐹𝑓𝑓(𝑓𝑠) = 1 −𝑓𝑠2

�𝑈𝐶𝑓𝑠 − 𝐿𝐷�2

(𝑈𝐶 − 𝐿𝐶)(𝑈𝐷 − 𝐿𝐷) = 1 − 𝑓𝑠 ∙ �1.70𝑓𝑠

− 0.25�2

𝑓(𝑓𝑠) =12∙

�𝑈𝐶𝑓𝑠�2− 𝐿𝐷2

(𝑈𝐶 − 𝐿𝐶)(𝑈𝐷 − 𝐿𝐷) =2.88𝑓𝑠2

− 0.064


23

Σχήμα 9. Συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας και συνάρτηση κατανομής του συντελεστή ασφαλείας.

Η πιθανότητα αστοχίας για τη θέση 4 υπολογίζεται ως:

𝐹𝑓𝑓(1) =2𝑈𝐷 − 𝑈𝐶 − 𝐿𝐶

2(𝑈𝐷 − 𝐿𝐷)=

2 × 110.34 − 84.91 − 72.092(110.34 − 12.66)

= 0.33

Συνεπώς για μεγάλο αριθμό ηλώσεων 33 στους 100 ήλους θα αστοχούν. Αυτός ο

σχεδιασμός πρέπει να απορριφθεί. Οι Hoek et al. (1995), χρησιμοποιώντας

αποκομμένες κανονικές κατανομές υπολόγισαν μέση τιμή του συντελεστή ασφαλείας

1.41, τυπική απόκλιση 0.71 και πιθανότητα αστοχίας 30 %.

Προκειμένου να καθοριστεί εάν μία πιθανότητα αστοχίας είναι αποδεκτή στο

σχεδιασμό, απαιτείται ο υπολογισμός των επιπτώσεων της αστοχίας ενός αγκυρίου σε

ένα γειτονικό του. Στην περίπτωση αστοχίας ενός αγκυρίου τα τέσσερα γειτονικά

αγκύρια θα κληθούν να φέρουν αυξημένο φορτίο κατά 25 %. Επομένως η απαίτηση

γίνεται:

𝐷 = 1.25 ∙ 𝛾 ∙ 𝑡 ∙ 𝑠2

Εκτελώντας εκ νέου την προσομοίωση προκύπτει πιθανότητα αστοχίας του

γειτονικού αγκυρίου ~50%. Υπάρχει δηλαδή το ενδεχόμενο αστοχίας τύπου

«ντόμινο». Ο αρχικός αυτός σχεδιασμός δεν είναι αποδεκτός

0.33

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0

Cum

ulat

ive p

roba

bilit

y

Prob

abili

ty d

ensi

ty

Safety factor, fs

LC/UD UC/LD

UC/UD

LC/LD

f(fs)

F(fs)


24

Για να αποφευχθεί η αστοχία πρέπει να μειωθεί η απαίτηση. Η απαιτούμενη

απόσταση των ηλώσεων, ώστε πρακτικά να εξαλειφτεί η πιθανότητα αστοχίας,

δηλαδή LC=UD=> min(fs)=1 (Παράρτημα σχέση 8), μπορεί να υπολογισθεί θέτοντας

𝜇𝐷 = 𝛾 ∙ 𝑠2 ∙ 𝜇𝑡 ; 𝑉𝐷 = 𝜎𝐷/𝜇𝐷 = 𝜎𝑡/𝜇𝑡 ; 𝑉𝐶 = 𝜎𝐶/𝜇𝐶 και λύνοντας ως προς s:

𝑠2 =𝜇𝐶𝛾 ∙ 𝜇𝑡

∙1 − √3 ∙ 𝜎𝐶𝜇𝐶1 + √3 ∙ 𝜎𝑡𝜇𝑡

= 1.43 ⟹ 𝑠 = 1.20 m

Η αντίστοιχη προσομοίωση με αποκομμένες κανονικές κατανομές και

απόσταση ήλων 1.25 m, έδωσε πιθανότητα αστοχίας 2.34%.


25

5 Παράρτημα

5.1 Βασικές έννοιες των πιθανοτήτων

Τυχαία μεταβλητή: Παράμετροι όπως η γωνία τριβής των ασυνεχειών, η μονοαξονική

αντοχή του πετρώματος, η διεύθυνση των ασυνεχειών του πετρώματος, η ένταση του

επιτόπου εντατικού πεδίου, δεν έχουν μία σταθερή τιμή, αλλά δύνανται να

λαμβάνουν σειρά από πολλές τιμές. Δεν υπάρχει δυνατότητα πρόγνωσης ακριβούς

μοναδικής τιμής της κάθε παραμέτρου σε κάθε σημείο. Επομένως, οι παράμετροι

αυτές χαρακτηρίζονται ως τυχαίες μεταβλητές.

Κατανομή πιθανότητας: Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας (PDF) περιγράφει τη

σχετική πιθανότητα να λαμβάνει συγκεκριμένη τιμή μία τυχαία μεταβλητή. Το

εμβαδόν της επιφάνειας κάτω από τη συνάρτηση ισούται με ένα. Η αθροιστική

κατανομή (CDF) δίνει την πιθανότητα να λαμβάνει μία μεταβλητή, τιμή μικρότερη ή

ίση με την επιλεγμένη τιμή.

Μέση τιμή (sample mean) δείγματος ή αναμενόμενη τιμή ή πρώτη ροπή:

∑=

=n

iix

nx

1

1

Η πραγματική μέση τιμή συμβολίζεται ως «μ».

Διακύμανση ή διασπορά (variance) δείγματος ή δεύτερη ροπή ως προς τη μέση τιμή

μιας κατανομής:

( )2

1

2

11 ∑

=

−−

=n

ii xx

ns

Τυπική απόκλιση (standard deviation):

2ss +=

Η πραγματική τυπική απόκλιση συμβολίζεται ως «σ»

Συντελεστής διακύμανσης ή μεταβλητότητας (coefficient of variation):

xsCOV =

Κανονική κατανομή (normal distribution):


26

∞<<∞−⋅

−

−

=

x

x

xf x πσ

σµ

2

21exp

)(

2

Άλλες κατανομές που χρησιμοποιούνται είναι η Βήτα, η Εκθετική, η

Λογαριθμοκανονική και η Weibull.

5.2 Αναλυτικός υπολογισμός της κατανομής του συντελεστή ασφαλείας

Η αξιοπιστία ενός συστήματος υποστήριξης προσδιορίζεται συγκρίνοντας την αντοχή

του συστήματος (ικανότητα, C) προς το εφαρμοζόμενο φορτίο (απαίτηση, D), και η

αστοχία του συστήματος θεωρείται ότι συμβαίνει όταν D>C. Η ικανότητα και η

απαίτηση μπορούν να θεωρηθούν ως τυχαίες μεταβλητές συγκεκριμένης συνάρτησης

πυκνότητας πιθανότητας, η οποία είτε επιλέγεται εκ των προτέρων, είτε υπολογίζεται

από διαθέσιμα στοιχεία. Η ανάλυση της αξιοπιστίας διαμορφώνεται είτε με τη μορφή

του περιθωρίου ασφαλείας Μ, που ορίζεται ως η διαφορά μεταξύ ικανότητας και

απαίτησης, ή με τη μορφή του συντελεστή ασφαλείας fs, που ορίζεται ως ο λόγος της

ικανότητας προς την απαίτηση, δηλαδή:

𝑓𝑠 =𝐶𝐷

; 𝑀 = 𝐶 − 𝐷 = 𝐷 ∙ (𝑓𝑠 − 1) (1)

Εξ ορισμού η fs είναι επίσης τυχαία μεταβλητή με συνάρτηση κατανομής Ffs. Για

C>0 και D>0, η Ffs ορίζεται ως:

𝐹𝑓𝑓(𝑓𝑠) = 𝑃 �𝐶𝐷

< 𝑓𝑠� (2)

Οι μεταβλητές 𝐶 και 𝐷 είναι συνήθως εξαρτημένες μεταξύ τους. Για παράδειγμα, σε

ένα πρανές η μία συνιστώσα του βάρους λειτουργεί ως δράση (𝐷) ολίσθησης, ενώ η

άλλη ως αντίδραση (𝐶) στην ολίσθηση λόγω αύξησης της αντοχής τριβής. Υπάρχουν

όμως πολλά προβλήματα της γεωτεχνικής, όπου η ικανότητα και η απαίτηση είναι

ανεξάρτητες μεταβλητές, όπως πχ. στη μελέτη θεμελιώσεων, υπόγειων στύλων

πετρώματος, κλπ.

5.2.1 Αναλυτικός υπολογισμός της κατανομής του συντελεστή ασφαλείας

Εφόσον, οι C και D είναι ανεξάρτητες και οι κατανομές τους θεωρηθούν ως

τμηματικά γραμμικές (Sofianos et al., 2013) ή πολυωνυμικές συναρτήσεις, τότε η

επίλυση δύναται να είναι αναλυτική. Ας υποθέσουμε για απλότητα ότι οι 𝑓𝐶 και 𝑓𝐷

είναι συναρτήσεις πυκνότητας ομοιόμορφης κατανομής (μηδενικού βαθμού


27

πολυωνυμικές συναρτήσεις ενός τμήματος), όπως φαίνεται στο Σχήμα 10. Τότε,

𝑓𝐶 = 1/(𝑈𝐶 − 𝐿𝐶), και 𝑓𝐷 = 1/(𝑈𝐷 − 𝐿𝐷).

Σχήμα 10. Συναρτήσεις πυκνότητας για ομοιόμορφες τυχαίες μεταβλητές για την ικανότητα 𝐶 και την απαίτηση 𝐷.

Ο Πίνακας 2 δίνει τις αναλυτικές σχέσεις υπολογισμού της συνάρτησης πυκνότητας

πιθανότητας f(fs), σύμφωνα με τη θέση της fs σε σχέση με τους λόγους LC/LD και

UC/UD. Διακρίνονται τέσσερα τμήματα, τα οποία μπορεί να διατάσσονται σε δύο

παραλλαγές, που φαίνονται στο Σχήμα 11, σύμφωνα με τη θέση των λόγων LC/LD και

UC/UD. Πίνακας 2 Συνάρτηση κατανομής και συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας του συντελεστή ασφαλείας fs (Nomikos & Sofianos, 2011).

Τμήμα του 𝑓𝑠 𝐹(𝑓𝑠) 𝑓(𝑓𝑠)

a 𝑓𝑠 < 𝑚𝑚𝑚(𝐿𝐶/𝐿𝐷;𝑈𝐶/𝑈𝐷) 𝑓𝑠2∙

�𝑈𝐷 −𝐿𝐶𝑓𝑠�

2

(𝑈𝐶 − 𝐿𝐶)(𝑈𝐷 − 𝐿𝐷) 12∙

𝑈𝐷2 − �𝐿𝐶𝑓𝑠�2

(𝑈𝐶 − 𝐿𝐶)(𝑈𝐷 − 𝐿𝐷)

b 𝑓𝑠 > 𝑚𝑚𝑚(𝐿𝐶/𝐿𝐷;𝑈𝐶/𝑈𝐷) 1 −𝑓𝑠2

�𝑈𝐶𝑓𝑠 − 𝐿𝐷�2

(𝑈𝐶 − 𝐿𝐶)(𝑈𝐷 − 𝐿𝐷) 12∙

�𝑈𝐶𝑓𝑠�2− 𝐿𝐷2


c 𝐿𝐶/𝐿𝐷 ≤ 𝑓𝑠 ≤ 𝑈𝐶/𝑈𝐷 𝑓𝑠(𝑈𝐷 + 𝐿𝐷)− 2𝐿𝐶

2(𝑈𝐶 − 𝐿𝐶) 12∙𝑈𝐷 + 𝐿𝐷𝑈𝐶 − 𝐿𝐶

d 𝑈𝐶/𝑈𝐷 ≤ 𝑓𝑠 ≤ 𝐿𝐶/𝐿𝐷 𝑈𝐷 −

𝑈𝐶 + 𝐿𝐶2𝑓𝑠

𝑈𝐷 − 𝐿𝐷

12𝑓𝑠2

∙𝑈𝐶 + 𝐿𝐶𝑈𝐷 − 𝐿𝐷

f C(C

) o

r f D

(D)


C

D

LD LC UD UC


28

Σχήμα 11. Συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας του συντελεστή ασφαλείας: (α) παραλλαγή: LC/LD>UC/UD, (β) παραλλαγή: LC/LD<UC/UD.

Η μέση τιμή μfs και η διασπορά σfs2,του συντελεστή ασφαλείας δίνονται από τις

σχέσεις:

𝜇𝑓𝑓 = � 𝑓𝑠 ∙ 𝑓(𝑓𝑠) 𝑑𝑓𝑠 =(𝑈𝐶 + 𝐿𝐶) ln(𝑈𝐷/𝐿𝐷)

2(𝑈𝐷 − 𝐿𝐷)

𝑈𝐶/𝐿𝐷

𝐿𝐶/𝑈𝐷

(3)

𝜎𝑓𝑓2 = � 𝑓𝑠2 𝑓(𝑓𝑠) 𝑑𝑓𝑠

𝑈𝐶/𝐿𝐷

𝐿𝐶/𝑈𝐷

− 𝜇𝑓𝑓2 =(𝑈𝐶 + 𝐿𝐶)2 − 𝑈𝐶𝐿𝐶

3𝑈𝐷𝐿𝐷− 𝜇𝑓𝑓2 (4)

όπου 𝜎𝑓𝑓 η τυπική απόκλιση. Από τις σχέσεις (3) και (4) ο συντελεστής διασποράς

𝑉𝑓𝑓 υπολογίζεται ως

𝑉𝑓𝑓 =𝜎𝑓𝑓𝜇𝑓𝑓

= �(𝑈𝐶 + 𝐿𝐶)2 − 𝑈𝐶𝐿𝐶

3𝑈𝐷𝐿𝐷 ∙ 𝜇𝑓𝑓2− 1 (5)

Εάν οι συντελεστές διασποράς των C και D είναι 𝑉𝐶 και 𝑉𝐷 αντίστοιχα, τα όρια

των τυχαίων μεταβλητών μπορούν να εκφρασθούν συναρτήσει των μέσων τιμών 𝜇𝐶

και 𝜇𝐷 ως:

𝐿𝐶 = 𝜇𝐶 ∙ �1 − √3 ∙ 𝑉𝐶� , 𝑈𝐶 = 𝜇𝐶 ∙ �1 + √3 ∙ 𝑉𝐶�

𝐿𝐷 = 𝜇𝐷 ∙ �1 − √3 ∙ 𝑉𝐷� , 𝑈𝐷 = 𝜇𝐷 ∙ �1 + √3 ∙ 𝑉𝐷� (6)

Prob

abili

ty d

ensit

y, f(

fs)

fsUCa bdUD

UCLD

LCLD

LCUD

fs

Prob

abili

ty d

ensit

y, f(

fs)

UCa bcUD

UCLD

LCLD

LCUD


29

Έτσι η εξ. (3) γίνεται:

𝜇𝑓𝑓 =𝜇𝐶 𝜇𝐷

∙√3 6 𝑉𝐷

ln�1 + √3 𝑉𝐷1 − √3 𝑉𝐷

� (7)

Οι ακραίες τιμές του fs μπορούν να υπολογισθούν συναρτήσει των 𝜇𝐶/𝜇𝐷 , 𝑉𝐶 και 𝑉𝐷

από τις σχέσεις:

min𝑓𝑠 =𝐿𝐶𝑈𝐷

=𝜇𝐶 𝜇𝐷

∙1 − √3 𝑉𝐶1 + √3 𝑉𝐷

, max𝑓𝑠 =𝑈𝐶𝐿𝐷

=𝜇𝐶 𝜇𝐷

∙1 + √3 𝑉𝐶1 − √3 𝑉𝐷

(8)

Αστοχία συμβαίνει όταν η απαίτηση υπερβεί την ικανότητα (ο συντελεστής

ασφαλείας είναι μικρότερος της μονάδας). Η πιθανότητα αστοχίας υπολογίζεται από

τη συνάρτηση κατανομής του συντελεστή ασφαλείας για fs=1, που εξαρτάται από τη

σχετική θέση των ορίων των μεταβλητών C και D όπως φαίνεται από το Σχήμα 12.

Ο συμβατικός συντελεστής ασφαλείας μπορεί να ορισθεί ως ο λόγος 𝜇𝐶/𝜇𝐷. Ο

ελάχιστος συμβατικός συντελεστής ασφαλείας για να εξαλειφτεί η πιθανότητα

αστοχίας μπορεί να υπολογισθεί θέτοντας 𝐿𝐶 = 𝑈𝐷 (θέση 1 – τιμές D πριν τις τιμές

C) και λύνοντας ως προς 𝜇𝐶/ 𝜇𝐷 :

𝜇𝐶𝜇𝐷

=1 + √3𝑉𝐷 1 − √3𝑉𝐶

(9)

Εάν οι κατανομές των C και D θεωρηθούν τριγωνικές, τότε επίσης είναι δυνατός ο

υπολογισμός του συντελεστή ασφαλείας. Η τριγωνική κατανομή είναι η απλούστερη

μορφή διγραμμικής κατανομής, που συνίσταται από δύο συναρτήσεις ράμπας (ramp

functions) αντίθετης κλίσης. Μπορεί να είναι συμμετρική (Σχήμα 13 αριστερά) ή

ασύμμετρη (Σχήμα 13 αριστερά) είτε προς τα αριστερά ή προς τα δεξιά.

Θέση 1

Θέση 2

f C(C

) o

r f D

(D)


C

D

UCLCLD UD

f C(C

) o

r f D

(D)


D

C

LC UDUC


30

𝐹𝑓𝑓(1) =12∙

(𝑈𝐷 − 𝐿𝐶)2


=�𝜇𝐷�1 + √3𝑉𝐷� − 𝜇𝐶�1 − √3𝑉𝐶��

2

24 𝜇𝐶 𝜇𝐷 𝑉𝐶 𝑉𝐷

𝐹𝑓𝑓(1) = 1 −12

(𝑈𝐶 − 𝐿𝐷)2


= 1 −�𝜇𝐶�1 + √3𝑉𝐶� − 𝜇𝐷�1 − √3𝑉𝐷��

2

24 𝜇𝐶 𝜇𝐷 𝑉𝐶 𝑉𝐷

Θέση 3 (β παραλλαγή)

Θέση 4 (α παραλλαγή)

𝐹𝑓𝑓(1) =𝑈𝐷 + 𝐿𝐷 − 2𝐿𝐶

2(𝑈𝐶 − 𝐿𝐶) =12−√3 (𝜇𝐶 − 𝜇𝐷)

6 𝜇𝐶 𝑉𝐶 𝐹𝑓𝑓(1) =

𝑈𝐷 −𝑈𝐶 + 𝐿𝐶

2𝑈𝐷 − 𝐿𝐷

= 12−√3 (𝜇𝐶 − 𝜇𝐷)

6 𝜇𝐷 𝑉𝐷

Σχήμα 12. Σχετική θέση των τυχαίων μεταβλητών C και D σε σχέση με τα όρια τους και αντίστοιχη πιθανότητα αστοχίας.

Σχήμα 13. Συμμετρικές (αριστερά) και ασύμμετρες (δεξιά) τριγωνικές συναρτήσεις κατανομής για την ικανότητα και την απαίτηση.

Εάν τα πρώτα (αύξοντα) τμήματα των κατανομών συμβολίζονται με i = j = 1 και τα

δεύτερα (φθίνοντα) με i = j = 2, αντίστοιχα, τότε η συνάρτηση κατανομής της fs

μπορεί να υπολογιστεί ως (Sofianos et al. 2013):

( )

>

≤≤

<

= ∑∑= =

1

2

2

1

2

1 1

2

2

1,

2

1

,1

),(

,0

D

C

i j D

C

D

Cijfs

D

C

fs

LUfs

LUfs

ULfsF

ULfs

fsF (10)

Ffs,ij(fs) είναι η πιθανότητα του συνδυασμού του i τμήματος της ικανότητας με το j

τμήμα της απαίτησης. Υπολογίζεται από τις σχέσεις:

f C(C

) o

r f D

(D)


C

D

UCUDLC LD

f C(C

) o

rf D

(D)


C

D

LCLD UDUC

Ικανότητα (C) ή Απαίτηση (D) Ικανότητα (C) ή Απαίτηση (D)


31

>

≤≤−

<

=

Dj

Ci

Dj

Ci

Dj

Ciijij

Dj

Ci

DjCiijfs

LUfs

LUfs

UL

fsN

M

ULfs

wwfsF

,1

,

,0

)( 2, (11)

( )( )

( )( )1212

;DD

DjDjDj

CC

CiCiCi LU

LUw

LULUw

−

−

−−

==

( )( ) ( ) ( )

( )

=

=

−

−−+

−

−=

fsLLLRfs

UUUR

LU

LRh

LULR

hM

Dj

CiDjLij

Dj

CiDjUij

CiCi

CiUijCi

CiCi

CiUijCiij

,max;,min

1 2

2

ijCiDjijijijCiDjijijijijijij QfsLfsLKKQLfsLKKfsKQKN 221343244 )]([)]([ −++−+++=

( ) ( )4,3,2; =

−−−= k

kfsLRfsLR

Qk

DjLijk

DjUijkij

( ) ( )( )( ) ( )

( )( ) ( )( )( )( ) ( ) 22

4

123

212

111

112

1

12

−−

−−

−−

−−

−−−−=

−−−=

−−−=

−−=

CiCiDjDjDjCiij

CiCiDjDjDjCiij

CiCiDjDjCiDjij

CiCiDjDjDjCiij

LULUhhK

LULUhhK

LULUhhK

LULUhhK

hC1= hD1=0, hC2= hD2=2

(12)

Η μέση τιμή μfs και η διασπορά σfs2,του συντελεστή ασφαλείας δίνονται από τις

σχέσεις:

dfsFLUDC

DC

LU

ULfsDCfs ∫−=12

21

12µ (13)

( ) 2212

212

21

2 fs

LU

ULfsDCfs dfsfsFLU

DC

DC

µσ −−= ∫ (14)

που μπορούν να υπολογισθούν αριθμητικά. Η πιθανότητα αστοχίας P(fs≤1) μπορεί να

υπολογισθεί από την συνάρτηση κατανομής της fs θέτοντας fs=1.

5.2.2 Αριθμητικός υπολογισμός της κατανομής του συντελεστή ασφαλείας

Ο υπολογισμός της κατανομής του συντελεστή ασφαλείας μπορεί να

πραγματοποιηθεί αριθμητικά, θεωρώντας τις υπεισερχόμενες παραμέτρους ως τυχαίες

μεταβλητές που ακολουθούν την κανονική κατανομή ή άλλες συνήθεις συνεχείς

κατανομές. Η τεχνική που χρησιμοποιείται αναφέρεται γενικά ως προσομοίωση ή


32

μέθοδος Monte Carlo. Το πρώτο βήμα της μεθόδου είναι η «τυχαία δειγματοληψία»

τιμών από τις συναρτήσεις κατανομής των στοχαστικών παραμέτρων (Σχήμα 14,

αριστερά). Συνήθως χρησιμοποιείται η μέθοδος της αντιστροφής σύμφωνα με τη

σχέση 𝛸 = 𝐹−1(𝑈), όπου 𝛸 η τυχαία μεταβλητή με κατανομή 𝐹 και 𝑈 ομοιόμορφα

κατανεμημένη τυχαία μεταβλητή στο διάστημα [0, 1].

Το δεύτερο βήμα είναι η επαναλαμβανόμενη επίλυση της εξίσωσης υπολογισμού του

συντελεστή ασφαλείας (ή ενός υπάρχοντος προσδιορισμικού μοντέλου), τόσες φορές

όσο το πλήθος των τιμών της τυχαίας δειγματοληψίας του πρώτου βήματος. Το βήμα

αυτό δεν παρουσιάζει γενικά δυσκολίες, πλην του υψηλού υπολογιστικού χρόνου που

μπορεί να απαιτείται για την πολλαπλή επίλυση ενός αριθμητικού μοντέλου σε

πολύπλοκα γεωτεχνικά προβλήματα.

Σχήμα 14. Επιλογή 5 τυχαίων αριθμών από τη συνάρτησης κατανομής 𝐹 με δειγματοληψία Monte Carlo (αριστερά) και Latin Hypercube (δεξιά) .

Η υπολογιστική προσπάθεια μπορεί να μειωθεί σημαντικά με τη χρήση

στατιστικών τεχνικών που είναι γνωστές ως τεχνικές ελάττωσης της διασποράς, όπως

η δημοφιλής μέθοδος δειγματοληψίας (Σχήμα 14, δεξιά) του λατινικού υπερκύβου

(Latin Hypercube sampling, LHS). Με αυτή επιλέγονται 𝑚 διαφορετικές τιμές της

τυχαίας μεταβλητής 𝛸 χωρίζοντας το εύρος της 𝑚 μη επικαλυπτόμενα διαστήματα

ίσης πιθανότητας 𝑃 = 1/𝑚 και επιλέγοντας μία τιμή από κάθε διάστημα.

0.47

0.08

0.32

0.91

0.15

78.073.6 76.6 82.874.80.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

70 80 90Τυχαία μεταβλητή X

Δειγματοληψία Monte CarloF(Χ) 0.92

0.76

0.08

0.26

0.45

83.080.673.5 76.0 77.80.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

70 80 90X

Δειγματοληψία Latin Hypercube


33

6 ΠΑΡΑΠΟΜΠΕΣ Anon. (1980) Neue Oestereichische Tunnelbaumethode, Definition und Grundsaetze,

Selbstverlag der Forschungsgesellschaft fur das Strassenwesen im O.I.A.V., Wien. Anon. (1990) “Υδροηλεκτρικό έργο Μεσοχώρας, Σήραγγα αποστραγγίσεων και

τσιμεντενέσεων”, Σ.Α-Τ/9, Δ.Ε.Η. Anon. (1995) “Comment - What’s in a name”, Tunnels & Tunnelling, September. Aldorf J. & Exner K. (1986) “Mine openings : Stability and support”, Elsevier Brady B.H.G. and Brown E.T. (1985) “Rock Mechanics for Underground Mining”,

Allen & Unwin. Γκαζέτας Γ. (1988), “Σκέψεις για μία πιο ορθολογημένη ελληνική γεωτεχνική

ορολογία”, Πρακτικά πρώτου πανελλήνιου συνεδρίου γεωτεχνικής μηχανικής, Τ.Ε.Ε., 3, 73-76.

Δημητράκος Δ. (1964), “Μέγα λεξικόν όλης της Ελληνικής γλώσσης”, Εκδ. Οργ. Ασημακόπουλος.

Hoek E. and Brown E.T. (1980) “Underground excavations in rock”, I.M.M. Hoek E., Kaizer P.K. & Bawden W.F. (1995), “Support of underground excavations

in hard rock”, Balkema. Hudson JA & Harrison JP (1997). “Engineering Rock Mechanics, An Introduction to

the principles”, Pergamon. Κολαΐτης Μ. (1976), “Αγγλοελληνικό λεξικό των θεωρητικών και εφαρμοσμένων

μαθηματικών”, Έκδοση Τ.Ε.Ε. Kovari K. (1994) “Erroneous concepts behind the New Austrian Tunnelling Method”,

Tunnels & Tunnelling, November, 38-42. Muller L. (1978) “Der Felsbau, Dritter band: Tunnelbau”, Abb. 16-130, Enke Verlag,

Stuttgart. Μυλωνάς Κ.Μ. (1986). “Μηχανική παραμορφωτών σωμάτων”, Ι, Τρίτη έκδοση,

Αθήνα. Nomikos PP and Sofianos AI (2011). “An analytical probability distribution for the

factor of safety in underground rock mechanics”, Intern. J. R.M. Min. Sci. Οικονομόπουλος Ι.Ν. (1989). “Εκμετάλλευσις Μεταλλείων - Υποστήριξις”, Ε.Μ.Π. Παπασπύρου Σ. Ν. (1985) “Αγκυρώσεις”. Proctor R.V. & White T.L. (-). “Rock tunneling with steel supports”, Commercial

Shearing & Stamping Company Σοφιανός Α.Ι. (1997). «Για κάποιους πιο αντιπροσωπευτικούς βασικούς όρους των

μέτρων υποστήριξης υπογείων εκσκαφών», Πρακτικά 3ου Πανελλήνιου Συνεδρίου Γεωτεχνικής Μηχανικής, Τόμος 2, σελ. 417-23.

Sofianos, A.I., Nomikos, P.P., Papantonopoulos, G (2013). Distribution of the factor of safety, in geotechnical engineering, for independent piecewise linear capacity and demand density functions. Computers and Geotechnics 55 , pp. 440-447

LDY_01__

Documents

Transcript of LDY_01__