Lagrange–MultiplikatorenSatz

Seien:

G ⊂ Rn offen, f ∈ C1(G,R), g ∈ C1(G,Rm), m < n

g(x) := (g1(x) , . . . , gm(x))T ∈ Rm

x0 ∈ {x ∈ G | g(x) = 0} lokale Extremstelle von f bzgl. NB. g(x) = 0

rg g′(x0) = m, Regularitatsbedingung.

=⇒ ∃ λ ∈ Rm, λ := (λ1, . . . , λm)T : f ′(x0) + λT g′(x0) = 0,

i.e., grad f(x0) +m∑i=1

λi grad gi(x0) = 0.

Beweis: Nach Voraussetzung ist:

rg g′(x0) = rg

∂g1(x0)∂x1

· · · ∂g1(x0)∂xm

∂g1(x0)∂xm+1

· · · ∂g1(x0)∂xn

......

......

......

∂gm(x0)∂x1

· · · ∂gm(x0)∂xm

∂gm(x0)∂xm+1

· · · ∂gm(x0)∂xn

= m.

OBdA sei ∣∣∣∣∂gi(x0)

∂xj

∣∣∣∣1≤i≤m1≤j≤m

6= 0,

(andernfalls wird entsprechend nummeriert). Wir fuhren zur Abkurzung neue Vektoren ein:

u := (x1, . . . , xm) ∈ Rm, t := (xm+1, . . . , xn) ∈ Rn−m, u = (u, t)

u0 = (x01, . . . , x

0m), t0 = (x0

m+1, . . . , xmn ), =⇒ x0 = (u0, t0).

f(x) = f(u, t) & g(x) = g(u, t)

Da g(x0) = 0 =⇒ g(u0, t0) = 0.

1

Wegen

det gu(u0, t0) =

∣∣∣∣∂gi(x0)

∂xj

∣∣∣∣1≤i≤m1≤j≤m

6= 0 =⇒ ∃ (gu(u0, t0))−1

sind fur die Funktion g(u, t) in einer kleinen Umgebung von t0 ∈ Rn−m die Voraussetzungendes Satzes uber implizite Funktionen erfullt, i.e., die Gleichung

g(u, t) = 0 ist lokal stetig diffbar nach u auflosbar, i.e.,

∃ B(t0, r) ⊂ Rn−m (r > 0) ∃ u : B(t0, r)→ Rm, u 7→ u(t), u stetig diffbar :

u(t0) = u0 & g(u(t), t) = 0 ∀ t ∈ B(t0, r).

Die Funktion

ϕ : B(t0, r)→ Rn, t 7→ ϕ(t) := f(u(t), t)

ist wegen der Voraussetzungen an f und der Eigenschaften von u stetig diffbar und dieKettenregel ergibt

ϕ′(t) = fu(u(t), t) u′(t) + ft(u(t), t).

Da g(u(t), t) = 0 ∀ t ∈ B(t0, r) & x0 = (u(t0), t0) lokale Extremstelle von f bzgl.g(x) = 0 =⇒ t0 ist lokale Extremstelle von ϕ ohne Nebenbedingungen, muss geltenϕ(t0) = 0 , i.e.,

(∗) fu(u(t0), t0) u′(t0) + fu(u(t0), t0) = 0

Differenziert man g(u(t), t) = 0 nach t , so folgt

gu(u(t), t) u′(t) + gt(u(t), t) = 0, t ∈ B(t0, r),

und daher

u′(t0) = −(gu(u

0, t0))−1

gt(u0, t0),

was in (∗) substituiert wird. =⇒

(∗∗) − fu(u0, t0)(gu(u

0, t0))−1

gt(u0, t0) + ft(u(t0), t0) = 0.

Wir definieren

λT = (λ1, . . . , λm) := −fu(u(t0), t0)(gu(u

0, t0))−1

.

Multipliziert man letztere Gleichung von rechts mit der Matrix gu(u0, t0) , so folgt

fu(u0, t0) + λT gu(u

0, t0) = 0

Substituiert man andererseits λ in (∗∗) , so hat man

ft(u0, t0) + λT gt(u

0, t0) = 0,

und die beiden letzten Gleichungen bedeuten

f ′(x0) + λT g′(x0) = 0,

was zu zeigen war. #

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