La Lógica

HABILIDAD DE PENSAMIENTO

JOAQUIN LARA SIERRA

Definiendo la Lógica

• La lógica es una ciencia formal y una rama de la filosofía que estudia los principios de la demostración e inferencia válida. La palabra deriva del griego antiguo λογική (logike), que significa «dotado de razón, intelectual, dialéctico, argumentativo», que a su vez viene de λόγος (logos), «palabra, pensamiento, idea, argumento, razón o principio».

• La lógica examina la validez de los argumentos en términos de su estructura, (estructura lógica), independientemente del contenido específico del discurso y de la lengua utilizada en su expresión y de los estados reales a los que dicho contenido se pueda referir.

• Esto es exactamente lo que quiere decir que la lógica es una ciencia «formal».

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Lógica proposicional

• En lógica, la lógica proposicional es un sistema formal diseñado para analizar ciertos tipos de argumentos. En lógica proposicional, las fórmulas representan proposiciones y las conectivas lógicas son operaciones sobre dichas fórmulas, capaces de formar otras fórmulas de mayor complejidad. Como otros sistemas lógicos, la lógica proposicional intenta esclarecer nuestra comprensión de la noción de consecuencia lógica para el rango de argumentos que analiza.

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Introducción

• p↔¬q

• q→t

• p→(¬t n)

• p: la humanidad es libre

• q: los humanos están ligados a una esencia

• t: Dios creó a los humanos

• n: todos los elefantes vuelan

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Considérese el siguiente argumento:

• Mañana es miércoles o mañana es jueves.

• Mañana no es jueves.

• Por lo tanto, mañana es miércoles.

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• Es un argumento válido. Quiere decir que es imposible que las premisas sean verdaderas y la conclusión falsa. Esto no quiere decir que la conclusión sea verdadera. Si las premisas son falsas, entonces la conclusión también podría serlo. Pero si las premisas son verdaderas, entonces la conclusión también lo es. La validez de este argumento no se debe al significado de las expresiones «mañana es miércoles» y «mañana es jueves», porque éstas podrían cambiarse por otras y el argumento permanecer válido

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Por ejemplo:

Está soleado o está nublado.

No está nublado.

Por lo tanto, está soleado.

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En cambio, la validez de estos dos argumentos depende del significado de las expresiones «o» y «no». Si alguna de estas expresiones se cambiara por otra, entonces podría ser que los argumentos dejaran de ser válidos. Por ejemplo:

• Ni está soleado ni está nublado.

• No está nublado.

• Por lo tanto, está soleado

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• Las expresiones de las que depende la validez de los argumentos se llaman constantes lógicas. La lógica proposicional estudia el comportamiento de algunas de estas expresiones, llamadas conectivas lógicas. En cuanto a las expresiones como "está nublado" o "mañana es jueves", lo único que importa de ellas es que tengan un valor de verdad. Es por esto que se las reemplaza por simples letras, cuya intención es simbolizar una expresión con valor de verdad cualquiera.

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A estas letras se las llama variables proposicionales, y en general se toman del

alfabeto latino, empezando por la letra p, luego

q, r, s, etc. Así, los dos primeros argumentos de

esta sección podrían reescribirse así:

• p o q

• No q

• Por lo tanto, p

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Conectivas lógicas Conectiva

Expresión en el lenguaje natural

Ejemplo Símbolo en este artículo

Símbolos alternativos

Negación no No está lloviendo. ¬ ͠ Conjunción y

Está lloviendo y está nublado. ˄ .&

Disyunción o Está lloviendo o está soleado. ˅

Condicional material si... entonces Si está soleado, entonces es de día. → Ↄ

Bicondicional si y sólo si Está nublado si y sólo si hay nubes visibles. ↔ ≡

Negación conjunta ni... ni Ni está soleado ni está nublado. ↓

Disyunción excluyente o bien... o bien O bien está soleado, o bien está nublado. ↔ W

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• En la lógica proposicional, las conectivas lógicas son tratados como funciones de verdad. Es decir, como funciones que toman conjuntos de valores de verdad y devuelven valores de verdad. Por ejemplo, la conectiva lógica no es una función que si toma el valor de verdad V, devuelve F, y si toma el valor de verdad F, devuelve V. Por lo tanto, si se aplica la función no a una letra que represente una proposición falsa, el resultado será algo verdadero. Si es falso que «está lloviendo», entonces será verdadero que «no está lloviendo».

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• Otra convención acerca del uso de los paréntesis es que las conjunciones y las disyunciones tienen «menor jerarquía» que los condicionales materiales y los bicondicionales. Esto significa que dada una fórmula sin paréntesis, las conjunciones y las disyunciones deben agruparse antes que los condicionales materiales y los bicondicionales. Por ejemplo:

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• La lógica de primer orden incorpora además las conectivas de la lógica proposicional. Combinando las conectivas con los predicados, constantes, variables y cuantificadores, es posible formalizar oraciones como las siguientes:

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Ejemplos

Por ejemplo, “Juan es alto pero flaco” puede traducirse como

p ^ q, donde:

◮ p = ’Juan es alto’.

◮ q = ’Juan es flaco’.

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Ejemplo

Construya la tabla de verdad de

(p ˅ q) ^ ¬(p ^ q).

¿Cuál es el ’significado’ de esta oración?

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p q (p ˅ q) (p ^ q) ¬(p ^ q) (p ˅ q) ^ ¬(p ^ q)

V V V V F F

V F V F V V

F V V F V V

F F F F V F

Aplicación

Realizar un algoritmo para cruzar una calle por un paso de peatones:

Inicio

Mirar a la derecha y a la izquierda

Mientras pasen vehículos Esperar

Mirar a la derecha y a la izquierda

Fin mientras

Cruzar la calle

Fin

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Ejercicios

Usando tablas demuestre que 1. ¬(¬p)↔ p P ¬P ¬(¬p) 4. p˅T↔T P T p˅T

V

F

2. p˄¬p ↔C P ¬P P˄¬P 5. p˄T↔P P T p˄T

3. p˅¬p↔T P ¬P p˅¬p 6. p˅C↔p P C p˅C

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