Lógica proposicional

Actividad de aprendizaje mb

Formalización de proposiciones

1. Son proposiciones conjuntiva:

C) Luis y Daniel corren

2. “O Elio es presidente y Juan es tesorero, o Luis es tesorero” .Se formaliza:

a) (p∧q)Δr

3. De las siguientes proposiciones:

2) Ica esta al Norte de Lima

5. De la Proposición:” Ni ganaras la rifa, ni ganaras el bingo, pero participas de la maratón porque estas muy entusiasmado”, podemos afirmar con toda seguridad que:

a) (¬p∧¬q) ∧ (r←s) y b) su conectivo dominante es “∧” 7. La proposición: “Si Abelardo esta en Europa o él está en Colombia, entonces no ocurre

que juan esta en ecuador”, se formaliza:

c)(A B)→¬C

9. El Siguiente Argumento:

“La Aguja de la brújula gira en vista de que la embarcación a cambiado de rumbo, y la embarcación a cambiado de rumo dado que hay una tormenta en el mar”.

b) (p←q) ∧ (q←r)

EQUIVALENCIAS LOGICAS

1. Hallar la preposición equivalente de:” la pobreza es un signo del desprecio de Dios, los primeros cristianos fueron despreciados por Dios. Si Jesús dejo los bienes materiales y amo al pobre, el pobre fue su principal preocupación. Entonces, la pobreza no es signo del desprecio de Dios o los primeros cristianos fueron despreciados por Dios. Si y solo si Jesús dejo los bienes materiales”.

b) Jesús dejo los bienes materiales.

2. Dada la siguiente expresión: “El cielo está despejado y las nubes blancas. Si el cielo está despejado y las nubes son blancas, estamos en verano. Si el cielo no está despejado y las nubes no están blancas, no estamos en verano. En consecuencia no estamos en invierno”.

d) Si el cielo está despejado, y las nubes blancas y estamos en verano; es obvio que no estamos en invierno.

3. Hallar la proposición equivalente: “La luna gira entorno a la tierra o solo marte. La luna no gira entorno a marte”.

a) La luna gira entorno a la tierra y no gira entorno a marte.4. Hallar la proposición equivalente: “Si el hombre peruano es autóctono luego proviene

de Asia. Mas el hombre peruano no es autóctono”.

e) El hombre peruano no es autóctono

5. La proposición equivalente: “No es un buen estudiante, al igual que destaca en el futbol”.

a) No es cierto que sea un buen estudiante o no destaque en el futbol.

CIRCUITOS

1. Dado el circuito:

Representarlo de otra forma:

c)

2. Determinar la menor expresión que representa al circuito dado:

b) p

3. Determinar el circuito lógico que representa el esquema molecular: [p→ (q v r)]

e)

4. Dado el siguiente circuito:

Su equivalente es:

b) p ∧ q5. Encuentra el siguiente equivalente del siguiente circuito lógico:

b) p

IMPLICASIONES LOGICAS

1. Hallar la conclusión, dadas las siguientes premisas: (1) r → t(2) s → r(3) S

e) s v r

2. Dadas las premisas, hallar la conclusión:(1) a→(b ∧ d)(2) (b ∧ d) →c (3) a

b) c

3. hallar la conclusión, dadas las premisas:(1) c v d(2) (c v d)→ f(3) f→(a ∧ b)(4) (a ∧ b) →(r v s)

e) r v s

4. Dadas las premisas, hallar la conclusión:(1) x≠ 0→X +y≠y(2) x+y=y

c) x ≠ y

ACTIVIDAD DE APRENDISAJE NUMERO 2

I. Encuentra el valor incógnita en cada una de las ecuaciones:

1. 5 m + 6 = 10 m + 5

+6 – 5 = 10m – 5m

1 = 5m

15

= m

2. 8m + 9 – 12m = 4m – 13 – 5m

8m – 12m – 4m + 5m= – 13 – 9

–3m = – 22

3m = 22

m = 223

3. (5 – 3x) – (-4 + 6) = (8x + 11) – (3x – 6)

5 – 3x + 4x – 6 = 8x +1 – 3x +6

X – 1 = 5 x +17

– 1 – 17 = 5x – x

– 18 = 4x

– 9 = 2x

−92

= x

4. 16m – [3m – (6 – 9m)] = 20m + [– (3m + 2) – (m + 3)]

16m – [3m – 6 +9m] = 20m + [– 3m – 2 – m – 3]

16m – [12m – 6] = 20m + [– 4m – 5]

16m – 12m + 6 = 20m – 4m – 5

4m +6 = 16m – 5

6 + 5 = 16m – 4m

11 = 12 m

1112

=m

5. 71 + [ - 5y + ( - 2y +3)] = 25 – [(3y +4) – (4y + 3)]71 + [- 5y - 2y +3] = 25 – [3y +4 – 4y - 3] 71 + [- 7y +3] = 25 – [1 - 4] 71 – 7y + 3 = 25 – 1 + 4 74 – 7y = 24 + y 74 – 24 = y + 7y 50 = 8y

254

= y

6. (4 – 5y)(4y – 5) = (10y – 3)(7 – 2y)16y – 20y2 – 20 +25y = 70y – 21 - 20y2+6 y 41y - 20y2 – 20 = 76y - 20y2 – 21 - 20 + 21 = 76y – 41 1 = 35y

1

35=4

7. (3 p– 1)2 - 5(p – 2) – (2 p+3)25(p + 2)(p – 1) = 0

9p2 – 6p +1 – 5p +2 = (4p2+12 p+9¿+5¿)

9p2−11 p+3=4 p2+12 p+9+5 p2+5 p−10

9p2−11 p+3=9 p2+17 p−1

3 + 1 = 17 p +11 p

4 = 28p

17=p

II. Analiza cada problema planteado correctamente y resuelve.

1. En cada banquete habían 8 invitados por mesa: luego trajeron 4 mesas más y entonces se sentaron 6 invitados en cada mesa. ¿cuántos invitados habían?

8 x mesa

6 (m+4)

8 m = 6 (m+4) mesas = 12

8m - 6m =24 invitados 8 x 12 = 96

2m = 24

m = 12

2. Leonor y Eduardo tienen juntos 75 monedas. Eduardo tiene el doble de monedas que Leonor. ¿cuantas monedas tiene cada una de estas dos personas?

L + E = 75 Si Leonor = 25

E = 2L Eduardo = 2L = 2(25) = 50

L + 2L = 75

3L = 75

L = 25

3. Beatriz y Shirley coleccionan cupones de modo que las dos tienen 80. Tres veces el número de cupones que tiene Beatriz es igual a 5 cupones más que el doble de los cupones que tiene Shirley. ¿Cuántos cupones tiene cada una de ellas?

B + S = 80 B = 80 - S

3B = 2S - 5

3( 80 – S) = 2S - 5 B = 31 shirley tiene 49 y Beatriz 31

240 – 3 S = 2S – 5

245 = 5S

49 = S

4. Un granjero tiene pollos y caballos. Todos estos animales juntos tienen 50 cabezas y 140 patas. ¿Cuántos pollos y cuantos caballos tiene el granjero?

Granjero = P + C 50 Cab

140 patas Si P + C = 50 P + C = 50 P + (20) = 50

2P + 4 C = 140 = P + 2C = 70 P = 30

- P – C = -50 Pollos 30

C = 20 caballos 20

5. Al ser preguntada una dama por su edad, contesto que no tenía por qué ocultarla, pero aquel que quisiera saberla, le costaría cierto trabajo determinarlo y agrego:“si al año que cumplí los 15 le suman el año en que cumplí los 20 y si a este resultado le restan la suma del año en que nací con el año actual obtendrían 7”. ¿Cuál es la edad de esa dama?

n + (n + 1) + (n + 2) = 24n + n + 1 + n + 2 = 243n + 3 = 24 3n =21n = 7

Analiza los siguientes problemas y resuelve

1. Un hacendado compro 4 vacas y 7 caballos por s/ 514 y más tarde a los mismos precios compro 8 vacas y 9 caballos por s/ 818 hallar el costo de cada caballo y de cada vaca.

4v +7c = 514 x2 8v + 14c = 1028 caballos = 428v + 9c = 818 - (8v + 9c = 818) vacas = 55

0v + 5 c = 210

C = 42

4v + 7(42) = 514

4v +294 = 514

4v = 220

V = 55

2. El doble de la edad de Rigoberto excede en 50 años la edad de José, y 14

de la edad de

José es de 35 años menos que la edad de Rigoberto halla ambas edades.

2R – 50 = J …….. 1

¼ J + 35 = R ….…. 2

X4 Ordenando J + 140 = 4R

4R - 140 = J

4R – 140 = J

- ( 2R – 50 = J ) J =2 (45) – 50 = 90 -50 = 40

2R – 90 = 0 José = 40

2R = 90 Rigoberto = 45

R = 45

3. 5 licuadoras y 3 batidoras cuestan s/ 4180 y 8 licuadoras y 9 batidoras cuestan s/ 6940 halla el precio de cada uno de ellos.

5 l + 3 b = 4180 x 3 15 l + 9 b = 12540

8 l + 9 b = 6940 - 8l + 9 b = - 6940

7 l = 5600

l = 800

5 (800) + 3 b = 4180 Licuadoras = 800 s/

4000 + 3 b = 4180 Batidoras = 60 s/

3 b = 180

b = 60

4. Si a los dos términos de una fracción se añade 3, el valor de la fracción es 12

y si a los

dos términos se les resta 1, el valor de la fracción es 13

hallar la fracción.

a+3b+3

=12

2a + 6 = b +3

2 a + 3 = b ……… 1

3 a – 3 = b -1

a−1b−1

=13

3 a – 2 = b …..... 2

2a+ 3 = b

-(3a – 2 = b)

2a – 3a + 3 +2 = b – b

- a + 5 = 0

5 = a

5+3b+3

=12

8 (2) = b +3

16 = b + 3

13 = b

Problemas que se resuelven por medio de ecuaciones cuadráticas o de segundo grado.

1. La suma de dos números es 9 y la suma de sus cuadrados es 53 hallar los números

a + b = 9 b = 9 – a 2a -14

a2+ b2=53 a -7

a2+(9−9)2=53

a2+81−18a+a2=53 (2a -14) (a – 2)=0

Fracción: 5

13

2a2−18a+81=53 ∴2a−14=0 a – 2= 0

2a2−18a+28=0 a = 7 a = 2

Los números son 7 y 2

2. Un numero positivo es los 35

de otro y su producto es 2160 hallar los números

a=35b

35bxb=2160

b2=2160 x

53

a = 35

(60 )=36

b2=3600 b = 60

3. Luis tiene 3 años más que nata y el cuadrado de la edad de Luis aumentado en cuadrado de la edad de nata equivale a 317 años, hallar ambas edades.

L – 3 = N

L2+¿L2+L2−6 L+9=3172L2−6 L−308=0 2L -28 14 – 3 = N N = 11 L +11(2L – 28) (L + 11) = 0 2L – 28=0 L = 28/2

L= 14

4. Hallar dos números consecutivos tales que el cuadrado del mayor exceda en 57 al triple del menor.

(n + 1¿2−57=3n

n2+2n+1−57=3n

n2−n−56=0n +7n -8(n + 7) (n – 8) = 0n + 7 = 0 n – 8 = 0 n° = 7 y 8n = - 7 n = 8

5. Un comerciante compro cierto número de sacos de azúcar s/ 1000 si hubiera comprado 10 sacos por el mismo dinero cada saco le habría costado s/15 menos cuantos sacos compro y cuantos les costó cada uno.

s x p = 1000

(5 + 10) (p – 15) = 1000

sp = (5 + 10) (p – 15)

sp= sp + 10p – 15 s – 150

150 = 10p – 15s

30 = 2p – 3s

ACTIVIDAD DE APRENDISAJE N°3

1. Resuelve las siguientes inecuaciones:

2. 2x3 - 3x2−11 x+6˂0

2 -3 -11 6

-2 -4 14 -6

2 -7 3 0

(x + 2) (2x2−7 x+3¿˂0

2x -1

x -3

(x + 2)(2x – 1) (x – 3)˂0 X

˂-∞ ,2˃˂−∞ , 12¿˂−∞,3˃ -3 0

12

3

3. (x – 1¿2(x+2)(x+4)˃0X-1˃0 x+2˃0 x+4˃0X˃1 x˃-2 x˃-4

-4 -2 0 1

s = [ -4, -2] V [1 , +∞ ¿

4. (x2−7¿(x2+16)(x2−16)(x2+1)˂0

x2−7˂0 x2+16˂0 x2−16˂0 x2+1˂0

x2˂7 x2˂−16 x2˂16 x2˂−1X ˂ √7 x˂√16 x ˂ 4 x˂√−1

(x2−4 ¿(x2+4)

x2˂4 x2˂−4

x ˂ 2 x ˂ √−4

0 √7 2 4

[√3 , 2] V [4, ∞ ¿

5.x−2x+3

˂x+1x

x2−2 x˂x2+x+3 x+1- 2x ˂ 4x + 1-1 ˂ 6x

- −16˂0

6.xx−1

+ x−1x˂

2xx+1

x2+x2−1x(x−1)

˂2 xx+1

(2x2−1¿(x+1)˂2 x2(x−1)2x3−x+2x2−1˂2x3−2 x2

4x2−x−1˂0

Actividad de Aprendizaje N° 4

I.- Resuelve los números impares del 1 al 10, de los ejercicios propuestos:

1. Determine la extensión del siguiente conjunto. P= {(5-x) ϵZ/xϵ NɅx≤5}

0, 1, 2, 3, 4, 55 – x 5 -5 = 0

5 – 4 = 1 mayor por menor = 5 x 1 = 5

5 – 3 = 2

5 – 2 = 3

5 – 1= 4

5 – 0 = 5

3. Determinar por extensión el conjunto:

A= X/√ X−12

ϵ N Ʌ−5˂ X ≤19

19 19/√ 19−12

= 19

√ 182

= 19√9

=193∈

√ 18−12

=√ 172

√ 17−12

=√8

√ 16−12

= √ 152……… ..

9

√ 9−12

= 9/√ 82

= 9/√4

3/√√ 3−12

= 3/√ 22

= 3/1 = 3 {3}

5. Sean los conjuntosA= {Números impares menores que 30}A = {1, 3,…, 27,29}B= {(2x-1)/Xϵ N Ʌ 1 ≤ X ≤ 5} B = {1, 2, 3, 4,5}

B= {9, 7, 5, 3,0}

Las proposiciones faltas son: I) B C A FALSA II) {1, 5, 11}∈ P (A) FALSA

7. ¿Cuántos de los siguientes conjuntos son vacíos?

A= {Xϵ N/x2+3X+2=0}∅

B= {Xϵ R/X=XɅX≠ X } ∅

C= {Xϵ Q/3˂X˂5}

D = {Xϵ R/x2=4 Ʌ2 X=3} ∅

E= {Xϵ (R-{0}/ -X=x−1 } ∅

D)4

9. Hallar el número de subconjuntos del conjunto “J”J= {1/3; 1/8; 1/15; 1/24;…; 1/20}J= {1/3; 1/8; 1/15; 1/24; 1/35; 1/48; 1/63;1/80;1/99;1/120}

10 Elementos 210 = 1024

2. Resuelve los siguientes ejercicio propuestos 19. Rollo como pollo y/o pescado en su almuerzo cada día y durante cierto mes de año. Si

come 18 días pollo, 21 días pescados y 11 días pollo y pescado. ¿ en qué mes comió esto?

P + Y =18

P Y Z Y + Z = 21

Y = 11

Z = 10 Y P = 7

P + Y + Z = 7 + 11 + 10 = 28 Días FEBRERO

20. En un salón de la IDEPUNP, de 60 personas; 20 son mujeres y cierto número de personas estudian aritmética; 8 mujeres y 14 hombres no estudia aritmética ¿Cuántas personas estudian aritmética?

A 60 personas

8 m 20 mujeres

40 hombres

14 h

Estudian A = 8m + 26 h = 34

21. De 80 tablistas; 50 no conocían colan; 45 no conocen yacila y 38 no conocen; ni colan ni yacila. ¿Cuántos tablistas conocen colan y yacila?

80 tablistas

50 no colan

45 no yacila

38 ninguno = 42 que si conocen= a + b +c

50 = 38 – c 7 + b + 12=42

a b c c = 12 b = 23

7 12 45 = 32 + a a = 7

22. En una encuesta 600 estudiantes de la UNP tienen las siguientes preferencias; música de la tuna; peña criolla y la orquestina. El número de alumnos que prefieren a las tres agrupaciones es :

U = 600 T = 1/8 = 75

75 200 150 P = 1 /4 = 150

0 = 1/5 = 120

300 T y P= 200

120 P y O = 300

T y O = 75

MAL PLANTEADO

23. Una empresa de mototaxis, dispone de cierto número de unidades, de los cuales 20 están en reparación. Además :-100 circulan en la mañana-80 en la tarde-60 en la noche-40 en la mañana y en tarde-30 en la tarde y la noche-20 en la mañana y en la noche¿Cuántos mototaxis tienen el control total la empresa si además se sabe que 10 trabajan todo el día o sea mañana tarde y noche?

En total 200 mototaxis

-20 en reparación = 180

ACTIVIDAD DE APRENDISAJE N° 5

Resuelva los siguientes ejercicios propuestos:

1. Dados los siguientes conjuntos :A = {2; 3} y B= {0; 1; 5} Hallar A X B Y B X A y grafica

A X B = {(2; 0) (2,1) (2,5) (3,0) (3,1) (3,5)} B X A = {(0,2) (0,3) (1,2) (1,3) (5,2) (5,3)}

A X B

1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.20

1

2

3

4

5

6

B

B

B X A

C= {X+3

2/ 1 ≤ X ≤ 4}

X = 1, 2, 3,4

Reemplazamos

X+32

=1+32

=42=2

2+32

=52=2

12

3+3

2=6

2=3

4+32

=72=3

12

C = {2; 2 ½, 3,3 ½} C = {2; 3}

D = {x2+1/−2≤ x˂1} D = {-2, -1, 0}

0 1 2 3 4 5 60

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

A

A

x2−1=02+1=1

(-1¿2+1 = 2

(- 2¿2+1=5

∴D = {1, 2 ,5}

C x D=¿ {(2,1)(2, 2)(2 ,5)(3,1)(3,2)(3,5)}

D xC=¿ {(1,2)(1,3)( 2 ,2)(2,3)(5,2)(5,3)}

C x C = {(2,2)(2,3)(3,2)(3,3)}

D xD={(1,1)(1,2)(1,5)(2,1)(2,2)(2,5)(5,1)(5,2)(5,5)}

M X N = {a,r)(a,s)(b,r)(b,s)(c,r)(c,s)}

N X N = {(r,r)(r,s)(s,r)(s,s) }

M X M = {(a,a)(a,b)(a,c)(b,a)(b,b)(b,c)(c,a)(c,b)(c,c) }

N X M = {(r,a)(r,b)(r,c)(s,a)(s,b)(s,c) }

B X A = {(3,2)(3,3)(3,5)(3,6) (4,2)(4,3)(4,5)(4,6)} (6,2)(6,3)(6,5)(6,6)}

R = {(3,5)(3,6)(4,5)(4,6) }

A X B = {(2,3)(2,4)(2,6) (3,3)(3,4)(3,6) (5,3)(5,4)(5,6) (6,3)(6,4)(6,6) }

S = {(2,3)(2,4)(2,6)(3,4)(3,6)(5,6) }

2.8 3 3.2 3.4 3.6 3.8 4 4.24.5

5

5.5

6

6.5

R

R

M X N = {(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(5,1) (5,2)(5,3)(5,4)(7,1) (7,2)(7,3)(7,4)(9,1)(9,2)(9,3)(9,4)}

R = {(7,3)(7,4)(9,1)(9,2)(9,3)(9,4} }

N X N = {(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(2,1) (2,2)(2,3)(2,4)(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)}

S x –y ˃3 = {}

1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.501234567

S

S

6.5 7 7.5 8 8.5 9 9.50

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

s

s

ACTIVIDAD DE APRENDISAJE N°6

Resolver los siguientes ejercicios propuestos

a) f :Ʌ-8 y= 2x f = {(-1,-2)(0,0)(1,2)}b) D (r)= {-1,0,1}= -1≤x≤1c) es aplicación

(m; m + n) ,(n,12),(m)m – n) , (m;2)

A X B = {(1,2)(1,4)(1,6) (2,2)( 2,4)(2,6)(3,2)(3,2)(3,4)(3,6)}

R = {(1,2)(2,4)(3,6)}

R si es función

X = {-3,-2, -1,0, 1, 2, 3,4}

X Y(3x-8)

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.50

1

2

3

4

5

6

7

A

-3 -17

-2 -14

-1 -11

0 -8

1 -5

2 -2

3 1

4 3

X Y(-fx2+2x)

-6 -192

-5 -135

-4 - 88

-3 -51

-2 -24

-1 -7

R

A X B = {(1,5)(1,9)(1,11)(1,15)(3,5)(3,9}(5,11)(3,15)(5,5)(5,9)(5,11)(5,15)(6,5)(6,9)(6,11)(6,15) }

Y = 2X +3 (1,5)

S = 2(1) +3 (3,9) 1 5

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0

-250

-200

-150

-100

-50

0

R

R

(6,15) 3 9

6 15

L = {(1,5)(3,9)(6,15 } Es inyectiva , sobreyectiva o

Biyectiva

A X B = {(-6,3)(-6,9)(-6,15)(-5,3)(-5,9)(-5,15)(-3,3)(-3,9)(-3,15)(-1,9)(-1,15) }

Y = -2x +3

-2(6) + 3 = +12 +3 = 15

-2(-5)+ 3 = +10 +3 = 13 -6 15

-2(-3) + 3 = 6 + 9 = 9 -5 13

-2(-1) +3 = +2 +3 = 5 -3 9