1

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3

ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΛΟΓΙΚΗΣ ΣΧΕ∆ΙΑΣΗΣ

3.1 Εισαγωγή

Η λογική σχεδίαση βασίζεται θεωρητικά στην Άλγεβρα των ∆ιακοπτών (Switching Algebra). Η Άλγεβρα των ∆ιακοπτών µπορεί να θεωρηθεί σαν µία ειδική περίπτωση της Άλγεβρας Boole (ή Boolean Άλγεβρας).

Η Άλγεβρα Boole παρουσιάσθηκε για πρώτη φορά από τον Άγγλο Μαθηµατικό George Boole το έτος 1848 στο δοκίµιό του "The Mathematical Analysis of Logic" και στην συνέχεια το 1854 στο βιβλίο του "An Investigation of the Laws of Thought", σαν µαθηµατικό εργαλείο για την περιγραφή των νόµων της λογικής. Η πρώτη εφαρµογή της Άλγεβρας Boole στην σχεδίαση λογικών κυκλωµάτων έγινε το 1938, από τον Claude Shannon. Στην ουσία ο Shannon χρησιµοποίησε µία δίτιµη Άλγεβρα Boole γνωστή σήµερα σαν Άλγεβρα ∆ιακοπτών (Switching Algebra) που καλύπτει εκτός από την ανάλυση και την σύνθεση συνδυαστικών (combinational) κυκλωµάτων, δηλαδή κυκλωµάτων των οποίων οι έξοδοι εξαρτώνται µόνο από τις παρούσες τιµές των εξόδων. Η Άλγεβρα των ∆ιακοπτών εξελίχθηκε στην Θεωρία των ∆ιακοπτών (Switching Theory) που καλύπτει επί πλέον και την ανάλυση και την σύνθεση ακολουθιακών (sequential) κυκλωµάτων, δηλ. κυκλωµάτων των οποίων οι έξοδοι εξαρτώνται από τις παρούσες αλλά και από τις παρελθούσες τιµές των εισόδων.

3.2 Άλγεβρα Boole

Υπάρχουν πολλοί τρόποι µε τους οποίους µπορεί να οριστεί αξιωµατικά η Άλγεβρα Boole. Ο πιο απλός τρόπος είναι ο αξιωµατικός ορισµός που εισήχθη από τον Huntington τo 1904, σύµφωνα µε τον οποίο η Άλγεβρα Boole είναι µια αλγεβρική δοµή, η οποία αποτελείται από ένα σύνολο στοιχείων Β εφοδιασµένο µε δύο διµελείς πράξεις, η αναπαράσταση των οποίων γίνεται µε τη χρήση των

τελεστών +, ·, και πληροί τα αξιώµατα που δίδονται στην συνέχεια:

Αξίωµα 1. Κλειστότητα του Β ως προς τους για τις πράξεις +, · :

Για κάθε x, y ∈Β ισχύουν οι σχέσεις

x+y ∈ Β,

x ·y ∈ Β Αξίωµα 2. Ύπαρξη ουδετέρων στοιχείων για τις πράξεις +, . στο Β:

Για κάθε x ∈ Β υπάρχουν 0,1 ∈Β, έτσι ώστε

x+0=x ∈ Β,

x·1=x ∈ Β

Αξίωµα 3. Αντιµεταθετική ιδιότητα:

2

Για κάθε x, y ∈ Β ισχύουν x+y=y+x x·y=y·x

Αξίωµα 4. Επιµεριστική ιδιότητα:

Για κάθε x, y, z ∈ Β ισχύουν: x·(y+z)=x·y+x·z x+y·z=(x+y)·(x+z)

Αξίωµα 5. Ύπαρξη συµπληρώµατος:

Για κάθε στοιχείο x ∈ Β, υπάρχει Bx∈ , που λέγεται συµπλήρωµα (complement) του x, τέτοιο ώστε:

x+ x =1

x· x =0

Αξίωµα 6. Υπάρχουν τουλάχιστον δύο στοιχεία x, y ∈Β, τέτοια ώστε:

x ≠ y.

3.2.1 ∆υϊσµός

Τα αξιώµατα του Huntington έχουν παρουσιαστεί σαν ζεύγη τα οποία προκύπτουν το ένα από το άλλο µε ανταλλαγή του + µε το · και του 0 µε το 1. Εποµένως ισχύει το επόµενο θεώρηµα.

Θεώρηµα του δυϊσµού. Έστω ότι ισχύει µια πρόταση Άλγεβρας Boole, τότε ισχύει και η δυϊκή της πρόταση, δηλαδή αυτή που προκύπτει µε την εναλλαγή του + µε το · και του 0 µε το 1. Το θεώρηµα του δυϊσµού είναι πολύ χρήσιµο στην ανάπτυξη και απόδειξη προτάσεων.

3.2.2 Βασικά Θεωρήµατα της Άλγεβρας Boole

Θεώρηµα 1. Μοναδικότητας.

Τα στοιχεία 0 και 1 είναι µοναδικά.

Το συµπλήρωµα x του x είναι µοναδικό.

Θεώρηµα 2. Για κάθε x ∈Β ισχύουν:

x+x=x

x·x=x

Θεώρηµα 3. Για κάθε x ∈ Β ισχύουν:

x+1=1

x·0=0

Θεώρηµα 4. Για τα 0 και 1 ισχύουν:

10 =

01 =

3

Θεώρηµα 5. Απορρόφησης

Για κάθε x, y ∈ Β ισχύουν: x+x·y=x x·(x+y)=x

Θεώρηµα 6. Για κάθε x ∈ Β ισχύει:

xx = Θεώρηµα 7. Προσεταιρισµού

Για κάθε x, y , z ∈ Β ισχύουν: x+(y+z)=(x+y)+z x ·(y·z)=(x·y)·z

Θεώρηµα 8. Για κάθε x, y ∈ Β ισχύουν:

yxyxx +=⋅+

( ) yxyxx ⋅=+⋅

Θεώρηµα 9. De Morgan

Για κάθε x, y ∈ Β ισχύουν:

yxyx ⋅=+

yxyx +=⋅

Θεωρήµατα της Άλγεβρας Boole για πολλές µεταβλητές.

Θεώρηµα 10. Για κάθε Bx∈

xxxxn

=+++ 4434421 ...

xxxxn

=⋅⋅⋅ 43421 ...

Θεώρηµα 11. (Θεώρηµα De Morgan για πολλές µεταβλητές)

nn xxxxxx +++=⋅⋅⋅ KK 2121

nn xxxxxx ⋅⋅⋅=+++ KK 2121

3.2.3 Αποδείξεις των βασικών θεωρηµάτων της Άλγεβρας Boole

Απόδειξη του θεωρήµατος 2

Ισχύει 1)( ⋅+=+ xxxx (Αξίωµα 2)

= )()( xxxx +⋅+ (Αξίωµα 5)

= xxx ⋅+ (Αξίωµα 4) = 0+x (Αξίωµα 5) = x (Αξίωµα 2) (η απόδειξη της σχέσης xxx =⋅ γίνεται δυϊκά)

4

Απόδειξη του θεωρήµατος 3

Ισχύει 1+x = xxx ++ (Αξίωµα 5)

= xx + (Θεώρηµα 2) = 1 (Αξίωµα 5 (η απόδειξη της σχέσης l xxx =⋅ δυϊκά)

Απόδειξη του θεωρήµατος 5

yxx ⋅+ = yxx ⋅+⋅1 (Αξίωµα 2)

= )1( yx +⋅ (Αξίωµα 4)

= 1⋅x (Θεώρηµα 3) = x (Αξίωµα 2)

Απόδειξη του θεωρήµατος 8

Ισχύει ( ) ( )yxxxyxx +⋅+=⋅+ (Σύµφωνα µε το Αξίωµα 4)

= ( )yx +⋅1 (Αξίωµα 5)

= yx + (Αξίωµα 2)

(η απόδειξη της ( ) yxyxx ⋅=+⋅ δυϊκά)

3.2.4 Άλγεβρα ∆ιακοπτών.

Η Άλγεβρα ∆ιακοπτών (Switching Algebra) είναι ένα σύνολο Β = {0,1} το οποίο είναι εφοδιασµένο µε τις λογικές πράξεις +, ·, και ‾ , οι οποίες για κάθε x, y

∈ {0,1} ορίζονται όπως στην συνέχεια:

x y x+y x y x·y x x

0 0 0 0 0 0 0 1

0 1 1 0 1 0 1 0

1 0 1 1 0 0

1 1 1 1 1 1

Για την Άλγεβρα των ∆ιακοπτών ισχύει το επόµενο θεώρηµα.

Θεώρηµα 12. H Άλγεβρα ∆ιακοπτών είναι µία Άλγεβρα Boole.

Στην Άλγεβρα ∆ιακοπτών οι λογικές πράξεις +, . και ‾ ονοµάζονται αντίστοιχα OR, AND και NOT (συµπλήρωµα). Αρχικά τα κυκλώµατα, µε τα οποία πραγµατοποιούνται οι παραπάνω λογικές πράξεις ήταν οι ηλεκτρονόµοι (ρελέ). Στη συνέχεια δηµιουργήθηκαν ειδικά ηλεκτρονικά κυκλώµατα, οι λογικές πύλες, από τις οποίες ονοµάστηκε OR αυτή που πραγµατοποιεί την πράξη “+”, AND αυτή που

πραγµατοποιεί την πράξη “⋅⋅⋅⋅”, και NOT αυτή που πραγµατοποιεί το συµπλήρωµα. Στο σχήµα 3.1 δίδονται τα λογικά σύµβολα των πυλών OR, AND δύο εισόδων και της πύλης NOT. Η πύλη NOT λέγεται και Inverter (Αντιστροφέας).

5

x

Σχήµα 3.1 Βασικές λογικές πύλες

3.3 Λογικές Συναρτήσεις

Έστω ότι ,,,B ⋅+ είναι µια Άλγεβρα Boole. Τότε κάθε µονοσήµαντη

απεικόνιση BBf n →: , ορίζει µια συνάρτηση Boole, ).,,( 21 nxxxf K , µε

Bxxx n ∈.,, 21 K . Το πεδίο ορισµού της f είναι το Καρτεσιανό γινόµενο

4434421 Kn

n BBBB ×××= .

Ειδικότερα, για την Άλγεβρα των ∆ιακοπτών, όπου }1,0{=B κάθε

µονοσήµαντη απεικόνιση f : {0, 1}n → {0, 1}, ορίζει µια λογική συνάρτηση (logic

function), ).,,( 21 nxxxf K . Τα }1,0{.,, 21 ∈nxxx K ονοµάζονται λογικές µεταβλητές

(logic variables). Το Καρτεσιανό γινόµενο {0, 1}n ={0,1}x{0,1}x...x{0,1}, περιλαµβάνει 2n στοιχεία και είναι το πεδίο ορισµού της f. Το πεδίο τιµών της f είναι το σύνολο {0,1}, δηλαδή η f για κάθε ένα από τα 2n σηµεία του πεδίου ορισµού της µπορεί να πάρει την τιµή 0 και 1.

Θεώρηµα 13. Υπάρχουν n22 διαφορετικές λογικές συναρτήσεις, n λογικών

µεταβλητών.

3.3.1 Παραστάσεις Λογικών Συναρτήσεων

Υπάρχουν πολλοί τρόποι µε τους οποίους µπορούµε να περιγράψουµε µια λογική συνάρτηση. Από αυτούς, δίδουµε στην συνέχεια τους δύο βασικούς που είναι µε πίνακες αληθείας και µε λογικές παραστάσεις.

Πίνακες Αληθείας

Οι λογικές συναρτήσεις µπορούν να παρασταθούν µε πίνακες αληθείας. Κάθε πίνακας, ο οποίος περιλαµβάνει όλους τους δυνατούς συνδυασµούς των τιµών των µεταβλητών µίας λογικής συνάρτησης και για κάθε συνδυασµό των µεταβλητών δίνεται σε αυτόν η τιµή της συνάρτησης, λέγεται Πίνακας Αληθείας (Truth Table). Για n µεταβλητές ο πίνακας αληθείας έχει 2n γραµµές.

Παράδειγµα. Ο πίνακας αληθείας της συνάρτησης f(x1, x2, x3), για την οποία ισχύει

f=1 εάν άρτιος αριθµός µεταβλητών ix ισούται µε 1, και f=0, εάν περιττός αριθµός

µεταβλητών ix ισούται µε 1 είναι ο εξής:

x1 x

2 x

3 f

0 0 0 1

6

0 0 1 0

0 1 0 0

0 1 1 1

1 0 0 0

1 0 1 1

1 1 0 1

1 1 1 0

Λογικές Παραστάσεις

Οι λογικές παραστάσεις (switching expressions) χρησιµοποιούνται για να περιγραφούν αλγεβρικά πλήρως καθορισµένες λογικές συναρτήσεις µε τον ίδιο τρόπο που οι αλγεβρικές παραστάσεις χρησιµοποιούνται για την αναπαράσταση των αλγεβρικών συναρτήσεων. Στην δοµή τους οι λογικές παραστάσεις είναι παρόµοιες µε τις αλγεβρικές παραστάσεις µε µόνη την διαφορά της χρήσης του επί πλέον τελεστή συµπληρώµατος.

Οι λογικές παραστάσεις είναι παραθέσεις συµβόλων που δηµιουργούνται από

δυαδικές µεταβλητές, τους τελεστές +, ., και ( ) και που προκύπτουν σύµφωνα µε

τους επόµενους κανόνες: 1. Τα σύµβολα 0, 1 είναι λογικές παραστάσεις. 2. Κάθε σύµβολο που παριστάνει µία δυαδική µεταβλητή είναι λογική

παράσταση. 3. Εάν Α και Β είναι λογικές παραστάσεις, τότε

• A είναι λογική παράσταση

• (Α)+(Β) είναι λογική παράσταση

• (Α).(Β) είναι λογική παράσταση Ορισµένες παρενθέσεις µπορούν να απαλειφθούν από τις λογικές παραστάσεις εάν εφαρµοσθούν.

α) Οι κανόνες προτεραιότητας λογικών πράξεων σύµφωνα µε τους οποίους η

λογική πράξη προηγείται της λογικής πράξης · η οποία προηγείται της

λογικής πράξης +. β) Η προσεταιριστικότητα των λογικών πράξεων σύµφωνα µε την οποία

cbacba ⋅⋅=⋅⋅ )( , cbacba ++=++ )(

Επίσης το σύµβολο · της λογική πράξης AND µπορεί να παραληφθεί για να απλοποιηθεί η γραφή των λογικών παραστάσεων. Παράδειγµα. Οι επόµενες εκφράσεις είναι λογικές παραστάσεις

321 xxxf += , 4321 xxxxf +=

Λογικές Παραστάσεις και Λογικές Πύλες

Η υλοποίηση των λογικών συναρτήσεων γίνεται µε την σύνδεση λογικών

πυλών. Λογικές πύλες (logic gates) είναι κυκλώµατα που υλοποιούν απλές λογικές

7

συναρτήσεις. Στο σχήµα 3.2 δίδονται οι λογικές πύλες που αντιστοιχούν στις βασικές λογικές συναρτήσεις δύο µεταβλητών.

Σχήµα 3.2 Βασικές λογικές πύλες

3.3.3 Ισοδύναµες λογικές παραστάσεις.

∆ύο λογικές παραστάσεις λέγονται ισοδύναµες (equivalent) εάν αναπαριστούν την ίδια λογική συνάρτηση. Ο συµβολισµός Ε1=Ε2 χρησιµοποιείται για να δείξει ότι οι λογικές παραστάσεις Ε1, Ε2 είναι ισοδύναµες

Είναι προφανές ότι το σύνολο των λογικών παραστάσεων µπορεί να χωριστεί σε κλάσεις, τα µέλη των οποίων αναπαριστούν την ίδια λογική συνάρτηση.

Παράδειγµα. Να αποδειχθεί ότι οι επόµενες λογικές παραστάσεις είναι ισοδύναµες

101 xxxf +=

01 xxg +=

Οι πίνακες αληθείας των f, g είναι αντίστοιχα

8

0x 1x f 0x 1x g

Παρατηρούµε ότι οι λογικές παραστάσεις f και g επειδή έχουν τον ίδιο πίνακα αληθείας αναπαριστούν την ίδια λογική συνάρτηση .

3.3.2 Κανονικές Παραστάσεις Λογικών Συναρτήσεων

Κάθε λογική συνάρτηση µπορεί να αναπαρασταθεί µε περισσότερες από µία λογικές παραστάσεις. Κανονική (canonical) λέγεται η λογική παράσταση της συνάρτησης στην οποία όλες οι µεταβλητές ή το συµπλήρωµά τους εµφανίζονται µια µόνο φορά σε κάθε όρο της. Η κανονική µορφή της συνάρτησης µπορεί να είναι σαν άθροισµα ελαχίστων όρων ή σαν γινόµενο µεγίστων όρων.

Ελάχιστοι και µέγιστοι όροι.

Σε κάθε n-άδα τιµών των µεταβλητών ενός πίνακα αληθείας, αντιστοιχεί ένας ελάχιστος και ένας µέγιστος όρος. Ο ελάχιστος όρος (minimum term), που αντιστοιχεί σε µία n-άδα τιµών των µεταβλητών ενός πίνακα αληθείας είναι λογικό γινόµενο των µεταβλητών ή των συµπληρωµάτων τους, ανάλογα εάν στην συγκεκριµένη n-άδα η µεταβλητή έχει την τιµή 1 ή 0. Ο µέγιστος όρος (maximum term), που αντιστοιχεί σε µια n-άδα τιµών των µεταβλητών ενός πίνακα αληθείας είναι το λογικό άθροισµα των µεταβλητών ή των συµπληρωµάτων τους, ανάλογα εάν στην συγκεκριµένη n-άδα η µεταβλητή έχει την τιµή 0 ή 1. Στον πίνακα 3.1 δίνονται οι ελάχιστοι και οι µέγιστοι όροι για δύο και στον πίνακα 3.2 για τρεις µεταβλητές.

Πίνακας 3.1

x y Ελάχιστοι Όροι mi Μέγιστοι Όροι Mi

0 0 X´ · y´ = m0 x + y = M0

9

0 1 X´ · y = m1 x + y´ = M1

1 0 x · y´ = m2 x´ + y = M2

1 1 X · y = m3 X´ + y´ = M3

Πίνακας 3.2

x y z Ελάχιστοι Όροι mi Μέγιστοι Όροι Mi

0 0 0 x´·y´·z´ = m0 x+y+z = M0 0 0 1 x´·y´·z = m1 x+y+z´ = M1

0 1 0 x´·y·z´ = m2 x+y´+z = M2

0 1 1 x´·y·z = m3 x+y´+z´ = M3

1 0 0 x·y´·z´ = m4 x´+y+z = M4

1 0 1 x·y´·z = m5 x´+y+z´ = M5 1 1 0 x·y·z´ = m6 x´+ y´+z = M6 1 1 1 x·y·z = m7 x´+y´+z´ = M7

Για τους ελάχιστους και µέγιστους όρους ισχύουν τα θεωρήµατα τα οποία δίδονται στην συνέχεια.

Θεώρηµα 16. Κάθε ελάχιστος όρος είναι συµπλήρωµα του αντίστοιχου µέγιστου

όρου και αντιστρόφως, δηλαδή ii Mm = και ii mM = .

Θεώρηµα 17. Το λογικό άθροισµα όλων των ελαχίστων όρων ενός πίνακα αληθείας

είναι ίσο µε 1, δηλ. 112

0

=∑−

=

n

i

im , όπου n o αριθµός των µεταβλητών.

Θεώρηµα 18. Το λογικό γινόµενο όλων των µέγιστων όρων ενός πίνακα αληθείας

ισούται µε 0, δηλ. 012

0

=∏−

=

n

i

iM , όπου n ο αριθµός των µεταβλητών.

Εξαγωγή Κανονικής Παράστασης από τον Πίνακα Αλήθειας.

Η εξαγωγή την κανονικής παράστασης µιας λογικής συνάρτησης από τον πίνακα αληθείας βασίζεται στο επόµενο θεώρηµα:

Θεώρηµα 19. Θεώρηµα της κανονικής παράστασης: Έστω ai η τιµή της λογικής συνάρτησης f, η οποία αντιστοιχεί στον ελάχιστο όρο mi και στον µέγιστο όρο Mi του πίνακα αληθείας:

α) Η συνάρτηση f µπορεί να γραφεί µε ένα µοναδικό τρόπο σαν άθροισµα ελαχίστων όρων σύµφωνα µε την σχέση:

( ) ∑−

=

=12

021 ,...,,

n

i

iin maxxxf

β) Η συνάρτηση f µπορεί να γραφεί µε ένα µοναδικό τρόπο σαν γινόµενο των µεγίστων όρων, σύµφωνα µε την σχέση:

10

( ) ( )∏−

=

+=12

0

21

n

i

iin Max,...,x,xf

Από το πιο πάνω θεώρηµα, προκύπτουν οι επόµενοι δύο πρακτικοί τρόποι εξαγωγής της συνάρτησης από τον πίνακα αληθείας: "Η συνάρτηση εξάγεται από τον πίνακα αληθείας, εάν πάρουµε το άθροισµα των ελαχίστων όρων, για τους οποίους η συνάρτηση έχει την τιµή 1." "Η συνάρτηση εξάγεται από τον πίνακα αληθείας εάν πάρουµε το γινόµενο των µεγίστων όρων, για τους οποίους η συνάρτηση έχει την τιµή 0."

Οι συναρτήσεις που προκύπτουν µε τον πιο πάνω τρόπο λέµε ότι είναι εκφρασµένες στην κανονική τους µορφή.

Γενικά, κανονική (canonical) λέγεται η λογική παράσταση της συνάρτησης στην οποία όλες οι µεταβλητές ή το συµπλήρωµά τους εµφανίζονται µια µόνο φορά σε κάθε όρο της συνάρτησης. Η κανονική µορφή της συνάρτησης µπορεί να είναι σαν άθροισµα ελαχίστων όρων ή σαν γινόµενο µεγίστων όρων.

Παράδειγµα. Έστω η συνάρτηση µε τον πιο κάτω πίνακα αληθείας. Να εκφραστεί αυτή σαν άθροισµα ελαχίστων όρων και σαν γινόµενο µεγίστων όρων:

A B F

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 0

Σύµφωνα µε τα προηγούµενα, οι ελάχιστοι όροι που αντιστοιχούν σε τιµή 1 της συνάρτησης είναι οι A·B´, A´·B. Άρα: f = A·B´+A´·B άθροισµα ελαχίστων όρων f = (A+B)·(A´+B´) γινόµενο µεγίστων όρων

Όταν η συνάρτηση είναι εκφρασµένη σαν άθροισµα ελαχίστων όρων, ένας

πρακτικός και χρήσιµος τρόπος παραστάσεως της, είναι να αντικαταστήσουµε κάθε όρο της µε το δεκαδικό ισοδύναµο του. Κατ’ αρχήν αντιστοιχίζουµε 1 στις µεταβλητές και 0 στα συµπληρώµατά τους και στην συνέχεια µετατρέπουµε τον δυαδικό στον αντίστοιχο δεκαδικό. Υποτίθεται ότι έχει καθοριστεί µία διάταξη για τους όρους των λογικών γινοµένων π.χ. η x1,x2,x3,x4.

Παράδειγµα. Σύµφωνα µε τα πιο πάνω η λογική συνάρτηση:

f(x1,x2,x3,x4) = x'1x'2x3x4+x'1x2x3x'4+x1x'2x'3x4+x1x'2x3x4+x1x2x3x'4+x1x2x3x4

0011 0110 1001 1011 1110 1111

3 6 9 11 14 15

αναπαρίσταται σαν f(x1,x2,x3,x4) = Σ (3,6,9,11,14,15)

Αντίστοιχα, όταν η συνάρτηση είναι εκφρασµένη σαν γινόµενο µεγίστων όρων, αντικαθιστούµε κάθε όρο της µε το δεκαδικό ισοδύναµο του αντιστοιχίζοντας 0 στις µεταβλητές και 1 στα συµπληρώµατά τους.

11

Σύµφωνα µε τα πιο πάνω η συνάρτηση: f(x1,x2,x3) = (x1+x2+x3)(x1+x'2+x'3)(x'1+x2+x'3)(x'1+x'2+x3)

000 011 101 110

0 3 5 6

γράφεται και σαν f(x1, x

2, x

3 ) = Π (0, 3, 5, 6)

Μετατροπή λογικής παράστασης σε κανονική

Για να µετατραπεί µία λογική παράσταση στην κανονική της µορφή πρέπει να

είναι εκπεφρασµένη σε σαν άθροισµα γινοµένων ή σαν γινόµενο αθροισµάτων. Στην συνέχεια εργαζόµαστε ως εξής: α) Η παράσταση είναι εκφρασµένη σαν άθροισµα γινοµένων.

Πολλαπλασιάζουµε κάθε όρο επί ii xx + , όπου xi είναι οι µεταβλητές που

λείπουν. Παράδειγµα: Η κανονική µορφή της παράστασης z =x'1x2+x3 , είναι: z = x'

1x

2 (x

3+x'

3)+x

3(x

1+x'

1)(x

2+x'

2)

= x'1x2x3+x'1x2x'3+x3(x

1x

2+x'

1x

2+x

1x'

2+x'1x'

2)

= x'1x

2x

3+x'

1x

2x'

3+x

1x

2x

3+x'

1x

2x

3+x

1x'

2x

3+x'

1x'

2 x

3

= x'1x

2x

3+x'

1x

2x'

3+x

1x

2x

3+x

1x'

2x

3+x'

1x'

2 x

3

Η απαλοιφή ενός από τους οµοίους όρους x'1x

2x

3 έγινε λόγω της ιδιότητας της

Άλγεβρας Boole: a+a = a β) Η συνάρτηση είναι εκφρασµένη σαν γινόµενο αθροισµάτων. Προσθέτουµε σε κάθε όρο το xi·x'i, όπου xi η µεταβλητή που λείπει.

Παράδειγµα. Η κανονική µορφή της συνάρτησης z =(x'1+x2)·x3 είναι: z = [(x'

1+x

2)+x

3x'

3][x

3+x

1x'

1+x'

2x'

2]

= (x'1+x

2+x

3)(x'

1+x

2+x'

3)[(x

3+x

1)(x

3+x'

1)+x

2x'

2]

= (x'1+x

2+x

3)(x'

1+x

2+x'

3)[(x

3+x

1)(x

3+x'

1)+x

2][(x

3+x

1)·(x

3+x'

1)+x'

2]

= (x'1+x

2+x

3)(x'

1+x

2+x'

3)(x

3+x

1+x

2)(x

3+x'

1+x

2)(x

3+x

1+x'

2)(x

3+x'

1+x'

2)

= (x'1+x

2+x

3)(x'

1+x

2+x'

3)(x

1+x

2+x

3)(x'

1+x

2+x

3)(x

1+x

2+x'

3)+(x'

1+x'

2+x

3)

= (x'1+x

2+x

3)(x'

1+x

2+x'

3)(x

1+x

2+x

3)(x

1+x

2+x'

3)(x'

1+x'

2+x

3)

Είναι εύκολο να αποδειχθεί ότι δύο λογικές παραστάσεις είναι ισοδύναµες όταν µπορούν να µετατραπούν στην ίδια κανονική παράσταση.

3.3.4 Θεωρήµατα για τις λογικές συναρτήσεις

Θεώρηµα 14. Γενικευµένο Θεώρηµα De Morgan.

Για κάθε λογική παράσταση ισχύει

12

),,,,,( 21 ·xxxf n +K = ),,,,,( 21 ·,xxxf n +K

Σύµφωνα µε το θεώρηµα του Shannon το συµπλήρωµα µίας λογικής παράστασης, προκύπτει µε την αντικατάσταση κάθε µεταβλητής της, µε το συµπλήρωµα της και εναλλαγή των τελεστών + και · . Παράδειγµα. Έστω f = x1+x2+x1x2x3 µια λογική παράσταση. Τότε σύµφωνα µε το πιο πάνω θεώρηµα η συµπληρωµατική της παράσταση θα είναι

)( 32121 xxxxxf ++=

Θεώρηµα 15. Θεώρηµα Ανάπτυξης του Shannon

Για κάθε λογική παράσταση ισχύει

( ) ( ) ( )ninini x,...,,...,xfxx,...,,...,xfxx,...,x,...,x,xf 01 0121 += και

( ) ( )[ ] ( )[ ]ninini x,...,,...,xfxx,...,,...,xfxx,...,x,...,x,xf 10 1121 +++=

3.4 Υλοποίηση Λογικών Συναρτήσεων

Κάθε λογική συνάρτηση µπορεί να αναπαρασταθεί µε περισσότερες από µία

λογικές παραστάσεις. Το ελάχιστο κύκλωµα αντιστοιχεί στην υλοποίηση της ελάχιστης λογικής παράστασης. Η απλοποίηση µιας λογικής συνάρτησης συνίσταται στο να προσδιορισθεί µία ελάχιστη λογική παράσταση.

Στην συνέχεια παρουσιάζεται µία µέθοδος για τον αποδοτικό σχεδιασµό λογικών κυκλωµάτων µε δύο επίπεδα λογικών πυλών. Η µέθοδος που θα παρουσιασθεί παράγει ελάχιστα κυκλώµατα µε τις παραδοχές που δίδονται στην συνέχεια.

1. Οι είσοδοι του κυκλώµατος είναι διαθέσιµες σε κανονική και συµπληρωµατική µορφή.

2. Οι πύλες δεν έχουν περιορισµό στον αριθµό των εισόδων. 3. Τα κυκλώµατα έχουν µία έξοδο 4. Το κριτήριο για την ελαχιστοποίηση του κόστους είναι ο αριθµός των πυλών.

3.4.1 Απλοποίηση Λογικής Συνάρτησης µε χάρτες Karnaugh

Η εύρεση των απλούστερων λογικών παραστάσεων µπορεί να γίνει µε αλγεβρικούς τρόπους. Για συναρτήσεις µε µικρό αριθµό µεταβλητών χρησιµοποιούνται γραφικοί τρόποι που βασίζονται στους χάρτες Karnaugh.

Χάρτες Karnaugh

Οι χάρτες Karnaugh είναι διδιάστατοι πίνακες µε τετραγωνίδια που χρησιµοποιούνται για την αναπαράσταση λογικών συναρτήσεων. Γειτονικά τετραγωνίδια διαφέρουν σε µία µόνο συντεταγµένη. Στο σχήµα 3.5 δίδονται χάρτες Karnaugh για 2, 3 και 4 µεταβλητές.

13

x

y0 1

0

1

xyz 00 01 11 10

0

1

0

1

2

3

0

1

2

3

4

5

6

7

wxyz

01 11 1000

00

01

11

10

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

Σχήµα 3.3. Χάρτες Karnaugh 2, 3 και 4 µεταβλητών

Παράδειγµα. Να απεικονισθεί σε χάρτη Karnaugh η λογική συνάρτηση

321321321321 xxxxxxxxxxxxf ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=

Ισχύει

434214342143421434216

321

5

321

4

321

3

321 xxxxxxxxxxxxf ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅= =∑ )6,5,4,3(

Παράδειγµα. Να απεικονισθεί σε χάρτη Karnaugh η λογική συνάρτηση

4321432143214321 xxxxxxxxxxxxxxxxf ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=

Ισχύει 4434421443442144344214434421

15

4321

14

4321

11

4321

0

4321 xxxxxxxxxxxxxxxxf ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅= =

= )15,14,11,0(∑

14

wxyz

01 11 1000

00

01

11

10

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

1

1

1

1

0 0

0

0

0 0 0

0 0

0 0 0

Απλοποίηση λογικών συναρτήσεων 2, 3, 4 µεταβλητών µε τους χάρτες

Karnaugh.

Η απλοποίηση των λογικών συναρτήσεων µε τους χάρτες Karnaugh επιτυγχάνεται ως εξής: Μετατρέπουµε την συνάρτηση σε κανονική. Τοποθετούµε τις τιµές της συναρτήσεως σε χάρτη Karnaugh. Η απλοποίηση µε τους χάρτες Karnaugh προκύπτει µε την εφαρµογή των κανόνων που δίδονται στην συνέχεια. 1) Παρατηρούµε τον χάρτη και προσπαθούµε να σχηµατίσουµε οµάδες µε όσο το

δυνατότερο περισσότερα γειτονικά 1. 2) Ο αριθµός των 1 σε κάθε σχηµατιζόµενη οµάδα πρέπει να είναι δύναµη του 2

(1, 2, 4, …). 3) Κάθε 1 πρέπει να ανήκει σε µία τουλάχιστον οµάδα. 4) Κάθε τετραγωνίδιο µε "1" πρέπει να µετέχει στον ελάχιστο αριθµό οµάδων. 5) Οµάδα µε δύο γειτονικά 1 σηµαίνει απαλοιφή µίας µεταβλητής, αυτής που

αλλάζει τιµή, ενώ οµάδα µε 4 γειτονικά 1 σηµαίνει απαλοιφή δύο µεταβλητών αυτών που αλλάζουν τιµή.

Στην συνέχεια δίδονται ορισµένοι κανόνες σχηµατισµού οµάδων σε χάρτες Karnaugh για 3 και 4 µεταβλητές.

15

Απλοποίηση µε χάρτες Karnaugh µη πλήρως καθορισµένων λογικών

συναρτήσεων.

Υπάρχουν περιπτώσεις όπου µία λογική συνάρτηση δεν ορίζεται σε όλα τα σηµεία του πεδίου ορισµού της {0, 1}n. Η συνάρτηση αυτή λέγεται µη πλήρως καθορισµένη. Οι ελάχιστοι όροι που αντιστοιχούν στα σηµεία που δεν ορίζεται η λογική συνάρτηση ονοµάζονται αδιάφοροι όροι και θα σηµειώνονται µε Χ στους πίνακες αληθείας και στους χάρτες Karnaugh. Η απλοποίηση µιας µερικά καθορισµένης συνάρτησης f µε τους χάρτες Karnaugh γίνεται µε την ίδια µεθοδολογία των πλήρως καθορισµένων συναρτήσεων µε µόνη διαφορά ότι οι αδιάφοροι όροι µπορούν να συµµετέχουν στο σχηµατισµό οµάδων µε γειτονικά 1.

Παράδειγµα. Να απλοποιηθεί µε χάρτες Karnaugh η λογική συνάρτηση

∑= )15,13,10,8,7,5,2,0(f

Απεικονίζουµε την λογική συνάρτηση σε χάρτη Karnaugh και εφαρµόζουµε τους κανόνες απλοποίησης.

xy

zw01 11 1000

00

01

11

10

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

1

1

1

1

1

1

1

1

Η απλοποιηµένη µορφή της συνάρτησης είναι

wywyf +=

16

3.6.2 Γενική µέθοδος απλοποίησης λογικών συναρτήσεων.

Βασικοί ορισµοί και θεωρήµατα

Ελάχιστο άθροισµα (minimum sum) µίας λογικής συνάρτησης είναι κάθε άθροισµα γινοµένων που έχει τον ελάχιστο αριθµό γινοµένων και τον ελάχιστο αριθµό µεταβλητών.

Μία λογική συνάρτηση P συνεπάγει (implies) µία λογική συνάρτηση F (P⊂F), εάν όταν Ρ=1 τότε F=1. Συνεπαγωγός (implicant) µιας λογικής συνάρτησης F λέγεται το λογικό γινόµενο το οποίο συνεπάγει την F. Πρώτος συνεπαγωγός (prime implicant) µιας λογικής συνάρτησης F είναι το λογικό γινόµενο του οποίου όταν παραλείψουµε µία µεταβλητή δεν συνεπάγει την F. Ουσιώδης πρώτος συνεπαγωγός (essential prime implicant) ονοµάζεται ο πρώτος συνεπαγωγός που καλύπτει έναν τουλάχιστον ελάχιστο όρο που δεν καλύπτετε από άλλον πρώτο συνεπαγωγό. Θεώρηµα 1. Κάθε ελάχιστο άθροισµα λογικής συνάρτησης είναι άθροισµα πρώτων συνεπαγώγων.

Θεώρηµα 2. Όλοι οι ουσιώδης πρώτοι συνεπαγωγοί µιας συνάρτησης περιλαµβάνονται στο ελάχιστο άθροισµα αυτής. Μεθοδολογία για την δηµιουργία ενός ελαχίστου αθροίσµατος γινοµένων

1. Προσδιορίζουµε όλους τους πρώτους συνεπαγωγούς. Για µικρό αριθµό

µεταβλητών αυτό µπορεί να γίνει µε χάρτες Karnaugh. 2. Βρίσκουµε τους ουσιώδεις πρώτους συνεπαγωγούς. 3. Εάν κάποιοι ελαχιστόροι δεν καλύπτονται από ουσιώδεις πρώτους

συνεπαγωγούς επιλέγουµε πρώτους συνεπαγωγούς ώστε να έχουµε το ελάχιστο κόστος.

Η επιλογή των µη ουσιωδών πρώτων συνεπαγωγών δεν είναι µοναδική, και έτσι µπορεί να υπάρχουν περισσότερα από ένα ελάχιστα αθροίσµατα γινοµένων.

.

3.7 Υλοποίηση Λογικών Παραστάσεων µε Λογικές Πύλες

Η υλοποίηση µιας δοσµένης λογικής παράστασης πραγµατοποιείται µε την διασύνδεση λογικών πυλών. Ένα σύνολο από λογικές πύλες καλείται πλήρες (universal) εάν µόνο µε τις πύλες αυτού του συνόλου µπορεί να υλοποιηθεί οποιαδήποτε λογική συνάρτηση. Στην συνέχεια δίδονται ορισµένα παραδείγµατα συνόλων λογικών πυλών τα οποία είναι πλήρη:

{AND, OR, NOT}, {AND, NOT}, {OR, NOT}, {NAND}, {NOR}

3.7.1 Υλοποίηση µε πύλες {AND, OR, NOT}

Αυτός ο τρόπος υλοποίησης ακολουθείται όταν διατίθενται οι πιο πάνω λογικές πύλες σαν αυτοτελή κυκλώµατα. Εκφράζουµε την λογική συνάρτηση σαν άθροισµα γινοµένων ή σαν γινόµενο αθροισµάτων. Ο σχεδιασµός προκύπτει κατ’ ευθείαν από την λογική παράσταση.

17

Παράδειγµα 1. Να υλοποιηθεί µε πύλες AND, OR, NOT η λογική συνάρτηση

4321 xxxxf ⋅+⋅=

1x2x

3x

4x

f

Παράδειγµα 2. Να υλοποιηθεί µε πύλες AND, OR, NOT η λογική συνάρτηση

)()( 4321 xxxxf +⋅+=

1x2x

3x

4x

f

3.7.2 Υλοποίηση µε πύλες NAND

Οποιοδήποτε λογική παράσταση µπορεί να κατασκευασθεί µόνο µε πύλες NAND. Για να το επιτύχουµε εκφράζουµε την λογική παράσταση σαν άθροισµα

γινοµένων και στην συνέχεια µε βάση την λογική σχέση ZZ = εφαρµόζουµε το θεώρηµα De Morgan και καταλήγουµε σε ισοδύναµη λογική παράσταση που µπορεί να υλοποιηθεί µε πύλες NAND.

Παράδειγµα. Να υλοποιηθεί µε πύλες NAND η λογική παράσταση.

4321 xxxxf ⋅+⋅=

Σύµφωνα µε την λογική σχέση ZZ = και το θεώρηµα De Morgan ισχύει

4321 xxxxf ⋅+⋅= = 4321 xxxx ⋅⋅⋅

Από την πιο πάνω σχέση προκύπτει εύκολα το επόµενο σχήµα

1x2x

3x

4x

f

Λόγω της ιδιότητας xxx ⋅= η αντιστροφή µιας λογικής µεταβλητής µπορεί να επιτευχθεί µε µία πύλη NAND µε βραχυκυκλωµένες εισόδους.

18

3.7.3 Υλοποίηση µε πύλες NOR

Οποιοδήποτε λογική παράσταση µπορεί να κατασκευασθεί µόνο µε πύλες NOR. Για να το επιτύχουµε εκφράζουµε την λογική παράσταση σαν γινόµενο

αθροισµάτων και στην συνέχεια µε βάση την λογική σχέση ZZ = εφαρµόζουµε το θεώρηµα De Morgan και καταλήγουµε σε λογική παράσταση που µπορεί να υλοποιηθεί µόνο µε πύλες NOR. Παράδειγµα. Να υλοποιηθεί µε πύλες NOR η λογική παράσταση

)()( 4321 xxxxf +⋅+=

Σύµφωνα µε την λογική σχέση ZZ = και το θεώρηµα De Morgan ισχύει

)()( 4321 xxxxf +⋅+= = )()( 4321 xxxx +++

Από την πιο πάνω σχέση προκύπτει εύκολα το επόµενο σχήµα .

1x2x

3x

4x

f

Λόγω της ιδιότητας xxx += η αντιστροφή µιας λογικής µεταβλητής µπορεί να επιτευχθεί µε µία πύλη NOR µε βραχυκυκλωµένες εισόδους. 3.8 Κυκλώµατα µε πύλες XOR, XNOR

3.8.1 Οι συναρτήσεις XOR (Exclusive-OR) και XNOR (Exclusive-NOR)

Οι λογικές συναρτήσεις XOR και XNOR για δύο µεταβλητές περιγράφονται από τον πίνακα αληθείας που δίνεται στην συνέχεια.

x y x ⊕ y (x ⊕ y)'

0 0

0 1

1 0

1 1

0

1

1

0

1

0

0

1

Από τον πίνακα αληθείας προκύπτουν εύκολα οι επόµενες λογικές παραστάσεις για τις συναρτήσεις XOR και XNOR.

XOR : x ⊕ y = x′y+xy′ = (x′+y′)(x+y)

XNOR : (x ⊕ y)′ = x′y′ + xy = (x′+y)(x+y′)

19

Οι λογικές πύλες XOR και XNOR που δίδονται στο σχήµα 3.4 και υλοποιούν τις αντίστοιχες λογικές συναρτήσεις είναι εξαιρετικά χρήσιµες για τον σχεδιασµό αριθµητικών κυκλωµάτων καθώς στην και κυκλωµάτων ανίχνευσης και διόρθωσης λαθών.

x

yf

x

yf

yxf ⊕= yxyxf ⊗=⊕=

XOR XNOR

Σχήµα 3.4. Πύλες XOR, XNOR

Για τις συναρτήσεις XOR και XNOR ισχύουν οι επόµενες σχέσεις :

x ⊕ 0 = x xx =⊕1

x ⊕ x = 0 1=⊕ xx

yx⊕ = yx⊕ = yx⊕

x ⊕ y = y ⊕ x (Αντιµεταθετική)

(x⊕ y) ⊕ z = x ⊕ (y ⊕ z) (Προσεταιριστική)

Οι πιο πάνω σχέσεις µπορούν να αποδειχθούν µε χρήση των πινάκων αληθείας η µε χρήση των αντίστοιχων λογικών παραστάσεων

3.9 Κυκλώµατα µε πολυπλέκτες δύο εισόδων.

Ο 12 → πολυπλέκτης (multiplexer ή selector) έχει 2 εισόδους δεδοµένων ),( 01 xx ,

µία είσοδο ελέγχου (επιλογής) s και µία έξοδο z . Είναι δυνατόν να υπάρχει και µία είσοδος ενεργοποίησης E . Με την είσοδο επιλογής καθορίζουµε µε ποια είσοδο θα συνδεθεί η έξοδος. Το λογικό σύµβολο, ο πίνακας λειτουργίας ενός 2�1 πολυπλέκτη (χωρίς είσοδο ενεργοποίησης) δίδονται στο σχήµα 3.5.

0x

1x0x

1x

20

Στο σχήµα 3.6α δίδεται ο πίνακας αληθείας. και στο σχήµα 3.6β ο συνοπτικός πίνακας αληθείας του 2�1 πολυπλέκτη. Με X εννοούµε 0 ή 1. Στο σχήµα 3.6γ εξάγεται η απλοποιηµένη λογική παράσταση µε χρήση χαρτών Karnaugh ενώ στο σχήµα 3.6δ δίδεται η υλοποίηση της λογικής συνάρτησης µε πύλες AND, OR, NOT.

0x 1xs z

0

0

0

0

1

1

1

1

0 0 0

0 1 0

1 10

1 1

0 0

0 1

1

01

1 1

0

1

0

1

0sx

1x

0

1

00 01 1110

0 1

0 1

0

1

0

1

10 sxxsz +=

1x

0x

s

z

0x 1xs z

0

0

1

1

0 x 0

x 1

x 00

x 1 1

1

(α)

(β)

(γ)

(δ)

Σχήµα 3.6. Σχεδίαση του πολυπλέκτη 2 1