Univerzitet u Beogradu-Elektrotehnički fakultetOktobarski ispitni rok iz Fizike 1, 14.9.2016. godine

Ispit sadrži 6 zadataka. Trajanje ispita je 3 h.Predmetni nastavnici: Jovan Cvetić (P1), Predrag Marinković (P2) i Milan Tadić (P3).

1. Tačka se kreće u ravni u skladu sa parametarskim jednačinama u Dekartovom koordinatnomsistemu: x(t) = A sin(ωt) i y(t) = A cos(ωt), gde su A i ω pozitivne konstante, a t vreme. Naći:(a) [20] jednačinu trajektorije i skicirati je;(b) [20] intenzitete tangencijalnog i normalnog ubrzanja;(c) [20] poluprečnik krivine trajektorije;(d) [20] ugao između vektora brzine i ubrzanja i(e) [20] jednačinu hodografa brzine i skicirati je.

2. Telo, malih dimenzija, mase m1, leži na dasci mase m2, koja je na glatkoj horizontalnoj podlozi.Između tela i daske postoji trenje i koeficijent trenja je µ. Odrediti:(a) [50] maksimalni intenzitet horizontalne sile (u oznaci Fmax) kojom se može daska vući u pravcudaske, a da telo na njoj ne sklizne;(b) [50] vreme potrebno da telo sklizne sa daske, ako se ona povuče horizontalnom silom u pravcudaske intenziteta F0 > Fmax i ako je na početku telo bilo na ivici daske na mestu gde se deluje silom,a daska je dužine L. Ubrzanje Zemljine teže je g.

Slika 1: Slika uz zadatak 3.

3. [100] Telo mase m se sporo vuče naviše uz brdo silom in-tenziteta F . Sila je u svakoj tački usmerena po tangenti napovrš kao na slici 1 uz zadatak. Ako je visina brda h, horizon-talno rastojanje od početne tačke do vrha brda l i koeficijenttrenja između tela i brda µ, izračunati rad koji izvrši spoljnasila. Ubrzanje Zemljine teže je g.

Slika 2: Slika uz zadatak 4.

4. [100] Na slici 2, uz zadatak, je prikazanotelo oblika tankog šupljeg poludiska mase m, ho-mogene gustine. Poluprečnik šupljine je R/2, aspoljašnji poluprečnik je R. Odrediti momentinercije tela oko ose OO′.

Slika 3: Slika uz zadatak 5.

5. Kruti homogeni tanki štap zanemarljivemase može da rotira bez trenja oko tankeosovine koja prolazi kroz tačku na rasto-janju L/3 od njegovog levog kraja. Za levikraj štapa pričvršćena je kuglica mase M , aza ovu kuglicu prikačena je opruga krutosti2k, dok je za desni kraj štapa pričvršćenakuglica mase m, a za nju opruga krutosti k

(videti sliku 3). Opruge su lake (zanemarljivo male mase) i postavljene su vertikalno. U ravnotežištap je u horizontalnom položaju, a opruge su nenapregnute. Odrediti:

(a) [20] masu leve kuglice M i intenzitet sile reakcije osovine na štap N u ravnotežnom položaju;

(b) [80] za M određeno pod (a) odrediti kružnu učestanost malih oscilacija ovog sistema ω.

6. Nivo intenziteta zvuka na rastojanju r1 = 20 m od tačkastog izvora je L1 = 30 dB. Ako je sredinau kojoj se prostire zvuk nedisipativna i izotropna, izračunati:

(a) [50] nivo intenziteta zvuka L2 na rastojanju r2 = 10 m od izvora;

(b) [50] najmanje rastojanje od izvora na kome se zvuk ne čuje.

Napomene: (1) Na vrhu naslovne strane vežbanke napisati oznaku grupe i prezime predmetnognastavnika: P1-Cvetić, P2-Marinković, P3-Tadić.(2) Studenti koji su zadovoljni poenima ostvarenim na kolokvijumu u tekućoj školskoj godini radezadatke 3-6 za vreme 3 h. Na naslovnoj strani vežbanke, u poljima rednih brojeva 1 i 2, treba daupišu oznaku K1 da bi poeni ostvareni na kolokvijumu bili priznati.(3) Studenti koji nisu zadovoljni poenima ostvarenim na kolokvijumu ili nisu radili kolokvijum utekućoj školskoj godini rade SVE ZADATKE (1-6) za vreme 3 h.(4) Zadatak koji nije rađen ili čije rešenje ne treba bodovati jasno označiti na koricama sveske, uodgovarajućoj rubrici, oznakom X.(5) Na koricama sveske (u gornjem desnom uglu) napisati broj poena sa prijemnog ispita iz fizike,ako je rađen, u formi PR-ISP= · · · poena. Ako nije rađen PR-ISP=NE.(6) Dozvoljena je upotreba neprogramabilnih kalkulatora i svih vrsta pisaljki, sem onih koje pišucrvenom bojom.(7) List sa tekstom zadataka poneti sa sobom, ne ostavljati u vežbanci.(8) Ispit se može napustiti po isteku najmanje jednog sata od početka ispita.

Rešenja zadataka na ispitu iz Fizike 1Oktobarski ispitni rok 2015/16.

−1 −0.5 0 0.5 1−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

x/A

y/A

Slika 4: Slika uz rešenje zadataka 1.

1. (a) Jednačina trajektorije je

( x

A

)2

+( y

A

)2

= sin2 ωt+ cos2 ωt = 1 .

Radi se o krugu radijusa R (slika 4).(b) Tangencijalno ubrzanje je (x = Aω cosωt, x = −Aω2 sinωt, y = −Aω sinωt i y = −Aω2 cosωt)

aτ =~v · ~a|~v| =

xx+ yy√

x2 + y2=

=− A2ω3 sinωt cosωt+ A2ω3 sinωt cosωt√

A2ω2 sin2 ωt+ A2ω2 cos2 ωt=

0

Aω= 0 .

Normalno ubrzanje je

an = |a| =√

x2 + y2 =√

A2ω4 sin2 ωt+ A2ω4 cos2 ωt = Aω2 .

(c) Polupečnik krivine trajektorije je

R =v2

an=

A2ω2

Aω2= A .

(d) Ugao između vektora brzine i ubrzanja se nalazi iz izraza

~v · ~a = va cos θ .

Kako je ~v · ~a = 0, sledi cos θ = 0, odnosno θ = π/2.(e) Projekcije brzine su: vx = x = Aω cosωt i vy = y = −Aω sinωt. Jednačina hodografa je (vidisliku 5)

( vx

Aω

)2

+( vy

Aω

)2

= cos2 ωt+ sin2 ωt = 1 .

−1 −0.5 0 0.5 1−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

vx/(Aω)

v y/(A

ω)

Slika 5: Slika uz rešenje zadataka 1.

2. (a) U odnosu na Zemlju, za dasku se može pisati

Fmax − Ft = m2a2 ,

gde je a2 ubrzanje daske prema Zemlji i maksimalna sila trenja Ft = µm1g.Za telo, prema sistemu vezanom za dasku, važi

m1a2 − Ft = m1a1 = 0 ,

jer je ubrzanje tela prema dasci a1 = 0. Odavde sledi

m1a2 = µm1g , ⇒ a2 = µg .

Iz prethodnih jednačina slediFmax = µ(m1 +m2)g .

(b) Za telo u odnosu na dasku se piše

m1a2 − µm1g = m1a1 ,

odakle jea1 = a2 − µg .

Za dasku važiF0 − µm1g = m2a2 ,

odakle je

a2 =F0 − µm1g

m2

.

Odatle je

a1 =F0 − µm1g

m2

− µg .

Traženo vreme je

t =

√

2L

a1=

√

2Lm2

F0 − µ(m1 +m2)g.

Slika 6: Slika uz rešenje zadatka 3.

3. Kako je kretanje sporo, ubrzanje mase m je zanemraljivo malo, pa je ~F = −(~Ftr + ~N +m~g) . Rad

sile ~F je — vidi sliku 6

AAB =

B∫

A

~Fd~r = −B∫

A

(~Ftr + ~N +m~g)d~r .

Pomeraj mase je moguće izraziti kao d~r = dx~eτ/ cos θ ili u Dekartovom sistemu d~r = dx~ex + dy~ey.

Kako je ~Ftr = −µN~eτ = −µmg cos θ~eτ i ~g = −g~ey, sledi

AAB =

B∫

A

µN~eτdx~eτ/ cos θ −B∫

A

m~g(dx~ex + dy~ey) =

= mg(lµ+ h) .

4. Primenom teoreme o upravnim osama lako se dobija

IOO′ =5

16mR2 .

5. (a) Koristeći uslove ravnoteže krutog tela (momentnu tačku pogodno postaviti u tački oslonca):

MgL

3= mg

2L

3⇒ M = 2m, (1)

N = 3mg. (2)

(b) Momentna jednačina je (θ je ugao rotacije):

Iθ = −2kL

3sin θ

L

3cos θ − k

2L

3sin θ

2L

3cos θ + 2mg

L

3cos θ −mg

2L

3cos θ. (3)

Za male oscilacije je sin θ ≈ θ, cos θ ≈ 1. Pored toga, moment inercija sistema je:

I = 2mL2

9+m

4L2

9=

2

3mL2. (4)

Prema tome:2

3mL2θ = −2

3kL2θ, (5)

odnosno:

θ +k

mθ = 0. (6)

Kružna učestanost oscilovanja sistema je:

ω =

√

k

m. (7)

6. (a) Na rastojanju r1 je:

L1 = 10 logI1I0. (8)

Na rastojanju r2 je:

L2 = 10 logI2I0. (9)

Koristeći I = C/r2, gde je C = const:

L2 − L1 = 10 logr21

r22

. (10)

Sledi:L2 = L1 + 20 log

r1r2

= 36,02 dB. (11)

(b) Za rastojanje r0:

L0 − L1 = 20 logr1r0, (12)

gde je L0 = 0 dB. Odavde sledi:r0 = r110

L1/20 = 632,46 m. (13)