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Introduzione alla meccanica quantistica

Attilio Tarantola

Maggio, 2017Istituto Alberti, Bormio

CERN, Geneva

http://www.tarantolapeloni.it/�les/mq.pdf

1 / 84Introduzione alla meccanica quantistica

N

Overview

1 Introduzione

2 La crisi della meccanica classica

3 La meccanica quantistica

Struttura della teoria

Interpretazione di ψ: Born (1926)

4 Come "vedere" le particelle?

Interazione particelle cariche e materia

5 Bibliogra�a

6 Backup slides


N

Introduzione

Partiamo con il piede giusto

"...I think I can safely say that nobody understands

quantum mechanics. So do not take the lecture

too seriously... feeling that you really have to

understand in terms of some model what I am going

to describe, but just relax and enjoy it.

I am going to tell you what nature behaves like."


N

La crisi della meccanica classica

Protagonisti nel 1800

Chi sono secondo voi?


N


Protagonisti nel 1800

Galilei, Newton: teoria dei fenomeni �sici (Caduta gravi, moto deipianeti,..). La teoria descrive il moto dei corpi determinato da forzeapplicate (attrazioni, repulsioni)

Gibbs, Boltzmann, Maxwell: meccanica dei processi termodinamici (Primasi pensava che gli scambi di calore non avessero a che fare con la meccanica)

Faraday, Maxwell: luce, fenomeni elettrici/magnetici sono diversemanifestazioni di una unica entita' e trovarono le equazioni che legovernano. Nuovo concetto "il campo elettromagnetico":

entita' �sica distribuita con continuita' nello spazio e nel tempo

permette il trasporto di energia attraverso lo spazio vuoto

caratteristica fondamentale di questi processi e' la natura ondulatoria


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Protagonisti all'inizio del 1900

Meccanica quantistica:

Sviluppata tra il 1900 e 1930

Protagonisti:Max Planck, Albert Einstein,Neils Bohr, Louis de Broglie, MaxBorn, Paul Dirac, WernerHeisenberg, Wolfgang Pauli,Erwin Schrodinger (e il suogatto), Richard Feynman


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Tappe fondamentali della �sica(inizi del 1900)

1901: Planck pubblica gli studi sul corpo nero

1902: Lenard: legge sperimentale dell'e�etto fotoelettrico

1905: Einstein "Elettrodinamica dei corpi in movimento" (Relativita'ristretta), "L'inerzia di un corpo dipende dal suo contenuto di energia?"(Prima proposta volta che compare E = mc2), "Sulla teoria del motoBrowniano", e�etto fotoelettrico

1906: J.J. Thomson Nobel. L'elettrone e' una particella

1908: Einstein lavora sulla radiazione di energia del corpo nero

1916: Millikan approfondisce gli esperimenti di Lenard

1916: Planck scrive due articoli sulla teoria quantistica della radiazione incui deriva la legge di Planck, prima volta che a�erma che un quanto di lucedi energia hν trasferisce quantita' di moto hν

c


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Tappe fondamentali della �sica (inizi del1900)

1918: Planck Nobel

1921: Einstein Nobel per spiegazione quantistica e�etto fotoelettrico

1921: Compton osserva la "di�usione Compton"

1923: de Broglie propone che anche le particelle hanno una lunghezzad'onda associata

1924: Schrödinger: trova l'equazione di�erenziale fondamentale

1926: Born interpreta la funzione d'onda di Schrödinger in terminiprobabilistici

1927: Bohr propone il principio di complementarieta' (interpretazione diCopenhagen). Segue il dibattito Bohr-Einstein sui fondamenti dellameccanica quantistica


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Tappe fondamentali della �sica (inizi del1900)

1929: de Broglie Nobel per i contributi alla teoria quantistica

1930: Dirac: la formulazione della meccanica secondo Schrödinger equivalea quella di Heisenberg (teoria delle matrici)

1930: Einstein propone Heisemberg e Schrödinger al il Nobel per la teoriaquantistia che "..ha in se' un frammento di ultima verita'"

1937: G. Thomson: Nobel per la dimostrazione sperimentale che l'elettronee' un'onda (1906: J.J. Thomson, padre di G. Nobel. L'elettrone e' unaparticella)

1954: Born Nobel per i concetti di probabilita' assegnati alla funzioned'onda di Schrödinger


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Colore e temperatura degli oggetti

Spettro elettromagnetico:

λν = c

λ e' distanza tra due creste successive


N



Un corpo cambia colore a seconda della temperatura a cui si trova (es. ilferro). Questa sembra una proprieta' "universale"

La radiazione termica e' una forma di radiazione elettromagnetica


N



Come funziona l'irraggiamento di un corpo al variare della temperatura?


N



Dall'esperienza quotidiana: da una �nestra entrano raggi di luce

la stanza si riscalda assorbendo qualsiasi radiazione incidente

la radiazione e' assorbita dalle pareti interne della stanza

La stanza si comporta come un "corpo nero".


N



Un corpo nero e' un oggetto che assorbe qualsiasi onda elettromagnetica:

Le pareti del corpo emettono radiazioni

Le radiazioni dipendono solo dalla temperatura T del corpo e non dalmateriale


N




N


Disaccordo tra teoria e dati sperimentali

Teoria classica (Maxwell)

Gli spettri crescono in�nitamentea piccole λ (zona ultravioletta)

Viola la conservazione dell'energia

Gli atomi delle pareti internescambiano energie con laradiazione in modo continuo

Teoria di Planck

scambi di energia tra atomi dellacavita' e radiazione non sonocontinue

Energia scambiata dagli atomidipende dalla radiazione secondoE = nhν


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E�etto fotoelettrico

In cosa consiste?

"Illuminando una super�cie metallica e' possibile strappare elettroni dal

metallo stesso"


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N


Disaccordo tra teoria e dati sperimentali

Teoria classica (Maxwell)

Irradiamento = 1

2cε0E

2

0

energia cinetica degli e− liberati(Kmax = f (v2)) dipendadall'irradiamento

il tempo di irraggiamento e'importante (piu' tempo irraggio,piu' elettroni vengono emessi)

Dati sperimentali

energia cinetica degli e− nondipende dall'irradiamento

energia cinetica elettroni liberati(Kmax) dipende dalla frequenzadella radiazione incidente

il tempo di irraggiamento e'irrilevante


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E�etto fotoelettrico:Interpretazione di Einstein

Adatta l'ipotesi di Planck sulla quantizzazione dell'energia scambiata.

1 Radiazione composta da quanti (fotoni)

2 Energia dei fotoni e' E = hf (f frequenza onda elettromagnetica)

3 Irradiamento proporzionale al numero di fotoni per unita' di tempo

4 We : energia legame elettrone

Kmax = hf −We


N


E�etto fotoelettrico: Interpretazione diEinstein

1905 Einstein:

"... le osservazioni collegate con l'emissione

e la trasformazione della luce, vengono

facilmente comprese se si assune che l'energia

della luce e' distribuita in modo discontinuo..."


N


E�etto fotoelettrico:Interpretazione di Einstein

Di�cilmente rilevabile la distinzione tra distribuzione continua o discreta

di energia


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Gli atomi e le loro proprieta'

Modello atomico

centro = nucleo

forza di Coulomb (F ∝ d−2)

caratteristiche degli atomidipendono da condizioni iniziali(da come sono fomati)

Modello planetario

centro = sole

forza gravitazionale (F ∝ d−2)

le orbite dipendono dallecondizioni iniziali


N



Modello atomico

caratteristiche dell'atomodipendono dalla con�gurazione

non si spiega ancora l'equilibrio(inconsistenza del modello diBohr)

Modello planetario

caratteristiche del sistema nondipendono dalla particolarecon�gurazione

orbite stazionarie


N



L'ipotesi si Bohr per identi�care le orbite permesse doveva avere un

qualche senso molto profondo che non era chiaro all'epoca.Il modello di Bohr e' chiaramente inconsistente:

1 utilizzo leggi classiche per determinare le orbite

2 non tutte le orbite sono possibili (in contraddizione con il primo punto)


N


Riassunto crisi della meccanica classica

1 Planck: gli scambi di energia sono discontinui

2 Einstein: la luce trasporta energia discontinua

3 Compton: dimostra che il fotone esiste attraverso lo studio di urti(scattering) fotone-elettrone

4 Bohr: i livelli energetici degli atomi sono discontinui


N


Riassunto crisi della meccanica classica

1901: Planck pubblica gli studi sul corpo nero


1905: Einstein "Elettrodinamica dei corpi in modimento" (Relativita'ristretta), "L'inerzia di un corpo dipende dal suo contenuto di energia?"(Prima proposta volta che compare E = mc2), "Sulla teoria del motoBrowniano"

1906: J.J. Thomson, padre di G. Nobel. L'elettrone e' una particella


1916: Millikan approfondisce gli esperimenti di Lenard

1916: Planck scrive due articoli sulla teoria quantistica della radiazione incui deriva la legge di Planck, prima volta che a�erma che un quanto di lucedi energia hν trasferisce quantita' di moto hν

c


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La meccanica quantistica

Un esperimento ideale1

Spariamo dei proiettili attraverso una o due fenditure.

Usiamo proiettili:

1 macroscopici

2 onde

3 elettroni

1Gedanken Experimente


N


Proiettili macroscopici:una sola fenditura aperta

P1(x) e' la densita' di probabilita' che un proiettile �nisca nel punto x

P1(x)δx = probabilita' che un proiettile �nisca nell' intervallo (x , x + δx)


N


Proiettili macroscopici:una sola fenditura aperta

Esempio:

δx = 1cm intervallo di divisione dello schermo

N = 32 numero di proiettili

P(x = 4) = 4/32[cm−1] = 0, 125[cm−1] densita' di probabilita'31 / 84

Introduzione alla meccanica quantistica

N


Proiettili macroscopici: 2 fenditure aperte

Entrambe le aperture sono aperte

P12(x) = P1(x) + P2(x) (1)

P12(x) e' la densita' di probabilita' di trovare un proiettile nel punto x


N


Proiettili macroscopici: 2 fenditure aperte

P(x)δx =δN

N


N


Un esperimento ideale

Proviamo con le onde


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Onde: una fenditura aperta


N


Onde: due fenditure aperte

Figura di interferenza: minimi e massimi sullo schermo


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Un esperimento ideale

Proviamo con gli elettroni


N


Elettroni

Immaginiamo un singolo elettrone sparato verso le fenditureRisultati:

1 una sola fenditura aperta: stessi risultati dei proiettili

2 due fenditure aperte: stessi risultati dell'interferenza tra onde.Per interferire con se stesso un elettrone deve passare attraverso le 2fenditure contemporaneamente


N


Elettroni

Ogni esperimento che mira a veri�care il percorso dell'elettrone fa

scomparire la �gura di interferenza

Un elettorne si comporta anche come un onda?!

Gli elettroni si comportano come particelle o come onde a seconda di cosa

osserviamo2

Il problema viene superato nell'ambito di una nuova teoria nel suo nuovo

formalismo

... ci ritorneremo tra poco..2Dicotomia onda-particella


N


Principio di complementarieta' di Bohr


N


Elettroni


1906: J.J. Thomson, padre di G. Nobel. L'elettrone e' una particella


1916: Planck deriva la sua legge "di Planck", prima volta che a�erma cheun quanto di luce di energia hν trasferisce quantita' di moto hν

c

1918: Planck Nobel per il concetto di quanto


1921: Compton osserva la "di�usione Compton" (fotone su elettrone)

1922: Bohr Nobel per la teoria atomica

1923: de Broglie: anche le particelle hanno una lunghezza d'onda associata


N


Onda o particella: lunghezza d'onda di deBroglie

Teoria delle onde materiali: ai corpuscoli materiali possono essere associate

proprietà ondulatorie


N


Onda o particella: lunghezza d'onda di deBroglie

Esempio:

1 un elettrone che si muove a 6 · 106m/s, λ = 1.2 · 10−10m (e' circa ladimensione di un atomo)

2 per una pallina da golf: λ = 3 · 10−34m

Il carattere ondulatorio si

evidenzia se:

λ ∼ dimensioni ostacolo

=⇒ de Broglie apre la

strada alla meccanica

ondulatoria di Schrödinger


N


Un radicale cambiamento di prospettivaNell'ottica della �sica "classica":

1 Oggetti dell'esperienza quotidiana

2 Deterministica: ogni stato del sistema e' conosciuto (se conosco x(t) ev(t)) si puo' misurare E, ~M, ...

3 Assunzioni: legittime approssimazioni (es. il sistema non e' tutto l'universo)

Bell:

"All'inizio i filosofi naturali cercarono

di capire il mondo circostante.

In questo loro tentativo essi si imbatterono

nella grande idea di immaginare situazioni

artificialmente semplificate nelle quali il

numero di fattori in gioco e' ridotto al minimo...

era nata la scienza sperimentale"


N


Un radicale cambiamento di prospettiva

Quale sarebbe l'approccio dello scienziato rivoluzionario?


N


Un radicale cambiamento di prospettiva

Risposta:

Il disturbo del processo di misura e' importante

Gli scambi di energia non possono essere ridotti ne' a piacere ne' in modocontinuo


N


Il momento storico








N


Un oggetto nuovo: la funzione d'onda ψ(x)

Schrödinger trova un'equazione da cui deriva la forma matematica

dell'onda associata a una particella

Nota l'energia del sistema:

Etot = U + K

e' possibile trovare la soluzione dell'equazione di Schrödinger che descrive

le proprieta' del sistema in esame

ψ = ψ(x , t)


N


Un oggetto nuovo: la funzione d'onda ψ(x)

Esempio: la quantizzazione dell'energia dell'atomo di idrogeno si ottiene

dalla soluzione ψ(x , t) dell'equazione di Schrödinger

Caratteristiche del sistema

U = − 1

4πε0

e2

r

K =1

2mev

2

Figure: Livelli energetici


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Il momento storico








N


Densita' di probabilita'

Schrödinger: ψ(x) = densita' elettronica nel punto di coordinate x

Born: |ψ(x)|2 e' la densita' di probabilita' di trovare la particella nel punto

x

La probabilita' P di trovare la particella nel

punto x

P(x) = |ψ(x)|2∆V

nel caso di una dimensione:

P(x) = |ψ(x)|2∆x

Ricordiamo:

ρ =δm

δV

allora:

m = ρ ·∆V


N


Ampiezza di probabilita'


N


Particella in una scatolamonodimensionale3

Quesito: un punto e' vincolato a muoversi sul semiasse positivo tra x = 0 e

x = L, ovvero 0 ≤ x ≤ L

Il sistema quantistico del sistema e' descritto da equazioni della forma:

ψn(x) =

√2

Lsin

nπx

L

Probabilita' di trovare la particella in un intervallo dx e' data da:

dPn(x) = [ψn(x)]2 dx

3"Fisica per la seconda prova...", Zanichelli, 2017


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Particella in una scatolamonodimensionale

Osservazione:

Proprieta' di ψn(x):

1 dipende dalla posizione x della particella

2 si annulla fuori dalla scatola: ψn(x = 0) = ψn(x = L) = 0

3 dipende da n: ad ogni valore di n la forma della funzione cambia (vedremoche n e' numero quantico e de�nisce lo stato del sistema)


N



Domanda 1: veri�ca che la probabilita' di trovare la particella nella scatola

sia 1.

Allora basta veri�care che:∫dPn(x) =

∫L

0[ψn(x)]2 dx = 1


N



Domanda 2: veri�ca che la funzione ψn(x) e' soluzione dell'equazione di

Schrödinger:

− h2

8π2m

d2ψn(x)

dx2= Enψn(x)

e determina i livelli di energia En


N



Soluzione: calcolo il primo termine dell'equazione precedente

d2ψn(x)

dx2= −(

nπ

L)2√

2

Lcos

nπx

L

e sostituisco in:

− h2

8π2m

d2ψn(x)

dx2= Enψn(x)

e per confronto ricavo En


N


Particella in una scatola monodimensionale

Soluzione:

En =1

8m

(nh

L

)2

I livelli di energia sono �ssati dal numero quantico n. Per quali valori di n si

ha il minimo valore di energia?


N



n = 1 ψ1 =

√2

Lsinπx

L|ψ1|2 =

2

Lsin2

πx

L

n = 2 ψ2 =

√2

Lsin

2πx

L|ψ2|2 =

2

Lsin2

2πx

L


N



L'esempio fa ri�ettere su caratteristiche fondamentali della teoria:

1 la casualita' e' intrinseca nella �sica: e' irriducibile (non ha a che fare con ladi�colta' nel fare una misura precisa!).Se ripetiamo l'esperimento otteniamo misure di�erenti

2 ψn(x) da un informazione circa lo stato �sico di un sistema

3 l'informazione del sistema �sico e' codi�cata nella funzione d'onda ψn(x) equesto pone limiti a questa informazione.Questo non e' altro che il principio di indeterminazione di Heisenberg.

4 La quantizzazione dell'energia e' una consequenza diretta della richiesta di"normalizzazione"

(∫ L

0

[ψn(x)]2 dx = 1) e delle condizioni al contorno

(ψn(x = 0) = ψn(x = L) = 0)


N


Ritorniamo sull'esperimento della doppiafenditura: il principio di sovrapposizione

In termini della funzione d'onda come lo risolviamo?


N


Ritorniamo sull'esperimento della doppiafenditura il principio di sovrapposizione

Una fenditura aperta:

"l'e− passa da una fenditura"

Due fenditure aperte:

"l'e− e' nello stato di sovrapposizione" (ogni cammino e'

possibile "individualmente")


N



Facciamo una misura di posizione:

ψ(x) = ampiezza di probabilita'

|ψ(x)|2 = densita' di probabilita'[ Probabilita′

unita′ di lunghezza]


N



L'emergere della �gura di interferenza implica una contraddizione logica

con l'idea che la particella attraversi l'una o l'altra fenditura

Vediamo un altro esempio di sovrapposizione:


N


L'e�etto tunnel

Situazione classica: una pallina scende e risale da un piano inclinato


N


L'e�etto tunnel

I due stati S e D si sovrappongono nello stato:

1√2

(|elettrone a sinistra > +|elettorne a destra >)


N


L'e�etto tunnel

Gli stati S, D corrispondono a uguali probabilita' di trovare la particella in So D se si e�ettua la misura

La sovrapposizione non consente di dire dove si trovava l'e− prima dellamisura (e' a destra, a sinistra, da entrambe, da nessuna parte)


N


1930 idee accettate dalla comunita' scien-ti�ca cui processi �sici

1 duplice natura (onda-corpuscolo)

2 discontinuita' dell'energia (quantizzazione)

3 natura probabilistica dei fenomeni �sici

4 principio di indeterminazione:

"E' impossibile costruire un apparecchio per determinare

attraverso quale foro passa l'elettrone

che non disturbi la figura di interferenza"

∆p∆x ≥ ~2


N


1930 - oggi


N

Come "vedere" le particelle?


Con gli strumenti piu' moderni si possono misurare con grande precisione

posizione, momento ed energia delle particelle


N



Il principio di indeterminazione di Heisemberg:

∆p∆x ≥ ~2

= 4, 13 · 10−15eV · s

Un tipico rivelatore (Es. TPC al CERN)

∆p = 2GeV /c = 2 · 106eV /c

∆x = 100µm = 100 · 10−6m

∆p ·∆x = 200 · eV · s

La rivelazione delle particelle e' possibile poiche' interagiscono con la

materia e lasciano un "messaggio" macroscopico del loro passaggio nella

materia


N



Nella �sica delle particelle mi misura la posizione e il momento delle

particelle "ad ogni istante"


N



Una particella carica interagisce con la materia perdendo energia in vari

modi: principalmente per ionizzazione (perdita di energia nel materiale,

"attrito")


N


Ionizzazione

Un elettrone attraversa un mezzo (gas) e rompe i legami degli atomi del

gas.

.. applicando un campo elettrico uniforme..


N


Ionizzazione

le cariche ionizzate vengono separate e sui piatti del condensatore si

produce un impulso elettrico


N


Ionizzazione

Esempio di traccia obliqua al rilevatore ("a 5 canali")


N


Ionizzazione

Esempio di traccia parallela al rivelatore ("a 5 canali")


N


Ionizzazione

riproducendo questo schema e' possibile avere piu' infomazioni legate alla

traccia di un singolo elettrone

in questo modo e' possibile "vedere" le tracce delle particelle


N


Rivelatore: 500.000 canali


N

Bibliogra�a

Bibliogra�a

"Un occhiata alle carte di Dio", Carlo Ghilardi, Net, 1997.

"The Character of Physical Law", Richard Feynman, 1965.

"Lectures in Physics, Vol. III", Richard Feynman, 1970.

"La legge �sica", Richard Feynman, Bollati Boringhieri 1993.

"Sottile e' il Signore", Abraham. Pais, Bollati Boringhieri 2001.

"Über einen die Erzugung und Verwandlung des Lichtes betre�endenheuristischen Gesichtspunkt", Albert Einstein, Annalen der Physik, XVII,1905.


N

Backup slides

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ψ(x , y , z , t) e' una funzione complessa e puo' essere rappresentata nel

piano come un vettore, in modo del tutto analogo ai numeri complessi.


N

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Derivazione dell'equazionie di Schrödinger:caso unidimensionale, particella libera

Particella di massa m con quantita' di moto p in moto lungo asse x :

Energia:

E =p2

2m(2)

dalle ralazioni di de Borglie e Planck

~ω =~2k2

2m(3)


N

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Ipotizziamo funione d'onda:

ψ(x , t) = e i(kx−ωt) (4)

derivando rispetto t∂ψ(x , t)

∂t= −iωψ(x , t) (5)

derivando rispetto x due volte

∂2ψ(x , t)

∂x2= i2ω2ψ(x , t) (6)


N

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Considerando le relazioni 6, 5 e 3 si ottiene:

i~∂ψ(x , t)

∂t= − ~2

2m

∂2ψ(x , t)

∂x2(7)

che e' l'equazione di Schrödinger a cui deve soddisfare la funzione d'onda

per particelle non relativistiche.

In presenza di potenziale si deve sommare il termine U(x , t) al termine

cinetico:

i~∂ψ(x , t)

∂t= − ~2

2m

∂2ψ(x , t)

∂x2+ U(x , t)ψ(x , t) (8)


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