Meccanica 2017-18 L20 s -...

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20 Meccanica 2017-2018 Dinamica del corpo rigido Elementi di fluidodinamica

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Meccanica2017-2018

Dinamica del corpo rigidoElementi di fluidodinamica

O

Teorema di Poinsot:

Dato un corpo rigido qualunque, comunque venga scelto un punto O, è semprepossibile trovare (almeno) tre direzioni mutuamente ortogonali passantiper O, per ognuna delle quali: L ω

� ��

Assi principali d’inerzia

Se scegliamo come asse di rotazione un asse principale d’inerzia, allora Lω���

Ad esempio scegliendo l’asse si hae lo stesso vale per y e per z

x x x xL I u Iω ω= =� ��

x

ω�

u� L

OQ1/OQ I=

Ellissoide d’inerizia

Z

Q

OYX

x x x y y y z z zL I u I u I uω ω ω= + +� � � �

“Momenti principali d’inerzia”

xy

z

Misura di precisione degli assi principali di inerzia:- Stabilità del puntamento (requisito scientifico)

- Stabilità termo-elettrica

- Controllo dell’attitudine

- Efficienza propulsione re-pointing (hydrazine thrusters)

Filmato Simulazione

Ground test – Planck balance procedure – Thales Alenia Space, 2008 Planck in-flight scanning strategy

Giroscopio

L sin ωθL=

dLM

dt=��

L CMsin sinL r mgθ ω θ= CML

r mg

Lω = CMr mg

Iω≃

“velocità angolare di precessione”

sin dL L dθ φ=

ω�

L�

� Esempio: punto fisso diverso dal centro di massa

CM

O

Precessione del momento angolare

dL�

CM

mg�θ

O

L�

Rotazione di un corpo rigido con un punto fissato da sistema di vincoli

costanteω =�

Il periodo di precessione è inversamenteproporzionale al periodo di rotazione

2

CM

4 1L

IT

r mg T

π≃

Approssimazione:Quasi tutto il momentoangolare è nella rotazione

CMr mg= � �

Momento dellaforza peso

θCMr�

Periodo di precessione rispettoal pariodo di rotazione?

mg�

M�

sin dL d

Ldt dt

φθ=

Proprietà meccaniche dei fluidi

Solidi Liquidi Gas

Forma propria

Assumono la forma dell’ambiente che li contiene

3 3acqua 10 kg/mρ = 3

aria 1.3 kg/mρ =

Volume proprio

Riempie tutto il volume

Incompressibile Compressibile

Attrito (“viscosità”): resistenza interna allo scorrimento

Assumeremo “fluido ideale”: viscosità nulla

F Fp

S S≡ =

Pressione

F�

S

Forza che agisce perpendicolarmente a una superficie

dFp

dS= Grandezza scalare!

2

N[ ] = Pa

mp ≡ 5 bar 10 Pa≡

1.01325 bar=

Unità di misura: “Pascal”

5atm 1.01325 10 Pap = ×Pressione atmosferica a livello del mare:

Fluidi

Scorrimento di qualsiasi parte del fluido rispetto alle parti circostanti

Proprietà meccaniche dei fluidiFluido nei pressi della superficie terrestre

“Forza di pressione”: dF p dS=

La pressione non è direzionale: Ogni elemento infinitesimo di volume di un fluido in quiete subisce uguale pressione in ongi parte della sua superficie.

3 1sinF F θ=

2 1 cosp bh p ah θ= 3 1 sinp ch p ah θ=

2 1p p=cosb a θ= sinc a θ=

3 1p p=

1 2 3p p p= =

Pressione: grandezza non direzionale.Consideriamo un elemento di fluido in quiete in cui agiscano solamente forze di pressione a

b

c

h

θ

1F�

2F�

3F�

dF g dm g dVρ= =“Forza di volume”: peso

dm dVρ=

gdm

Elemento infinitesimo di un fluido in quiete:

S

F

Lavoro delle forze di pressione

p S dh= p dV=Lavoro complessivo:

pressioneW pdV= ∫

Forza di pressione produce spostamento dh:dh

pressione dW F dh=

2 1cosF F θ=Equilibrio statico:

Proprietà meccaniche dei fluidi

Equilibrio idrostatico

pesodF gdm=Forza peso:

Pressioneesterna:

0p

dVForza di pressione: pressione dF dp dS= −

g dV g dSdhρ ρ= =

0g dSdh dpdSρ − =

Condizione di equilibrio:

peso pressione 0dF dF+ =

dpg

dhρ=Equazione dell’equilibrio

idrostatico

0

( )

0

p h h

p

dp g dhρ=∫ ∫

0( )p h p g hρ= +

dp g dhρ=

Come cresce la pressione con la profondità in un bacino d’acqua?

3 3acqua 10 kg/mρ =

50 atm 10 Pap p= ≃

5 3( ) (10 9.8 10 [m])Pap h h+ ×≃

� La pressione aumenta di ~1 atmosfera ogni 10m di profondità

410 mh ≃ 8 310 Pa 10 barp ≃ ≃

� Fondi oceanici (assumendo cost.)ρ =

Legge di StevinoSimone di Bruges

(1548-1620)

Consideriamo un fluido ideale in quiete, densità costante

( ) ( )p h p h dh− +Differenza di pressione tra i piani dello strato dh

hh dh+

0

gdm

dpdS−

Proprietà meccaniche dei fluidi

Principio di ArchimedeρFluido in equilibrio, densità

� Sostituiamolo con un materialedi densità 'ρ

L’azione delle forze di pressione rimane identica

peso' 'F g Vρ=La forza peso cambia:

g Vρ=

ρ

( ' )g Vρ ρ= −Se la spinta di Archimedeprevale sulla forza peso, e l’oggetto sale verso l’alto

'ρ ρ<

pressione pesoF F=

'g V g Vρ ρ= −

AF≡Peso dell’oggetto “spinta di Archimede”

Forza peso in equiliberio con spinta di Archimede:

ghiaccio acqua Sg V g Vρ ρ= ghiaccio

acqua

0.92SV

V

ρρ

= ≈

Esempio. Quale frazione del volume di un iceberg è sommersa?

ghiaccio acqua0.92ρ ρ≈

Isoliamo una porzione (generica) di fluido. Per essa vale:

peso pressione'F F−La forza risultante è:

Non c’è più equilibrio: peso pressione' 0F F− ≠Archimede

(287-212 aC)

'ρg Vρ=

Proprietà meccaniche dei fluidi

Moto di un fluidoFluido in moto in un condotto

� Variazione di velocità e pressione del fluido a seconda della sezionee della quota del condotto?

Assumiamo moto in regime stazionario:

� La velocità varia da un punto all’altro del condotto, ma non dipende dal tempo

( , , )v v x y z=� �

Linee di corrente: Traiettorie di elementi di flusso, tangenti al vettore velocità

� sono fisse in regime stazionario

S

“portata”Volume di fluido cheattraversa dS in un secondo

3 [m /s]

In regime stazionario la portata si mantiene costante nel tempo

cost.S

q dq= =∫1

cost.S

q S vdS S vS

= = =

Tubo di flusso: Insieme di tutte le linee di corrente in una sezione S

Media delle velocità nei vari punti della sezione

Legge di proporzionalità inversa tra velocità e sezione Leonardo da Vinci

(1452-1519)

dq vdS=

Portata:Consideriamo il tubo di flusso per una sezione infinitesima dS:

dS

v

Proprietà meccaniche dei fluidi

Moto di un fluido: teorema di Bernoulli

Fluido ideale (no attriti), densità costante, regime stazionario

1S

2S

Considero volume di fluido compreso tra S1 e S2

1 1 1dV S dh=Fluido incomprimibile, i volumi si conservano:

2 2 2dV S dh==

� Relazione tra velocità e pressione del fluido in un condotto generico

Lo scorrimento equivale a spostare il fluido dal volume dV1 al volume dV2

Lavoro della forza peso: peso PdW dE= −

1z

2z

Lavoro della pressione: pressione 1 1 1 2 2 2dW p S dh p S dh= − 1 2( )p p dV= −

Variazione energia cinetica: 2 22 1

1 1

2 2KdE dmv dmv= −

2 1( )g dV z zρ= − −

2 1 1 2( ) ( )g dV z z p p dVρ− − + − = 2 22 1

1 1

2 2dVv dVvρ ρ−

Usiamo la relazione: peso pressione KdW dW dW dE= + =

1'S

2'S

1dh

2dh

� si sposta e va a riempire il tratto S’1 e S’2

ovviamente 1 2dm dm=

2 1( )gdm z z= − −

Proprietà meccaniche dei fluidi

Moto di un fluido: teorema di Bernoulli2 2

2 1 1 2 2 1

1 1( ) ( )

2 2g dV z z p p dV dVv dVvρ ρ ρ− − + − = −

2 21 1 1 2 2 2

1 1

2 2g z p v g z p vρ ρ ρ ρ+ + = + +

21costante

2p v g zρ ρ+ + =

Poichè gli stati 1 e 2 sono generici, vale in generale che:

Daniel Bernoulli(1700-1782)

Teorema di Bernoulli

In un fluido ideale in regime stazionario la somma di pressione, densità di energia cinetica e densità energia potenziale si conserva.

0p p g hρ= −

21costante

2p vρ+ =

0( )p h p g hρ= +Ritroviamo la Legge di Stevino

Pressione e velocità cambiano solo se cambia la sezione.Sezioni più strette: aumenta la velocità, diminuisce la pressione(Viceversa in sezioni più larghe)

� Se il fluido è statico: 0v =costantep g zρ+ =

0p

z h= −p

0z =

� Se il condotto è orizzontale: cost.z =

In regime stazionario, se la sezione è costante, la velocità è costante: costantev S =

costantep g zρ+ =Il teorema di Bernoulli si riduce a:

1 1 0 2 2p g h p p g hρ ρ+ = = +Nei tre tratti del condotto abbiamo:

La pressione decresce con la quota secondo la legge di Stevino

Quota costante. Dal teorema di Bernoulli:2 2

1 1 2 2

1 1

2 2p v p vρ ρ+ = +

1 1 2 2v S v S=Per la portata:2

2 221 22

1

Sv v

S=

22 22

1 2 2 221

1 1

2 2

Sp v p v

Sρ ρ+ = +

Teorema di Bernoulli: applicazioni

1S 2S

2p1p

22 22 1 22

1

1 2( )S

v p pS

ρ − = −

22 1 2 12 2 2

1 2

2( )p p Sv

S Sρ−=

−Misurando p1 e p2

ricavo la velocità

0p

1p2p

� Variazione della pressione?Flusso in un tubo a sezione costante

z

0

1h2h

1 0 1p p g hρ= − 2 0 2p p g hρ= −

� Misura della velocità di un fluido in un condottoTubo di Venturi

Teorema di Bernoulli: applicazioni

� Velocità con cui il fluido esce dal foro?

Recipiente con un piccolo foro (a << A), profondità -h

Poiché a << A, sulla superficie libera A, possiamoassumere il regime statico

20 0

1

2p p v g hρ ρ= + −

22gh v= 2v gh=

La velocità di deflusso:

� Non dipende né dalla densità del fluido, né dalla pressioneesterna

� E’ pari a quella che avrebbe se fosse scesa in caduta libera da un’altezza h

0Av ≃0Ap p= 0Az = av v=0ap p= az h= −

0p

0

h−

A

a

Pressione esterna:

z

Legge di Torricelli

Evangelista Torricelli(1608-1647)

2 21 1

2 2A a

p v g z p v g zρ ρ ρ ρ + + = + +

Consideriamo il flusso attraverso le sezioni A e a, e applichiamo il Teorema di Bernoulli: