MECCANICA QUANTISTICA E MECCANICA STATISTICAA.A. 2017/2018 – Prof. C. Presilla

Prova A2 – 14 febbraio 2018

Cognome

Nome

Matricola

penalita

esercizio voto

1

2

3

4

5

6

1 Siano ξ ed η due operatori autoaggiunti e |A〉 un vettore normalizzato. Dimostrare che

∆ξ∆η ≥ 1

2|〈A|[ξ, η]|A〉| ,

dove (∆ξ)2 = 〈A|ξ2|A〉 − 〈A|ξ|A〉2 e (∆η)2 = 〈A|η2|A〉 − 〈A|η|A〉2.[punteggio 4]

2 Dimostrare che le autofunzioni dell’operatore hamiltoniano unidimensionale

H = − ~2

2m

d2

dx2+ V (x)

possono sempre essere scelte reali.[punteggio 4]

3 L’operatore densita ρ di un sistema quantistico evolve nel tempo secondo l’equazione divon Neumann

i~dρ

dt= [H, ρ].

Dimostrare che l’entropia del sistema rimane costante nel tempo.[punteggio 4]

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4 Una particella di massa m e vincolata a muoversi lungo l’asse x soggetta al potenziale

V (x) =

{0 |x| ≤ L/2∞ |x| > L/2

.

All’istante t = 0 la funzione d’onda della particella e

ψ(x, 0) =

√2

L

(cos(πxL

)− cos

(3πx

L

))θ(x+ L/2)θ(−x).

Determinare:1) i possibili risultati di una misura di energia a t = 0;2) le probabilita che vengano misurati, sempre a t = 0, valori di energia corrispondenti ai primitre autovalori dell’operatore hamiltoniano;3) la densita di probabilita di posizione della particella al tempo t > 0.

[punteggio 7]

5 Una particella di spin 1/2 e momento magnetico µ = gS, in presenza di un campomagnetico B, e descritta dall’operatore hamiltoniano

H = −µ ·B.

Al tempo t = 0 la particella si trova nell’autostato corrispondente a Sx = ~/2. Nell’intervallodi tempo 0 ≤ t ≤ T il campo B e diretto luno l’asse z. Successivamente il campo e allineatolungo l’asse y. Determinare:1) la probabilita di misurare Sz = ~/2 al tempo t = T ;2) la probabilita di misurare Sx = ~/2 al tempo t = 2T .

[punteggio 7]

6 Si consideri un gas ideale di N particelle di massa m, vincolate all’interno di una sferadi raggio R. L’hamiltoniana di singola particella e

H =|p|2

2m+mgr,

essendo r la distanza dal centro della sfera e g l’accelerazione di gravita, assunta costante.Nell’ipotesi di equilibrio termico a temperatura T e considerando le particelle come classiche,calcolare, al primo ordine nell’approssimazione R� kBT/(mg):1) la pressione P (r) del gas alla distanza r dal centro della sfera;2) l’energia media E del gas.Considerando invece le N particelle come fermioni di spin 1/2 a temperatura T = 0, calcolare3) l’energia di Fermi εF del gas.

[punteggio 7]

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