UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MACHALAUNIDAD ACADÉMICA DE INGENIERÍA CIVIL

INTEGRAL DEFINIDA

Conocer el símbolo de la sumatoria, sus elementos y propiedades

La operación sumatoria se expresa con la letra griegra sigma mayúscula Σ, y se define como:

Donde:m es el límite inferior (es el número inicial de donde comienza la sumatoria)n es el límite superior (es el numero hasta donde llegara la sumatoria)La variable i es el índice de la suma, que varía entre m y nx es el valor de la magnitud objeto de suma en el punto iEsto se lee: "Sumatorio sobre i, desde m hasta n, de x sub-i"Necesariamente debe cumplirse que: m, n sean números enteros y m ≤ n

Propiedades de las sumatorias:

Establecer la integral definida de una función estableciendo como límite de la suma de Riemann.

La integral definida es un concepto utilizado para determinar el valor de las áreas limitadas por curvas y rectas. Dado el intervalo [a, b] en el que, para cada uno de sus puntos x, se define una función f (x) que es mayor o igual que 0 en [a, b].

Se llama integral definida de la función entre los puntos a y b al área de la porción del plano que está limitada por la función, el eje horizontal OX y las rectas verticales de ecuaciones x = a y x = b.

La integral definida de la función entre los extremos del intervalo [a, b] se denota como:

La integral de Riemann es una operación sobre una función continua y limitada en un intervalo [a; b], donde a y b son llamados los extremos de la integración.

La operación consiste en hallar el límite de la suma de productos entre el valor de la función en un punto xi* y el ancho Δx del subintervalo conteniendo al punto.

Una función f definida en [a; b] se dice integrable en [a; b] si existe el límite de las sumas de Riemann de f (cuando la norma de P tiende a 0) y denotamos este límite mediante

Cuando existe la integral de Riemann de una función en un intervalo, sedice que esa función es integrable en ese intervalo.

Estos límites deben ser constantes con respecto al índice de la suma y la única restricción es que el límite superior debe ser cualquier entero superior (o igual) al límite inferior.

Demostrar las propiedades de la integral definida e interpretarlas geométricamente

a)    Si los límites que integran coinciden, la integral definida vale cero.

b)   El valor de la integral definida cambia de signo si se permutan los

límites de integración.

c)  La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función.

d)    La integral definida de una suma de funciones es igual a la suma de integrales (Propiedad de linealidad)·

e)     Si c es un punto interior del intervalo [a, b], la integral definida se descompone como una suma de dos integrales extendidas a los intervalos [a, c] y [c, b].

Interpretacion geométricamente:

APLICAR E INTERPRETAR GEOMÉTRICAMENTE EL T.V.M. PARA INTEGRALES.

En cálculo diferencial, el teorema de valor medio es una propiedad de las funciones derivables en un intervalo. Algunos matemáticos consideran que este teorema es el más importante de cálculo. El teorema no se usa para resolver problemas matemáticos; más bien, se usa normalmente para demostrar otros teoremas.

Si f es una función continua en el intervalo cerrado [a, b], entonces existe un número z en [a, b] tal que se verifique la siguiente igualdad:

∫a

b

f (x)dx= ( b – a ) ƒ(z)

El valor f (z) se conoce como el valor medio de la función f (x) en el intervalo [a,b]

Es importante considerar los siguientes aspectos:1) El punto z puede no ser único. El teorema asegura la existencia de por lo menos un punto con esa propiedad.2) El valor medio de la función f (x) no se refiere a la tasa de variación media en el intervalo considerado. Se trata de un concepto diferente.3) El cálculo de dicho valor medio y el del punto z en el que se alcanza presupone el cálculo de una integral definida.

Interpretación geométrica:Si f es positiva se toma el área de la región encerrada por la curva f(x), las rectas x= a, x=b y el eje x.

Entonces este teorema establece que existe un número z Є [a, b], tal que el área del rectángulo ABCE, cuyas dimensiones son: Altura= f(z)Ancho= b-a

es igual al área de la región ABDF

Definición: Sea f continua en [a, b], el valor medio ,fmed, de f en [a, b] es

fmed= 1/(b-a)∫a

b

f (x)dx

Ejemplo: halle el valor promedio de f(x) = 3x2 - 2x en el intervalo [1, 4].Solución:

fmed 1/3(64 16 1 + 1) 16

Aplicar el teorema fundamental del cálculo, mediante la aplicación de los métodos de sustitución y cambios de variables.

El teorema fundamental del cálculo consiste (intuitivamente) en la afirmación de que la derivación e integración de una función son operaciones inversas. Esto significa que toda función continua integrable verifica que la derivada de su integral es igual a ella misma.

Si f es una función continua en [a, b] entonces la función

donde a < x < b es derivable y verifica A' (x) = f(x) para todo x del intervalo

Cuando se evalúa una integral definida por sustitución, se pueden aplicar dos métodos. Uno es evaluar primero la integral indefinida y, enseguida la segunda parte del teorema fundamental. Otra, que suele ser más preferible, es cambiar los límites de integración cuando se cambia la variable.

Regla de sustitución para integrales definidas:

Si g´ es continua sobre [a, b] y f lo es sobre el conjunto de llegada de

u = g(x) entonces

Demostración:

Sea F la primitiva de f. Entonces F[g(x)] es una antiderivada de f[g(x)]g' (x) con lo que

F[g(b)] - F[g(a)].

Pero si aplicamos nuevamente la segunda parte del teorema

= = F[g(b)] - F[g(a)].

En esta regla se afirma que cuando se usa una sustitución en una integral definida, debemos poner todo en términos de la nueva variables u, no sólo x y dx sino también los límites de integración. Los nuevos límites de integración son los valores de u que corresponden a x = a y x = b

ENCONTRAR EL ÁREA DE UNA REGIÓN PLANA, MEDIANTE EL DESARROLLO DE LA SUMA INFERIOR Y SUPERIOR.

Antes de determinar el área de una región plana, mediante el desarrollo de la suma inferior y superior, es importante conocer como se calcula el área de una región simple, en la geometría euclídea, la región más simple es el rectángulo. Aunque suele decirse que la fórmula para el área del rectángulo es A = b*h, en donde “b” denota la base y “h”, la altura; es más apropiado decir que eso es la definición del área del rectángulo.

De esa definición se pueden deducir fórmulas para las áreas de otras regiones planas. Así, para determinar la de un triángulo, formamos un rectángulo y lo dividimos a la mitad.

Triángulo: A = bh/2 Y una vez que sabemos hallar la del triangulo, el área de los polígonos se calcula dividiéndolos en triángulos:

Hexágono

Calcular las áreas de regiones no poligonales es mucho más difícil. Los antiguos griegos fueron capaces de encontrar fórmulas para algunas regiones generales, acotadas por cónicas, mediante el método de exhaución. La descripción más precisa de este método se debe a Arquímedes. Esencialmente es un proceso de límites en el que el área se encierra entre polígonos, unos inscritos y otros circunscritos a la región en cuestión.

Si el problema del cálculo de la recta tangente llevó a los matemáticos del siglo XVII al desarrollo de las técnicas de la derivación, otro problema, el del cálculo del área encerrada por una curva, propició el desarrollo de las técnicas de integración.Se trataba, por ejemplo, de hallar el área encerrada bajo la curva f(x) entre los puntos a y b:

Se conocían fórmulas para recintos de forma igual a figuras geométricas (rectangulares, triangulares, e incluso algunas de curvas específicas), pero si la curva no tenía forma regular, no se conocía, en general, su área exacta.

Una aproximación para calcular el área consiste en dividir el intervalo en otros más pequeños y calcular el área de los rectángulos que se forman, para lo cual, se toma como altura de los rectángulos el valor de la función en el extremo superior del intervalo. Así la suma de las áreas de los rectángulos son más pequeñas que el área buscada.

Cumpliéndose: Área suma rectángulos< Área de la función

Esta suma, en la que la suma de las áreas de los rectángulos es menor que el área total se denomina suma inferior de la función en el intervalo.

Pero se podría haber tomado otros rectángulos:

Ahora la suma del área de los rectángulos es mayor que el área total, es decir:

Área de la función< Área suma rectángulos

Esta suma, en la que la suma de las áreas de los rectángulos es mayor que el área total se denomina suma superior de la función en el intervalo.

Por tanto, el área buscada está entre la suma superior y la suma inferior de la función:

Suma inferior≤ Área≤ Suma superior

Además, observemos lo que ocurre cuando los subintervalos que tomamos son cada vez menores:

Vemos que las sumas inferiores son cada vez mayores y cada vez más cercanas al área buscada, a medida que los intervalos son más pequeños.

Por contra, las sumas superiores son cada vez más pequeñas y también cada vez más cercanas al área buscada, a medida que los intervalos son más pequeños.

A medida que los subintervalos son menores, las sumas superiores e inferiores se acercan al área buscada. Para llegar a calcular dicha área, necesitamos calcular una suma infinita (la de los infinitos rectángulos a medida que estos son más pequeños), cosa que en matemáticas se denomina sumar unaSerie.

Lo que se necesita saber es que tanto las sumas superiores como las sumas inferiores convergen (se acercan) al área buscada, y dicha suma se representa, si la función es f(x) y el intervalo es [a, b], por la integral: