Integrales de superficie Vectores Unitarios

a. Superficies definidas en forma Paramétricas 2 3

1 2 3: ; ( , ) ( ( , ), ( , ), ( , )) diferenciable y que no se corta así misma

( , ) ( , ) ; ; 0

E u v u v u v u v

u v u v NN n N

u v N

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ

⊂ → =

∂ ∂= × = ≠

∂ ∂

� �

b. Superficies definidas en forma Implícita.

3: ; ( , , ) diferenciable

( , , ); ; 0.

f f x y z w

NN f x y z n N

N

→ =

= ∇ = ≠

� �

c. Superficies definidas en forma Explicita.

2

1 2 3

: ; ( , ) diferenciable

proceso 1) Se parametriza y se aplica caso de forma paramétrica.

( , ) ( ( , ), ( , ), ( , ))

proceso 2) Se expresa en forma implicita y luego se ca

h h x y z

u v f u v f u v f u vϕ

→ =

=

� �

3

lcula la forma implicita

: ; ( , , ) ( , ) o también

( , , ) ( , )

f f x y z h x y z

f x y z z h x y

→ = −

= −

� �

Diferenciales de superficie.

1) Escalar ( , ) ( , )u v u v

ds dudvu v

ϕ ϕ∂ ∂= ×

∂ ∂

2) Vectorial ( , ) ( , )u v u v N

dS dudv Ndudv N dudv ndsu v N

ϕ ϕ∂ ∂= × = = =

∂ ∂

Contenido El contenido de superficie de la superficie definida por

( ) sup =

S

C S Área erfial dsϕ

ϕ

= ∫∫

Definiciones 2 3

1 2 3

3

3 3

1 2 3

Sea : ; ( , ) ( ( , ), ( , ), ( , )) diferenciable.

: ; ( , , ) diferenciable

: ; ( , , ) ( ( , , ), ( , , ), ( , , )) diferenciable.

( ( , )) ( ( , )) funciones difere

E u v u v u v u v

f f x y z w

F F x y z f x y z f x y z f x y z

F u v f u v

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ

⊂ → =

→ =

→ =

� �

� �

� �

nciables

Integral de superficie escalar sobre campos vectoriales (Flujo de

através de F ϕ )

( ( , )) ( ( , ))E E

F dS F u v nds F u v Ndudvϕ

ϕ ϕ= =∫∫ ∫∫ ∫∫i i i

Integral de superficie escalar sobre campos Escalares.

( ( , )) ( ( , ))E E

fds f u v ds f u v N dudvϕ

ϕ ϕ= =∫∫ ∫∫ ∫∫ i

Proyecciones

. ; xy xz zydA n k ds dA n j ds dA n i ds= = =i i i

Propiedades

2 3

1 2 3

3

3 3

1 2 3

Sea : ; ( , ) ( ( , ), ( , ), ( , )) diferenciable.

: ; ( , , ) diferenciable

: ; ( , , ) ( ( , , ), ( , , ), ( , , )) diferenciable.

( ( , )) ( ( , )) funciones difere

E u v u v u v u v

f f x y z w

F F x y z f x y z f x y z f x y z

F u v f u v

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ

⊂ → =

→ =

→ =

� �

� �

� �

nciables

1.

( )

Linealidad

F G dS F dS G dSϕ ϕ ϕ

α β α β+ = +∫∫ ∫∫ ∫∫i i i

1 2

1

1

2. Aditividad respecto a la Superficie

Si define en forma paramétrica una superficie tal que

... .n

ni

i

n

ii

F dS F dS F dS F dS F dSϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ

ϕ ϕ ϕ

=

=

=

= = + + +∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫i i i i i

∪

∪

Las mismas propiedades sobre campos escalares.

Ejercicios 1. Evaluar

2 2

1

2 2

2

2 2

3

donde es la superficie delimitada por

: 1.

: 1 z=0.

: 1 1.

zds

s x y

s x y

s z x x y

ϕ

ϕ

+ =

+ ≤ ∧

= + ∧ + ≤

∫∫

2. Evaluar

2 2

donde es la superficie delimitada por la frontera

1-

del solido encerrado por:

0

Con ( , , ) ( , , )

F dS

z x y

E

z

F x y z z y x

ϕ

ϕ

= −

∨ =

=

∫∫ i