Trasformazione lineare in uno spazio vettoriale a d dimensioni

1 2Sia , , , una base con .d i j ije e e e e δ=

1 1 2 21

e'un vettore espanso sulla base{ }

d

d d i ii

i

e e e e e e e e

e

α α α α α=

= + + + = ∑

1 1: 1* quindi 1.

d d

i i i ii i

NB e e e eα α α= =

= = =∑ ∑

Nozioni di Algebra Lineare - (approccio euristico)

1e1e α

2e

2e α

. . e' il proiettore sul vettore della base.n n nN B e e e

1

Il prodotto scalare e’ un numero complesso; denotando il vettore dalle componenti, in notazione bra-ket

*1 2 1 2 j j

1v (v , v ,......v ), ( , ,...... ) v

d

d dj

w w w w v w w=

= = ⇒ = ∑

*1 2 1 2 j j

1

*

Equivalentemente si puo' scrivere:

v (v , v ,......v ), ( , ,...... ) v. v

v v

d

d dj

w w w w w w

NB w w

=

= = ⇒ =

=

∑

2

{ }11 12 1

21 22 2

1 2

,

Matrice

Operator ˆ ,e:

d

dij

d d dd

d

ij i ji j

T T TT T T

T T

T T T

T T e e

= =

= ∑

Fissata una base, una trasformazione lineare e’ definita equivalentemente da una matrice e/o da un operatore :

1

,

, , ,

' , '

ˆ ˆOperatore : , quindi secondo la regola

ˆ

d d

i i i ij ji j

d

ij i ji j

d d d

k k k ij i j k ij j jk k i j i j

e a T a T a

T T e e T

a e T a T e e e T a e

α α α

α α

α α

=

== → = =

= ⇒

= ⇒ = =

∑ ∑

∑

∑ ∑ ∑

T manda un vettore in un altro vettore secondo la regola seguente, che include come casi particolari rotazioni e riflessioni:

3

Esempio 2x2 sulla trasformazione dei vettori da colonna a riga

( )*

Data una matrice e un vettore colonna (=ket) v ,

le componenti del ket v si ottengonoda :

.

Il vettore riga corrispondente ( bra) di componenti

e'

a b xT

c d y

T

a b x ax byc d y cx dy

ax by cx dy

= =

+ = +

+ +

( )* *

† * ** *

††

v .Si ottiene da ,

quindi entra la matrice coniugata hermitiana di .

Coniugata hermitiana complessa coniugata della trasposta.

a cT x y

b d

a b a bT

c d c d

=

=

†: v : vKet T Bra T⇔4

Cambiamento di base ortonormale in uno spazio vettoriale a d dimensioni

1 2 nuova Sia , bas, , una coe nd i j ije e e e e δ=

1 1 2 21

e' lo stesso vettore espanso sulla nuova base { }.

d

d d i ii

i

e e e e e e e e

e

α α α α α=

= + + + = ∑

1 2, , , sia una base cond i j ijf f f f f δ=

1 1 2 2

1

e' il vettore espanso sulla base{ }

d d

d

i ii

i

f f f f f f

f f

f

α α α α

α=

= + + +

= ∑

1f1f α

2f

2f α

1e

2e

5

Cambiamentodalla base { } alla base{ }:

Conoscendo come troviamo ?k i

i i

f e

f eα α

1 1 2 21

1 1 2 21

Partiamo dal vettore espanso sulla vecchia base{ }

Espandiamo la vecchia base nella nuova

e sostituiamo.

i

d

d d i ii

d

k k k d d k i i ki

f

f f f f f f f f

f e e f e e f e e f e e f

α α α α α=

=

= + + + =

= + + + =

∑

∑

Viene:

1 1 2 2

1

1 1 1

1

1

Il vettore espanso sulla base{ } ha componenti

d

d d

i i j ji

d d d

i i i i i i di i i

j

i

d

i i j jj

e e f e e ff f f

e e f f

e

e e f

e

f

e fα α α α

α

α α

=

=

=

= =

=

= + + +

=

⇒

=

∑ ∑ ∑

∑∑

∑

1 identita' : 1.

d

j jj

NB f f=

=∑

1

1 1

Le nuove componenti sono combinazioni lineari delle vecchie .

Possiamo scrivere , con .

La matrice { } induce un'altra trasformazione lineare ' .

L'inversa { } e'faci

i j

d

i ij j ij i jj

ij

ij

e f

e U f U e f

U U U

U U

α α

α α

α α α=

− −

= =

= → =

=

∑

lissima da ottienere.7

†

† 1

N.B. Una trasformazione unitaria preserva i prodotti scalari : , , allora

.

USe U U T

U U U U

α α β β β β

β α β α β α β α−

→ → →

→ = =

1

*

1 * 1 †

1 †

L'inversa si ottiene scambiandoi ruoli di ed

.

Questa inversa si ottiene da senza sforzo. Conoscendo

basta prendere .

Evidentemente, .

Per definizione :

ij i j ij i j

ij i j

ij j i

ij ji

e f

U e f U f e

U U e f

U f e

U U U U

U U U e

−

− −

−

= ⇒ =

=

=

= ⇔ =

= ⇔ ' .unitaria

Conclusione: un cambiamento di base si esegue facendo una trasformazione unitaria.

8

Consideriamo la trasformazione lineare : ' , con 'd

i ij jj

T a T aα α α→ = = ∑1 2Sia , , , una base cond i j ijf f f f f δ=

1 2

1 1 † †

Sia la trasformazione unitaria che porta ad una nuova base

, , , con . Deve quindi valere:

. 1 .

manda in e manda ' in ' .

Che relazione c'e' fra e ' ?

d i j ij

ij i j ij i j

U

e e e e e

U e f U f e U U U U

U U T U

U U

δ

α α α α α

α α

− −

=

= ⇒ = = ⇔ =

=

Cambiamento di base e trasformazioni lineari

'αα

T

'U αU α

?

U

†U 9

10

†

†

Risposta: ' ma poiche' 1 possiamo anche scrivere

' ( )

U UT U U

U UTU U

α α

α α

= =

=

†

†

Il cambio base comporta:, ' ' ,

Quindi, esprimendo T nella nuova base si ottiene

U U T UTU

UTU

α α α α→ → →

'αα

T

'U αU α

†UTU

U

†U

Matrice diagonale con autovalori reali

1 2Sia , , , una base cond i j ijf f f f f δ=

{ }11

22

0 00 0

,

0 0

ij ij ii ij

dd

TT

T T T T

T

δ

= = = ∈

Questa matrice diagonale e' associata

ˆall'operatore: .d

ii i ii

T T f f= ∑

1 1 2 21

Se ora facciamo un cambiamentodalla base { } alla base{ }k i

d

k k k d d k i i ki

f nuova e

f e e f e e f e e f e e f=

= + + + = ∑

†

† *

il cambio basecomporta trasformazioni lineari dei vettori: per quelli in figura, ' ' . Inoltre, con

{ } , ,

La nuova matrice non e' piu'diagonale, ma e'ancora speciale. Esempio 2 2ij ij i j ij ji i j

U U T X UTU

U U U e f U U f e

X X

α α α α→ → → =

= = = =

:11

Esempio 2x2

1 1 1 2 1 1 1 2

2 1 2 2 2 1 2 2

1 1 1 2 1 1 1 2

2 1 2 2 2 1 2 2

1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 1 2 2 2

2 1 1 1 2 2 2

†

1 1 2 2 1 2 2 2 2

00

e f e f f e f eaX

e f e f f e f eb

e f e f a f e a f ee f e f b f e b f e

a e f f e b e f f e a e f f e b e f f ea e f f e b e f f e a f e e f b e

TU

f e f

U

= =

=

+ + + +

=

Gli elementi diagonali sono reali e quelli fuori diagonale sono complessi coniugati:

†Calcoliamo con una diagonale , a,b X UTU T= ∈

2 21 1 1 2 1 1 1 2 1 2 2 2

2 22 1 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2

| | | || | | |

a e f b e f a e f f e b e f f ea e f f e b e f f e a f e b e f

+ += + +

12

13

Esempio 2x2

1 1 1 2 1 1 1 2

2 1 2 2 2 1 2 2

2 21 1 1 2 1 1 1 2 1 2 2 2

2 22 1 1 1 2 2 2 1 1

†

2 2 2

Il risultato

00

| | | || | | |

mostra che X e' della forma speciale:

e f e f f e f eaX

e f e f f e f eb

a e f b e f a e f f e b e f f ea e f f e

UTU

b e f f e a f e b e f

= =

+ +

= + +

=

†* hermcon , reali, cioe' e' itian :

1 0( , )

0 1

aX X X

se a b X a

α γα β

γ β

= =

= =

Questo si generalizza a matrici nXn comunque grandi.

,

ˆOperatore hermitiano : autovalori reali.d

ij i ji j

T X e e= ⇔∑

Equazione agli autovalori

*

†

1 1 1 2 11 12

2 1 2 2 21 22

Data una matrice hermitiana

0esiste una U tale che che con

0

Scriviamo .

X

aX UTU T

b

e f e f u uU

e f e f u u

α γγ β

=

= =

= =

†

†

Moltiplichiamo a destra per :

Il risultato, per la struttura diagonale di T,ha la forma semplice:

X UTU UXU UTU U UT

=

= =

11 12 11 12 11 12*

21 22 21 22 21 22

00

u u u u au buau u u u au bub

α γγ β

= =

14

11 12 11 12*

21 22 21 2

11 12

21 222

00

u u u u au u u u b

au buau bu

α γγ β

= =

11 21 11*

11 21 2111 21 12 22* *

11 21 12 22 12 22 12*

12 22 22

11 12

21 22

u u ua

u uau buau

uu u u uu u u u u u u

bu u

bu

u

α γγ βα γ α γ

γ β γ β α γγ β

+ = ++ + = ⇔ +

+ + = +

1 1*

2 2

e' un problema agli autovalori.

, autovalori, Colonne di autovettori

u uu u

a b U

α γλ

γ β

=

=

Calcoliamo il primo membro e eguagliamo le colonne corrispondenti:

11 11*

21 21

12 12*

22 22

u ua

u uXU UT

u ub

u u

α γγ β

α γγ β

=

= ⇔ =

Questo equivale a:

15

16

DiagonalizzazioneDi solito si conosce X hermitiana e si vuol trovare la matrice diagonale T e la U. Scriviamo per semplificare la notazione:

1 1 1 2 11 12 †

2 1 2 2 21 22

*

00

dove e' data, e incognite.

e f e f u u aU X UTU T

e f e f u u b

X T Uα γγ β

= = = =

=

1 1*

2 2

e' il problema agli autovalori.

Quindi la soluzione e': , autovaloriColonne di autovettori

u uu u

a bU

α γλ

γ β

=

=

Questo si generalizza a matrici comunque grandi.

17

I quattro postulati della Meccanica Quantistica

Piu’ avanti vedremo che occorre allargare il quadro per introdurrelo spin, le statistiche quantistiche...

17

Postulato 1

Lo stato di un sistema si rappresenta con una funzione d'onda complessaΨa(x; t)

dove:x sta per l'insieme delle coordinate,t e’ il tempo, a un insieme (eventualmente vuoto) di costanti del moto ( i numeri quantici). Se a contiene i valori di tutti gli osservabili compatibili (=che possono essere simultaneamente conservati), lo stato quantico ne risulta individuato.

17

Impossibile visualizzare l'immagine.

x tutti i gradi di liberta’: la formulazione si estende a molte particelle e il mondo intero.

( ) 2| , | 1adx x tΨ =∫

( ) ( ) ( , ), , i x ta ax t x t e φΨ = Ψ contiene l’info completa

18

Fra funzioni d’onda vale il principio di sovrapposizione:

Φ=αΨ+βχ

Spazio di funzioni

Ψ(x,t), χ(x,t) funzioni d’onda implica che lo e’ anche ogni combinazione lineare

Non e’ vero!

18

19

Fra funzioni d’onda il prodotto scalare e’ l’overlap, un numero complesso

Se e’ nullo funzioni ortogonali

bra

ket

dimensione d dello spazio = numero massimo di funzioni ortogonali

*( ) ( )dx x xΨ Φ = Ψ Φ∫

*

2

Normalizzazione: ( ) ( ) 1

per ( ) .

dx x x

x L

Ψ Ψ = Ψ Ψ =

Ψ ∈

∫

Inglese: bracket=parentesi

Tranne qualche caso, d = ∞

19

fra funzioni: trasformazioni unitarie= trasformazioni lineari U che conservano i prodotti scalari

fra vettori: rotazioni= trasformazioni lineari U che conservano i prodotti scalari

La funzione d’onda esprime lo stato di un sistema riferendolo ad una base di funzioni; si possono fare trasformazioni di base. Si estendono le nozioni valide in uno spazio vettoriale.

In 3d,

( )2 2 2.a b a b≤

Disuguaglianza di Schwarz in uno spazio vettoriale

. cosa b ab θ=

Disuguaglianza di Schwarz in 3 dimensioni:

20

21

2| | 1Ψ Φ ≤ Ψ Ψ Φ Φ =

analogamente,

( )2 2 2.a b a b≤

Disuguaglianza di Schwarz in n dimensioni:

21

1 2 i1

v (v , v ,......v ) v , con .d

d i i j iji

e e e δ=

= = =∑

fra vettori: espansione su una base

fra funzioni d’onda: espansione su una base, in analogia con la trasformata di Fourier.

Basi: onde piane, seni (buca a pareti finite) soluzioni dell’oscillatore armonico,……… 21

22

Esempio: I polinomi sono uno spazio vettoriale di dimensione infinita,

ma non basta!

Una funzione trascendente, come sin(x), non e’ un polinomio ( una combinazione lineare di polinomi con un numero finito di termini).

Ci vuole uno spazio vettoriale di dimensione infinita, discreta o continua, che includa i limiti delle successioni convergenti.

Un tale spazio si dice completo.

22

L’ espansione su una base richiede che ci sia una norma (i vettori di base devono avere norma 1).

Complicazione: per molti problemi d e’ infinito

l’espansione richiede una serie convergente.

Spazio normato e completo

22

Uno spazio metrico normato completo e’ uno spazio di Banach.

Esempio: sia C[0,1] l’insieme delle funzioni complesse continue in [0,1].

C[0,1] e’ uno spazio vettoriale. Possiamo definire la norma di una f

sup | ( ) |, x [0,1].f f x= ∈Una successione fn converge a una funzione f(x) se

0 tale che , |f ( ) ( ) | , [0,1]nn n N x f x xε ε∀ > ∃ ∀ > − < ∀ ∈Questa e’ la convergenza uniforme. Ma allora si dimostra che f e’ continua. Quindi C[0,1] e’ completo ed e’ di Banach.

Spazio di Banach

23

2424

Lo spazio di Hilbert e’ quello in cui si definiscono le funzioni d’onda.

E’ sempre possibile espandere

la ψ su un set completo

Uno spazio di Hilbert è uno spazio di Banach normato e completo rispetto alla norma indotta da un prodotto scalare . Il contesto e’ quello di Fourier.

2

2

Si dimostra: e' uno spazio di Hilbertad es.: f Lvale Fourier; ma non e' l'unica base.ikx

L

e∈ ⇒

Per la Meccanica Quantistica ψ deve essere definita in uno spazio di funzioni in cui una base abbia come vettori le autofunzioni di un operatore osservabile (per esempio, le onde piane che sono autofunzioni dell’impulso).

24

2525

*

2

Normalizzazione (di stati legati) :

( ) ( ) 1

, cioe' ha qu integrabile. Allora la trasformata di Fourier conver

adr toe

ag !

dx x x

L

Ψ Ψ = Ψ Ψ =

⇒ Ψ ∈

∫

2 *integr

Definizi

abil

one:

, cioe' h ea quadrato ( ) ( ) convergedxL x x∞

−∞⇔Ψ ∈ Ψ Ψ∫

( ) ( ) ( ), ikx i k tx t dk k e e ωψ φ∞ −

−∞= ∫

Esempio: Se espandiamo una gaussiana in onde piane ,ce ne vuole un’infinita’ continua

Si puo’ fare un pacchetto d’onde in k (trasformata di Fourier):onde piane= base.

Il formalismo si basa essenzialmentesulle scoperte di Jean Baptiste Joseph Fourier (e loro estensioni)

Nel caso del continuo, distribuzioni. Si normalizza sulla delta di Dirac. 25

26

( ),a x tΨ{ }, , ,..... insieme degli osservabili compatibilia A B C=

varie scelte possibili: per la particella libera E,p oppure E, L

{ }, , ,..... insieme degli osservabili compatibiliindividua lo statoa A B C=

due stati diversi hanno almeno un numero quantico diverso

26

Primo postulato in 1 pagina:

26

2727

Ψ + Φ = Ψ + Φ

Φ Ψ Φ Ψ†

ˆGli osservabili Q sono rappresentati da operatori Q lineari, cioe'ˆ ˆ ˆ Q( ) Q Q

hermitiani, cioe'ˆ ˆ ˆ ˆQ = Q

Po

ovvero Q

stulato

= Q ,

dotati

2

a b a b

Ψ

Ψ

Ψ Ψ

di un set completo di autovettori (cioe' ogni puo' essere espansaˆin una serie convergente nelle autofunzioni di qualsiasi Q).

ˆ Se lo stato e' , il valore di aspettazione di ogni Q e' dato da

Q Ψ Ψˆ= Q .

27

28

Matrici degli operatori:

*

Date due funzioni d'onda, si definisce l'elemento di matrice:ˆ ˆ( ) ( )

integrazione su tutte le coordinate.

A A dx x A x

dx

ΦΨ = Φ Ψ = Φ Ψ∫∫

prodotto scalare di per .Qui, le componenti sono ( ), (

ˆ

)A

xA

xΦ Ψ = Φ Ψ

Φ Ψ

Heisenberg: invento’ la teoria delle matrici prima della invenzione dell’equazione di Schroedinger; risulto’poi che i due formalismi sono equivalenti.

2828

29

† †ˆ ˆ ˆe' definito da: , ,A A Aψ φ ψ φ ψ φ= ∀

( ) ( )*ˆ ˆ ˆ( ) ,

ˆcon che agisce su .

,

l

A A A dx x

t

A x

A ke

ψφ ψ φ ψ φ ψ φ ψ φ

φ

= ≡ = ∀∫

( ) ( ) ( )

†

*† † *

ˆ ˆ significa:

ˆ ˆ ˆ( ) dove agisce solo su ( ) ( )

A A

dx A x x A x dx x A x

ψ φ ψ φ

ψ φ ψ ψ φ

=

=∫ ∫

Definizione di coniugato Hermitiano di A a partire da A

( ) ( )*ˆ ˆ ˆSe agisce sul bra : ( ) .

ˆ ˆMa in genere, .

ˆ ˆ: se , , .

A A dx A x x

A A

Esempio A i A i A i

ψ φ ψ φ

ψ φ ψ φ

ψ φ ψ φ ψ φ ψ φ

=

≠

= = = −

∫

†ˆ ˆˆ ˆ ˆEsiste tale che ? Si, che B B A sappiamo B Aψ φ ψ φ= =

29

†

Ricordate l'oscillatore armonico:

1 1creazione annichilazione .2 2

d da q a qdq dq

= − = +

* * *

Se , sono due stati dell'oscillatore che 0 per q

1 .2

da dq a dq q dqdq

ϕ ψ

ϕ ψ ϕ ψ ϕ ψ ϕ ψ

→ → ∞

= = +

∫ ∫ ∫

* * * *|d d d ddq dq dqdq dq dq dq

ϕ ψ ϕ ψ ψ ϕ ψ ϕ∞−∞= − = −∫ ∫ ∫

† a a aϕ ψ ϕ ψ ϕ ψ= =

†ˆIl coniugato hermitiano di e' .A A⇒

.

*

† †

Ricordiamo che = e che

. Il c.c. di questa e':

a b b a

A A A Aφ ψ φ ψ ψ φ ψ φ= =

30

31

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )** * * † *

*

†

*†

, per definizione di

Prendiamo il c.c. dei due membri:

ˆ ˆ[ ( ) ] [ (

ˆ(

ˆ

ˆ ( ) .

)

)

]

A dx x A

A

dx

A dx

A

x A x dx A

x x x

x xψφ

ψφ ψ φ

ψ

ψ

ψ φ

φ

φ ψ φ

∀

=

=

=

≡∫

∫

∫

∫

( )†* ˆ , ,AAψφ φψψ φ⇔ ∀=

In parole: la regola per la matrice dell’operatore coniugato Hermitiano:

trasporre e prendere il cc

* † † †ˆ ˆ ˆ ˆ( )A A A Aψ φ φ ψ= ⇒ =

31

( ) ( ) ( )* † †secondo memb ˆo: ( )r ˆdx x A x Aφψ

φ ψ =∫

Come trovare la matrice del coniugato Hermitiano di A a partire da un A qualsiasi.

† *ˆ ˆ ˆOperatore hermitiano : quindi A A A Aφψ ψφ= =31

32

Gli autovalori di una matrice hermitiana sono reali

*

**

†

Ricordiamo che = .ˆSia autovalore di un operatore T

T = .

Allora, prendendo normalizzata,

. Prendendo il c.c.

T hermitiana e allora possiamo anche dire:

a b b a

T T

T T

T T

λ

ψ λ ψ

ψ

ψ ψ ψ ψ ψ λ ψ λ

λ ψ ψ ψ ψ

=

= = =

= =

⇔ =* †

† *

.

Quindi

T T

T T

λ ψ ψ ψ ψ λ

λ λ

= = =

= ⇒ =

ˆT Tψ ψ=

valore di aspettazione dell’operatore T nello stato ψ

E’ la media di molte misure dell’osservabile T sullo stato ψ.

T Osservabile

il risultato di ogni misura deve essere reale!

* †

† *

devono coincidere sempreT T

T Tλ ψ ψ λ

λ

ψ ψ

λ

= ⇔ =

= ⇔ =* †osservabileT T Tλ λ⇒ = ⇒ =

†

†

Definizioneautoaggiunto o Hermitiano

antiHermitiano iA HermitianoA A AA A A

= ⇔

= − ⇔ ⇒ 33

34

†osservabileT T T⇒ =

m

n

T m t mT n t n

= =

m

n

n T m t n mm T n t m n

=⇒ =

† †* ( )m m

n n

n T m t n m n T m t n mse T Tn T m t n m n T m t n m

= =⇒ ⇒ == =

† *prendendo il coniugato, n nm T n t m n n T m t n m= ⇒ =

( )Sottraendo, 0 .

Questo implica che se 0, allora 0.n m

n m

t t n m

t t n m

= −

− ≠ =

Inoltre, se T e’ hermitiano autovalori diversi autovettori ortogonali: infatti,

{ }* †ˆ ˆ ˆ matrice hermitianamnm T n n T m n T m T⇒ = = ⇒

Significato fisico: se la misura da’ valori diversi gli stati sono ortogonali, cioe’ mutuamente esclusivi.

34

Charles Hermite (1822-1901)

† * †

†

ˆ ˆ ˆHermitiano con ( ) .

Troviamo p .

A A A A Aαβ βα⇔ = =

( )

( ) ( )

( ) ( )

*

* *

* *

( )

[ ( ( ) ) ( )]

( ( ) ) | ( )

df p g i dx f x g xdx

d di dx f x

dp idx

g x g x f xdx dx

df x g x i dxg x f xdx

∞

−∞

∞

−∞

∞∞−∞ −∞

⇔ = −

= − −

= +

= − ∫

∫

∫

2e' Hermitiano sup L⇒

( )* 2( ( ) ) | 0 ,f x g x se f g L∞−∞ = ∈

( ) *( ( ))df p g dxg x i f x pf gdx

∞

−∞= − =∫

35

L’impulso e’ hermitiano?

Questo e’ lo spazio di Hilbert; vale anche per le onde piane nella scatola 2,nik x

ne nk

LLπ

=

e' complesso 0dp i pdx

ψ= − ⇒ = ∀ ∈

35

36

Deve esistere un set completo {|m> } di autostati

T |m> = tm |m>

per ogni operatore osservabile T . Ad esempio, l’impulso P ha come autostati le onde piane. Significa che preparando il sistema in qualunque stato fisico e sottoponendolo a misure di T si ottera’ comunque un risultato, e questo deve essere uno degli m-

L’opposto sarebbe ammettere che ci sono stati del sistema in cui T non si puo’ misurare in linea di principio, mentre invece la misura e’ sempre fattibile.

Completezza

con ampiezza di m

1 r

in

elazione di chiusuram

m

m m

m m mΨ = Ψ Ψ =

=

Ψ

∑

∑

Set completo significa:

36

37

La funzioned'onda di 1 particella libera si espande:e la serie converge. Ad esempio, m puo'

essere una componente del momento angolare.In generale occorrono altri numeri quantici a,b,c... di operatori A,

mm

m aΨ = ∑

B,C...ˆ compatibili con T per individuare

(ad esempio, l'energia della particella, che corrisponde all'operatore H), e allora deve avere gli stessi numeri quantici a,b,c.., .

Significato: amm

m

a m

Ψ

Ψ

= Ψ piezza di probabilita' chela misura di da' .

Non e' tutto. Se una misura di T su da' t dopo la misura

il sistema non e' piu' in ma collassa in uno stato con l'autovalore e con gli altri numeri q

m

m

m

T t

t

Ψ

Ψ

uanticicompatibili.

37

3838

Nel caso di misure dell'impulso di una particella, e' l

Ecco

a trasformata di Fourie

relazione di chiusura

.

r

1m

mm

l m m

m

a

Ψ = Ψ

=

∑

∑

( ) ( )

( )

2

, , la chiusura e'2 2

2 ( )iq

iq

x

m

yiq

x

xdqf x e q

e d dqeqm x y

ϕπ

π ππδ

∞ −

∞ −

−∞

− ∞

−∞ −∞=

=

→ −→

∫

∫ ∫∑

3939

Per un sistema composto da piu' particelle restano vere:con ampiezza:

con 1

ˆ ˆe la misura di da' , collassa in , ma e'un osservabile dell'intero sistema, non di una partice

m mm

m m

m

m a a m

m m m m

T t m T

Ψ = = Ψ =

Ψ = Ψ =

Ψ

∑

∑ ∑

lla.Per esempio potrebbe essere il momento angolare totale.

Sistemi di piu’ particelle

Le formulazioni di Schroedinger e di Heisenberg

sono equivalenti.40

41

1 chiusuram

m

m m

m m

Ψ = Ψ

=

∑

∑

1 esprime la completezza della base { }m

m m m=∑

ˆ ˆij i j ij i jA A B Bψ ψ ψ ψ= =

( )ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆi j i k k jij k

AB AB A Bψ ψ ψ ψ ψ ψ= = ∑( )ˆ ˆ

ik kjij kAB A B== ∑

righe per colonne-rappresentazione degli operatori con matrici

Il prodotto degli operatori ha una matrice che e’ il prodotto delle matrici le matrici hanno gli stessi autovalori degli operatori:

T |m> = tm |m> implica <n| T |m > = tm δmn

Matrici come Rappresentazioni degli operatori

Si prendono tutti gli elementi di matrice su una base :

41

† † †

In altri termini, conserva la norma. Infatti,

( ) 1

U

U U U U U Uψ ψ ψ ψ ψ ψ= = =

( )† 1 † *

†

Un cambiamento base si realizza con una trasformazione unitaria U delle ampiezze, .

unitaria dove

gode della proprieta' che 1.

Matrici e trasformazioni unitarie

nmmn

U

U U U U U

U U

ψ ψ

ψ ψ ψ ψ

−

→

⇔ = =

= =

Cambiamento di Rappresentazione degli operatori.

Trasformazioni canoniche quantistiche

42

Fisicamente possiamo usare diverse tecniche per caratterizzare un pacchetto d’onde: ad esempio con misure di x o di p. L’info e’ la stessa.

Una rappresentazione puo’ essere la piu’ adatta per un particolare problema.

†

†

† .Si tratta di una diversa rappresentazione della stessa fisic

,

a.UAU

A UAU

A U

U

AU ψ ψψ ψ ψ ψ

ψ ψ =

==

=

† † †

†

Poiche' 1,

quindi mediare A su e' equivalente a mediare su .

U U A U UAU U

UAU U

ψ ψ ψ ψ

ψ ψ

= =

Sia A un operatore qualsiasi:

Infatti, se [ A, B] =0 , AB=BA, cambiando base,UABU† = UBAU†.Inserendo U†U=1,

UAU†UBU† = UBU†UAU† .

Quindi UAU† e UBU† che sono A e B nella nuova rappresentazione commutano: due matrici che commutano seguitano a commutare anche cambiando base.

Trasformazioni canoniche in meccanica quantistica

Una trasformazione unitaria corrisponde ad un cambiamento di base. Essa cambia la descrizione ma preserva le regole di commutazione fra gli operatori come le parentesi di Poisson classiche.

_e compatibili [ , ] 0 resta veroA B A B⇔ =

_e compatibili [ , ] 0A B A B⇔ =

=cambiamenti di Rappresentazione

44

45

Lagrangiana del rotatore rigido piano classico .

2 21( , ) ( )2

T m x yφ φ = = +

L

( , )zL Iφ φ φ

φ∂

= =∂

L

2

( , ) ( , )2

z zz z

L LH L LI I

φ φ φ φ φ= − = ⇒ =

L

si trova anche da , ,

che x y

z y x

p mx p my

L xp yp Iφ

= =

= − =

0 L ( ) L (0)z ztφ

∂= ⇒ =

∂

L

45

ρ φ ρ φφρ φ ρ φφ

= = − ⇒ = =

cos sinsin cos

x xy y

ρ

2 21( , ) ,2

I I mφ φ φ ρ= = L

45

[ ][ ]

Analogamente al commutatore fondamentale , p x>

il commutatore , comporta l'indeterminazione z z

p x i

L i Lφ φ−

−

= − ⇒ ∆ ∆

= − ∆ ∆ >

2ˆˆ ( , )2

zz

LH LI

θ =

Calcolo dell’operatore Lz

z y xL xp yp= −

Vogliamo trovare che in coordinate polari ( , )

analogo

z

z

L i

a p i E iz t

ρ φ

φ∂

= −∂

∂ ∂= − =

∂ ∂

Rotatore rigido piano quantistico

Dobbiamo stabilire una importante regola di commutazione momento-angolare-angolo

46

47

∂ ∂= − = −

∂ ∂= − , ,

va messo in coordinate polari

ˆ ˆ ˆz y x x yp i p iL xp ypy

conx

ρ φ

ρ φρ φ

ρ φρ φ

∂ ∂ ∂ ∂ ∂= +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂

= +∂ ∂ ∂ ∂ ∂

Passiamo a derivate rispetto a ,ˆ ˆ,y xda

x x x

y y y

p p

2 2

arctan

x yyx

ρ

φ

= +

=

cossin

xy

ρ φρ φ

= =

47

48

ρ ρφ φρ ρ

∂ ∂= = = =

∂ ∂Inoltre, cos , sinyx

x y

x x x

y y y

ρ φρ φ

ρ φρ φ

∂ ∂ ∂ ∂ ∂= +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂

= +∂ ∂ ∂ ∂ ∂

2 2 2 2 2

2 2 2

1 1

1 1

1

1

y y yx x x x x yy y

x xy x

y y x x yyx

φ

φ

∂ ∂= = − = −

∂ ∂ + + +

∂ ∂= =

∂ ∂ + +

sin cos,x yφ φ φ φ

ρ ρ∂ ∂

= − =∂ ∂

( ) 21arctan

1d u

du u=

+

2 2

arctan

x yyx

ρ

φ

= +

=

cossin

xy

ρ φρ φ

= =

48

4949

φ φφ

ρ

φρ ρ φ ρ ρ φ

φρ φ

= =

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= − = +

∂ ∂= − = − = −

∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂

∂ ∂

sin coscos sin

cos ˆ ˆ ˆ, ,sinx y z y x

x y

p i p i L xpy

xy

yp

x

ρ

φ φφ φ φρ ρ

ρ φ

φ ρ ρ

ρ

ρφ

φ φ φ

φ

∂ ∂∂

= − = − − =

= − − =

∂∂ ∂ ∂ ∂

+ −∂ ∂ ∂ ∂

ˆ [cos sin ]

[ cos sincos (sin ) (cos

cos sin

])sin

z y xp

i

y xL p i

φ φρρ φ ρ φ φ

∂ ∂ ∂= − + = −

∂ ∂ ∂

2 2cos sin[ ]i i

zL iφ∂

= −∂

[ ],zL iφ−

= −

Usando

Si trova

49

50

( ) ( ) ( )2

210 , 2 12 2 2

im imim

m m me e e

φ ππψ φ ψ ψ π

π π π= ⇒ = = ⇒ =

m intero: quantizzazione natura facit saltus!

2 2 2

L'energia del rotatore e' quantizzata: .2 2

z

z

L mL mE

I I

→

= =

( ) ( )( ) ( )

Risolviamo l'equazione agli autovalori z m m

mm

L m

i m

ψ φ ψ φ

ψ φψ φ

φ

=

∂− =

∂

( ) deve avere un solo valo2

reφ

ψ φπ

=im

me

Altre conseguenze di zL iφ∂

= −∂

50

5151

2 2ˆ ˆ ˆmedia, deviazione standard : ( )A AA A Aσ σ= = −

Principio di indeterminazione di Heisenberg

2 2x p z Lp i L i φσ σ σ σφ∂

= − ∇ ⇒ > = − ⇒ >∂

(Ungenauighkeitsrelationen)

Direzione della fotoemissione

Raggio XElettrone da localizzare

Esiste classicamente una incertezza che cresce con λ

51

5252

Due operatori sono compatibili , cioe’ misurabili simultaneamente con precisione, se commutano

,ˆ ˆ[ , ]

2A BA B

ψ

σ σ ψ ψ−

∀

≥

Principio di indeterminazione generalizzato

52

2 2ˆ ˆ ˆmedia, deviazione standard : ( )A AA A Aσ σ= = −

Principio di indeterminazione di Heisenberg

Prima mostriamo che ai fini della dimostrazione si puo’ sempre supporre che sia <A>=0, <B>=0

Ungenauighkeitsrelationen, genau=esatto

La novita’ consiste nel fare dell’incertezza una legge fondamentale della natura

5353

ˆ ˆ ˆ ˆ 0A A B B− = − =Osservazione banale:

2 2 2 2

ˆ ˆtanto vale prendere 0, 0

ˆ ˆA B

A B

A Bσ σ

⇒ = =

⇒ = =

2 2

2 2 2 2

ˆ ˆDeviazione standard di x: La definizione e' [ ] : Se x=

ˆ ˆ ˆ ˆ[ ] ma ˆ ˆ ˆ ˆ 0 e si ha ] . [

x

AA A A A A

x

A

x A A

A A A A

σ

σ σ− − − =

= − −

= − − = − =

Togliere il valor medio non cambia la deviazione standard:

ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ[ , ] [ , ]A A B B A B− −− − =

Togliere il valor medio non cambia nemmeno i commutatori:

53

* *

*2 2 2 2 2

Osservazione: Numeri complessi:z=a+ib, a,b , Re( ), Im( )

2

( )2

a z b zz a ib z z ib

z zz a b bi

∈ = =

= − − =

−= + ≥ =

Principio di indeterminazione generalizzato:

2 2 †

2 2 †

ˆ ˆ ˆ ˆ, dove

ˆ ˆ ˆ ˆ, dove

A

B

A A A f f f A

B B B g g g B

σ ψ ψ ψ ψ ψ

σ ψ ψ ψ ψ ψ

= = = =

= = = =

Disuguaglianza di Schwarz:

222 2 ˆ ˆ .A B f g ABσ σ ψ ψ≥ =

per ogni ψ,

55

_compatibili [ , ] 0A e B A B⇔ =

*

*2

†

2

†ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ

e usando (2

)

z AB z B A BA

z zzi

ψ ψ ψ ψ ψ ψ

−≥

= ⇒ = =

22

2 2ˆˆ ˆ ˆˆ ˆ [ , ] .

2 2A BA BAB BA

i iσ σ ψ ψ ψ ψ−

−⇒ ≥ =

2 2 2ˆ ˆˆ ˆEsempio : , , ( )2 2

minimum uncertainty wavepacket

p x p xA p B x A B i σ σ σ σ−

= = = ≥ ≥

2 *2 2 22 (

2ˆ )ˆ

A B AB z zzi

σ σ ψ ψ≥ =−

≥

ˆ ˆ[ , ]2A B

A Bσ σ ψ ψ−≥

55

56

Esercizio sui commutatori: Calcolare [ABC,DEF]

[ ] [ ] [ ]_ _ _. , , ,AB C DEF AB C DEF AB DEF C= +

[ ] [ ] [ ]_ _ _Si usera' , , ,AB C A B C A C B= +

[ ] [ ] [ ] [ ]_ _ _ _, , , ,ABC DEF AB C DEF A B DEF C A DEF BC= + +

[ ] [ ] [ ]_ _ _si usera' poi , , ,A BC B A C A B C= +

[ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ]_

_

_ _

_ _ _

_ _ _, , . , . ,

,

,

.

, ,

, ,

ABDE C F AB C DE F ADE B

ABC DEF AB

F C

C DE

A B

F A B DE F

DE FC DE A F BC A D

C A DE F

E

B

FB

C

C

= + +

+ + +

= + + =

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]

[ ] [ ]

_ _ _ _ _

_ _ _

_ _

, , , , ,

, , ,

, ,

ABC DEF ABDE C F ABD C E F AB C D EF ADE B F C

AD B E FC A B D EFC DE A F BC

D A E FBC A D EFBC

= + + +

+ + +

+ +

[ ] [ ] [ ]_ _ _e usando ancora , , ,AB C A B C A C B= +

56

A e B compatibili _[ , ] 0A B =

Commutatori e grandezze compatibili:A B compatibili hanno un set completo di autostati simultanei

Mostriamo che allora B e’ diagonale sulla stessa base

n mn m a a≠ ⇒ ≠

|an> base su cui A e’ n n nA a a a=

n n nB a b a=

Facciamo dapprima l’ipotesi cheA non ha autovalori degeneri, poi la rimuovremo.

Teorema

57

_[ , ] ( ) 0,m n m n m na A B a a a a B a= − =

Dato che ( ) 0 concludiamo che 0

Ma allora e' ortogonale a

. QED

m n m n

n m

n n n

a a a B a

B a a n m

B a b a

− ≠ =

∀ ≠

⇒ =

Se A e’ degenere diagonalizzando la matrice di B nel sottospazio di autovalore an troviamo combinazioni lineari di autostati degeneri di A che appartengono ad an e sono anche un set di autostati simultanei di B. Abbiamo quindi dimostrato il Teorema:

Dimostrazione

A e B compatibili set di autostati simultanei

_ _[ , ] 0 Sia m n. [ , ] ( ) 0m n m nA B a A B a a AB BA a= ⇒ ≠ = − =

m n m n na BA a a B a a=

†m n m n m n m n ma AB a A a B a Aa B a a B a a= = =

58

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

ˆ ˆ ˆˆ

ˆˆ ˆ

ˆ ˆˆ ˆ( ) 0

ab ab ab abn n n n n n n n

ab ab abn n n n n n

abn

AB Ab b A a b

BA Ba a b

AB BA

ψ ψ ψ ψ

ψ ψ ψ

ψ

= = =

= =

⇒ − =

La base |ψn(ab)> diagonalizza ambedue gli operatori A e B

( ) ( ) ( ) ( )ˆ ˆab ab ab abn n n n n nA a B bψ ψ ψ ψ= =

59

Viceversa, se A e B hanno un set completo di autostati simultanei |ψn(ab)>

allora A e B sono compatibili.

_ _[ , ] 0 su un set completo [ , ] 0su qualunque altra base. Infatti:A B A B= ⇔ =

Teorema

Dimostrazione

59

Cambiando base,deve esistere U tale che |ψn(ab)> U |ψn

(ab)>UAU†UBU† = UBU†UAU†=0 .Quindi le due matrici comutano su qualunque base.

QED

Prodotto di matrici diagonali: per esempio, nel caso 2X2

1 1 1 1

2 2 2 2

0 0 00 0 0a b a b

a b a b

=

Viene diagonale e gli elementi sono i prodotti degli elementi di A e B

Fisicamente sono grandezze compatibili, con valori ben definiti sulla base prescelta.

Commutano anche gli operatori60

[ ][ ] [ ] ( )

, ,

, ,

z x y z

z x y z x y z

yp zp zp xp

y p z p p z p x i yp xp i L− −

− −

= − −

= + = − − =

[ ], , , ,zx y z y x z zzx y xL L yp zp zp yxp p zp pxp zpzp x−− − −

= − − = − − −

[ ]

,

,

,

x y z

y z x

z x y

L L i L

L L i L

L L i L

−

−

−

=

= =

( ),

etcx y x y y x zz

L L L L L L L L i L = − = ∧ =

L L i L∧ =

Componenti del momento angolare: sono incompatibili

6161

62

2 2 2 2 2 2 2, , , poiche' , 0x x y z x y z x x xL L L L L L L L L L L− − − −

= + + = + =

[ ] [ ] [ ]_ _ _

2

Semplifichiamo con , , ,

, , , .y x y y x y x y

AB C A B C A C B

L L L L L L L L− −−

= +

= +

( ) ( )2 , ), (y x y z z yx y zy z z yL L L i L i L LL L i L i L L L L−−

= ⇒ = − − ++ − =

[ ] [ ]2

Poiche' allo stesso modo

, , , ( )y z zz x z z x z yx zL L L L L L L i LL L L L− −−

= + = + +

2 2 2, 0, , 0, , 0x y zL L L L L L− − −

⇒ = = =

Compatibilita’ del quadrato del momento angolare con qualsiasi componente

[ ], , ,−− −

= = = x y z y z x z x yL L i L L L i L L L i L

62

63

Operatore di annichilazione

12

da qdq

= +

Operatore di creazione† 1

2da qdq

= −

22

212

dH qdq

ω

= − +

†, 1a a−

=

†1

1vn n n

n n n

a ua

ψ ψψ ψ

+

−

==

vogliamo determinare le costanti un e vn e le matrici di q e p .

† 12

H a aω = +

†

† operatore numeron na a n

a a

ψ ψ=

Matrici per l’oscillatore armonicoRicordando che:

†1

2 † †1 1

2 † †1 1

Da moltiplicando scalarmente i due membri per se stessi

si ha | |

ma 1,quindi | | .

n n n

n n n n n

n n n n n

u a

u a a

u a a

ψ ψ

ψ ψ ψ ψ

ψ ψ ψ ψ

+

+ +

+ +

=

=

= = 63

64

2 † † † 2 †

† 2 †

2

| | . Per definizione di , | | ;

ˆma , 1 | | (1 ) (1 ) 1 .

Quindi | | 1 e possiamo scegliere la fase :

n n n n n n

n n n n n

n

u a a a u aa

a a u a a n n

u n

ψ ψ ψ ψ

ψ ψ ψ ψ−

= =

= ⇒ = + = + = + = +

†1

†1

11

1

n n

n n

a n

an

ψ ψ

ψ ψ

+

+

= +

=+

( )

†1 0

† 2†01

2

† 3†02

3

†0

( )2 2

( )3 2.3

1!

n

n

a

aa

aa

an

ψ ψ

ψψψ

ψψψ

ψ ψ

=

= =

= =

=Analogamente

2| v |n n= 1n na nψ ψ −=

2 †1v | v |n n n n n n n na a a a aψ ψ ψ ψ ψ ψ− = ⇒ = =

64

6565

( )†

1

† †1 , 1,

†

Usando 1 troviamo le matrici degli operatori sulla base { }.

1 1

0 0 01 0 0 0

0 2 0 0

0 0 3 02

n n m

m n m n m nm n

a n

a a n n

a

ψ ψ ψ

ψ ψ ψ ψ δ+

+ +

= +

= = + = +

→

( )

1

, 1,

0 1 0 0

0 0 2 0

0 0 0 30 0 0 0 2

ψ ψ

ψ ψ δ

−

−

= ⇒

= = ⇒ →

n n

m n m nm n

a n

a a n a

Matrice infinita non simmetrica

( ) ( )†, 1 , 1,,

Sono matrici coniug te.1 am n m nm nm na n a nδ δ+ −= + =

65

66

Matrici di x e di p per l’oscillatore armonico:

( ) ( )† †0

0†

Dato che , gli elementi 2 2

di matrice di x e p si trovano da quelli di a,a :

x ix a a p a ax−

= + = −

( )0, 1 , 11

2mn m n m nxx n nδ δ− += + +

( ) ( )†, 1 , 1,,

1 m n m nm nm na n a nδ δ+ −= + =

( ), 1 , 10

12mn m n m n

ip n nx

δ δ− += − + +

66

67

†

0

0

0 0 0 0 1 0 01 0 0 0 0 0 2 00 2 0 0 0 0 0 30 0 3 0 0 0 0 0 2

2

0 1 0 0 0 1 0 0

1 0 2 0 1 0 2 0

0 2 0 3 0 2 0 32 2

0 0 3 0 2 0 0 3 0 22 0 2 0

a a

x ix px

→ →

− → → − − −

( )2

20

12 0

, 1 , 10

Altro modo di calcolarle:

, ( ) ( ) 12

xx

mn m n n n n mn m n m nxxx dx x x N H e x n n

xψ ψ ψ δ δ

−∞

− +−∞= = ⇒ = + +∫

x,p sono hermitiane

67

6868

( )0, 1 , 1Usando le , 1 .

2mk m k m kxx m mδ δ δ− += + +

( ) ( )( )2

2 0, 1 , 1 , 1 , 11 1 .

2Espandiamo:

mk kn m k m k k n k nmnk k

xx x x m m n nδ δ δ δ− + − += = + + + +∑ ∑

( ) ( )

( )

2 2

0 0, 1 , 1 , 1

Per illustrare il metodo delle matrici, vedremo ora che e' facile

calcolare ,

facendo il prodotto righe per colonne partendo

da 1 ,cioe' 2 2

mk kn mk knmn mnk k

mn m n m n mk m k

x x x p p p

x xx n n x k kδ δ δ− + −

= =

= + + = + +

∑ ∑

( )

( )

, 1

0, 1 , 1

1 ,

1 .2

m k

kn k n k nxx n n

δ

δ δ

+

− += + +

( ) ( )

( )

22 0

, 1 , 1 , 1 , 1

, 1 , 1 , 1 , 1

( ( 1) ( 1) 12

1 )

δ δ δ δ

δ δ δ δ

− − − +

+ − + +

== + + + + +

+ + +

∑ m k k n m k k nmnk

m k k n m k k n

xx m n m n

mn m n68

6969

( )2mk knmn

kp p p= ∑

( )22, , 22

0

( 1)( 2) (2 1) ( 1)2 m n mn m nmn

p m m m m mx

δ δ δ+ + = − + + − + + −

( ), 1 , 10

12mn m n m n

ip n nx

δ δ− += − + +

( ), 1 , 10

1 12mk m k k n

ip m nx

δ δ− += − + + +

( ), 1 , 10

12kn k n k n

ip n nx

δ δ− += − + +

( )2

2 0, 2 , 2( 1)( 2) (2 1) ( 1) .

2Allo stesso modo,

m n mn m nmn

xx m m m m mδ δ δ− + = + + + + + −

, 1 , 1 , 2Usando si ottiene:m k k n m nk

δ δ δ− − −=∑

69

Le matrici di x e p dell’oscillatore sono infinite ma sparse, quindi le moltiplicazioni sono facili. Si verifica allo stesso modo che:

[ ] ( ), mk kn mk kn mnk

m p x n m px xp n p x x p i δ−

= − = − = −∑

(metodo di Heisenberg)

( ) ( )2

2 20

0

1 12 2 2

ω ωδ = + = +

mnmn mnmn

pH m x n

m

22 2

00

12 2

ω= +pH m xm

70

71

Matrici e modelli matematici

Autovalori: ( )

+−±+=±

22 421 VEEEE babaε

aE

bE

leganteε

antileganteε

V

In certi problemi, sono pochi gli stati che interagiscono in modo importante;allora il metodo delle matrici si presta ad utili modellazioni. Il modello nonbanale piu semplice e l'Hamiltoniano 2 x2 :

a

b

E VH

V E

=

71

72

Operatore densita’

Se il sistema e’ in uno stato quantico ben definito si dice che si trova in uno stato puro. Altrimenti il sistema e’ in uno stato misto.

ˆ , probabilita' che il sistema sia in .

ˆQui { } e' una base. Il valore di aspettazione di A e'ˆ ˆA A .

Siccome la traccia non dipende dalla base,ˆ ˆ ˆA ( ). Evidentemente, (

n n n n nn

n

n n nn

n n nn

P P

P

P Tr A Tr

ρ ψ ψ ψ

ψ

ψ ψ

ψ ψ ρ ρ

= =

=

=

∑

∑

∑ †ˆ ˆ) 1,nn

P ρ ρ= = =∑

73

In generale il processo di preparazione di un sistema produce molte copie identiche ma non tutte in uno stesso stato quantico.

In questo caso non si puo’ assegnare al sistema una funzione d’onda ma un operatore densita’

Esempio: stato puro

cannone elettronico

Esempio

Se e' l'onda di De Broglie con p= k, c'e' differenza fra uno stato puro1 1 1ˆcon = (x)= (e +e ) e uno stato misto con

2 24ikx ikx

k

k

x k k k k kψ ρπ

− = + − −

2 21 1(x)= cos( ) densita' di probabilita' (x) cos( )

Oscillazioni dovute all'interferenza quantica k -k

k kkx kxψ ψππ

⇒ =

↔

Esempio: stato misto

cannone elettronico

cannone elettronico

2

2

e 1(x)= densita' di probabilita' (x)22

e 1(x)= densita' di probabilita' (x)22

50% di probabilita' per ciascunaNiente oscillazioni dovute all'interferenza quantixa k -k

ikx

k k

ikx

k k

ψ ψππ

ψ ψππ

−

− −

⇒ =

⇒ =

↔

1 1ˆ A sparare sono 2 cannoni2 2

k k k kρ = + − −

Tomografia quantistica

In generale per conoscere lo stato quantico di un sistema bisogna disporre di numerosi campioni uguali sui quali effettuare una serie di misure di diversi osservabili. Dalle distribuzioni di probabilita’ degli osservabili si cerca poi di capire quale e’ lo stato puro o la matrice densita’.

Per sistemi complessi in stati puri o misti sono necessarie misure di piu’ osservabili per determinare lo stato. Quali e quante? Questo problema complicato e’ studiato dalla tomografia quantistica.

Per sistemi semplici come una particella in una buca o un oscillatore armonico basta una misura di energia per determinare lo stato.

75

76

Postulato 3Ogni misura di un osservabile Q

ˆ deve dare un autovalore di Q λ λψ λ ψ=

2

Probabilita' di λ nello stato :( ) | |P λλ ψ

Φ

= Φ

Ampiezza di λ nello stato Φ :( )A λλ ψ= Φ

La misura provoca il collasso della ψ sull’autostato: se la ripetiamo subito ritroviamo λ

Perche’ il set deve essere completo:

1 chiusura necessaria perche' siam

m

m m

m m

Ψ = Ψ

=

∑

∑

1m

m mΨ Ψ = Ψ Ψ =∑ somma delle probabilita’ di tutti i valori di un osservabile=1

76

77

• Discreto

Formalismida usare a seconda dell’operatore e del sistema

• continuo

∞<<−∞= keeQ kkk ,ˆ λ

mnnm ee δ= )( khee kh −= δ

ψψ mmm

ee∑=

2|| ψmm eP =

ψψ kk eedk∫∞

∞−=

dkedP k2|| ψ=

(Trasformata di Fourier)(Serie di Fourier)

..2,1,0,ˆ == neeQ nnn λ

77

78

Soluzione nello spazio delle distribuzioni( ) ( ) ( )' 'x x x xϕ δ= −

Nessuna soluzione in L2 (spazio delle funzioni a quadrato integrabile).

( ) ( )' ( ') ( ') ( )x xdx x x xϕ ψ ϕ ψ ψ ψ= = ∀∫

L’osservabile x e la sua equazione agli autovalori

Quali autofunzioni? Devono permettere di scrivere l’ampiezza di trovare la particella in x:

( ) ( )ˆ x xx xϕ ϕ=

( ) ' ( ') ( ') ( )x dx x x x xϕ ψ δ ψ ψ ψ= − = ∀∫78

La x e’ un osservabile che gioca un ruolo speciale, in quanto funge da coordinata. L’operatore moltiplica per x.

79

=

= =

∑

∑ ∫ *

Relazione di chiusura nel caso continuo : 1.

Infatti ( ) ( ).

x

x

x x

a b a x x b dxa x b x

δ= −L'ortogonalita': ' ( ')x x x x

79

Altro esempio in 1d di spettro continuo: ampiezza di trovare l’impulso p nello stato ψ

( ) ( ) ( ) 1ˆAutostati di p :2

pxi

p p pp f x p f x f x eπ

= =

1, ( ) ( )2

pxi

pf dxe x pψ ψ ψ ψπ

∞ −

−∞∀ = =∫

e’ l’ ampiezza di trovare l’impulso p in una misura sullo stato ψ

=∑Relazione di chiusura nel caso contin : 1.uoq

q q

80

δπ

∞ −

−∞⇒ = −∫ ( ') ( ')

2iq x xdq e x x

π∞ −

−∞=∑ ∫ ( ')Verifica : '

2iq x x

q

dqx q q x e

δ= = −∑

Prendiamo elementi di matrice :

' ' ( ')q

x q q x x x x x

=∑Relazione di chiusu 1 .ra : q

q q

80

Localizzare esattamente la particella non si puo’ con una funzione ordinaria.a quadrato integrabile; la delta pero’non ha il quadrato.

La particella localizzata esattamente in un punto e’ un caso patologico ma irrealizzabile (richiederebbe infinita energia). La base localizzata e’ matematicamente corretta.

Nemmeno la particella in un autostato di p e’fisicamente realizzabile, perche’ richiederebba un apparato infinitamente grande. Pero’matematicamente e’ OK. Vanno intese come utili casi limite idealizzati.

81

Postulato 3 e momento angolare quantistico

φ∂

∂

=

z Il momento angolare L =-i

la misura della componente del momento angolare deve dare m , Qualunque direzione

numero quantico az definita da n

ip

mutale,uo' ess

inere

tero. presa

m come asse z.

Questo e' incomprensibile classicam

ente!

Cambiando la direzione, i valori misurati sono gli stessi, ma cambiano le probabilita’ 82

zL m=

zL m=

Ogni misura di una componente di L deve dare un autovalo re m .

83

Postulato 4

ˆ ˆ( , , )i H q p tt

∂Ψ= Ψ

∂

NB Se H non dipende da t, vale la soluzione formaleˆ

( ) : (0)−

Ψ = Ψ

iHt

t e

83

ˆ

0

L'esponenziale di un operatore o di una matrice significa:

ˆ

: operatore di evoluzione temporale!

n

iHt

n

iHt

en

− ∞

=

− = ∑

Che relazione c’e’ fra l’operatore di una grandezza Q e quello della sua derivata temporale dQ/dt ?

Del primo ordine in t, richiede una sola condizione iniziale.

84

ˆ ˆ( , , )i H q p tt

∂Ψ −= Ψ

∂

Definizione della derivata temporale di un operatore quantistico Q:La media dell’operatore dQ/dt deve essere la derivata della media di Q.

ˆ ˆ:Ψ Ψ = Ψ ΨdQ d Qdt dt

All’operatore x deve corrispondere un operatore velocita’

All’operatore px deve corrispondere un operatore forza, componente x

ˆ ˆˆ ˆ ˆ:dQ d QQ Q Qdt dt t t t

∂ ∂Ψ ∂ΨΨ Ψ = Ψ Ψ = Ψ Ψ + Ψ + Ψ

∂ ∂ ∂

84

∂ Ψ − ∂= Ψ ⇒ Ψ = Ψ

∂ ∂

ˆ ˆi iH Ht t

ˆ ˆ ( )ˆ ˆ ,dQ Q i iQH HQdt t

∂ −Ψ Ψ = Ψ Ψ + Ψ Ψ + Ψ

∂∀Ψ Ψ

ˆ ˆ ˆˆ ,dQ Q i H Qdt t

∂ ⇒ = + ∂

equazione del moto, in analogia col caso classico

85

{ },k k k k k

A B A BA Bq p p q

∂ ∂ ∂ ∂= − ∂ ∂ ∂ ∂

∑

Costanti del moto: 0Ft

∂=

∂ { }, 0F H =

= ⇒( , , )F F p q t

{ , },

{ , } ( )i i i i i

dF F F Hdt t

F FFp

Hpq q

H H∂

∂= +

∂∂

∂∂∂∂∂∂

= −∑

Rivediamo le parentesi di Poisson classiche

85

Buoni numeri quantici= quantita’ conservate, H=costante

ˆ ˆ ˆˆ ˆˆ ˆ, 0 Se 0,basta , 0dQ Q i QH Q H Qdt t t

∂ ∂ = + = = = ∂ ∂

86

( )2

ˆ2pH V xm

= +

22ˆ , ,ˆ ,

2 2 −−−

= = =

i i p iH x x p xm

xm

[ ] [ ]( ) ( ),ˆ , 22 2− −

= + = − =

i i pp p x p x p i pm m

xm

[ ] 1, , ( ),ˆ−

− −

= = = − = −

i i p i d dVH x H V x im m dx m

xdx

anche in meccanica quantistica!F ma=

Esempio: particella in un potenziale in 1d

ˆ ˆdV Fdx

m x = − =

86ma non si cerca piu’ la legge oraria, il senso e’ diverso.

87

Orologi atomici: meglio di 1s in un milione di anni. Utili ad esempio per il gps

Bisogna usare stati atomici eccitati che hanno vita lunga, e quindi energia e frequenza ben definita.

Di solito di usa una riga molto stretta del Cs

in evidente analogia con

in ambedue i casi e’ una proprieta’ della trasformata di Fourier:

tagliando un pezzo di una sinusoide la frequenza non e’ piu’ ben definita

ˆ

2

E it

E t

∂=

∂

∆ ∆ >

. L’energia e’ legata alla frequenza

e misure precise di energia richiedono tempo

87

2

p ix

p x

∂= −

∂

∆ ∆ >

Principio di indeterminazione energia-tempo

88

Richard Feynman (New York, 1918-1988)

88

89

t

q2

t1

q1

t2

q

Cammini virtuali: formulazione di Feynman della MQ

I diversi cammini virtuali non sono alternativima interferiscono. Il peso di un cammino

iSe' proporzionale a exp[ ], dove S e' l'azione.

La somma sui cammini (path integral) e' delicatadal punto di vis

ta matematico.

89

You are joking, Mr Feynman!

L’onda e’ estesa, l’elettrone e’ puntiforme: Di cosa e’ fatta l’onda?

( )ψ∞

−∞=∫

2, 1.dx x t

90

Interpretazione di Copenhagen(Niels Bohr, Werner Heisenberg)

La funzione d'onda e’ una ampiezza di probabilita’. Ad esempio, in un problema unidimensionale,

( )( ) ( )

ψ

ρ ψ

=

=

∫2

e' la probabilita' di trovare la particella

2 in (a, b) al tempo t.

e una densita' di probabilita' normalizzata a 1, cioe'

,

, ,

b

ab aP dx x t

x t x t

Un approccio probabilistico era apparso nella fisica teorica con Gibbs e Boltzmann,agli albori della meccanica statistica. Qui il discorso e` del tuttodiverso, riguarda 1 elettrone e non un enorme numero di particelle, e la temperaturanon entra nel problema. Nelle applicazioni classiche la statisticaentrava perche`noi disponiamo di una descrizione incompleta del sistema. Se conoscessi lo stato interno di una slot machine potrei predire con certezza il momento opportuno di metterci la monetina; poiche`non lo conosco, possosolo parlare di probabilita´.

Fisica classica: la probabilita’ e’ figlia dell’ignoranza

Fisica quantica: la probabilita’ e’ nelle leggi naturali

Nell’interpretazione di Copenhagen, proposta da Bohr e colleghi, la funzioned’onda ψ contiene una descrizione statistica che e`pero’ la piu´completapossibile. La particella non ha una traiettoria classica e non ha valori bendefiniti degli osservabili, tranne quelli i cui operatori hanno ψ come autofunzione.Il mondo microscopico e` diverso da quello macroscopico; non e`strano che una particella non abbia una posizione precisa come avrebbe uncorpo classico; d’altra parte i fisici sanno che una particella ed i suoi statipossono avere molte qualita´ (spin, isospin, elicita´, colore di quark e gluoni, parita´intrinseca, fasi, etc.) che i corpi classici non hanno. Quindi la descrizione statistica none`, come nei casi usuali, soggettiva e dovuta a incompleta informazione. 91

Di quale probabilita´si tratta? Il significato fisico e`il seguente. Supponiamoche io voglia determinare la distanza dell’elettrone dal nucleo dell’atomodi H. Se preparo un atomo di H e faccio la misura posso ottenere qualsiasi valore. Se preparo un gran numero di atomi di H tutti nelle stesse condizionie su ciascuno faccio la misura trovo valori distribuiti secondo una legge|ψ(r )|2 e posso determinare <r> come media statistica della distribuzione.

92

Ripetere la misura su molti campioni

L’osservazione perturba il sistema

Questo non e`come ripetere molte volte la misura sullo stesso atomo di H, perche`l’atto di misurare la posizione disturba il sistema.

Se si trova la particella in x , immediatamente dopo la sua funzione d’onda e`piccata intorno a x , per un fenomeno che si chiama collasso della funzione d’onda.

Pero’ ci sono anche grandezze che hanno valore ben definito. se misuriamo su molti atomi di H nello stato normale l’energia di legame, troviamo sempre 13.59 eV. Se misuriamo una componente del momento angolare L = r ∧ p il risultato e`sempre 0.

No cloning theorem

Abbiamo un sistema A in stato che dipende da certi gradi di liberta' q .

Clonarlo significa prendere un sistema B in uno stato che dipende anch'esso dagli stessi

gradi di liberta' q e trasformarl

AA

B

B

e

ψ

o in capo a un tempo t in una copia di .B A

ψ ψ

Ci vuole un operatore di evoluzione U(t) tale che:U(t) = ( ) ( ) per tutti i possibili , incluso .

A B A Be t tφ φ φ φ ψ

†

Poiche' U(t) e' unitario i prodotti scalari si conservano:

deve essere ( ) ( )

prodotto scalare di ( )

con ( ) .

B A A B

B A A B

A B

A B

e e

e U t U t e

U t e

U t e

φ ψ φ ψ

φ ψ

φ

ψ

=

=

Wootters, W.K. and Zurek, W.H.: A Single Quantum Cannot be Cloned. Nature 299 (1982), pp. 802-803

Ora a destra si clona e si deve ottenere ( )A A B A B

U t eψ ψ ψ ψ=

Clonatrice quantistica

No broadcasting theorem

Dato uno stato in uno spazio di Hilbert H non e' possibile trasformarlo in uno stato

in uno spazio di Hilbert H H.E' un corollario del no cloning theorem.

A

A A

ψ

ψ ψ⊗ ⊗

†

2

nel bra si clona , dunque si ottiene :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Quindi, .

B

A B A B A B A B

B A A B

U t e t t e U t t t

φ φ

φ φ φ φ φ φ

φ ψ φ φ ψ ψ φ ψ

= ⇔ =

= =

Questo non vale per tutti i possibili . Quindi U non esiste.φ

Conclusione: Ripetere la misura su molti campioni

94

95

Per una particella di Schroedinger, il lomite classico e’h0.Non mancano sottili problemi nella interpretazione, alcuni dei quali ancora aperti, che potrebbero avere conseguenze osservabili. Ci sono aspetti paradossali, ad esempio nella regione di confine fra la Fisica classica e quella quantistica. Un paradosso famoso e quello del gatto di Schroedinger. Un atomo puoessere preparato in uno stato ψ = c1 ψ1 + c2 ψ 2, dove c1 , c2 sono numeri complessi e ψ1 , ψ 2, sono autofunzioni ortogonali di un osservabile A corrispondenti ad autovalori a1; a2. Una misura di A fa collassare la ψ ed obbliga il sistema a scegliere fra i due autovalori.

Gatto di Schroedinger

Si rinchiuda un gatto in una scatola d’acciaio insieme con la seguente macchina infernale: in un contatore Geiger si trova una minuscola porzione di sostanza radioattiva, così poca che nel corso di un’ora forse uno dei suoi atomi si disintegra, ma anche in modo parimenti verosimile nessuno; se ciò succede, allora il contatore lo segnala e aziona un relais di un martelletto che rompe una fiala con del cianuro.

Ebbene, il gatto di Schroedinger potrebbe essere preparato in una sovrapposizione di gatto vivo e gatto morto, e stare in uno stato misto finche’ non viene osservato? Oppure chi sa, si osserva da solo?

Dopo avere lasciato indisturbato questo intero sistema per un’ora, si direbbe che il gatto è ancora vivo se nel frattempo nessun atomo si e’ disintegrato. La prima disintegrazione atomica lo avrebbe avvelenato. La funzione Ψ dell’intero sistema porta ad affermare che in essa il gatto vivo e il gatto morto non sono stati puri, ma miscelati con uguale peso

96

Successivamente e’ stata scoperta la superfluidita’ e si e’ capito che essa e la superconduttivita’ sono fenomeni quantistici macroscopici.

Ma nel caso di sistemi normali sove si trova il confine classico-quantistico?

97

Einstein pensava che la teoria fosse incompleta (diceva che Dio non gioca a dadi.)

E’ una questione fisica. L'interpretazione di Copenhagen e’ sempre stata confermata dagli esperimenti.

Ma i lavori sono in corso.

Nel 2012 il Nobel e’ andato a SergeHaroche e David J. Wineland per studi sperimentali di ottica quantistica in cui sono stati creati sistemi quantistici formati da atomi e fotoni che sono stati tenuti per 50 millisecondi in uno stato di sovrapposizione quantistica evitando la decoerenza (gatti di Schroedinger). Questo potrebbe aprire la strada al computer quantistico.

98