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Calcolo vettoriale 1. Nel piano Oxy sono dati i vettori (P - O) di modulo 4 e formante un angolo di π 6 con la direzione positiva dell’asse x, (Q - O)= 3i - 3j, (P - R)=2 3i. Determinare |Q - O|, vers(Q - O), |(P - O)+(Q - O)|,(P - Q), (R - O), |R - Q| e l’angolo formato da (R - Q) con l’asse x. 2. Nel piano Oxy sono dati i vettori (P - O) di modulo 6 e formante un angolo di 2π 3 con la direzione positiva dell’asse x, (Q - O) di modulo 2 e formante un angolo di π 4 con la direzione positiva dell’asse x, Determinare |(P - O) + 2(Q - O)| e |P - Q|. 3. In un riferimento cartesiano Oxyz , sono dati i punti P, Q, R di coordinate P (1, 2, 0), Q(-1, 1, 1) e R(0, 0, 3). Determinare le componenti e i moduli dei vettori (P - Q), (Q - P ), (P - R)e(Q - R). 4. Sono dati nel riferimento cartesiano Oxyz , i vettori (P - O)=2i +3j - k,(Q - O)= i - j,(R - O)= 4i - 2j + k. Scrivere le componenti del vettore 2(P - O)+(Q - O) - 3(R - Q). 5. Nel riferimento cartesiano Oxy sono dati i vettori (P - O)=2i +2 3j,(Q - O)= - 3j. Calcolare •|(P - O)|, •|(Q - O)|, (P - O) · (Q - O), •|(P - O) × (Q - O)|, 6. Nel riferimento cartesiano Oxy sono dati i vettori (P - O)=2i - 3j,(Q - O)= 2i - 3j e (R - O)= -2 2i + j. Calcolare (P - O) · (Q - O), (P - O) × (Q - O), (Q - O) × (P - O), (P - O) · (Q - O) × (R - O), [(P - O) × (Q - O)] × (R - O), (P - O) × [(Q - O) × (R - O)]. 7. Nel riferimento cartesiano Oxyz sono dati i vettori (P - O)=2i + j,(Q - O)= 2i +2 2j - k e (R - O)= -2i - j + 2k. Calcolare (P - O) · (Q - O), (Q - O) · (R - O), (Q - O) × (R - O), (P - O) × (Q - O) · (R - O), (R - O) · (Q - O) × (P - O), 1

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Calcolo vettoriale

1. Nel piano Oxy sono dati i vettori

• (P −O) di modulo 4 e formante un angolo di π6 con la direzione positiva dell’asse x,

• (Q−O) =√

3i− 3j,

• (P −R) = 2√

3i.

Determinare |Q−O|, vers(Q−O), |(P −O) + (Q−O)|, (P −Q), (R−O), |R−Q| e l’angolo formatoda (R−Q) con l’asse x.

2. Nel piano Oxy sono dati i vettori

• (P −O) di modulo 6 e formante un angolo di 2π3 con la direzione positiva dell’asse x,

• (Q−O) di modulo 2 e formante un angolo di π4 con la direzione positiva dell’asse x,

Determinare |(P −O) + 2(Q−O)| e |P −Q|.

3. In un riferimento cartesiano Oxyz, sono dati i punti P,Q,R di coordinate P (1, 2, 0), Q(−1, 1, 1) eR(0, 0, 3). Determinare le componenti e i moduli dei vettori (P −Q), (Q− P ), (P −R) e (Q−R).

4. Sono dati nel riferimento cartesiano Oxyz, i vettori (P −O) = 2i + 3j−k, (Q−O) = i− j, (R−O) =4i− 2j + k. Scrivere le componenti del vettore 2(P −O) + (Q−O)− 3(R−Q).

5. Nel riferimento cartesiano Oxy sono dati i vettori (P −O) = 2i + 2√

3j, (Q−O) = −√

3j. Calcolare

• |(P −O)|,• |(Q−O)|,• (P −O) · (Q−O),

• |(P −O)× (Q−O)|,

6. Nel riferimento cartesiano Oxy sono dati i vettori (P − O) = 2i − 3j, (Q − O) =√

2i −√

3j e(R−O) = −2

√2i + j. Calcolare

• (P −O) · (Q−O),

• (P −O)× (Q−O),

• (Q−O)× (P −O),

• (P −O) · (Q−O)× (R−O),

• [(P −O)× (Q−O)]× (R−O),

• (P −O)× [(Q−O)× (R−O)].

7. Nel riferimento cartesiano Oxyz sono dati i vettori (P − O) = 2i + j, (Q − O) =√

2i + 2√

2j − k e(R−O) = −2i− j +

√2k. Calcolare

• (P −O) · (Q−O),

• (Q−O) · (R−O),

• (Q−O)× (R−O),

• (P −O)× (Q−O) · (R−O),

• (R−O) · (Q−O)× (P −O),

1

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• [(P −O)× (Q−O)]× (R−O),

• (P −O)× [(Q−O)× (R−O)].

8. Dati i vettori (P − O) = −i + j e (Q − O) = 3i + 3j, determinare, se esiste, un vettore v tale chev × (P −O) = (Q−O).

9. Dati i vettori (P − O) = 2i + j− k e (Q− O) = 3i + 3j + k, determinare, se esiste, un vettore v taleche (P −O)× v = (Q−O).

10. Dati i vettori (P −O) = 2i + j− k e (Q−O) = 3i + 3j + 9k, determinare, se esiste, un vettore v taleche (P −O)× v = (Q−O).

11. Nel riferimento cartesiano Oxyz sono dati i vettori applicati (A1,v1) e (A2,v2) con A1(2, 2, 3), v1 =−2i− 2j + 3k, A2(0, 0, 1), v2 = 2j−k, determinare il risultante, il momento risultante rispetto al poloO, il momento risultante rispetto al polo O′(1, 0, 1), l’invariante scalare, il momento assiale rispettoall’asse z.

12. Determinare il momento e il braccio della coppia (A1,v) e (A2,−v) conA1(1,√

55 ,−

√5), A2(−1, 0, 2

√5

5 ),v = 3j + 4k.

13. Scrivere l’equazione dell’asse centrale del sistema di vettori applicati

• A1(0, 2, 0), v1 = 5j

• A2(0, 9, 0), v2 = −3j + 4k

• A3(2, 0, 0), v3 = −2i

14. Dato il sistema di vettori applicati

• A1(1, 0, 0), v1 = i− 2j + k

• A2(0, 2, 0), v2 = j− 3k

• A3(0, 0, 3), v3 = 2i + 3j− k

determinare il risultante, il momento risultante rispetto al polo O, il momento risultante rispetto alpolo O′(1, 2, 3), l’invariante scalare, il momento assiale rispetto all’asse z, l’equazione dell’asse centrale.

15. Un sistema di vettori applicati ha risultante R = 3i− j + 2k e momento risultante rispetto al polo O,MO = −4i− 2j + k. Calcolare il momento rispetto ad un punto dell’asse centrale.

16. Trovare il centro dei vettori applicati

• A1(0, 1, 0), v1 = u

• A2(1,−1, 0), v2 = 2u

• A3(0,−1, 2), v3 = −2u

• A4(−1, 0, 1), v4 = 3u

17. Trovare il centro dei vettori applicati

• A1(1, 1, 0), v1 = 6i + 4j− 10k

• A2(0, 1, 1), v2 = −3i− 2j + 5k

• A3(0, 0, 1), v3 = 12i + 8j− 20k

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18. Due sistemi di vettori applicati Σ e Σ′ hanno risultante R = R′ = 2i − j e momento risultanteMO = −i − 2j − k e M′

Q = 4k rispetto ai punti O(0, 0, 0) e Q(1, 2,−1). Verificare che Σ e Σ′ sonoequivalenti a (R, T ) con T (1, 0,−1).

19. Verificare che il sistema di vettori applicati

• A1(2, 0,−2), v1 = i− k

• A2(0, 1,−1), v2 = 2j + k

• A3(−1, 0, 0), v3 = −i− 2j

e equivalente ad una coppia di momento M = 3i + 2k.

20. Verificare che il sistema piano di vettori applicati

• A1(1, 0), v1 = 2i + j

• A2(0, 1), v2 = −i + 3j

• A3(−2, 1), v3 = −3j

• A4(5,−3), v4 = −i− j

e equilibrato.

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Cinematica del punto

1. Studiare il moto di un punto si muove sul piano xy secondo le equazioni cartesianex = x0 +R cos(

α

2t2 + ωt)

y = y0 +R sin(α

2t2 + ωt)

con α, ω,R costanti positive.

2. Studiare il moto di un punto che si muove sul piano xy secondo le equazioni cartesianex = R cosωt sinωt

y = R cos2 ωt

con ω,R costanti positive.

3. Determinare la traiettoria di un punto che si muove sul piano xy secondo le equazioni cartesianex = a cosωt

y = b sinωt

con a, b, ω costanti positive.

4. Studiare il moto di un punto che si muove in un piano secondo le equazioni polariρ = R cosωt

θ = ωt

5. Un punto P si muove con velocita v(t) = −ωR sinωti+ωR cosωtj+hk, con R,ω, h costanti. Sapendoche inizialmente P occupa la posizione P0(R, 0, 0), determinare le equazioni del moto, la traiettoria,la legge oraria.

6. Un punto P si muove nel piano xy con velocita v(t) = 3bt2i + 2ctj, con b, c costanti. Sapendo cheinizialmente P occupa la posizione P0(0, 0), determinare le equazioni del moto e la traiettoria.

7. Studiare il moto di un punto che si muove su una retta con accelerazione a = −kv, k > 0.

8. Studiare il moto di un punto che si muove nel riferimento O, i, j,k con accelerazione

a = αv × k α > 0

9. Studiare il moto di un punto P che si muove di moto circolare in modo che il rapporto fra le componentitangenziale e normale dell’accelerazione sia k=costante.

10. Determinare la traiettoria di un punto P che si muove su un piano in modo che il rapporto fra levelocita radiale e trasversa sia k=costante. Supponendo che il moto sia uniforme, determinare leequazioni del moto.

11. Un punto P si muove di moto centrale rispetto al polo O sulla curva di equazione

ρ = Rehθ

h > 0. Determinare le equazioni del moto a partire dalle condizioni iniziali θ(0) = 0, θ(0) = ω0.

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12. Un punto P si muove in un piano Oxy con legge x = 0, y = −g, soddisfacendo all’istante iniziale lecondizioni x(0) = 0, y(0) = h, x(0) = 0, y(0) = 0. Determinare la traiettoria di P nel riferimentoOxy e in un riferimento Oxy′ che trasla uniformemente con velocita v = vi,

13. In un riferimento O, i, j,k un punto materiale P si muove con legge P −O = (x0 + vt)i. Determinarel’equazione della traiettoria in un riferimento O, i′, j′,k, ruotante con velocita angolare costante ω= ωk.Calcolare la velocita relativa di P .

14. Un disco di raggio R ruota con velocita angolare ω = αt attorno ad un asse ad esso ortogonale epassante per il centro. Un punto materiale P si muove lungo un diametro con legge s(t) = R sinλt.Calcolare l’accelerazione assoluta di P .

x

y

O

P .

s

15. In un riferimento O, i, j,k un punto materiale P si muove con legge P −O = x0i + vtk. Determinarel’equazione della traiettoria in un riferimento O, i′, j′,k, ruotante con velocita angolare costante ω= ωk.Calcolare la velocita relativa di P .

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Cinematica del corpo rigido

1. Determinare la velocita degli estremi A e B di un’asta AB = 2`, mobile in un piano Oxy il cui puntomedio scorre sull’asse x.

xG O

y

A

B

!

s

2. Un sistema mobile in un piano xy e costituito da due dischi D1 e D2 di raggio r e da un’asta ABdi lunghezza 6r. Il disco D1 rotola senza strisciare sull’asse y e D2 rotola senza strisciare sull’asse x.Gli estremi A,B dell’asta sono incernierati nei centri di D1 e D2. Determinare le velocita angolari diD1,D2 e dell’asta AB.

B

O x

y

D2

D1

!

A

3. Un disco D di raggio r rotola senza strisciare all’esterno di una guida circolare C di raggio R. Deter-minare la velocita angolare di D

• nel caso che C sia fissa;

• nel caso che C ruoti attorno al suo centro O.

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D

C

y

xO

!

"

4. Un disco D di raggio r rotola senza strisciare all’interno di una guida C con profilo semicircolare diraggio R. Determinare la velocita angolare di D

• nel caso che C sia fissa;

• nel caso che C trasli lungo l’asse x.

DC

y

xO

θ

5. Due dischi D1 e D2 di raggio r si muovono nel piano xy in modo che D2 rimanga a contatto con l’assex e D1 abbia un punto A vincolato a scorrere sull’asse y e rotoli senza strisciare su D2. Determinarela velocita di strisciamento di D2 sull’asse x.

D1

y

xO

θ

ϕ D2

A

7

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6. Un’asta OA e libera di ruotare nel piano xy attorno al suo estremo O. Un disco di raggio R rotolasenza strisciare sull’asta ed e vincolato a rimanere a contatto con l’asse x. Determinare la velocitaangolare del disco e la velocita di strisciamento sull’asse x.

y

x O

2!

A

7. Nel piano xy un sistema materiale e costituito da un’asta AB di lunghezza ` e da un disco di raggioR. L’asta, avente punto medio M , e vincolata a passare per O, mantenendo un’inclinazione costanteα con l’asse x. Il disco rotola senza strisciare sull’asta. Detto u il versore parallelo all’asta e scelticome parametri ξ e η, tali che M −O = ξu e H −O = ηu, determinare la velocita angolare del disco.

y

x O

!

A

B

M .

H

8. In un piano xy, un disco di centro G e raggio R si muove a contatto con l’asse x. Sapendo che G havelocita costante e che il disco ruota con velocita angolare costante, determinare

• la velocita di strisciamento del disco sull’asse x;

• il centro di istantanea rotazione;

• la base e la rulletta del moto del disco.

9. In un piano Oxy una circonferenza di raggio r e vincolata a passare per il punto O ed ha un suo puntoA vincolato a scorrere sull’asse y. Determinare il centro di istantanea rotazione, la base e la rullettaper il moto della circonferenza.

8

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A

O x

y

G

10. Determinare il centro di istantanea rotazione, la base e la rulletta per il moto di un’asta nel pianoOxy che ha un estremo scorrevole sulla semicirconferenza di centro O di raggio R posta nel semipianoy > 0 ed e vincolata a passare per il punto H tale che H −O = −Rj.

B

x

H

O

y

A θ

o

11. Determinare il centro di istantanea rotazione e la base per il moto di un’asta AB, vincolata a passareper un punto O e il cui estremo A scorre su una retta fissa distante d da O.

x A

O

y B

θ d o

9

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12. In un piano Oxy un disco D1 di raggio R rotola senza strisciare su una guida circolare fissa, di raggioR e sul bordo di un disco D2 di raggio R, il cui centro scorre sull’asse y. Determinare la velocitaangolare del disco D2, il centro di istantanea rotazione e la base per il moto di D2.

O x

y

! D1

D2

10

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Meccanica del punto

1. In un piano verticale Oxy, un punto materiale P di massa m e soggetto a due forze elastiche F1 =−k(P − O) e F2 = −h(P − A) con A(`, 0). Determinare la configurazione di equilibrio. Scrivere leequazioni del moto di P .

2. Un punto materiale P di massa m e mobile in un piano verticale Oxy. Oltre alla forza peso, il punto esoggetto alla forza elastica F1 = −k(P−O) e alla forza F2 = α(yi+xj). Determinare la configurazionedi equilibrio. Scrivere le equazioni del moto di P .

3. Un punto materiale P di massa m e mobile in un piano verticale Oxy. Oltre alla forza peso, il punto esoggetto alla forza elastica F = −k(P −O). Determinare la traiettoria di P sapendo che inizialmentee in quiete nella posizione P0(`, 0).

4. Un punto materiale P di massa m e mobile nello spazio sotto l’azione di una forza elastica di costantek che lo collega con un punto fisso O. Sul punto agisce una forza viscosa R = −hv, h > 0. Studiareil moto di P , sapendo che inizialmente occupa la posizione P0(0, y0, 0) con velocita v(0) = v0j.

5. Un punto materiale P di massa m e mobile sotto l’azione di una forza F = qv × B, con B = Bk.Determinare il moto di P , a partire dai dati iniziali P (0) = (0, 0, 0), v(0) = x0i + z0k.

6. Studiare il moto di caduta di un punto materiale P , di massa m, lanciato da un punto O con velocitav(0) = v0xi + v0zk, supponendo che la resistenza dell’aria sia di tipo viscoso R = −hv, h > 0.

7. Un punto materiale P e mobile in un piano verticale Oxy, sotto l’azione di una forza elastica F1 =−k(P − O), di una forza costante F2 = F i e della forza peso. Il piano e posto in rotazione uniformeattorno all’asse y con velocita angolare ω. Determinare la configurazione di equilibrio relativo.

8. In un piano orizzontale Oxy un punto P di massa m e collegato al punto O da una molla di costanteelastica k e lunghezza di riposo nulla. Il piano ruota uniformemente attorno all’asse verticale z convelocita angolare costante. Scrivere le equazioni del moto di P .

9. In un piano verticale Oxy, un punto materiale P di massa m e vincolato ad una guida circolare dicentro O e raggio R. Oltre alla forza peso sul punto agisce una forza F = −hv, h > 0. Scriverel’equazione del moto di P . Sapendo che inizialmente P occupa la posizione (0, R) con velocita v = v0i,calcolare la reazione vincolare all’istante iniziale.

x

P

O

y

!

.

10. Un punto materiale P di massa m e vincolato a scorrere su una guida rettilinea fissa posta in un pianoverticale Oxy e inclinata di un angolo α = π

6 rispetto all’asse x. Oltre alla forza peso, sul punto agisceuna forza F = −hv, h > 0. Determinare il moto di P e la reazione vincolare, sapendo che inizialmentesi trova in O con velocita nulla.

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x

P

O

y

!

. s

11. Un punto materiale P di massa m e vincolato ad una guida circolare di centro O e raggio R postain un piano verticale Oxy. Oltre alla forza peso, il punto e soggetto alla forza elastica orizzontaleF = −k(P −H) che lo attrae verso il diametro verticale. Determinare le configurazioni di equilibriodi P e la reazione vincolare all’equilibrio. Scrivere l’equazione del moto di P .

x

P

O

y θ

. H

12. Un punto materiale P di massa m e mobile nel piano verticale Oxy, vincolato alla parabola di equazioney = x2

2a , a > 0. Una molla di costante elastica mga collega P con il punto fisso A(4a, 0). Determinare

le configurazioni di equilibrio di P e la reazione vincolare all’equilibrio. Scrivere l’equazione del motodi P .

x

P

O

y

.

A.

13. Un punto materiale P di massa m e vincolato ad una guida circolare di centro O e raggio R posta inun piano verticale Oxy ed e soggetto alla forza elastica orizzontale F = −k(P −H) che lo attrae versoil diametro orizzontale. Determinare le configurazioni di equilibrio di P .

12

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x

P

O

y

θ . H

14. Un punto materiale P di massa m e vincolato ad una guida circolare di centro O e raggio R posta inun piano verticale Oxy uniformemente ruotante attorno al suo diametro verticale con velocita angolareω. Determinare le configurazioni di equilibrio relativo di P .

x

P

O

y

θ

.

13

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Baricentri e matrici di inerzia

1. Determinare il baricentro delle seguenti figure

• arco di circonferenza omogeneo di centro O, raggio R e apertura 2α;

• settore circolare omogeneo di centro O, raggio R e apertura 2α;

• triangolo rettangolo omogeneo di cateti a e b;

• asta AB non omogenea di lunghezza a con densita ρ(P ) = k|P −A|;• cono omogeneo di vertice V , raggio di base R e altezza h.

2. Determinare il baricentro delle seguenti figure omogenee

• quadrato di centro O e lato a sormontato da un triangolo isoscele di altezza 2a;

• disco di centro O e raggio R con foro circolare di raggio r e distanza d tra i centri.

3. Determinare la matrice di inerzia delle seguenti figure omogenee di massa m rispetto ad una ternaprincipale d’inerzia con origine nel baricentro

• asta di lunghezza `;

• circonferenza di raggio R;

• disco di raggio R;

• rettangolo di dimensioni a, b;

4. Determinare la matrice di inerzia di un settore circolare omogeneo di raggio R, apertura 2α e massam rispetto ad una terna principale d’inerzia con origine nel centro del settore.

5. Determinare la matrice di inerzia delle seguenti figure omogenee rispetto ad una terna di origine O

• quadrato di lato L e massa m con foro quadrato concentrico di lato `;

• corona circolare di raggi R, r e massa m;

• asta OA di lunghezza 2a e massa m ortogonale all’asta AB di lunghezza 2b e massa m.

O O

O

O A

B

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6. Un corpo rigido e costituito da un disco omogeneo di centro C, raggio r e massa µ e da un’astaomogenea AB di massa ν e lunghezza 4r che ha l’estremo A saldato in un punto del bordo del discoin modo che A, B e C risultino allineati. Determinare µ e ν in modo che la massa del sistema sia 3me il baricentro dal corpo coincida con A. Scrivere la matrice di inerzia del corpo rispetto al punto A.

C A B

7. Un corpo rigido e costituito da due aste omogenee AB e CM di ugual massa m e di lunghezza 2` e 4`rispettivamente, saldate perpendicolarmente tra loro in modo tale che M sia il punto medio di AB.Determinare la posizione del baricentro G del corpo e scrivere la matrice di inerzia rispetto ad unaterna principale di inerzia centrata in G.

C

A

B

M

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Quantita meccaniche

1. Un corpo rigido e costituito da un’asta AO di lunghezza ` e massa M e da una lamina quadrata di lato` e massa m, all’interno della quale e praticato un foro concentrico quadrato di lato `/

√2. Il corpo e

incernierato in O. Scrivere l’energia cinetica e il momento della quantita di moto rispetto al punto O.

x O

y

A

θ

2. Un corpo rigido di massa m e costituito da un disco di raggio R e centro K a cui e stato praticato unforo di raggio R

2 e centro H distante R2 da K. Determinare la matrice d’inerzia rispetto ad una terna

principale di origine K. Supponendo che il corpo rotoli senza strisciare sull’asse x, scrivere l’energiacinetica.

x O

y

K

H

Cs

3. In un piano Oxy un’asta omogenea AB di lunghezza 2` e massa m ha l’estremo A scorrevole sull’assex. Scrivere l’energia cinetica e il momento della quantita di moto rispetto ad O.

x O

y

A

θ

B

s

4. Due aste omogenee OA e AB di massa m e lunghezza 2` sono mobili in un piano verticale Oxy inmodo che l’asta OA sia incernierata in O e l’asta AB abbia l’estremo A incernierato all’asta OA el’estremo B scorrevole sull’asse x. Determinare l’energia cinetica e il momento angolare rispetto ad O.

O

x O

y

A

B

!

16

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Meccanica del corpo rigido

1. Due aste omogenee OA e AB di massa m e lunghezza ` sono mobili in un piano verticale Oxy in modoche l’asta OA sia incernierata in O e l’asta AB abbia l’estremo A incernierato all’asta OA e l’estremoB scorrevole sull’asse x. Una molla di costante elastica k = mgα

` collega A con il punto H sull’asse x,rimanendo verticale. Determinare le configurazioni di equilibrio discutendone la stabilita al variare diα. Scrivere l’equazione del moto del sistema e determinare eventuali integrali primi.

O

x O

y

A

B

!

H

2. In un piano verticale Oxy un disco omogeneo di massa m e raggio ` rotola senza strisciare sull’asse x.Un’asta AB di lunghezza 8` e massa m ha l’estremo A incernierato nel centro del disco e B scorrevolesull’asse y. Una molla di costante elastica k collega il punto medio dell’asta con il punto H sull’assey, mantenendosi orizzontale. Sul disco e applicata una coppia di momento costante M = −αmg`k.Scelta come coordinata libera l’angolo θ che l’asta forma con l’asse y, determinare per quale valore diα la configurazione θ = π

3 e di equilibrio e discuterne la stabilita.

x O

y

A

B θ

H M

3. In un piano verticale Oxy un disco di massa m e raggio R si appoggia senza attrito sull’asse y ed esoggetto ad una forza elastica F = −k(G− A) con A(0, R

√3

2 ). Un’asta OB, omogenea di massa m elunghezza 4

√3R e incernierata in O e appoggiata senza attrito al disco. Detto θ l’angolo tra l’asta

e l’asse y, determinare il valore di k per cui θ = π3 e una configurazione di equilibrio. Calcolare le

reazioni vincolari in O e H.

O

x

O

y B

! A

G H

4. In un piano verticale Oxy un sistema materiale e costituito da un disco omogeneo di massa m e raggior e da un’asta omogenea AG di lunghezza r

√2 incernierata nel centro G del disco e avente l’estremo

17

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A vincolato a scorrere sull’asse x. Il disco rotola senza strisciare sull’asse x. Una molla di costanteelastica k e lunghezza di riposo nulla, collega B con O. Sul disco e applicata una coppia di momentoM = αk(G−O)× (G−H), con α ∈ R.

• Determinare le configurazioni di equilibrio, discutendone la stabilita al variare di α 6= −1;

• Determinare un integrale primo di moto.

x O

y

H

A

B s

5. In un piano verticale Oxy un’asta AB, omogenea di massa m e lunghezza ` ha gli estremi A,B vincolatia scorrere sugli assi x, y. Il piano e posto in rotazione uniforme con velocita angolare ω attorno all’assey. Determinare le configurazioni di equilibrio relativo, discutendone la stabilita al variare di ω.

O

x

O

y

B

A

θ

ω

6. In un piano verticale Oxy un’asta AB omogenea di massa m e lunghezza ` ha il baricentro G scorrevolesenza attrito sull’asse x. L’asta trasla mantenendo un’inclinazione costante α = π

4 sull’asse x. Un discodi centro C, massa m e raggio R rotola senza strisciare sull’asta. Sul disco e applicata una coppia dimomento M = mg

R (C −H)× (C −G). Determinare eventuali integrali primi di moto.

y

x O

!/4

A

B

G

H

C

18

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7. In un piano verticale un quadrato ABCD omogeneo di massa m e lato√

2` ha un vertice A scorrevolesull’asse x e il baricentro G collegato ad O da una molla di costante elastica k = 2mg

` .

• Determinare le configurazioni di equilibrio discutendone la stabilita.• Calcolare l’accelerazione del baricentro all’istante iniziale sapendo che il quadrato e inizialmente

in quiete con il vertice A coincidente con O e il vertice C sull’asse x.

O

x

O

y

ξ

B

A

θG

D

C

8. In un piano verticale Oxy un’asta AB omogenea di massa m e lunghezza 2` e incernierata nel suopunto medio O. Un punto P di massa m e vincolato all’asta ed e collegato ad O mediante una molla dicostante elastica mg

2` e lunghezza di riposo nulla. Determinare le configurazioni di equilibrio ordinariee di confine discutendo la stabilita di quelle ordinarie.

O

y

x O

!

A

B

P .

s

9. In un piano verticale Oxy, un sistema materiale e costituito da un’asta AB omogenea di lunghezza` e massa m avente gli estremi A,B vincolati a scorrere sugli assi x, y e da un punto P di massa mvincolato all’asse x e collegato a B mediante una molla di costante elastica k e lunghezza di riposo nulla.Il piano Oxy ruota uniformemente con velocita angolare ω attorno all’asse y. Scrivere le equazioni delmoto.

O

x

O

y

B

A

!

"

P.

#

19

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10. In un piano verticale Oxy un’asta AB omogenea di massa m e lunghezza 2` ha l’estremo A collegato adO mediante una molla di costante elastica k e l’estremo B scorrevole senza attrito sull’asse x. Scriverele equazioni del moto.

O

x O

y

B θ

A

ξ

11. In un piano verticale Oxy un disco di massa m e raggio R rotola senza strisciare sull’asse x. Un’astadi lunghezza 2` e massa m ha un punto H, distante `

2 da A, incernierato nel centro del disco. Unamolla di costante k e lunghezza di riposo nulla collega B all’asse y mantenendosi orizzontale. Sul discoe applicata una coppia di momento costante M = mgRk. Scrivere le equazioni del moto del sistema.

O

x O

y

A

B

s θ

H

12. In un piano verticale Oxy un disco omogeneo di massa m e raggio R rotola senza strisciare sull’assex. Un’asta AB di lunghezza ` e massa trascurabile ha l’estremo A incernierato nel centro del discoe B scorrevole sull’asse y. Una molla di costante elastica k collega il punto medio dell’asta con ilpunto H sull’asse y, mantenendosi orizzontale. Sul disco e applicata una coppia di momento costanteM = −αk`Rk. Scelto come parametro lagrangiano l’angolo θ che l’asta forma con l’asse y, scriverel’equazione del moto del sistema

20

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Ox O

y

A

B

!

H M

13. In un piano verticale un sistema materiale e costituito da un’asta AB di lunghezza 2` e massa m e daun punto P di massa m. Gli estremi A,B dell’asta sono vincolati a scorrere sugli assi x, y e il puntoP e vincolato all’asse x. Una molla di costante elastica k e lunghezza di riposo nulla, collega P a G.Sull’asta agisce inoltre una forza costante F = F i applicata in A. Scrivere le equazioni del moto peril sistema.

B

G

O

x O

y

P

!

A " P

14. In un piano verticale un’asta AB di lunghezza 2` e massa m ha il baricentro G scorrevole su una rettafissa, inclinata di π

6 sull’orizzontale. Sull’asta agiscono una forza elastica Fe = mg` (G − O) e la forza

viscosa Fv = −2m√

g`vG applicata in G. Scrivere ed integrare le equazioni del moto. Calcolare la

reazione vincolare.

Ox

O

y

G θ

A ξ

π/6 B

G

21

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Soluzioni

Calcolo vettoriale

1. |Q − O| = 2√

3, vers(Q − O) = 12 i −

√3

2 j, |(P − O) + (Q − O)| = 2√

7, (P − Q) =√

3i + 5j,(R−O) = 2j, |R−Q| = 2

√7, α = π − arctan 5√

3.

2. |(P −O) + 2(Q−O)| = 100 + 24√

6− 24√

2, |P −Q| = 52 + 12√

2− 12√

6.

3. |P −Q| =√

6, |P −R| =√

14, |Q−R| =√

6

4. 2(P −O) + (Q−O)− 3(R−Q) = −4i + 8j− 5k.

5. |(P −O)| = 4, |(Q−O)| =√

3, (P −O) · (Q−O) = −6, |(P −O)× (Q−O)| = 2√

3.

6. (P−O)·(Q−O) = 2√

2+3√

3, (P−O)×(Q−O) = (3√

2−2√

3)k, (Q−O)×(P−O) = (2√

3−3√

2)k,(P − O) · (Q − O) × (R − O) = 0, [(P − O) × (Q − O)] × (R − O) = (2

√3 − 3

√2)i + (4

√6 − 12)j,

(P −O)× [(Q−O)× (R−O)] = (3√

2− 6√

6)i + (2√

2− 4√

6)j

7. (P − O) · (Q − O) = 4√

2, (Q − O) · (R − O) = −5√

2, (Q − O) × (R − O) = 3i + 5√

2k,(P −O)× (Q−O) · (R−O) = 6, (R−O) · (Q−O)× (P −O) = −6,

[(P −O)× (Q−O)]× (R−O) = 5√

2i−5√

2j+5k, (P −O)× [(Q−O)× (R−O)] = 3√

2i−6√

2j−3k.

8. v = −λi + λj− 3k, λ ∈ R.

9. non esiste v.

10. v = (−2 + 2λ)i + (52 + λ)j + (−1

2 − λ)k, λ ∈ R.

11. R = −2i + 2k, M0 = 10i− 12j, MO′ = 10i− 8j, I = −20, Mz = 0.

12. M = 5√

5i− 8j + 6k, b = 3.

13. x = −2λ, y = 4 + 4λ, z = −4 + 4λ.

14. R = 3i + 2j− 3k, MO = −15i + 5j− 2k, MO′ = −3i− 7j + 2k, Mz = −2, I = −29, assecentrale: x = 1

2 + 3λ, y = 5122 + 2λ, z = 45

22 − 3λ.

15. M = −127 i + 4

7 j− 87k.

16. C(−14,14,−1

4)

17. C(25,15,35

)

Cinematica del punto

1. Moto uniformemente vario con traiettoria: (x− x0)2 + (y − y0)2 = R2.

2. Moto uniforme con traiettoria: x2 + (y − R2 )2 = R2

4 .

3. Ellisse con semiassi a e b.

4. Moto uniforme con traiettoria: (x− R2 )2 + y2 = R2

4 .

5. x = R cosωt, y = R sinωt, z = ht, moto elicoidale uniforme.

22

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6. x = bt3, y = ct2, y =c

b2/3x2/3.

7. x = v0k (1− e−kt) + x0.

8. x = c1 sin(αt+ ϕ0) + c2, y = c1 cos(αt+ ϕ0) + c3, z = c4t+ c5.

9. s = −Rk ln(kt+ c1) + c2.

10. ρ = Rekθ, ρ = c1t+ c2, θ = 1k ln

(c1R t+ c2

R

).

11. ρ = R(2kω0t+ 1)1/2, θ = 12k ln(2kω0t+ 1).

12. x = 0, y′ = −gx2

2v2+ h.

13. x′ = (x0 + vt) cosωt, y′ = −(x0 + vt) sinωt, z′ = 0,

vrel = [v cosωt− ω(x0 + vt) sinωt]i′ − [v sinωt+ ω(x0 + vt) cosωt]j′.

14. aass = −R[(λ2 sinλt+ α2t2 sinλt) cos αt2

2 + (α sinλt+ 2αλt cosλt) sin αt2

2 ]i

+R[−(λ2 sinλt+ α2t2 sinλt) sin αt2

2 + (α sinλt+ 2αλt cosλt) cos αt2

2 ]j.

15. elica cilindrica di raggio x0, vrel = −ωx0 sinωti− ωx0 cosωtj + vk.

Cinematica del corpo rigido

1. vA = (x+ `θ) sin θi− `θ cos θj, vB = (x− `θ) sin θi + `θ cos θj.

2. ω1 = −6 sin θθk, ω1 = −6 cos θθk, ωAB = θk.

3. ω =R+ r

rθk, ω =

R+ r

rθ − R

rϕk.

4. ω = −R− rr

θk.

5. v = r(θ cos θ + 2ϕ sinϕ+ 2ϕ− θ)i.

6. ω = − Rθ cos θ1− cos θ

k, v = −Rθ(1 + cos θ)1− cos θ

i.

7. ω =ξ − ηR

k

8. v = (v0 +ωR)i, (C −G) =v0ω

j, base: y = R+v0ω, rulletta: circonferenza di centro G e raggio

v0ω

.

9. base: circonferenza di centro O e raggio 2r, rulletta: circonferenza di centro G e raggio r.

10. base: semicirconferenza di centro O e raggio R, rulletta: quadrante di circonferenza di centro A eraggio 2R.

11. base: y2 = dx.

12. ω = −2θk, base: ellisse di centro O e semiassi r e 4r.

Meccanica del punto

23

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1. x =h`

k + h, y = − mg

k + h.

2. x =mgα

a2 − k2, y =

mgk

α2 − k2, α2 6= k2.

3. y =mg

k(x

`− 1)

4. x = 0, y =

(v0t+ y0t

√k

m+ y0

)e−t√k/m, z =

(gt√

mk + mg

k

)e−t√k/m − mg

k .

5. x =mx0

qBsin

qBt

m, y =

mx0

qB(cos

qBt

m− 1), z = −1

2gt2 + z0t.

6. x =mv0xh

(1− e−ht/m), y = 0, z =m

h(v0z +

mg

h)(1− e−ht/m)− mg

ht.

7. x =F

k −mω2, y = −mg

k, k 6= mω2.

8. mx− 2mωy − (mω2 − k)x = 0, my + 2mωx− (mω2 − k)y = 0.

9. mRθ + hRθ −mg cos θ = 0, Φ(0) = m(v20

R+ g)

10. s(t) =mg

2h

(mhe−ht/m − m

h+ t), Φ =

mg√

32

.

11. θ = 0, π,± arccosmg

kR, se mg ≤ kR Φ0 = −mg, Φπ = mg, Φθ = −kR,

Rθ + kR sin θ cos θ −mg sin θ = 0.

12. x = 2a, Φ =√

5mg, x√a2 + x2 +

xx2

√a2 + x2

+g2

2a2x3 − 4ag = 0.

13. θ = 0, π,± arccosmg

kR, se mg ≤ kR.

14. θ = 0, π, −π + arccosg

ω2R, π − arccos

g

ω2R, se g ≤ ω2R.

Baricentri e matrici di inerzia

1. OG =R sinαα

, OG =2R sinα

3α, G(a

3,b

3

), AG =

23`, V G = 3

4h.

2. OG =712a, OG = − dR2

R2 − r2

3. I1 = 0, I2 = I3 =m`2

12I1 = I2 =

mR2

2, I3 = mR2; I1 = I2 =

mR2

4; I3 =

mR2

2

I1 =ma2

12, I2 =

mb2

12, I3 =

m(a2 + b2)12

4. I1 =mR2

2(1− sinα cosα

α), I2 =

mR2

2(1 +

sinα cosαα

), I3 = mR2.

24

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5. I1 = I2 =m

12(L2 + `2), I3 =

m

6(L2 + `2), I1 = I2 =

m

4(R2 + r2), I3 =

m

2(R2 + r2),

I11 =43mb2, I22 =

163ma2 I33 =

43m(4a2 + b2) I12 = −2mab I13 = I23 = 0

6. µ = 2m, ν = m, I1 =12mr2, I2 =

476mR2, I3 =

253mR2

7. GM = `, I1 =13m`2, I2 =

103m`2, I3 =

113m`2.

Quantita meccaniche

1. T =`2

2

(13M +

52m

)θ2, KO =

(13M +

52m

)`2θk.

2. I1 =1148mR2, I2 =

516mR2, I3 =

1316mR2, T =

12mR2

(3724− 1

3cos θ

)θ2

3. T =12ms2 +

23m`2θ2 −m`sθ cos θ, KO =

(43m`2θ +mσ cos θ +m`σθ sin θ

)k

4. T =56m`2θ2 +

12m`2θ2(9 sin2 θ + cos2 θ), KO = 4m`2θk.

Meccanica del corpo rigido

1. θ1 =π

2instabile, θ2 = −π

2stabile se α ≤ 1

4θ3,4 = − arcsin

14α,−π + arcsin

14α

con α ≥ 14

stabili.

2m`(

13

+ sin2 θ

)θ + 2m`θ2 sin θ cos θ −mg cos θ − 4k` sin θ cos θ = 0, E = cost.

2. α = −32

, instabile

3. k =5mg√

3R, φH =

13√

36

mgi, φ0 = −√

32mgi +

12mgj.

4. s = − αr

r + 1(stabile se α > −1), E =

54ms2 − 1

2(α+ 1)ks2 − αkrs

5. θ1 = 0, (stabile se 3g ≥ 2`ω2), θ2 = π (instabile), θ3,4 = ± arccos3g

2`ω2se 3g < 2`ω2 (stabili).

6. s2 +34ξ2 +

√2

2sξ − g

2Rξ2 +

√2

2gξ = cost., 4s+

√2ξ = cost.

7. ξ1 = 0, θ1 =π

2(instabile), ξ2 = 0, θ2 = −π

2(instabile), ξ3 = −

√3

2`, θ3 =

π

6(stabile),

ξ4 =√

32`, θ4 =

5π6

(stabile), aG(0) = −2gi +34gj.

8. s1 = 0, θ1 = 0 (instabile), s2 = 0, θ2 = π (instabile), s3 = `, θ3 = −π2

, s4 = −`, θ4 =π

2

9. L =12m(`θ cos θ + ξ)2 +

16m`2θ2 − 1

2kξ2 +

mg`

2cos θ +

12mω2(ξ2 + 2`ξ sin θ +

43`2 sin2 θ)

25

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10. mξ +m`θ sin θ +m`θ2 cos θ + kξ − 2k` cos θ = 0,43m`θ +mξ sin θ −mg cos θ + 2kξ sin θ = 0.

11. s cos θ+76`θ+ g sin θ+

k

m

(92` sin θ + 3s

)= 0, 5s+ `θ cos θ− `θ2 sin θ+km (3` sin θ + 2s)− 2gs = 0

12. m`(13

+32

cos2 θ)θ +14k` sin θ cos θ − mg

2sin θ − k` cos θ = 0

13. mξ + kξ − k` sin θ = 0,13m`θ −mg sin θ − kξ cos θ + 2F cos θ = 0

14. θ = θ0t+ θ0, ξ = (At+B)e−t√g/` +

`

2, con A = ξ0 +

√g

`

(ξ0 −

`

2

), B = ξ0 −

`

2, φG =

√3

2mg.

26