I BISNONNI - · Tests per la presenza di una radice uni-taria: 1-si stima il modello tre si...

I BISNONNI

Di seguito le componenti stocastiche e(t), t =1,2, ..., T sono v.c. di Gauss con Valore attesonullo e varianza σ2 e stocasticamente indipen-denti

MODELLO DI MISURA (LA BISNONNA) MA(0)

y(t) = c+ e(t)

MODELLO DI REGRESSIONE CLASSICO X(nb)(IL BISNONNO)

y(t) = c+ b0x(t) + e(t)

y(t) = c+nb∑i=0

bix(t− i) + e(t)

1

I NONNI

MODELLO MA(nc) (la nonna)

y(t) =

c+ e(t) + c1e(t− 1) + c2e(t− 2) + ...+ cnce(t− nc)

MODELLO AR(na) (il nonno)

y(t) =

c+ a1y(t− 1) + a2y(t− 2) + ..+ anay(t− na) + e(t)

2

I NIPOTI

MODELLO ARX(na, nb) (ARX sta per AR+X)

y(t) =

= c+ a1y(t− 1) + a2y(t− 2) + ......+ anay(t− na)+

+b0x(t) + b1x(t− 1) + ...+ bnbx(t− nb) + e(t)

MODELLO ARMA(na, nc) (ARMA )

y(t) =

= c+ a1y(t− 1) + a2y(t− 2) + ......+ anay(t− na)+

+e(t) + c1e(t− 1) + c2e(t− 2) + ...+ cnce(t− nc)

3

MODELLO ARMAX(na, nb, nc) (AR+MA+X)

y(t) =

c+ a1y(t− 1) + a2y(t− 2) + ......+ anay(t− na)+

+b0x(t) + b1x(t− 1) + ...+ bnbx(t− nb)+


I parametri del modello sono

c

ai, i = 1,2, ....., na

bi, i = 0,1,2, ....., nbci, i = 1,2, ....., nc

σ2 = E(e(t)2)

4

MODELLO ARARMAX(na, nb, nc, nd)

Modello autoregressivo con errori ARMA

y(t) =

= c+ a1y(t− 1) + a2y(t− 2) + ......+ anay(t− na)+

+b0x(t) + b1x(t− 1) + ...+ bnbx(t− nb) + z(t)

z(t) = d1z(t− 1) + d2z(t− 2) + ......+ dndz(t− nd)+


5

I parametri del modello sono

c

ai, i = 1,2, ....., na

bi, i = 0,1,2, ....., nbci, i = 1,2, ....., nc

di, i = 1,2, ....., ndσ2 = E(e(t)2)

6

NOTAZIONE OPERATORE DI Lag

L : x(t− 1) = Lx(t)

Lg : x(t− g) = Lgx(t)

OPERATORE INVERSO DI Lag

L−1 : x(t) = L−1x(t− 1)

IPOTESI DI STAZIONARIETA’ DEBOLE

valore atteso e varianza indipendenti da t ecovarianza dipendente solo dal lag

E(x(t)) = E(Lx(t))

var(x(t)) = var(Lx(t))

cov(x(t), Llx(t)) = γl

7

COEFFICENTE DI AUTOCORRELAZIONE

ρl =corr(x(t), Llx(t))

var(x(t))

stimatore

rl =

∑Tt=l(x(t)− x)(x(t− l)− x)∑T

t=1(x(t)− x)2

due strumenti importanti: Funzione di Au-

tocorrelazione empirica e Funzione di Autocor-

relazione teorica

tabella calcolo autocodevianze

lag 0 lag 1 .. lag lx(1) .. .. ..x(2) x(1) .. ..x(3) x(2) .. .... .. .. ..

x(t+l) x(t+l-1) .. x(t).. .. .. ..

x(T) x(T-1) .. x(T-l)

8

OPERATORE POLINOMIALE DI TRASFER-

IMENTO

G(L) = g0 + g1L+ ....+ gngLng

G(L)x(t) = g0x(t) + g1x(t− 1) + ...+ gngx(t− ng)

POLINOMIO ASSOCIATO a G(L)

g0z + g1z1 + ...+ gngz

ng

le radici devono essere esterne al cerchio uni-

tario (in modulo maggiori di uno)

9

esempio (AR(1)):

y(t) = aLy(t) + e(t)

(1 +n∑i=1

aiLi)y(t) = (1 +n∑i=1

aiLi)(aLy(t) + e(t))

y(t) = an+1Ln+1y(n) +n∑i=0

aiLie(t)

Se a < 1 e y(t) < k si ricava:

y(t) =∞∑i=0

aiLie(t) =∞∑i=0

aie(t−i) =1

(1− aL)e(t)

10

esempio (AR(1)): G(L) = 1− aL. Se a < 1 e

y(t) < k ∀t si ha

G−1(L) =1

(1− aL)=

∞∑i=0

aiLi

quindi da

G(L)y(t) = y(t)− ay(t− 1) = e(t)

segue

y(t) =∞∑i=0

aiLie(t) =∞∑i=0

aie(t− i)

Da cui si ricava E(y(t)) = 0, V ar(y(t)) =1

1−a2σ2, ρl = al.(STAZIONARIETA’)

11

Presenza di Trend :

Si consideri il modello di regressione con errori

arma

y(t) = k+ b∗ · t+ z(t)

z(t) = a1z(t− 1) + a2z(t− 2) + ......+ apz(t− p)+

+e(t) + c1e(t− 1) + c2e(t− 2) + ...+ cqe(t− q)

per p=1 e q= 0 si ha il caso semplice ma notev-

ole:

y(t) = k+ b∗ · t+ z(t)

z(t) = a · z(t− 1) + e(t)

che a seconda se |a| < 1 o |a| = 1 equivale ai

seguenti modelli:

12

Trend deterministico: Con |a| < 1 sia:

y(t)−k−b∗ · t = a(y(t−1)−k−b∗ ·(t−1))+e(t)

che ponendo c = (1− a)k+ ab∗, b = b∗(1− a),

puo essere riscritto:

y(t) = c+ b · t+ ay(t− 1) + e(t)

Il modello e chiamato anche AR(1) trend stazionario

Trend stocastico: per |a| = 1 il precedente

modello diviene

y(t) = b∗ + y(t− 1) + e(t)

detto anche random walk con drift Rispetto

a un modello con trend deterministico quello

con trend stocastico puo presentare deviazioni

marcate da un trend lineare per periodi molto

lunghi e comunque presenta andamenti pi ir-

regolari. Il problema della previsione di lungo

periodo in presenza di trend stocastico e piu

critico.

13

Modelli di riferimento per Tests per la pre-senza di una radice unitaria:

Random walk

y(t) = y(t− 1) + e(t)

ovvero

y(t) = y(0) +t−1∑i=0

e(t)

Random walk + drift

y(t) = b∗ + y(t− 1) + e(t)

ovvero

y(t) = y(0) + b∗t+t−1∑i=0

e(t)

random walk + drift+trend

y(t) = b∗ + β · t+ y(t− 1) + e(t)

ovvero

y(t) = y(0) + b∗t+ βt(t+ 1)

2+

t−1∑i=0

e(t)

14

Working models per Tests per la presenzadi una radice unitaria:

modello 3

y(t) = b∗ + β · t+ πy(t− 1) + e(t)

ovvero se τ = π − 1

y(t)− y(t− 1) = b∗ + β · t+ τy(t− 1) + e(t)

modello 2

y(t) = b∗ + πy(t− 1) + e(t)


y(t)− y(t− 1) = b∗ + τy(t− 1) + e(t)

modello 1

y(t) = πy(t− 1) + e(t)


y(t)− y(t− 1) = τy(t− 1) + e(t)

I test per una radice unitaria sono test inerentib∗, β, τ nei precedenti working models.

15

Tests per la presenza di una radice uni-

taria:

1-si stima il modello tre si verifica H30 : τ =

0 se rifiutata si conclude NON c’e radice

unitaria se accettata si mantiene ipotesi radice

unitaria (per ora) e si verifica H300 : τ = β = 0

se rifiutata si conclude SI c’e radice unitaria

altrimenti si passa a stadio successivo

2-si stima il modello due e si verifica H20 : τ =

0 se rifiutata si conclude NON c’e radice

unitaria se accettata si mantiene ipotesi radice

unitaria (per ora) e si verifica H200 : τ = b∗ = 0

se rifiutata si conclude SI c’e radice unitaria

altrimenti si passa a stadio successivo

3- si stima modello uno e si verifica H10 : τ = 0

se accettata c e radice unitaria altrimenti non

c’e radice unitaria.

16

ATTENZIONE 1 le statistiche test utilizzate

per verificare le ipotesi sui parametri τ, β, b∗

hanno la stessa espressione algebrica di quelle

usate nei problemi di verifica di ipotesi su parametri

di un modello di regressione ma la loro dis-

tribuzione NON E’ di tip T o F (vedi R-

package urca )

ATTENZIONE 2 prima di procedere control-

lare che i residui del modello3 stimato siano

”rumore bianco” altrimenti si aggiunga ai mod-

elli 1-3 una componente

p∑i=1

αi(y(t− i)− y(t− i− 1))

con p ≥ 1 sufficiente a sbiancare i residui del

modello tre stimato. Si applichi quindi la prece-

dente procedura ai modelli 1-3 cosı modificati

(ovviamente i parametri αi saranno stimati ma

non saranno oggetto di verifica di ipotesi. Si

veda il package urca).

17

esempio (AR(2)):

y(t) = a1y(t− 1) + a2y(t− 2) + e(t)

(1− a1L− a2L2)y(t) = e(t)

(1− (λ1 + λ2)L+ λ1λ2L2)y(t) = e(t)

essendo λ1 + λ2 = a1, λ1λ2 = −a2.

Quindi

(1− λ1L)(1− λ2L)y(t) = e(t)

e usando il risultato su modello AR(1) se λ1, λ2

sono in modulo minori di uno e y(t) < k:

y(t) =1

(1− λ1L)

1

(1− λ2L)e(t) =

= (∞∑i=0

λi1Li)(

∞∑i=0

λi2Li)e(t) =

=∞∑i=0

ψie(t− i)

18

RADICI z1, z2 POLINOMIO associato ad AR(2)

(1− a1z − a2z2) = (1− λ1z)(1− λ2z)

quindi

λ1 = z−12

λ2 = z−11

z1, z2 in modulo maggiori di uno

λ1, λ2 in modulo minori di uno

19

z1 =a1 +

√a21 + 4a2

−2a2

z2 =a1 −

√a21 + 4a2

−2a2

λ1 =a1 +

√a21 + 4a2

2

λ2 =a1 −

√a21 + 4a2

2

caso radici complesse

λ1 =a12

+i√−a21 − 4a2

2=a12

+ ib

λ1 =a12−i√−a21 − 4a2

2=a12− ib

20

se cos(θ) = a\√a2 + b2

λj1 =

√a2 + b2j(cos(θj) + i sin(θj))

λj1 =

√a2 + b2j(cos(θj)− i sin(θj))

21

esempio AR(na):

y(t) =

= a1y(t− 1) + a2y(t− 2) + ...+ anay(t− na) + e(t)

ovvero

(1− a1L− a2L2 − ...− anaL

na)y(t) = e(t)

[(1− λ1L)(1− λ2L)...(1− λnaL)]y(t) = e(t)

Ora se il polinomio

(1− a1z − a2z2 − ...− anaz

na)

ha radici esterne al cerchio unitario o equiva-

lentemente se

(1− λ1z)(1− λ2z)...(1− λnaz)

22

ha radici interne al cerchio unitario si ottiene:

y(t) =1

(1− λ1L)

1

(1− λ2L)...

1

(1− λnaL)e(t) =

=1

(1− a1L− a2L2 − .....− anaLna)

e(t)

= [(∞∑i=0

λi1Li)(

∞∑i=0

λi2Li)...]e(t) =

=∞∑i=0

ψie(t− i)

che garantisce la stazionarieta. Segue banal-

mente che E(y(t)) = 0. e che Y(t) e incorre-

lato con e(t+ k), k > 0

funzione di autocorrelazione

γj = E(y(t)y(t− j) =

= a1E(y(t− 1)y(t− j) + a2E(y(t− 2)y(t− j)+

+.....+ E(e(t)y(t− j)

quindi

γj = a1γj−1 + a2γj−2 + ...+ anaγj−na

V ar(y(t) = a1γ1 + a2γ2 + ...+ anaγna + σ2

e per le autocorrelazioni quindi si ha:

ρj = a1ρj−1 + a2ρj−2 + ...+ anaρj−na

23

calcolo delle prime na autocorrelazioni

y(1)y(0)y(−1)

y(−na + 2)

=

=

a1 a2 .. ana−1 ana1 0 .. 0 00 1 .. 0 0

0 0 .. 0 0

y(0)y(−1)y(−2)

y(−na + 1)

+

+

e(1)00

0

24

dalla precedente uguaglianza deriva

G = FGF ′ +

σ2 0 00 0 0

0 0 0

essendo

G =

γ0 γ1 γ2 .. γna−1γ1 γ0 γ1 .. γna−2γ2 γ1 γ0 .. γna−3

γna−1 γna−2 γna−3 .. γ0

25

PRESENZA DI UNA COSTANTE

Da

(1−na∑1

aiLi)y(t) = c+ e(t)

calcolando il valore atteso e sfruttando la pro-

prieta di stazionarieta si ha

(1−na∑1

aiLi)µ = c

ovvero

(1−na∑1

ai)µ = c

e quindi

(1−na∑1

aiLi)(y(t)− µ) = e(t)

Quanto ottenuto sulla ACF continua a valere.

26

esempio (AM(1)): G(L) = 1 + cL. Se c < 1

e e(t) < k ∀t si ha

G−1(L) =∞∑i=0

(−1)iciLi

per cui se

y(t) = G(L)e(t) = e(t) + ce(t− 1)

allora

e(t) =∞∑i=0

(−1)iciLiy(t).

che comporta la INVERTIBILITA’

27

funzione di autocorrelazione per (AM(nc))

Da

y(t) = c+ e(t) +nc∑i=1

ciLie(t)

si ottiene E(Y (t) = c e senza perdita di gener-

alita supponiamo c = 0.

E’ immediato verificare che:

V ar(y(t)) = σ2(1 +nc∑i=1

c2i )

Inoltre se j ≤ nc

γj = cj + cj+1c1 + cj+2c2 + .....cnccnc−j

mentre se j > nc si ha γj = 0

28

Matrice varianze covarianze di un MA(2)

γ0 γ1 γ2 0 0 0γ1 γ0 γ1 γ2 0 0γ2 γ1 γ0 γ1 γ2 00 γ2 γ1 γ0 γ1 γ20 0 γ2 γ1 γ0 γ10 0 0 γ2 γ1 γ0

29

MODELLI CON STAGIONALITA’

s= lag stagionale,

es s=4( dati trimestrali) ,s=6 (dati

bimestrali),s=12 (dati mensili), s=24

(dati orari)

operatore diff stagionale

I − Ls = (I + L+ L2 + .....+ Ls−1)(I − L)

(I − Ls)y(t) =s−1∑i=0

y(t− i)−s−1∑i=0

y(t− 1− i)

random walk stagionale

(I − Ls)y(t) = e(t)

ARMA(1,1) stagionale

(I − αLs)y(t) = (I + γLs)e(t)

30

ARMA(p,q)x(1,1) moltiplicativo stagionale

(I − αLs)y(t) = (I + γLs)z(t)

z(t) = a1z(t− 1) + a2z(t− 2) + ......+ apz(t− p)+

+e(t) + c1e(t− 1) + c2e(t− 2) + ...+ cqe(t− q)

che equivale a

(I − a1L− a2L2 − ...− apL

p)(I − αLs)y(t) =

(I − c1L− c2L2 − ...− cqL

q)(I + γLs)e(t)

casi particolari importanti

α = 1

γ = 0

31

RAPPRESENRTAZIONI COMPATTE

per semplicita assumiamo µ = 0

il modello ARMA si scrive in forma compatta:

A(L)y(t) = C(L)e(t)

a0 = 1, c0 = 1

sotto opportune condizioni l’operatore A(L) ha

l’operatore inverso A−1(L) (A(L)A−1(L) = 1)

per cui si ha anche che:

y(t) = A−1(L)C(L)e(t)

se A(L) = 1 si ha il modello MA se C(L) = 1

si ha il modello AR

32

il modello ARMAX si scrive in forma compatta:

A(L)y(t) = B(L)x(t) + C(L)e(t)

a0 = 1, b0 = 0, c0 = 1

sotto opportune condizioni l’operatore A(L) ha

l’operatore inverso A−1(L) per cui si ha anche

che:

y(t) = A−1(L)B(L)x(t) +A−1(L)C(L)e(t)

se A(L) = 1 si ha il modello MAX se C(L) = 1

si ha il modello ARX

33

MODELLO ARARMAX

considerando che

D(L)z(t) = C(L)e(t) =⇒ z(t) = D−1(L)C(L)e(t)

si ha

A(L)y(t) = B(L)x(t) +D−1(L)C(L)e(t)

che se esiste anche A−1(L) diviene

y(t) = A−1(L)B(L)x(t)+A−1(L)D−1(L)C(L)e(t)

Tutti i modelli precedenti sono casi particolari

del

34

MODELLO SCATOLA NERA

A(L)y(t) = F−1(L)B(L)x(t)+D−1(L)C(L)z(t)

che se esiste A−1(L) diviene

y(t) = A−1(L)F−1(L)B(L)x(t)+

+A−1(L)D−1(L)C(L)z(t)

ancora piu in generale si puo avere:

y(t) = G(L)x(t) +H(L)z(t)

35

PROBLEMI

• identificazione dell’ordine del modello

(na, nb, nc, nd, nf);

• stima dei parametri ai, bi, ci, di, fi

• adattamento ai dati usati per stimare i parametri

• uso modello a fini previsivi e valutazione

della sua capacita previsiva

• confronto fra modelli alternativi

• simulazione

36

STIMA MV per modello AR(1)

y(t) = ay(t− 1) + e(t)

dove le e(t) sono normali indipendenti di valore

atteso nullo e varianza σ2.

Gli stimatori di massima verosimiglianza di a, σ2

sono ottenuti massimizzando la log verosimiglianza:

logL(a, σ2) = log f(y(1))+

+ log f(y(2)|y(1)) + log f(y(3)|y(2))+

+ log f(y(4)|y(3)) + ...

Calcolo di f(y(1)): normale di valore atteso

nullo e varianza σ2

1−a2 si ha :

f(y(1)) =1√

2π σ2

1−a2

exp

−y(1)2

2 σ2

1−a2

37

Calcolo di f(y(t)|y(t− 1))

y(t)−E(y(t)|y(t− 1)) = y(t)− ay(t− 1) = e(t)

Si ricordi che e(t) e normale con valore atteso

nullo e varianza σ2.

Quindi (!!!!!!):

f(y(t)|y(t− 1)) =

=1√

2πσ2exp

−(y(t)− ay(t− 1))2

2σ2

38

Quindi a meno di costanti:

logL1 = −T

2lnσ2 +

1

2ln(1− a2)+

−1

2σ2

(√1− a2y(1)

)2+

−1

2σ2

T∑t=2

(y(t)− a · y(t− 1))2 .

39

TEST RAPPORTO VEROSIMIGLIANZE

modello completo:

θ =(θ′1, θ

′2

)′

modello ridotto ottenuto ponendo θ2 = 0

statistica test rapporto verosimiglianze (chi

quadro con gradi di liberta pari al numero di

vincoli):

G = 2 ·(L(b1,b2)− L(b∗1)

)

40

identificazione ordine del modello

Sia k il numero di parametri stimato. Si sceglie

il modello che minimizza

AIC(k): −2lnL+ 2k

41

Previsori Lineari ottimali

yt|t−1 = α0 +T∑i=1

αiy(t− i)

criterio dei minimi quadrati

minα0,α1,...,αn

E((y(t)− yt|t−1))2

43

equazioni di previsione

E[(y(t)− α0 −T∑i=1

αiy(t− i))] = 0

E[(y(t)− α0 −T∑i=1

αiy(t− i))y(t− k)] = 0,

k = 1,2, ...., T

dalla prima si ottiene

α0 = µ(1−T∑i=1

αi)

la seconda in forma matriciale e:

ΓTα = γT

44

varianza dell’errore di previsione

E(y(t)− yt|t−1)2 =

= var(y(t))− γ′TΓ−1T γT

45

previsori troncati

Un modello ARMA(p,q) pu essere scritto come

AR(∞) o MA(∞) se il polinomio della compo-

nente autoregressiva e il polinomio della com-

ponente a media mobile hanno radici esterne

al cerchio unitario.

y(t) =∞∑0

ψie(t− i)

y(t) =∞∑1

ϕiy(t− i) + e(t)

dalla rappresentazione AR(∞) si ottiene la espres-

sione del predittore lineare troncato a n osser-

vazioni:

yt|t−1 =n∑1

ϕiy(t− i)

46

selezione basata su capacita previsiva dei

modelli

Indice MSPE

1

T ′

T ′∑j=1

(yj|j−1 − y(j))2

Indice MAPE

1

T ′

T ′∑j=1

|yj|j−1 − y(j)|

48

confronto capacita previsiva di due modelli

errori previsione modello A e modello B

ej|j−1;A = yj|j−1;A − y(j)

ej|j−1;B = yj|j−1;B − y(j)

differenziale diprevisivone

dj = ej|j−1;A − ej|j−1;B

Test dei segni

S =T ′∑j=1

Idj>0

sotto l’ipotesi che i due modelli abbiano la

stessa capacita previsiva e una binomiale di

parametri T ′ e π = 0.5 Segue tecnica standard

per testare H0 : π = 0.5

49

MODELLI STATE SPACE NORMALI

LINEARI

y(t) = h′b(t) + x(t)

′β + e(t)

b(t) = c + Fb(t− 1) + Hv(t)

e(t) normale con valore atteso nullo e varianza

σ2

v(t) valore atteso nullo e E(v(t)v(t)′) = Q

50

Un esempio importante :livello stocastico

y(t) = µ(t) + e(t)

µ(t) = µ(t− 1) + v1(t)

51

Un esempio importante :livello stocastico

trend stocastico

y(t) = µ(t) + e(t)

µ(t) = µ(t− 1) + β(t− 1) + v1(t)

β(t) = β(t− 1) + v2(t)

Se var(v2(t)) e nulla si ha trend deterministico

e livello stocastico. Se var(v1(t)) e nulla si ha

trend stocastico.

52

(µ(t)β(t)

)=

(1 10 1

)(µ(t− 1)β(t− 1)

)+

(v1(t)v2(t)

)

y(t) =(

1 0)( µ(t)

β(t)

)+ e(t)

53

random walk di ordine k

b(t) = Fb(t− 1) + Hv(t)

y(t) = [ 1 0 .. .. 0 ]b(t) + e(t)

= b(1, t) + e(t)

dove F e una k ·k matrice identita con la prima

riga sostituita dal vettore riga c, il cui iesimo

elemento e ci = (−1)i−1

(ki

).

esempio k = 2:

F =

[2 −11 0

]

54

modello ARMA in forma spazio degli

stati-prima forma

y(t) =

c+ a1y(t− 1) + a2y(t− 2) + a3y(t− 3)+

+e(t) + c1e(t− 1) + c2e(t− 2) + c3e(t− 3)

x(1, t)x(2, t)x(3, t)

=

a1 1 0a2 0 1a3 0 0

x(1, t− 1)x(2, t− 1)x(3, t− 1)

+

+

a1 + c1a2 + c2a3 + c3

e(t− 1)

y(t) = c+(

1 0 0) x(1, t)

x(2, t)x(3, t)

+ e(t)

55

modello ARMA in forma spazio degli

stati-seconda forma

y(t) =

c+ a1y(t− 1) + a2y(t− 2) + a3y(t− 3)+

+e(t) + c1e(t− 1) + c2e(t− 2)

x(1, t)x(2, t)x(3, t)

=

a1 1 0a2 0 1a3 0 0

x(1, t− 1)x(2, t− 1)x(3, t− 1)

+

+

1c1c2

e(t)

y(t) = c+(

1 0 0) x(1, t)

x(2, t)x(3, t)

+ e(t)

56

modello ARMA in forma spazio degli stati-

terza forma

y(t) =

c+ a1y(t− 1) + a2y(t− 2) + a3y(t− 3)+

+e(t) + c1e(t− 1) + c2e(t− 2)

x(1, t)x(2, t)x(3, t)

=

a1 a2 a31 0 00 1 0

x(1, t− 1)x(2, t− 1)x(3, t− 1)

+

+

100

e(t)

y(t) = c+(

1 c1 c2) x(1, t)

x(2, t)x(3, t)

57

dimostrazione equivalenza per la terza forma

Si assume c=0 per semplicita. Le equazioni delle osser-vazioni e degli stati in forma non matriciale sono

y(t) = x(1, t) + c1x(2, t) + c2x(3, t) (1)

x(1, t) = a1x(1, t− 1) + a2x(2, t− 1) + a3x(3, t− 1) + e(t)(2)

x(2, t) = x(1, t− 1) (3)

x(3, t) = x(2, t− 1) (4)

La 3 valutata in t-1 diviene

x(2, t− 1) = x(1, t− 2) (5)

che sostituita nella 4 da

x(3, t) = x(1, t− 2) (6)

che per il tempo t-1 diviene

x(3, t− 1) = x(1, t− 3) (7)

58

La 5 e la 7 sostituite nella 2 danno

x(1, t) = a1x(1, t− 1) + a2x(1, t− 2) + a3x(1, t− 3) + e(t)(8)

ovvero

(1− a1L− a2L2 − a3L

3)x(1, t) = e(t) (9)

Sostituendo nella 1 le 3 e 6 si ottiene

y(t) = (1 + c1L+ c2L2)x(1, t) (10)

moltiplicando entrambi i termini della 10 per (1− a1L−a2L2 − a3L3) e usando la 9 si ottiene

(1− a1L− a2L2 − a3L

3)y(t) = (1 + c1L+ c2L2)e(t)

(11)

C.V.D.

59

modello local level local trend+AR(2)+stag:

EQUAZIONE DEGLI STATI COMPONENTE

LOCAL LEVEL LOCAL TREND(x(1, t)x(2, t)

)=

=

(1 10 1

)(x(1, t− 1)x(2, t− 1)

)+

+

(1 00 1

)(e(1, t)e(2, t)

)

60


EQUAZIONE DEGLI STATI COMPONENTE

ar(2) (x(3, t)x(4, t)

)=

=

(a1 a21 0

)(x(3, t− 1)x(4, t− 1)

)+

+

(10

)(e(3, t)

)

61

modello local level local trend+AR(2)+stag-

: EQUAZIONE DEGLI STATI COMPONENTE

STAGIONALITA’ x(5, t)x(6, t)x(7, t)

=

=

−1 −1 −11 0 00 1 0

x(5, t− 1)x(6, t− 1)x(7, t− 1)

+

+

100

( e(4, t) )

62


EQUAZIONE DEGLI STATI

x(1, t)x(2, t)x(3, t)x(4, t)x(5, t)x(6, t)x(7, t)

=

=

1 1 0 0 0 0 00 1 0 0 0 0 00 0 a1 a2 0 0 00 0 1 0 0 0 00 0 0 0 −1 −1 −10 0 0 0 1 0 00 0 0 0 0 1 0

x(1, t− 1)x(2, t− 1)x(3, t− 1)x(4, t− 1)x(5, t− 1)x(6, t− 1)x(7, t− 1)

+

+

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 10 0 0 00 0 0 0

e(1, t)e(2, t)e(3, t)e(4, t)

63

EQUAZIONE DELLE OSSERVAZIONI

y(t) = c+(

1 0 1 0 1 0 0)

x(1, t)x(2, t)x(3, t)x(4, t)x(5, t)x(6, t)x(7, t)

+e(t)

64

questo mostra che sufficente trattare prob-

lema stima e previsione per i modelli spazio

degli stati. E4 ad esempio traspone tutti i

modelli nella forma spazio degli stati per sti-

mare e prevedere e restituisce i risultati nella

formulazione usuale del modello.

65

DEFINIZIONE DI Variabile Casuale Multi-

normale

Sia z = (z1, z2, ...., zT )′ un vettore di T normali

standardizzate indipendenti. La variabile ca-

suale vettoriale:

w = µ+ L′z

e una variabile casuale multinormale di dimen-

sione T con valore atteso µ e matrice varianze

covarianze Ω = L′L.

Se Ω e diagonale le componenti di w sono

stocasticamente indipendenti.

Conseguenza:Cw = Cµ+ CL′z e una variabile

casuale multinormale con valore atteso Mµ e

matrice varianze covarianze Ω = C(L′L

)C′.

67

fatto importante: la densita congiunta di

una variabile casuale multinormale con valore

atteso µ e matrice varianze covarianze Ω e:

f(w;µ,Ω)=

=1

(2π det(Ω))T/2exp

−

1

2(w − µ)′Ω−1 (w − µ)

68

risultato fondamentale:

w =

(w1w2

)

E(w) =

(µ1µ2

)

V ar(w) =

(Σ11 Σ12Σ21 Σ22

)

E(w2|w1) = µ2 + Σ21Σ−111 (w1 − µ1)

V ar(w2|w1) = Σ22 −Σ21Σ−111 Σ12

69

le precedenti quantita permettono di calcolare

il logaritmo della densita di y(t) condizionata

da I(t−1) cioe il t-esimo addendo log verosimiglianza

Lt =1

2ln(2πft|t−1)−

1

2ft|t−1(y(t)− yt|t−1)

2

72

AGGIORNAMENTO al tempo t

bt|t = bt|t−1 + Pt|t−1h1

ft|t−1(y(t)− yt|t−1) =

= bt|t−1 + Kt(y(t)− yt|t−1)

Pt|t = Pt|t−1 −Pt|t−1h1

ft|t−1h′Pt|t−1 =

= Pt|t−1 −Ktx(t)′Pt|t−1

Calcolo log verosimiglianza

L =T

2ln(2πft|t−1)−

T∑t=1

1

2ft|t−1(y(t)− yt|t−1)

2

74

identificazione ordine del modello

Sia k il numero di parametri stimato. Si sceglie

il modello che minimizza

AIC(k): −2lnL+ 2k

75

selezione basata su capacita previsiva dei

modelli

Indice MSPE

1

T ′

T ′∑j=1

(yj|j−1 − y(j))2

Indice MAPE

1

T ′

T ′∑j=1

|yj|j−1 − y(j)|

76

confronto capacita previsiva di due modelli

errori previsione modello A e modello B

ej|j−1;A = yj|j−1;A − y(j)

ej|j−1;B = yj|j−1;B − y(j)

differenziale diprevisivone

dj = ej|j−1;A − ej|j−1;B

Test dei segni

S =T ′∑j=1

Idj>0

sotto l’ipotesi che i due modelli abbiano la

stessa capacita previsiva e una binomiale di

parametri T ′ e π = 0.5 Segue tecnica standard

per testare H0 : π = 0.5

77

I BISNONNI - · Tests per la presenza di una radice uni-taria: 1-si stima il modello tre si...

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