ESERCIZI SUGLI INSIEMI NUMERICI

1) Mettere in ordine crescente i seguenti numeri reali:

3, 14; −12/7; 5/8; 0, 13; −5/8; π; 12/7; 0, 13; 10−1; 0, 0031 · 103.

Inserire poi nel precedente ordinamento i seguenti numeri reali:

2/15; 157/50; 10/16.

2) Mettere in ordine crescente i seguenti numeri reali:

√2; 20/9; 16/17; 1, 4; −20/9; 1, 414; −16/17; 0, 014 · 102 .

Inserire poi nel precedente ordinamento i seguenti numeri reali:

−32/34; 13/9; 707/500; 1−√

2.

3) Dato un asse orientato e un’unita di misura, dire qual e il numero realec corrispondente al punto medio tra i punti di coordinate a = 3 e b = 8 (epoi: a = −2 e b = 11; a = −4 e b = −1; a = π e b = 8. In formula c = . . .?).

4) Completare le seguenti uguaglianze:

2(32) = 2α ⇒ α = . . . ,

(23)2 = 2β ⇒ β = . . . ,

e quindi a 6= β o a = β? . . . .

5) Scrivere in forma diversa i seguenti numeri reali (a, b, c ∈ IR e a, b, c > 0):

√72,

3√

72,√

80,3√

80,√

a5b7c6,3√

a5b7c6,4√

a7b15c22.

[Esempio:√

24 = 2√

6] Come cambierebbero le espressioni precedenti se cfosse negativo ?

6) Scrivere in forma diversa i seguenti numeri reali (a, b, c ∈ IR e a, b, c > 0):

722

3 , 723

2 , 1443

4 , 1444

3 , (a5b7c6)3

4 , (a5b7c6)4

3 , (a7b15c22)2

5 .

(a−3b4

c2

)

−2,

( a5

3

b−3

4 c2

)

−

2

3 .

1

[Esempio: 183

2 = 23

2 (32)3

2 = 2 · 33 ·√

2] Si osservi inoltre che c2

3 = (c2)1

3 =

(c1

3 )2 = c4

6 = (c1

6 )4 ma quest’ultima uguaglianza perderebbe di significatose si prendesse c < 0. Per evitare confusioni useremo un esponente razionalesolo se la base e positiva (infatti se c > 0, quindi c 6= 0, potremo considerarecome esponenti anche razionali negativi poiche si definisce c−1 = 1/c cioe

come l’elemento inverso, e piu in generale ad esempio c−2

3 = (c2

3 )−1).

7) Visualizzare sull’asse reale i seguenti insiemi e, se possibile, scriverli informa piu semplice (esempio: [1, 5]∪]3, 8[= [1, 8[):

]2, π] ∩ [√

2, 3[ ; [√

3,+∞[∩IZ ; ]− 5,√

5]∪]3,+∞[ ; ]− 5,√

5]∩]3,+∞[ ;

[−8, 8] \ [−√

2, π]

8) Dalle proprieta dei reali deriva la seguente proprieta (che indica come sicomporta la relazione d’ordine rispetto al prodotto):

∀a, b, c ∈ IR, se a ≤ b e c ≥ 0 ⇒ a · c ≤ b · c .

Osserviamo inoltre che 2 < 22 = 4, 3 > 32 = 9 e invece 12 > (1

2 )2 = 14 ,

13 > (1

3)2 = 19 , ecc..

Con l’aiuto delle precedenti osservazioni, dopo averne completato l’enunciato,dimostrare implicazioni della forma:(i) Se . . . a . . . ⇒ a ≤ a2;(ii) Se . . . a . . . ⇒ a ≥ a2.

9) Per ognuna delle seguenti implicazioni dire se e vera o falsa (giustifi-care la risposta utilizzando eventualmente la proprieta dei reali enunciatanell’esercizio precedente):

a < b ⇒ a2 < b2, ∀a, b ∈ IR,

a < b ⇒ a2 < b2, ∀a, b ≤ 0,

a < b ⇒ a2 < b2, ∀a, b ≥ 0 .

10) (i) Scrivere un’equazione di primo grado ax + b = 0 che abbia comeradice un numero x naturale;(ii) Scrivere un’equazione di primo grado ax + b = 0 che abbia come radiceun numero x intero ma non naturale;

2

(iii) Scrivere un’equazione di primo grado ax+ b = 0 che abbia come radiceun numero x razionale ma non intero;(iv) Scrivere un’equazione di primo grado ax + b = 0 che abbia come radiceun numero x irrazionale;

11) Scrivere un’equazione di secondo grado ax2 + bx + c = 0 che abbiaalmeno una radice x del tipo richiesto in ciascuno dei punti dell’esercizioprecedente e esaminare a quale insieme numerico appartenga l’altra radice.

12) Verificare che x = −1 e soluzione dell’equazione x2 + 2x = x. Alloraquale dei seguenti passaggi e scorretto e perche?

x2 + 2x = xa)

=⇒ x2 + 2x + 1 = x + 1b)⇐⇒ (x + 1)2 = x + 1

c)=⇒ x + 1 = 1

d)=⇒ x = 0

13) Scrivere in rappresentazione decimale la seguente uguaglianza

1

3+

2

3= 1 .

Cosa se ne deduce?

14) Ricordando che nei reali valgono in particolare le seguenti proprieta:(i) Esiste l’elemento neutro rispetto alla somma ”0” (cioe ∀a ∈ IR ⇒

a + 0 = a),(ii) Proprieta distributiva del prodotto rispetto alla somma (cioe

∀a, b, c ∈ IR ⇒ (a + b) · c = a · c + b · c),dimostrare che (i) e (ii) implicano la seguente proprieta:

∀a ∈ IR ⇒ a · 0 = 0

3

ESERCIZI su PRODOTTI NOTEVOLI e POLINOMI

1) Scrivere un polinomio che abbia tutte e sole le seguenti radici semplici:±1/2, ±2. Ce ne sono altri? Scriverne uno che, oltre alle precedenti radiciabbia anche la radice semplice 0. Scriverne uno che abbia una radice sem-plice, una con molteplicita 2 e una con molteplicita 3.

2) Dato il polinomio di 2o grado p(x) := 2− x− x2, determinare il vertice el’asse di simmetria della parabola che ne e il grafico, le sue radici (se esistononei reali) e dire se nell’insieme {y = p(x) : x ∈ IR} esista un minimo o unmassimo. Ripetere l’esercizio per i seguenti polinomi: 5x2 − 2x + 1; 3x2 +2x− 1; 3x− 4− x2.

3) Esistono infiniti polinomi di 2o grado aventi come radici x = 2 e x = 15 .

Scrivere tali polinomi (in dipendenza da un parametro) e ripetere l’analisieffettuata nell’esercizio precedente, discutendo quali elementi dipendano dalvalore del parametro e quali no.

4) Determinare il polinomio di 2o grado il cui grafico passi per i punti (1, 3)e (2, 8) ed abbia come asse di simmetria l’asse x = 4.

5) Sia A il punto di incontro tra la retta y = 2x− 4 e la bisettrice del primoe terzo quadrante (retta y = x). Determinare la retta passante per A e peril vertice della parabola passante per A, per B = (−2, 10) e per l’origine.

6) Utilizzare i prodotti notevoli per scrivere diversamente le seguenti espres-sioni:

x4 − 1, x4 − 4, x3 − 5, 2x5 + 3.

7)Calcolare 993 trasformandolo in una semplice somma algebrica con laformula del cubo, essendo 993 = (100 − 1)3.

8) Scomporre i seguenti polinomi nel prodotto di polinomi di primo o, senecessario, di secondo grado (a coefficienti reali):

2x3 − x2 − 7x + 6 , x3 + x + 2 , 2x3 + 3x2 − 11x − 6 ,

12x3 + 4x2 − 3x− 1 , 2x3 − 2x2 + x , 2x4 − 3x2 − 2 , 2x6 − 15x3 − 8 .

9) Dopo aver effettuato una divisione tra polinomi, scrivere diversamente ilseguente rapporto:

2x3 + x2 − 3x + 1

x− 2, (x 6= 2) .

4

Ripetere l’esercizio per i rapporti che seguono (per x 6= . . .):

x4 − 3x3 − x2 + x− 1

2x2 + x− 1,

5x3 − 3x− 12

x2 − 2x− 2,

x4 + 1

x2 −√

2x + 1,

x3 − 1

3x2 + x.

10) Dire se il polinomio 2x3+3x2−3x−2 e divisibile per il polinomio x2+x−2(quindi se la divisione ha resto nullo), senza effettuare la divisione stessa.Ripetere l’esercizio considerando come primo polinomio x3 − 3x2 − x + 3 epoi le coppie: x3 − x2 − x− 2 e x2 − 4; x3 + 3x2 − 4x− 12 e x2 + x− 6.

11) Fattorizzare i seguenti polinomi: x3 +2x2 +2x+1 ; 2x4− 5x3 +5x− 2;x3 − 2x2 + 2x− 1 ; 12x5 − 13x4 − 25x3 + 25x2 + 13x− 12.

Si osservi che polinomi del tipo ax3 + bx2 + bx + a hanno sempre la radicex = −1, e polinomi del tipo ax3+bx2−bx−a hanno sempre la radice x = +1.Inoltre si osservi che se x e una radice, anche 1/x lo e (qui supponiamo a 6= 0,quindi anche le radici sono non nulle). Analogo discorso vale per polinomidi grado maggiore dispari.

12) Fattorizzare i seguenti polinomi: 6x4 − 13x3 + 13x − 6 , 4x4 + 17x3 −17x− 4.Si osservi che polinomi del tipo ax4 + bx3− bx−a (con coefficiente nullo peril coefficiente del termine di grado 2) hanno sempre le radici x = ±1. Inoltresi osservi che se x e una radice, anche 1/x lo e (qui supponiamo a 6= 0,quindi anche le radici sono non nulle). Analogo discorso vale per polinomidi grado maggiore pari.

5

Funzioni

1) Data la funzione f(x) =√x+ 1, determinarne l’insieme di

definizione. Calcolare successivamente l’immagine dell’insieme [2, 3]tramite f .

2) Data la funzione f(x) = (x + 1)2, determinarne l’insieme didefinizione. Calcolare successivamente l’immagine dell’insieme [−2, 1]tramite f .

3) Determinare insieme di definizione ed immagine della funzione il cuigrafico e il seguente:

4) Determinare insieme di definizione ed immagine della funzione il cuigrafico e il seguente:

1

2

5) Data la funzione f(x) = 2x + 3, verificare che e iniettiva su [0, 1],calcolare l’immagine di [0, 1] tramite f e scrivere l’inversa di f .

6) Data la funzione f(x) = (x − 1)2, verificare che non e iniettiva su[0, 2], determinare un intervallo contenuto in [0, 2] su cui f e iniettiva,calcolare l’immagine di tale intervallo tramite f e scrivere l’inversa dif .

7) Data la funzione f(x) = x+1x−1

, verificare che e iniettiva su [2, 4],calcolare l’immagine di [2, 4] tramite f e scrivere l’inversa di f .

8) Disegnare il grafico dell’inversa della funzione il cui grafico e ilseguente:

9) Dopo aver verificato che non e invertibile la funzione il cui grafico eil seguente:

3

verificare che la funzione e invertibile sia per x positivo che per xnegativo, e disegnare i grafici delle due funzioni inverse.

10) Disegnare i grafici della somma, della differenza e del prodottodelle due funzioni il cui grafico e il seguente:

11) Date f(x) = 2x+ 1 e g(x) = (x− 1)2 dire quale dei due grafici cheseguono e quello di f(g(x)), e quale quello di g(f(x)):

12) Verificare che f(x) = (x − 1)3 e monotona su tutto l’insieme didefinizione.

4

13) Verificare che f(x) = (x − 1)2 non e monotona su tutto l’insiemedi definizione, e determinare un intervallo di monotonia.

14) Verificare che f(x) = x + 1x

e monotona sull’insieme x > 1. Lo ein (−1, 1)?

15) Verificare che f(x) = x2 − 3x4 e una funzione pari, e che f(x) =x+ x3 − 6x19 e una funzione dispari.

16) Verificare che f(x) = x+ 1x

e dispari.

17) Data la funzione il cui grafico e il seguente:

dopo aver verificato che non e ne pari, ne dispari, determinare α e βtali che f(x+ α) + β sia dispari.

18) Verificare che la funzione f(x) = x − [x] e periodica di periodo 1([x] e la “parte intera” di x, il piu grande numero intero minore di x:[2.3] = 2, [π] = 3, [−1.2] = −2).

19) Risolvere l’equazione |x− 1| = |x− 2|.20) Risolvere l’equazione |x− 1|+ |x− 2| = |x− 3|.21) Risolvere l’equazione |x− 1|+ |x− 2| = |x− 3|+ |x− 4|.22) Semplificare il piu possibile le seguenti espressioni:

log2(4x) log3(6

x) log9(3x).

23) Semplificare il piu possibile le seguenti espressioni:

4log2(x) 12log3(x) 2log4(x).

Precorsi di MatematicaA.A. 2008–09

Esercizi di trigonometria

N.B. I seguenti esercizi devono essere svolti senza utilizzare la calcolatrice.Gli angoli sono misurati in radianti.

Esercizio 1. Cos’e un radiante? Perche si dice che la misura di un angolo eun numero puro?

Esercizio 2. Disegnare un angolo di (circa) un radiante e dire se il suo senoe positivo o negativo.

Esercizio 3. Disegnare un angolo di (circa) 7 radianti e dire se il suo cosenoe positivo o negativo.

Esercizio 4. Si consideri una circonferenza di raggio pari a 3.6 metri. De-terminare la lunghezza dell’arco di tale circorferenza che insiste su un’angolodi 1/2 radiante.

Esercizio 5. Si consideri una circonferenza di raggio pari a 3.6 metri. Calco-lare l’area del settore circolare corrispondente ad un’angolo di 1/2 radiante.

Esercizio 6. Disegnare l’angolo (gli angoli) il cui coseno vale −1/4. Quantovale il seno?

Esercizio 7. Disegnare l’angolo (gli angoli) il cui seno vale 1/4. Quanto valeil coseno?

Esercizio 8. In un triangolo rettangolo un cateto e lungo 4 metri e formacon l’ipotenusa un angolo di π/6. Determinare la lunghezza dell’altro cateto.

Esercizio 9. Si vuole determinare l’altezza di una torre. A questo scopo cisi pone a distanza di 30 metri dalla base e si osserva che la torre (dalla basealla cima) copre un angolo di π/3 della visuale. Quanto e alta la torre?

Esercizio 10. In un triangolo rettangolo un cateto e lungo 6 metri e formacon l’ipotenusa un angolo di π/5. Determinare la lunghezza dell’ipotenusa.

Esercizio 11. Si vuole determinare la pendenza di un piano inclinato in unghiacciaio. A questo scopo se ne misura prima la lunghezza che risulta esseredi 300 metri. Successivamente si lascia cadere un disco d’acciaio (di massapari ad un chilo) dalla cima che raggiunge il fondo dopo 20 secondi. Qual’ela pendenza? Quale sarebbe stata la pendenza se la massa del disco fossestata di 2 chili?Nel risolvere l’esercizio si trascuri l’attrito del disco con il ghiaccio e si assumache l’accelerazione di gravita valga 10 metri/(secondi)2.

Esercizio 12. Si consideri un triangolo in cui due lati sono rispettivamentilunghi 6 e 8 metri e formano tra loro un angolo di 2π/5. Determinare lalunghezza del terzo lato.

Esercizio 13. Si consideri una baia nelle cui punte sono posti due fari. Sivuole determinare la distanza tra i due fari. A questo scopo ci si pone inun punto in mezzo alla baia e si osservano i due fari rispettivamente alladistanza di 1 e 1.5 chilometri. Si osserva inoltre che i due fari coprono unangolo pari a 3π/4 della visuale. Qual’e la distanza tra i due fari?

Esercizio 14. Disegnare l’angolo (gli angoli) la cui tangente vale 2. Quantovale il seno?

Esercizio 15. Disegnare l’angolo (gli angoli) la cui tangente vale−2. Quantovale il coseno?

Esercizio 16. Calcolare

sin α cos(π

2− α

)+ cos α sin

(π

2− α

)Esercizio 17. Risolvere l’equazione

sin x =1

2

Esercizio 18. Risolvere l’equazione

cos x = −1

Esercizio 19. Risolvere l’equazione

sin x = −4

3

Esercizio 20. Risolvere l’equazione

tan2 x− tan x = 0

Esercizio 21. Risolvere l’equazione

sin x + cos x = 0

Esercizio 22. Risolvere l’equazione

sin x cos x− cos x = 0

Esercizio 23. Verificare l’identita

sin(α + β) sin(α− β) = sin2 α− sin2 β

Esercizio 24. Calcolare l’area di un triangolo avente due lati che formanotra loro un angolo di π/6 ed aventi lunghezza rispettivamente pari a 4 cm. e7 cm.

Esercizi sulle disequazioni

1. Per quali valori di λ ∈ R la radice x dell’ equazione

2x + 1 = 3λ

e tale che −1 ≤ x ≤ 3?

2. Studio della funzione y = f(x) ≡ ax2 + bx+ c. Relazioni fra coefficientie radici.

3. x3 − 2x2 − x + 2 > 0.

4. 13x3 + x2 − 41x + 27 < 0.

5. x3 + x− 30 > 0.

6.2x + 1

x− 2≤ 3

7.x− 1

x2 + x> 0.

8.x2 + 4x− 5

x2 − x− 6≥ 0

1

9.x3 − 3x2 + 2x

x2 − 3x− 10≤ 0.

10.2(x + 1)

x2 − 8x + 15− x + 5

x2 − 6x + 5≥ 3(x + 1)

x2 − 4x + 3.

11. 1 +8

x− 1− 1

x + 2≥ 0.

12.1

x + 1+

1

x− 2≥ 1

x− 3.

13.2x + 8

x + 1− x + 7

x− 1>

x + 4

x2 − 1− 1.

14.3

2x− 1+

2

2x + 1<

2x2 + 10x

4x2 − 1.

15.

x− 2

x− 1>

x− 3

x + 3

4x2 − 1

3 + x< 0

16. Fissato λ, sotto quali condizioni per i coefficienti dell’ equazione f(x) ≡ax2 + bx + c = 0, a 6= 0 risulta

a)x1 < λ < x2?

b)x1 < x2 < λ?

17. Per quale limitazione su k, l’ equazione x2 +5x− (2k−1) = 0 ammettedue radici: x1, x2, con x1 < 3 < x2?

2

18. Per quale limitazione su k, l’ equazione x2 + (2 − 3k)x − (k − 5

4) = 0

ammette due radici: x1, x2, con x1 < x2 < 2?

19. Per quale limitazione su k, l’ equazione f(x) ≡ (k+7)x2+(k−1)x+1 =0 k 6= −7 ammette due radici: x1, x2, con x1 < 1 ≤ x2?

20. Per quale limitazione su k, l’ equazione f(x) ≡ x2 +(2k− 1)x− 3k = 0ammette due radici: x1, x2, con x1 < 3 < x2?

21. |x− 1| ≤ x2 − 3

22. |x2 − 3x + 2| < x + 1.

23. x|x| + |2x− 1| > 0

24.1

2x+ |2x− 1| < 2.

25. |x + 3| − |x− 1| ≤ 0.

26.|x− 3||2x + 1| ≥

1

2

27.||x| − 4||x− 3| < 2

28.√

x2 − x + 1 ≤ x + 3

3

29.√

x− 2 > x− 5.

30.√

x− 4 +√

x + 4 < 2.

31.√

1−√x >√

3/4 +√

x

32.

√3x√

3x− 1> 3.

33. logx 2 > 3.

34. 3 log2x > 16 logx 8

35. log3(x2 + 5x + 3) > 2.

36. log1/2

(x2 + x− 2) > −2.

37. log1/2

(x−√

1− x) > log1/2

3/4.

38. cos x < 1/2.

39. sin x <√

3/2.

40.√

3 cos x− sin x > 1.

4

41. 2 cos 2x + 2 sin2 x− cos x > 1.

42. 4 cotx >

√3

sin2 x.

5

RISOLUZIONE ESERCIZI su INSIEMI NUMERICI

1) In ordine crescente:

−12/7 < −5/8 < 10−1 < 0, 13 < 0, 13 = 2/15 < 5/8 = 10/16 < 12/7 <

< 0, 0031 · 103 < 3, 14 = 157/50 < π.

2) In ordine crescente:

−20/9 < −16/17 = −32/34 < 1−√

2 < 16/17 < 1, 414 = 707/500 < 0, 014·102 <

<√

2 < 1, 4 = 13/9 < 20/9.

3) Punti medi:

3 + 8

2=

11

2;−2 + 11

2=

9

2;−4− 1

2= −5

2;

π + 8

2; c =

a + b

2.

4)

2(32) = 2α ⇒ α = 9

(23)2 = 2β ⇒ β = 6

e quindi a 6= β. Pertanto non deve essere utilizzata la scrittura 232oppure

se ne deve stabilire il significato.

5) Scrivere in forma diversa i seguenti numeri reali (a, b, c ∈ IR e a, b, c > 0):

√72 = 6

√2,

3√

72 = 23√

9,√

80 = 4√

5,3√

80 = 23√

10,

√a5b7c6 = a2b3c3 ·

√ab,

3√

a5b7c6 = ab2c2 3√

a2b,4√

a7b15c22 = ab3c5 4√

a3b3c2.

Se c fosse negativo avremmo:

√a5b7c6 = a2b3(−c)3 ·

√ab,

3√

a5b7c6 = ab2c2 3√

a2b,4√

a7b15c22 = ab3(−c)54√

a3b3c2.

6) Scrivere in forma diversa i seguenti numeri reali (a, b, c ∈ IR e a, b, c > 0):

722

3 = 123√

3, 723

2 = 24 33√

2 = 432√

2,

1443

4 = 23 3√

3 = 24√

3, 1444

3 = 25 32 3√

2 · 32 = 2883√

18,

(a5b7c6)3

4 = a3b5c4 4√

a3b√

c, (a5b7c6)4

3 = a6b9c8 3√

a2b, (a7b15c22)2

5 = a2b6c8 5√

a4c4 .

1

(a−3b4

c2

)

−2= a6b−8c4 =

a6c4

b8;

( a5

3

b−3

4 c2

)

−

2

3 = a−10

9 b−1

2 c4

3 =c 3√

c

a 9√

a√

b.

7) ]2, π] ∩ [√

2, 3[=]2, 3[ ; [√

3,+∞[∩IZ = IN \ {0, 1} = {2, 3, 4, . . .} ;

]− 5,√

5]∪]3,+∞[ (scrittura non semplificabile); ]− 5,√

5]∩]3,+∞[= ∅ ;

[−8, 8] \ [−√

2, π] = [−8,−√

2[∪]π, 8] .

8) Consideriamo la proprieta dei reali:

(P ) ∀a, b, c ∈ IR, se a ≤ b e c ≥ 0 ⇒ a · c ≤ b · c .

Dimostriamo le seguenti implicazioni:(i) Se 1 ≤ a ⇒ a ≤ a2.Dimostrazione: Per ipotesi 1 ≤ a. Allora, moltiplicando per a ≥ 1 > 0

entrambi i membri della diseguaglianza, dalla proprieta (P ) si ottiene: a ≤a · a = a2, c.v.d. (come volevasi dimostrare).

(ii) Se 0 ≤ a ≤ 1 ⇒ a ≥ a2.Dimostrazione: Per ipotesi 0 ≤ a ≤ 1. Allora, moltiplicando per a ≥ 0

i membri della diseguaglianza precedente, dalla proprieta (P ) si ottiene:0 ≤ a2 ≤ a, c.v.d..

9) Per ognuna delle seguenti implicazioni dire se e vera o falsa (giustifi-care la risposta utilizzando eventualmente la proprieta dei reali enunciatanell’esercizio precedente):a < b ⇒ a2 < b2, ∀a, b ∈ IR: falsa ad esempio se a = −2 , b = −1;a < b ⇒ a2 < b2, ∀a, b ≤ 0: falsa ad esempio se a = −2 , b = −1;

Vale invece il seguente risultato:

∀a, b ≥ 0, se a < b ⇒ a2 < b2 .

Dimostrazione: se 0 ≤ a < b, moltiplicando tali diseguaglianze per a e perb, dalla proprieta (P ) dell’esercizio precedente otteniamo:

a2 ≤ ab e ab < b2 ⇒ a2 < b2

(nell’ultima implicazione si e utilizzata la proprieta transitiva dell’ordinamento,inoltre, poiche a ≥ 0, moltiplicando per a le diseguaglianze strette possonodiventare delle uguaglianze se a = 0, mentre moltiplicando per b > 0 lediseguaglianze rimangono strette).

2

Osserviamo che nel caso di numeri negativi vale l’implicazione opposta:

a < b ≤ 0 ⇒ a2 > b2 .

10) (i) 2x− 6 = 0 ha come radice x = 3 naturale;(ii) 2x + 6 = 0 ha come radice x = −3 intero ma non naturale;(iii) 6x + 2 = 0 ha come radice x = −1/3 razionale ma non intero;(iv) x +

√2 = 0 ha come radice x = −

√2 irrazionale.

11) (i) 3x2− 10x+ 3 = 0 ha come radici x = 3 naturale e x = 1/3 razionalema non naturale ne intera;(ii) 3x2 + 10x + 3 = 0 ha come radici x = −3 intero ma non naturale ex = −1/3 razionale ma non naturale ne intera;(iii) 6x2 + x− 1 = 0 ha come radici x = 1/3 e x = −1/2 entrambe razionalima non intere;(iv) x2 − 2x− 2 = 0 ha come radici x = 1±

√3 entrambe irrazionali.

12) Il passaggio c) e scorretto, perche se e x = −1, risulta x+1 = 0 e quindinon posso dividere per la quantita x + 1 = 0. Devo allora distinguere: se ex = −1 l’uguaglianza e verificata come gia sapevamo. Se suppongo che siax 6= −1, risulta x + 1 6= 0 e quindi posso effettuare il passaggio c) e trovarel’altra soluzione x = 0.

13) 1 = 13 + 2

3 = 0, 3 + 0, 6 = 0, 9 .Se ne deduce che 1 = 0, 9 , quindi ci sono due modi per scrivere il numero

reale 1.

14) Ricordando che nei reali valgono in particolare le seguenti proprieta:

(i) Esiste l’elemento neutro rispetto alla somma ”0” (”a+0 = a, ∀a ∈ IR”),(ii) Proprieta distributiva del prodotto rispetto alla somma (”(a + b) · c =a · c + b · c, ∀a, b, c ∈ IR”),

dimostrare che (i) e (ii) implicano la seguente proprieta:

a · 0 = 0 , ∀a ∈ IR

Dimostrazione: utilizzando (i) si ottiene che ∀a, b ∈ IR , a · (b + 0) = a · b eutilizzando (ii) si ottiene anche che a · (b + 0) = a · b + a · 0. Allora, essendouguali i primi membri delle uguaglianze, lo sono anche i secondi, quindi siottiene:

a · b = a · b + a · 0 .Aggiungendo a entrambi i membri −a · b e usando la proprieta commutativasi ottiene: a · b− a · b = a · b + a · 0− a · b ⇔ 0 = a · 0, c.v.d..

3

RISOLUZIONE ESERCIZI su PRODOTTI NOTEVOLI e POLINOMI

1) p(x) = a(2x − 1)(2x + 1)(x − 2)(x + 2) = a(4x2 − 1)(x2 − 4) = a(4x4 −17x2+4), (∀a ∈ IR, a 6= 0). I polinomi che abbiano, oltre alle radici semplicidel polinomio precedente, la radice semplice x = 0 sono: x · p(x) = a(4x5 −17x3 + 4x) . Un polinomio con radice x = −1 semplice, con radice x = +1di molteplicita 2 e con radice x = 0 di molteplicita 3 e:

(x + 1)(x− 1)2x3 = (x2 − 1)(x− 1)x3 = x6 − x5 − x4 + x3.

2) Se V = (xV , yV ) e il vertice della parabola, allora:

• l’asse di simmetria e x = xV ;

• se il coefficiente del termine di 2o grado e positivo, l’insieme {y =p(x) : x ∈ IR} ha un minimo dato da yV , se e negativo ha un massimoanch’esso dato da yV .

2− x− x2: V = (−1/2, 9/4), radici x = 1 e x = −2, massimo 9/4.5x2 − 2x + 1: V = (1/5, 4/5), non esistono radici reali, minimo 4/5.3x2 + 2x− 1: V = (−1/3,−4/3), radici x = −1 e x = 1/3, minimo −4/3.3x− 4− x2: V = (3/2,−7/4), non esistono radici reali, massimo −7/4.

3) pa(x) = a(x − 2)(5x − 1) = a(5x2 − 11x + 2), (∀a ∈ IR, a 6= 0): V =(11/10,−a 81/20), radici indipendenti da a per costruzione e il punto mediotra le radici e quindi indipendente da a (ed e l’ascissa del vertice e individual’asse di simmetria), −a 81/20 e minimo se a > 0, massimo se a < 0.

4) Polinomio ax2 + bx + c:il suo grafico passa per il punto (1, 3) ⇔ 3 = a + b + cil suo grafico passa per il punto (2, 8) ⇔ 8 = 4a + 2b + cha come asse di simmetria l’asse x = 4 ⇔ −b/(2a) = 4.

Devo mettere a sistema le uguaglianze ottenute e ricavare i valori deiparametri a, b, c:

b = −8 a ,a + b + c = 3 ,4a + 2b + c = 8 .

(1)

Risolvendo il sistema si ottiene a = −1, b = 8, c = −4. Quindi il polinomiocercato e: −x2 + 8x− 4.

5) A = (x, y) se x e y risolvono il sistema{

y = 2x− 4 ,y = x ,

(2)

4

quindi A = (4, 4). La parabola per A, per B = (−2, 10) e per l’origine haequazione y = ax2 + bx + c se a, b, c verificano:

16a + 4b + c = 4 ,4a− 2b + c = 10 ,c = 0 .

(3)

Otteniamo quindi la parabola y = x2 − 3x di vertice V = (3/2,−9/4).Possiamo ora determinare la retta passante per A e V , ottenendo y = 5

2x−6.

6) Utilizzare i prodotti notevoli per scrivere diversamente le seguenti espres-sioni:

x4 − 1 = (x− 1)(x + 1)(x2 + 1), 8x3 + 1 = (2x + 1)(4x2 − 2x + 1),

x4 − 4 = (x−√

2)(x +√

2)(x2 + 2),

x3 − 5 = (x− 3√

5)(x2 +3√

5x +3√

52),

2x5 + 3 = (5√

2x +5√

3)(5√

24 x4 − 5√

23 3 x3 +5√

62 x2 − 5√

2 · 33 x +5√

34).

7) 993 = (100 − 1)3 = 1.000.000 − 3 · 10.000 + 300 − 1 = 970.299.

8) 2x3 − x2 − 7x + 6 = (x− 1)(x + 2)(2x − 3) ,

x3 + x + 2 = (x + 1)(x2 − x + 2) ,

2x3 + 3x2 − 11x− 6 = (x− 2)(2x + 1)(x + 3) ,

12x3 + 4x2 − 3x− 1 = (2x− 1)(2x + 1)(3x + 1) ,

2x3 − 2x2 + x = x(2x2 − 2x + 1) ,

2x4 − 3x2 − 2 = (2x2 + 1)(x−√

2)(x +√

2) ,

2x6 − 15x3 − 8 = (3√

2x + 1)(3√

4x2 − 3√

2x + 1)(x− 2)(x2 + 2x + 4) .

9)2x3 + x2 − 3x + 1

x− 2= 2x2 + 5x + 7 +

15

x− 2, (x 6= 2) .

x4 − 3x3 − x2 + x− 1

2x2 + x− 1=

1

2x2−7

4x+

5

8− 11x + 3

8(2x2 + x− 1), (x 6= −1, x 6= 1/2) .

5x3 − 3x− 12

x2 − 2x− 2= 5x + 10 +

27x + 8

x2 − 2x− 2, (x 6= 1±

√3)

5

x4 + 1

x2 −√

2x + 1= x2 +

√2x + 1 ,

x3 − 1

3x2 + x=

x

3− 1

9+

x− 9

9(3x2 + x), (x 6= −1/3, x 6= 0) .

10) Scomponendo il polinomio denominatore ottengo: x2+x−2 = (x+2)(x−1). Poiche x = −2 e x = 1 sono anche radici del polinomio a numeratore,fattorizzando anche il numeratore posso semplificare i fattori comuni, quindiottengo un polinomio, cioe il resto della divisione e nullo. Invece il polinomiox3 − 3x2 − x + 3 non ha la radice x = −2, quindi non e divisibile perx2 + x− 2 = (x + 2)(x− 1).x3 − x2 − x− 2 non e divisibile per x2− 4 = (x− 2)(x + 2), poiche x = −2non e radice del primo polinomio;x3 + 3x2 − 4x − 12 e divisibile per x2 + x − 6, poiche le radici x = −3 ex = 2 del secondo polinomio sono anche radici del primo.

11) x3 + 2x2 + 2x + 1 = (x + 1)(x2 + x + 1);2x4 − 5x3 + 5x− 2 = (x + 1)(x− 1)(2x − 1)(x− 2);x3 − 2x2 + 2x− 1 = (x− 1)(x2 − x + 1);12x5− 13x4− 25x3 +25x2 +13x− 12 = (x+1)2(x− 1)(4x− 3)(3x− 4).

12) 6x4 − 13x3 + 13x− 6 = (x + 1)(x − 1)(2x − 3)(3x − 2) ,4x4 + 17x3 − 17x− 4 = (x + 1)(x− 1)(4x + 1)(x + 4) .

6

Esercizi sulle funzioni – Soluzioni

1) a) x ≥ −1; b) f([2, 3]) = [√

3, 2].

2) a) R; b) f([−2, 1]) = [0, 4].

3) a) [−3,−2] ∪ [−1, 2] ∪ [3, 4]; b) [−1, 4].

4) a) x 6= 0; b) [0,+∞).5) a) f(x) = f(y) se e solo se 2x+3 = 2y+3, se e solo se 2x+�3 = 2y+�3,se e solo se 2x = 2y, se e solo se �2x = �2y, se e solo se x = y; b)f([0, 1]) = [3, 4]; c) y = 2x + 3 se e solo se y − 3 = 2x, se e solo sey−32

= x, e quindi f−1(y) = y−32

.

6) a) f(0) = (−1)2 = 1 = (1)2 = f(2); b) [1, 2] (ad esempio); c)f([1, 2]) = [0, 1]; f−1(y) = 1 +

√y.

7) a) x+1x−1

= 1 + 2x−1

, da cui. . .; b) f([2, 4]) = [53, 2]; c) f−1(y) = y+1

y−1.

8) Il grafico dell’inversa e “uguale” al grafico della funzione data.

9) a) Ogni retta y = a, con 0 < a < 1, taglia il grafico in due punti;b) ogni retta y = a, con a > 0, taglia il grafico in un solo punto perx < 0, e in al piu un punto per x > 0 c)

10)

1

2

11) a) blu; b) rosso.

12) a) (x − 1)3 ≥ (y − 1)3 se e solo se 3√

(x− 1)3 ≥ 3√

(y − 1)3, se esolo se x− 1 ≥ y − 1, se e solo se x ≥ y.13) f(0) = 1 > 0 = f(1) e f(1) = 0 < 1 = f(2); b) [1,+∞) (adesempio).

14) a) se x > y > 1 si ha x + 1x≥ y + 1

yse e solo se x2+1

x≥ y2+1

y, se e

solo se x y (x − y) ≥ x − y se e solo se x y ≥ 1 (che e vero perche siax che y sono maggiori di 1); b) no: f(−1) = −2 > f(−1/2) = −5/2 ef(−1) = −2 < f(1) = 2.

15) a) f(−x) = (−x)2 − 3(−x)4 = x2 − 3x4 = f(x); b) f(−x) = . . .

16) f(−x) = −x+ 1−x

= −x− 1x

= −(x+ 1x) = −f(x).

17) α = −1, β = −1/2.

18) Se x = n.abcdefgh . . ., con n intero, allora f(x) = 0.abcdefgh . . .;essendo x+ 1 = (n+ 1).abcdefgh . . ., si ha f(x+ 1) = 0.abcdefgh . . . =f(x).

19) x = 32.

20) x = 0 e x = 2.

21) Nessuna soluzione.

22) a) log2(4x) = x log2(4) = x log2(2

2) = 2x; b) x (1 + log3(2)); c)x/2.

23) 4log2(x) = (22)log2(x) = 22 log2(x) = 2log2(x2= x2; b) x 4log3(x); c)

√x.

Precorsi di MatematicaA.A. 2008–09

Esercizi di trigonometria: Risposte

Esercizio 1. Perche rapporto di grandezze omogenee.

Esercizio 2. Positivo

Esercizio 3. Positivo

Esercizio 4. 1.8 m

Esercizio 5. (1.8)2 m2

Esercizio 6. ±√

154

Esercizio 7. ±√

154

Esercizio 8. 4 tan(π/6) m

Esercizio 9. 30 tan(π/3) m

Esercizio 10. 6cos(π/5)

m

Esercizio 11. arcsin(3/20) Non dipende dalla massa.

Esercizio 12.√

62 + 82 − 2 · 6 · 8 · cos(2π/5) m

Esercizio 13.√

1 + (1.5)2 − 2 · 1.5 · cos(3π/4) Km

Esercizio 14. ±√

4/5

Esercizio 15. ±√

1/5

Esercizio 16. 1

Esercizio 17. π6

+ 2kπ, 5π6

+ 2kπ

Esercizio 18. π + 2kπ

Esercizio 19. Nessuna soluzione

Esercizio 20. kπ, π4

+ kπ

Esercizio 21. 3π4

+ kπ

Esercizio 22. π2

+ kπ

Esercizio 24. 14 sin(π/6) cm2

Disequazioni: soluzioni

1. −1

3≤ λ ≤ 7

3

2. Studio della funzione y = f(x) ≡ ax2 + bx+ c. Relazioni fra coefficientie radici.

3. −1 < x < 1, x > 2

4. x < −27

13.

5. x > 3

6. x < 2, x ≥ 7

7. −1 < x < 0, x > 1

8. x ≤ −5, −2 < x ≤ 1, x > 3

9. x < −2, 0 ≤ x ≤ 1, 2 ≤ x < 5

10. x ≤ −2, 1 < x < 3, 5 < x ≤ 7

1

11. x ≤ −5, −3 ≤ x < −2, x > 1

12. −1 < x ≤ 1, 2 < x < 3, x ≥ 5

13. x < −5/2, −1 < x < 1, x > 4

14. x < −1/√

2, −1/2 < x < 1/2, x > 1/√

2

15. −1/2 < x < 1/2

16. a)

∆ > 0

af(λ) < 0b)

∆ > 0

af(λ) > 0

λ >x1 + x2

2≡ − b

2a

17. k > 25/2

18. k < −1/9, 1 < k < 37/28

19. −13/3 < k ≤ −7/2

Per k = −7/2⇒ f(1) = 0.

20. k < −2

21. x ≤ −1−√

17

2, x ≥ 2

2

22. 2−√

3 < x < 2 +√

3.

23. x > −1−√

2

24.−√

5− 1

4< x < 0,

√5− 1

4< x <

3 +√

5

4

25. |a| ≤ |b| ⇔ a2 ≤ b2 ⇒ x ≤ −1.

26. x < −1/2, −1/2 < x ≤ 5/4

27. x < 2, x > 10/3

28. x ≥ −8/7

29. 2 ≤ x <11 +

√13

2

30. Non ci sono soluzioni.

31. 0 ≤ x < 1/64

32. 1/3 < x < 3/4

33. 1 < x < 21/3

3

34. 1/16 < x < 1, x > 16

35. x < −6, x > 1

36. −3 < x < −2, 1 < x < 2

37.

√5− 1

2< x <

1 + 2√

2

4

38. π/3 + 2kπ < x < 2π − π/3 + 2kπ

39. (−π − π/3) + 2kπ < x < π/3 + 2kπ

40. −π/2 + 2kπ < x < π/6 + 2kπ

41.2

3π + 2kπ < x <

4

3π + 2kπ

42. π/6 + kπ < x < π/3 + kπ

4