Geol  542:  Advanced  Structural  Geology     Fall  2013  

Problem  Set  #3:  Principal  Stresses  and  Mohr  Circles      1.    At  some  point  in  the  Earth's  crust,  the  three  principal  stresses  are:  σ1  =  100  MPa;  σ2  =  80  MPa;  σ3  =  65  MPa  

(compression  is  positive).   [16]    

a) What  term  can  we  use  to  describe  this  state  of  stress?   (2)    Polyaxial  or  triaxial.   (2)    b) What  is  the  mean  normal  stress?   (2)  

 σmean  =  1/3(σ1  +  σ2  +  σ3)  =  1/3(100  +  80  +  65)  MPa  =  81.67  MPa   (2)  

 c) What  is  the  maximum  shear  stress?   (2)  

 σs  (max)  =  1/2(σ1  -­‐  σ3)  =  1/2(100  -­‐  65)  MPa  =  17.5  MPa   (2)  

 d) What  is  the  differential  stress?   (2)  

 σdiff=  (σ1  -­‐  σ3)  =  (100  -­‐  65)  MPa  =  35  MPa   (2)  

 e) What  are  the  three  deviatoric  stresses?   (3)  

 σ1  (dev)  =  σ1  –  σmean  =  100  –  81.67  MPa  =  18.33  MPa   (1)  σ2  (dev)  =  σ2  –  σmean  =  80  –  81.67  MPa  =  -­‐1.67  MPa   (1)  σ3  (dev)  =  σ3  –  σmean  =  65  –  81.67  MPa  =  -­‐16.67  MPa   (1)    

 f) Use  the  calculated  deviatoric  stress  to  determine  in  what  directions  the  rock  will  contract,  and  in  what  

directions  the  rock  will  extend.   (3)    

The  rock  will  contract  in  the  σ1  direction  (the  deviatoric  σ1  is  positive)  and  extend  in  the  σ2  and  σ3  directions  (the  deviatoric  σ2  and  σ3  are  negative).   (3)  

 g) Given  the  result  above,  comment  on  whether  or  not  tensile  stresses  are  needed  in  the  Earth  in  order  to  

allow  extension  (e.g.,  through  normal  faulting),  or  if  extension  is  possible  with  all-­‐round  compression.   (2)    

In  this  all-­‐round  compressive  stress  field,  the  rock  still  extends  in  two  directions,  so  tensile  stresses  are  not  required  in  order  for  extension  to  occur.  In  fact,  in  ANY  stress  field,  there  will  be  extension  in  at  least  one  principal  stress  direction  (the  σ3  direction,  where  compression  is  positive).   (2)  

   2.    Use  graph  paper  to  construct  a  Mohr  circle,  as  directed  below,  then  answer  the  related  questions.  Remember,  a  

Mohr  diagram  can  only  work  if  the  σn  and  σs  axes  have  an  identical  scale.  Use  an  entire  graphing  page  for  your  Mohr  diagram  (i.e.,  in  landscape  format).   [44]  

 a. Construct  a  Mohr  diagram  to  represent  a  state  of  stress  in  which  the  principal  stresses  are  

measured  to  be:  σ1  =  40  MPa,  σ2  =  22  MPa,  and  σ3  =  18  MPa  (compression  is  positive).   (6)    

See  next  page.   (6)    

Geol  542:  Advanced  Structural  Geology     Fall  2013  

   

 b. If  the  minimum  compressive  stress,  σ3,  is  the  vertical  (lithostatic)  component  of  stress,  use  your  

Mohr  diagram  to  read  off  the  approximate  normal  (σn)  and  shear  (σs)  stresses  acting  on  a  fault  plane  dipping  at  40°  (remember,  θ  is  defined  in  physical  space  as  the  angle  between  the  σ1  direction  and  the  normal  vector  n  to  the  plane).  Assume  that  only  σ1  and  σ3  resolve  onto  the  fault  plane  (i.e.,  the  strike  of  the  fault  is  parallel  to  σ2).  Include  a  sketch  showing  your  fault  configuration.   (5)  

 In  this  configuration,  the  dip  of  the  fault  is  40°  but  the  value  of  θ  is  50°  (or  -­‐50°),  so  2θ  =  100°  (or  -­‐100°).  Choosing  the  negative  θ  values,  the  corresponding  (σn,  σs)  values  are  (27,  -­‐11)  MPa.   (5)  

 

     

c. What  would  the  normal  and  shear  stress  be  on  a  fault  plane  having  the  same  strike  and  dip  as  above  but  dipping  in  the  opposite  direction?   (2)  

 A  fault  dipping  opposite  to  the  negative  θ  values  would  have  positive  θ  values  with  the  same  absolute  magnitude,  so  the  corresponding  (σn,  σs)  values  are  (27,  11)  MPa.   (2)  

Geol  542:  Advanced  Structural  Geology     Fall  2013  

 

     

d. In  geologic  problems,  why  would  we  even  care  about  the  sign  of  σs?   (2)    

The  sign  of  σs  indicates  the  sense  of  shearing  in  the  defined  coordinate  system.  This  will  allow  the  correct  sense  of  slip  to  be  determined  for  conjugate  fault  sets  for  any  stress  configuration.   (2)  

   

e. Corroborate  your  result  in  (b)  by  using  the  Mohr  equations  (of  the  form  shown  below)  to  calculate  the  precise  magnitudes  of  the  shear  and  normal  stresses.     (6)  

 σn  =  σ1  cos

2  θ    +    σ3  sin2  θ  

σs  =  (σ1  –  σ3)  sin  θ    cos  θ   σn  =  σ1  cos

2  θ    +    σ3  sin2  θ  =  40  cos2  [-­‐50°]    +    18  sin2  [-­‐50°]  MPa  =  16.53  +  10.56  MPa  =  27.09  MPa   (3)  

 σs  =  (σ1  –  σ3)  sin  θ    cos  θ  =  (40  –  18)  sin  [-­‐50°]  cos  [-­‐50°]  MPa    =  -­‐10.83  MPa   (3)  

   

f. In  this  state  of  stress,  in  which  directions  would  the  rock  contract  and  in  which  directions  would  the  rock  extend  (show  your  calculations).   (6)  

 σ1  (dev)  =  σ1  –  σmean  =  40  –  26.67  MPa  =  13.33  MPa  –  contraction  in  this  direction   (2)  σ2  (dev)  =  σ2  –  σmean  =  22  –  26.67  MPa  =  -­‐4.67  MPa  –  extension  in  this  direction   (2)  σ3  (dev)  =  σ3  –  σmean  =  18  –  26.67  MPa  =  -­‐8.67  MPa  –  extension  in  this  direction   (2)  

   

g. What  would  we  call  this  type  of  tectonic  environment  based  on  the  relative  orientations  of  the  principal  stresses  in  3D  space?   (2)  

 As  σ1  is  horizontal  and  σ3  is  vertical,  this  is  a  compressional  tectonic  environment.   (2)  

   

h. Now  assume  the  fault  exists  within  saturated  rocks  having  a  fluid  pressure  of  15  MPa.  Draw  a  new  Mohr  circle  representing  this  effective  stress  condition  on  the  SAME  graph  as  before.   (4)  

 See  graph.  The  Mohr  circle  shifts  to  the  left  by  15  MPa  with  no  change  in  diameter.   (4)  

   

Geol  542:  Advanced  Structural  Geology     Fall  2013  

i. How  has  σn  and  σs  changed  for  this  fault  in  response  to  the  addition  of  fluid?  Intuitively,  what  would  this  mean  for  the  likelihood  of  sliding  along  the  fault?   (2)  

 By  shifting  the  Mohr  circle,  σn  is  smaller  by  15  MPa  but  σs  is  exactly  the  same  as  before.  The  ratio  of  shear  to  normal  stress  is  thus  larger,  resulting  in  a  larger  propensity  for  sliding  along  a  fault  by  frictional  failure.   (2)  

   

j. How  did  the  differential  stress  and  deviatoric  stresses  change  in  response  to  the  addition  of  a  fluid  pressure?  Show  your  calculations.   (7)  

 In  dry  rocks: σdiff=  (σ1  -­‐  σ3)  =  (40  -­‐  18)  MPa  =  22  MPa   (1)  σ1  (dev)  =  σ1  –  σmean  =  40  –  26.67  MPa  =  13.33  MPa  (calculated  earlier)    σ2  (dev)  =  σ2  –  σmean  =  22  –  26.67  MPa  =  -­‐4.67  MPa  (calculated  earlier)    σ3  (dev)  =  σ3  –  σmean  =  18  –  26.67  MPa  =  -­‐8.67  MPa  (calculated  earlier)    

   

In  wet  rocks: σdiff=  (σ1  -­‐  σ3)  =  (25  -­‐  3)  MPa  =  22  MPa  –  differential  stress  has  not  changed.   (1)  σ1  (dev)  =  σ1  –  σmean  =  25  –  11.67  MPa  =  13.33  MPa  –  deviatoric  stress  has  not  changed.   (3)  σ2  (dev)  =  σ2  –  σmean  =  7  –  11.67  MPa  =  -­‐4.67  MPa  –  deviatoric  stress  has  not  changed.   (1)  σ3  (dev)  =  σ3  –  σmean  =  3  –  11.67  MPa  =  -­‐8.67  MPa  –  deviatoric  stress  has  not  changed.   (1)  

   

k. Given  your  answers  to  i  and  j  above,  how  does  the  addition  of  fluid  pressure  affect  the  way  rocks  in  the  Earth’s  crust  deform  (in  terms  of  the  distortion  they  experience)?   (2)  

 The  addition  of  a  fluid  pressure  does  not  change  the  way  the  crust  distorts  (i.e.,  shape  change);  however,  it  does  make  the  distortion  more  likely  to  occur  by  shear  failure.  It  also  causes  a  smaller  change  in  volume  (despite  the  identical  change  in  shape),  so  affects  the  deformation  in  this  manner.   (2)  

      [60]