C­rculo de Mohr - Unicamp

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  • Captulo 7Transformaes de Tenso e Deformao

    O Crculo de Mohr

    Grupo 9:Andr P. Santos RA:070166Edward O. Schaden RA:060316Pedro G. Rubira RA:073592Tlio J. Silva RA:072544

  • Transformao do Estado Plano de Tenso

    Para fins de anlise das foras e tenses de cisalhamento adota-se o eixo z como o eixo perpendicular a estes

    (z=xz=zy=0), assim o plano de tenso Q fica definido a partir de x, y, xy.

    Pode-se rotacionar o sistema no eixo Z um ngulo , definindo o plano de tenso Q a partir de x', y', x'y'.

  • Transformao do Estado Plano de Tenso

    Atravs da analise do sistema rotacionado pod-se obster as tenes msotradas na figura abaixo.

  • Transformao do Estado Deduo das equaes de x', y', x'y'

    A partir dos valoros das foras em cada eixo podem-se deduzir as equaes para os coeficientes que caracterizam o plano de tenso.

    Resolvendo a primeira equao para x' e a segunda para x'y.

  • Transformao do Estado Deduo das equaes de x', y', x'y'

    Atravs de utilizao de relaoes trigonomtricas podemos reescrever as equaes como:

    Substitundo-se por + 90 na primeira equao obtm-se a equao para y':

    Somando as equaes para x' e y' termo a termo obtm-se a equao:

  • TENSES PRINCIPAIS E TENSO DE CISALHAMENTO MXIMA

    Com intuito de representar os valores de tenso normal e tenso de cisalhamento normal em um sistema de eixos cartesiano obtemos a seguinte

    expresso:

    Definindo as variveis :

    Podemos representar essa equao por meio de circunferncia

  • TENSES PRINCIPAIS E TENSO DE CISALHAMENTO MXIMA

    Ponto A: Tenso Normal MximaPonto B: Tenso Normal Mnima

  • TENSES PRINCIPAIS E TENSO DE CISALHAMENTO MXIMA

    Para os pontos de Tenso Mxima Temos:

    Assim obtemos o seguinte parmetro

  • TENSES PRINCIPAIS E TENSO DE CISALHAMENTO MXIMA

  • TENSES PRINCIPAIS E TENSO DE CISALHAMENTO MXIMA

    A equao define 2 valores 2p defasados 180 graus portanto p graus defasados

  • TENSES PRINCIPAIS E TENSO DE CISALHAMENTO MXIMA

  • Crculo de Mohr para estado plano tenso

    x, y e Txy X(x, -Txy) Y(y, +Txy)

    Ponto C a interseco da reta XY com o eixo .

    A e B: pontos onde o crculo intercepta o eixo .

    Mtodo grfico simples para resolver exerccios de estado plano tenso

  • Mesmo crculo pode ser obtido para componentes x', y' e Txy'

    Mesmo esquema para pontos X' e Y'.

    Novamente, mesmo sentido de rotao para o crculo e para os planos de tenso

  • Tenso de cisalhamento mxima para = 45

  • Se T (tenso de cisalhamento) de uma face tenta girar objeto no sentido horrio

    O ponto X ou Y correspondente a essa fase est acima do eixo .

    e vice versa.

    Conveno para tenses normais:

    Trao positiva

    Compresso negativa

  • Exemplo: Construo do Crculo de Mohr

    A tenso normal que atua no eixo x positiva e a tenso de cisalhamento tende a girar o elemento no sentido anti-horrio.

    Figura 1: Corpo em estudo

  • (a) Construo do crculo de Mohr

    O ponto X ser representado direita do eixovertical e abaixo do eixo horizontal. De formaanloga, o ponto Y que representa a face opostadever ser representado a 180 de X.Traando a linha XY, obtemos o centro C do crculode Mohr; sua abscissa

    mdio = (x + y) / 2 = ( 50 + (-10) ) / 2 = 20 MPa

    Como os lados do tringulo CFX so:

    CF = 50 20 = 30 MPa e FX = 40 MPa

    O raio do crculo R = CX = sqrt(30^2+40^2) = 50 MPa Figura 2: Diagrama

    do crculo

  • (b) Planos principais e tenses principais

    As tenses principais so:

    mx = OA = OC + OA = 20 + 50 = 70 MPamn = OB = OC BC = 20 50 = -30 MPa

    Como o ngulo ACX representa 2p, escrevemos:

    tg(2p) = FX / CF = 40 / 30

    2p = 53,1 (ngulo no circulo) p = 26,6 (ngulo do objeto)

    Figura 2:Diagramado crculo

  • (c) Tenso de cisalhamento mxima

    Com mais uma rotao de 90 no sentido anti-horrio faz CA coincidircom CD na Figura 4, uma rotao adicional de 45 no sentido anti-horrio faro eixo Oa coincidir com o eixo Od correspondendo tenso de cisalhamentomxima na Figura 3.

    Nota-se na Figura 4 que Tmx = R = 50 MPa e que a tenso normalcorrespondente ' = md = 20 MPa. Como o ponto D est localizado acimado eixo na Figura 4, as tenses de cisalhamento que atuam nas facesperpendiculares a Od na Figura 3 devem ser direcionadas de modo que tenhama tendncia de rodar o elemento no sentido horrio.

  • Figura 3 Figura 4

  • FIM