1CPV Unicamp2010 2a Fase

UNICAMP 2a fase – 13/janeiro/2010

CPV seu pé direito também na medicina

Sabe-sequeumacalotaesféricatemvolume

V h R hcal = −π 2

33( ) ,emquehéaalturadacalotae

Réoraiodaesfera.Alémdisso,aáreadasuperfíciedacalotaesférica(excluindoaporçãoplanadabase)édadaporAcal=2pRh.

Atenção:nãouseumvaloraproximadoparaπ.

a) Supondoqueh=R2 ,determineovolumedoanel

demadeira,emfunçãodeR. b) Depoisdeescavada,apeçademadeirareceberáuma

camadadeverniz,tantonaparteexterna,comona interna.Supondo,novamente,queh=

R2 ,determine

aáreasobreaqualovernizseráaplicado. Resolução: a) Ovolumedoanelpodesercalculadosubtraindo-seos

volumesde2calotasesféricasedeumcilindrodovolumeda esfera. Precisamos portanto calcular inicialmenteo raio da base do cilindro utilizando o Teorema dePitágoras.

(2r)2+R2=(2R)2 4r2=3R2

r=R 32

Temos:V V V Vanel esfera calota cilindro= − −2

V R R R R Ranel = −

−

−

4

323 2

32

32

32

ππ

π. .

2R

V Ranel =

π 3

6

b) Aáreadoanelpodesercalculadasubtraindo-seasáreasde2calotasesomando-seaárealateraldocilindro,emrelaçãoaáreatotaldaesfera.

Assimtemos: Aanel=Aesf–2Acalota+Alateralcilindro

Aanel=4pR2–2.2pR. R2 +2p

R 32

.R

Aanel=pR2(2+ 3 )

matemática

01. Uma confeitaria produz dois tipos de bolos de festa.CadaquilogramadobolodotipoAconsome0,4kgdeaçúcare0,2kgdefarinha.Porsuavez,obolodotipoBconsome0,2kgdeaçúcare0,3kgdefarinhaparacadaquilograma produzido. Sabendo que, no momento, aconfeitariadispõede10kgdeaçúcare6kgdefarinha,respondaàsquestõesabaixo.

a) Seráqueépossívelproduzir7kgdebolodotipoAe18kgdebolodotipoB?Justifiquesuaresposta.

b) QuantosquilogramasdebolodotipoAedebolodotipoBdevemserproduzidosseaconfeitariapretendegastartodaafarinhaetodooaçúcardequedispõe?

Resolução:

a) Nãoépossível,poisaquantidadedefarinhanecessária,emquilogramas,seria:0,2.7+0,3.8=6,8.

b) Sejamxeyasquantidadesproduzidas,emquilogramas,respectivamente,dosbolosAeB:

0 4 0 2 100 2 0 3 6, ,, ,x yx y+ =+ =

Þ x ==

22 55,

y

Portanto,devemserproduzidos22,5kgdoboloAe5kgdoboloB.

02. Uma peça esférica de madeira maciça foi escavada,adquirindo o formato de anel, comomostra a figuraabaixo. Observe que, na escavação, retirou-se umcilindrodemadeiracomduas tampasemformatodecalotaesférica.

2R

2r

R

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2

6

6 5

x

03. Umartesãoprecisarecortarumretângulodecourocom10cmx2,5cm.Osdoisretalhosdecourodisponíveisparaaobtençãodessatirasãomostradosnasfigurasabaixo.

a) Oretalhosemicircularpodeserusadoparaaobtençãodatira?Justifique.

b) Oretalhotriangularpodeserusadoparaaobtençãodatira?Justifique.

a)

Resolução:

a) Nosemicírculo,temos:

x2+52=62 x2=11 x= 11 @ 3,3cm Eportantoaregiãoretangular10cmx2,5cmpodeser

recortada.

b) Naregiãotriangular:

Porsemelhançadetriângulos,temos:

x6 =

38 Û x=

188 =2,25

Eportantoa região retangularpedidanãopoderáser

recortada.

04. Laura decidiu usar sua bicicleta nova para subir umarampa.AsfigurasabaixoilustramarampaqueteráqueservencidaeabicicletadeLaura.

a) Suponhaquea rampaqueLauradevesubir tenhaângulo de inclinação α, tal que cos(α) = 0 99, .Suponha,também,quecadapedaladafaçaabicicletapercorrer3,15m.Calcule a alturah (medida comrelaçãoaopontodepartida)queseráatingidaporLauraapósdar100pedaladas.

b) Oquadro da bicicleta deLaura está destacadonafigura à direita.Combase nos dados da figura, esabendoqueamede22cm,calculeocomprimentobdabarraqueligaoeixodarodaaoeixodospedais.

Resolução:

a) Em 100 pedaladas, Laura percorrerá 315m. Então, narelaçãofundamentaldatrigonometria,temos:

sen2x+cos2x=1

h315

2

+( 0 99, )2=1

Dondevemh=31,5m

b) Completandoosvaloresfaltantesdosângulosdafigura,temos:

ParaotriânguloABC,podemosaplicaroTeoremados

senos,lembrandoque

sen75º=(30º+45º)=sen30º.cos45º+sen45º.cos30º= 2 64+

Daí: asen

bsen30 75º º

= ,dondevem,paraa=22cm,

b=11( 2 6+ )cm

6x

388

30º

75º79º

77º

26º 24º

A

B

C

D

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3

06. UmaempresafabricantedeaparelhosquetocammúsicasnoformatoMP3efetuouumlevantamentodasvendasdosmodelosqueelaproduz.

Um resumo do levantamento é apresentado na tabelaabaixo.

a) Emfacedosótimosresultadosobtidosnasvendas,a empresa resolveu sortear um prêmio entre seusclientes.CadaproprietáriodeumaparelhodaempresareceberáumcupomparacadaR$100,00gastosnacompra,nãosendopossívelreceberumafraçãodecupom. Supondo que cada proprietário adquiriuapenas um aparelho e que todos os proprietáriosresgataramseuscupons,calculeonúmerototaldecuponseaprobabilidadedequeoprêmiosejaentregueaalgumapessoaquetenhaadquiridoumaparelhocompreçosuperioraR$300,00.

b) A empresa pretende lançar um novo modelo deaparelho. Após uma pesquisa de mercado, eladescobriu que o número de aparelhos a seremvendidosanualmenteeopreçodonovomodeloestãorelacionadospelafunçãon(p)=115–0,25p,emquenéonúmerodeaparelhos(emmilhares)epéopreçodecadaaparelho(emreais).

Determineovalordepquemaximizaareceitabrutadaempresacomonovomodelo,queédadaporn.p.

Resolução: a) O total de cupons resgatados pelos que compraram

aparelhosdomodeloAé:36.3=108. Ototaldecuponsrecebidosparaacompradeumaparelho

dosmodelosA,B,CeD,respectivamente,são:1,1,2e3.

Sendoassim,ototaldecuponsresgatadosé: 78.1+70.1+52.2+36.3=360. Portanto,aprobabilidadedequeoprêmiosejaentregue

aalgumapessoaquetenhaadquiridoumaparelhocompreçosuperioraR$300,00(modeloD)é:

108360 =0,3=30%.

b) Areceitabrutaobtidacomavendadonovoaparelhoédadapelafunção

R=n.p=(115–0,5p).p=-0,5p2+115p,cujográficoéumaparábolacomaconcavidadevoltadaparabaixo.Ovalordepquemaximizaessareceitaéobtidonovértice

daparábola.Essevaloréiguala:--115

2 0 25.( , ) =230.

05. Ovalorpresente,Vp,deumaparceladeumfinanciamento,aserpagadaquianmeses,édadopelafórmulaabaixo,emqueréopercentualmensaldejuros(0≤r≤100)epéovalordaparcela.

V p

rp n=

+

1 100

a) SuponhaqueumamercadoriasejavendidaemduasparcelasiguaisdeR$200,00,umaaserpagaàvista,eoutraaserpagaem30dias(ouseja,1mês).Calculeovalorpresentedamercadoria,Vp,supondoumataxadejurosde1%aomês.

b) Imagine que outra mercadoria, de preço 2p, sejavendidaemduasparcelasiguaisap,sementrada,comoprimeiropagamentoem30dias (ouseja,1mês)eosegundoem60dias(ou2meses).Supondo,novamente,queataxamensaldejuroséiguala1%,determineovalorpresentedamercadoria,Vp,eopercentualmínimodedescontoquealojadevedarparaque sejavantajoso, parao cliente, comprar àvista.

Resolução:

a) Temosqueovalorpresentedecadaparcelaédadapor

V p

rp n=

+

1

100

,portantona1ªparcelao

V Vp p1 0 1200

1 1100

200 00=

+

∴ = , pagoàvista.

Na2ªparcelao

V V Vp p p2 1 2 2200

1 1100

200101100

198 02 198 02=

+

∴ = ≅ ∴ ≅, ,

LogooValorPresentedamercadoriaé Vp@ 200+198,02\ Vp@398,02, istoé,Vp@398,02.

b) O valor presente da 1ª parcela após ummês será de

V p

rV pp p1 1

1100

0 99=

+

∴ ≅ ,

Ovalorpresenteda2ªparcelaapósdoismesesseráde V p

rV pp p2 2 2

1100

0 98=

+

∴ ≅ , ,portantooValor

PresentedamercadoriaserádeVp=V Vp p1 2+ @ 1,97p

Como 1 972

0 985, ,pp

@ i s t o é o Va lor P re sente

representa98,5%dovaloraprazo,serávantajosoqualquerdescontoacimade1,5%.

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4

E

45º

F

E

25 2 25 2

07. Sejamdadasasfunçõesf(x)=8

42xeg(x)=4x.

a) Representeacurvay=f(x)nográficoabaixo,emqueoeixoverticalfornecelog2(y).

b) Determineosvaloresdeyezqueresolvemosistemadeequações

f z g yf yg z

( ) ( )( )( )

=

=

1

Dica:convertaosistemaacimaemumsistemalinearequivalente.

Resolução:

a) Devemosterospontosnaforma(x;log2y),queserãoobtidos através da função h(x) = log2f (x), portanto

h x h x

h x x

xx( ) log ( ) log log

( )

=

∴ = − ∴

= −

2 2 2 248

48 2

3 4

Ográficodeh(x)é

x y 2 –5 0 3

b) Sef z g yf y g z

zy

y

z

( ) ( )( ) ( )

==

⇒

=

=

. 1

8

44

8

44

1

2

2

⇒=

=

⇒=

=

−

+

−

2 2 2

2 2 2

2 2

2 2

3 4 2

3 4 2

3 4 2

3 4 2

z y

y z

z y

y z.

.

⇒= +− =

3 4 23 4 2

z yy z

f z g yf y g z

zy

y

z

( ) ( )( ) ( )

==

⇒

=

=

. 1

8

44

8

44

1

2

2

⇒=

=

⇒=

=

−

+

−

2 2 2

2 2 2

2 2

2 2

3 4 2

3 4 2

3 4 2

3 4 2

z y

y z

z y

y z.

.

⇒= +− =

3 4 23 4 2

z yy z

f z g yf y g z

zy

y

z

( ) ( )( ) ( )

==

⇒

=

=

. 1

8

44

8

44

1

2

2

⇒=

=

⇒=

=

−

+

−

2 2 2

2 2 2

2 2

2 2

3 4 2

3 4 2

3 4 2

3 4 2

z y

y z

z y

y z.

.

⇒= +− =

3 4 23 4 2

z yy z

resolvendoosistema,temos:

z=12e y=

12 portanto y=

12 e z=

12

08. Opapagaio(tambémconhecidocomopipa,pandorgaouarraia)éumbrinquedomuitocomumnoBrasil.Afiguraabaixomostra as dimensões de umpapagaio simples,confeccionadocomumafolhadepapelquetemoformatodoquadriláteroABCD,duasvaretasdebambu(indicadasemcinza)eumpedaçodelinha.UmadasvaretaséretaeligaosvérticesAeCdafolhadepapel.Aoutra,queliga os vérticesB eD, tem o formato de um arco decircunferênciaetangenciaasarestasABeADnospontosBeD,respectivamente.

a) Calculeaáreadoquadriláterodepapelqueformaopapagaio.

b) CalculeocomprimentodavaretadebambuqueligaospontosBeD.

Resolução:

a) Dafigura,temos:

sen30º=BE50 ÞBE=25cm

tg45º=BEAE Þ AE=25cm

cos30º=CE50 Þ CE=25 3 cm

AABCD=AABD+ACBD

AABCD=50 252

50 25 32

. .+

( )

AABCD=625(1+ 3 )cm2

b) SeBeDsãopontosdetangência,ABFD é quadrado cujo ladomede 25 2 cm e BC é umarco de circunferência cujocomprimentoé

90

3602 25 2 25 2

2ºº

( ). π π= cm

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09. ConsidereamatrizA=

a a aa a aa a a

11 12 13

21 22 23

31 32 33

,cujos

coeficientessãonúmerosreais.

a) Suponha que exatamente seis elementos dessamatrizsãoiguaisazero.SupondotambémquenãohánenhumainformaçãoadicionalsobreA,calculeaprobabilidadedequeodeterminantedessamatriznãosejanulo.

b) Suponha,agora,queaij=0paratodoelementoemquej>i,equeaij=i−j+1paraoselementosemquej≤i.DetermineamatrizA,nessecaso,ecalculesuainversa,A−1.

Resolução:

a) detA=a11.a22.a33+a12.a23.a31+a13.a21.a32– –a13.a22.a31–a11.a23.a32–a12.a21.a33

OdeterminantedamatrizAserádiferentedezerosomenteseumadasparcelasrelacionadasacimaforoprodutodosseus três elementosquenão sãonulos.Sendoassim,háapenasseispossibilidades(poisháseisparcelas)dedetAserdiferentedezero.

OtotaldemaneirasdetrêselementosdeAseremnãonuloséC9,3=84.

Logo,aprobabilidadedequeodeterminantedeAsejanão

nuloéiguala 684

114

= .

b) Deacordocomoenunciado,A =

1 0 02 1 03 2 1

SendoA–1amatrizinversadeAeIdamatrizidentidade,temos:

AA Ida b cd e fg h i

. .− = ⇒

=1

1 0 02 1 03 2 1

1 0 00 1 000 0 1

Þ

abc

a db ec f

a d gb e hc f i

===

+ =+ =+ =

+ + =+ + =+ + =

100

2 02 02 0

3 2 03 2 03 2 1

Þ

abcdefghi

====−====−=

10021012

1

Þ A− = −−

11 0 02 1 01 2 1

10. Suponhaquef:IR®IRsejaumafunçãoímpar(istoé, f(–x)=–f(x))eperiódica,comperíodo10(istoé,f(x)=f(x+10)).Ográficodafunçãonointervalo[0,5]éapresentadoabaixo.

a) Completeográfico,mostrandoafunçãonointervalo[-10,10],ecalculeovalordef(99).

b) Dadasasfunçõesg(y)=y2–4yeh(x)=g(f(x)),calculeh(3)edetermineaexpressãodeh(x)para2,5≤x≤5.

Resolução:

a) Seafunçãof(x)éímpar,ográficoésimétricoemrelaçãoà origem e se f(x) é periódico de T=10, temos que ográficonointervalo[–10;+10].

Temospelográficoquef(0)=0,f 52 =5,f(5)=0,

f 15

2=–5,...

Equef(99)=f(89)=f(79)=...=f(9)=f(1), entãobastacalcularf(–1). Nointervalo[–5;5]afunçãoéf(x)=2x\f(-1)=f(99)=–2 Entãof(99)=–2.

b)

PorsimetriatemosquearetaquerepresentaafunçãointerceptaoeixoOynoponto(0;10).

Temosqueocoeficienteangulardaretaquerepresenta

afunçãonointervalo 525;

ém=–2.

PorsimetriatemosquearetaquerepresentaafunçãointerceptaoeixoOynoponto(0;10),

portantof(x)=–2x+10,logof(3)=4.

Comoh(x)=g(f(x))\h(x)=(f(x))2–4f(x)\ h(3)=(f(3))2–4f(3)\h(3)=0

Enointervalo 525;

h(x)=(–2x+10)2–4(–2x+10)\

h(x)=4x2-32x+60 Entãoh(3)=0eh(x)=4x2–32x+60,com2,5£ x £ 5.

10

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11. Nodesenhoabaixo,aretay=ax(a>0)earetaquepassaporBeCsãoperpendiculares,interceptando-seemA.SupondoqueBéoponto(2,0),resolvaasquestõesabaixo.

a) DetermineascoordenadasdopontoCemfunçãodea. b) Supondo,agora,quea=3,determineascoordenadas

dopontoAeaequaçãodacircunferênciacomcentroemAetangenteaoeixox.

Resolução:

a) Sejararetadeequação:y=axesejasaretaperpendicular

a r no ponto A. O coeficiente angular de s é -1a.

ComospassapelopontoB(2;0),suaequaçãoé:

yax= − −

1 2( ) .

OpontoCestánaintersecçãodescomoeixoy,portantotemabscissaigualazero.Logo,aordenadadeCéiguala2a.

Portanto,ascoordenadasdeCsão(0; 2a).

b) OpontoAéaintersecçãoentreasretasres.Logo,paraencontrarmosascoordenadasdeA,temososeguintesistema:

y x

y x

=

= − −

313

2( )Þ

x

y

=

=

1535

.

AcircunferênciadecentroemAquetangenciaoeixox

deveterraioiguala 35.

Portanto,opontoAtemcoordenadas( 15; 35)eaequação

dacircunferênciacomcentroemAetangenteaoeixoxé:

x y−

+ −

=

15

35

925

2 2

12. Doissitesderelacionamentodesejamaumentaronúmerodeintegrantesusandoestratégiasagressivasdepropaganda.

O site A, que tem 150 participantes atualmente,espera conseguir 100 novos integrantes em umperíododeumasemanaedobraronúmerodenovosparticipantes a cada semana subsequente.Assim,entrarão100internautasnovosnaprimeirasemana,200nasegunda,400naterceira,eassimpordiante.

Por sua vez, o siteB, que já tem2200membros,acredita que conseguirá mais 100 associados naprimeirasemanaeque,acadasemanasubsequente,aumentaráonúmerodeinternautasnovosem100pessoas.Ouseja,100novosmembrosentrarãonositeBnaprimeirasemana,200entrarãonasegunda,300naterceira,etc.

a) QuantosmembrosnovosositeAesperaatrairdaquia6semanas?QuantosassociadosositeAesperaterdaquia6semanas?

b) EmquantassemanasositeBesperachegaràmarcados10000membros?

Resolução:

a) AsquantidadesdemembrosqueositeAesperaadquiriracadasemanaformamumaprogressãogeométricadeprimeirotermoa1=100erazãoq=2.

Asomados6primeiroselementosdaprogressãoacima

é:Sa q

q61

6 611

100 1 21 2

6300=−−

=−−

=( ) ( )

Ototaldemembrosserá:6300+150=6450. Portanto,ositeAesperaatrair6300novosmembrosnas

próximas6semanaseesperater,nessadata,6450membros.

b) Asquantidadesdenovosmembrosqueo siteBesperaatrairacadasemanaformamumaprogressãoaritméticadeprimeirotermob1=100erazãor=100.Sendoassim,on-ésimotermo,bn,éiguala100n.

Asomadosnprimeirostermosdessaprogressãoé:

S

a a n nn

nn

=+

=+( ) ( )1

2100 100

2 . OtotaldemembrosdositeBnan-ésimasemanaserá:

2200+( )100 100

2+ n n

=10000Þn2+n–156=0Þ

n=–13(nãoconvém)oun=12.

Portanto,ositeBlevará12semanasparaatingiramarcados10000membros.