TRI GONOM E TRÍ A P LA NA Y E SF É RICA. · y trigonometrÍa esfÉrica ... tri gonom e trÍ a p...

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ENUNCIADOS DE PROBLEMAS DE AMPLIACIÓN DE MATEMATICAS Y TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA ISIDORO PONTEE.S.M.C. 88 TRIGONOMETRÍA PLANA Y ESFÉRICA. TRIGONOMETRIA PLANA. 1. Sabiendo que 2 3 < < 4 1 = tg p a p a Halla las restantes razones trigonométricas. 2. Sabiendo que t 1 2t = tg 2 a . Halla las restantes razones trigonométricas. 3. Halla A) (90 ec cos siendo 2 = A tg . 4. Calcula 60 + 45 30 sen 45 cos cos cos 5. Compara 2000 sen con una razón trigonométrica de un ángulo comprendido entre 4 p y 2 p 6. Eliminar el parámetro t , en el sistema: ü = = t m y t sen m x cos .

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ENUNCIADOS DE PROBLEMAS DE AMPLIACIÓN DE MATEMATICAS

Y TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA

ISIDORO PONTE­E.S.M.C. 88

TRIGONOMETRÍA PLANA Y ESFÉRICA.

TRIGONOMETRIA PLANA.

1.­ Sabiendo que 2 3 < <

4 1 = tg π α π α Halla las restantes razones

trigonométricas.

2.­ Sabiendo que t ­ 1

2t = tg 2 α . Halla las restantes razones

trigonométricas.

3.­ Halla A) ­ (90° ec cos siendo 2 = A tg .

4.­ Calcula ° ° ° °

60 + 45 30 sen ­ 45

cos cos cos

5.­ Compara ° 2000 sen con una razón trigonométrica de un ángulo

comprendido entre 4 π y

2 π

6.­ Eliminar el parámetro t , en el sistema:

= =

t m y t sen m x

cos .

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7.­ Eliminar el parámetro t , en el sistema:

=

=

t tg b y t s co

a x .

8.­ Simplificar A) ­ sen(180 A) + (90 + A) ­ (180 A) ­ (90 sen ° • ° ° • ° cos cos .

9.­ Simplificar A) + sen(240 + A) + (120 sen + A sen ° ° .

10.­ Expresar x 3 sen en función x sen .

11.­ Resuelve x tg = 2x sen .

12.­ Transforma en producto 2A s co ­ 3A s co .

13.­ Resolver: π 2 < x < 0 ) 120 + (x sen = y

x sen = y

° .

14.­ Calcula 15 tg como diferencia de ángulos y por el ángulo mitad.

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15.­ Calcula 8

sen π .

16.­ Calcula ° ° sen15 + 105 sen .

17.­ Resuelve x sen = 2x cos .

18.­ Resuelve x sen 6 = x 2x sen 3 cos • con ] 2 , 0 [ x π ∈ .

19.­ Resuelve 2

1 cos x s co = x x sen 2 +

• con ] , 0 [ x π ∈ .

20.­ Si π = c + b + a . Calcula el valor de la expresión:

c ctg b ctg + c ctg a ctg + b ctg a ctg • • • .

21.­ Demuestra que: 5a sen 3a sen =

7a sen + 5a sen 2 + 3a sen 5a sen + 3a sen 2 + a sen .

22.­ Expresa x cos en función de 2 x tg .

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23.­ Determina a para que se verifique la igualdad:

x sen + x x sen ­ x ­

x sen ­ x x sen + x =

a 2x tg

cos cos

cos cos .

24.­ Sea ABC un triángulo plano, estudia, si la fórmula:

B c + C b = a cos cos es cierta en los siguientes casos:

i) ABC rectángulo con ° 90 = A .

ii) ABC rectángulo con ° 90 = B .

iii) ABC acutángulo.

iv) ABC obtusángulo con ° 90 > A .

ii) ABC obtusángulo con ° 90 > B .

25.­ ¿Es cierta alguna de las siguientes fórmulas de Trigonometría Plana:

2 C 2 B) + (A

sen =

c b + a cos y

2 A 2 C) ­ (B sen =

a c ­ b

cos ?. ¿Por qué?.

26.­ ¿Es cierta alguna de las siguientes fórmulas de Trigonometría Plana:

2 ) C ­ (A

2 ) C + (A

tg tg =

c ­ a c + a y

b) ­ p ( p c) ­ p ( a) ­ p ( = tg 2 B , siendo

2 c + b + a = p .

¿Por qué?.

27.­ Calcula a ,si es posible, para que la siguiente fórmula sea cierta:

ax ctg = 9x sen + 7x sen + 5x sen + 3x sen 9x + 7x + 5x + 3x cos cos cos cos .

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28.­ Si π = c + b + a .Calcula el valor de la expresión

2 b 2 c

2 a 2 c

2 c 2 b

2 a 2 b

2 c 2 a

2 b 2 a

ctg tg +

ctg tg +

ctg tg +

ctg tg +

ctg tg +

ctg tg .

29.­ Si π = c + b + a . Compara el valor de la suma de sus tangentes con el

valor del producto de sus tangentes.

30.­ Simplifica la expresión: y) ­ (x + y) + (x y) ­ sen(x ­ y) + sen(x ­

tgx y) + tg(x + 1 tgx ­ y) + tg(x

cos cos • .

31.­ Considerado el faro de la figura. Calcula

la altura del faro respecto al nivel del

mar. Sabiendo que:

m. 72,5 = c 85 = B 63 = A ° °

32.­ Calcula la distancia entre los puntos A y

B .Sabiendo que:

m. 32 = a m. 24 = b 60 = C °

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33.­ Un piloto sale de un punto A y vuela millas 120 en dirección O 38 N ° ,

entonces trata de regresar al punto de partida pero por un error, vuela

millas 150 en dirección E 51 S ° . Calcula a que distancia se encuentra

de A y cual ha de ser la dirección que ha de tomar para llegar a A.

34.­ Un barco navega millas 20 en dirección O 40 S ° y después millas 25

en dirección O 30 N ° . Encontrar a que distancia está del punto de

partida y cual es su orientación respecto a dicho punto.

35.­ Un barco navega millas 40 en dirección E 1 2 42 N ′ ° , después

millas 60 en dirección O 4 2 60 N ′ ° y finalmente millas 30 en dirección

E 29 N ° . Calcula:

a) A que distancia se encuentra del punto de partida.

b) Cual es su orientación respecto al punto de partida.

36.­ Un buque que navega al N se halla en un momento dado en la

enfilación de dos faros que le demoran al O . Una hora después tiene

los faros, uno al O S y otro al O S S . Sabiendo que la distancia entre

los faros es de millas 8 ; halla la velocidad del buque.

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37.­ Resuelve, sin utilizar la calculadora, el siguiente problema:

Un barco que navega con rumbo E 15 N ° , ve por su proa dos escollos

en linea recta. Cambia de rumbo al O N , y al llevar recorridas

millas 5 ve uno de los escollos exactamente al E y el otro al E N .

Calcula la distancia entre los dos escollos.

38.­ Un barco que navega hacia el E observa un faro con una orientación

E 0 1 62 N ′ ° . Cuando el barco ha recorrido m.) (2250 millas 1,215 la

orientación del faro es E 5 2 48 N ′ ° . Si el barco continuara navegando

sin alterar su rumbo.¿Cuál será la menor distancia a que pasará del

faro ?.

39.­ Un faro está situado a millas 10 al Noroeste de un muelle. Un barco

sale del muelle a las a.m. 9 y navega hacia el Oeste a razón de

a millas/hor 12 .¿ A que hora se encontrará a millas 8 del faro ?.

40.­ Halla, sin utilizar la calculadora, la longitud de la sombra de un puente

de un barco (altura del puente m. 30 ) proyectada sobre el barco,

cuando la inclinación de los rayos solares es de ° 15 .

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41.­ Un barco hace el recorrido entre dos islas A y B a la velocidad de

nudos 15 .Si la isla B está situada a millas 133,75 al Este y

millas 256,78 al Norte de A.

a) ¿ Que tiempo tardará en cubrir la distancia que separa las islas ?.

b) ¿ Cual es la orientación de la isla B respecto a la isla A ?.

42.­ Resuelve sin utilizar la calculadora:

Dos barcos tienen equipos de radio cuyo alcance es de 200 millas

náuticas. Uno de los barcos se encuentra a 125 millas E 5 4 68 N ′ °

de una estación costera, y el otro a 105 millas O 5 1 51 N ′ ° .

¿A que distancia se encuentran entre sí?. ¿Se pueden comunicar

entre ellos?.

NOTA: El problema se considera sobre un plano.

43.­ La corriente de un río corre hacia el S a a millas/hor 15 . Una lancha a

motor, que navega a a millas/hor 30 en aguas tranquilas, se encuentra

en la orilla derecha, siguiendo el cauce del río.

¿ Cuál debe ser la orientación inicial del bote para atravesar el río

directamente hacia el E y cuál es la velocidad resultante ?.

44.­ Un buque sale de un punto A con rumbo E 30 N ° durante 6 horas,

con una velocidad de nudos 15 , pero existe una corriente de rumbo

E 60 S ° a razón de nudos 5 .

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a) ¿ Cuál es el rumbo efectivo (final) del buque?.

b) ¿ Cuál es la distancia recorrida?.

NAVEGACION AEREA.DISTANCIA CORTA.

ORIENTACION: Es la dirección (determinada por la lectura de la

brújula) que enfila el avión. Se mide a partir del Norte, en el mismo

sentido que las agujas del reloj. Nosotros lo mediremos clásicamente

N 45º O ó 315º.En la figura el ángulo NOA.

RUMBO O DERROTA: Es la dirección y sentido en el que se mueve

el avión respecto a la Tierra. Se mide igual que la orientación. Su valor

es diferente al de la orientación por efecto del viento. En la figura el

ángulo NOB.

DERIVA O ANGULO DE DESVIACION: Es la diferencia entre la

orientación y el rumbo. En la figura es el ángulo AOB.

RAPIDEZ RESPECTO A LA TIERRA: Es la velocidad del avión

respecta la Tierra. En la figura se representa por la magnitud OB.

RAPIDEZ RESPECTO AL AIRE: Viene determinada por la lectura del

indicador de velocidad en el aire. En la figura se representa por la

magnitud OA.

RAPIDEZ DEL VIENTO: Es la velocidad del viento. En la figura viene

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representada por la magnitud AB.

ANGULO DEL VIENTO: Es la orientación del viento. En la figura se

representa por el ángulo N'AO.

45.­ En un momento determinado el velocímetro de una avioneta marca

una velocidad de Km./h 400 con una orientación E 45 N ° ; el viento se

desplaza a una velocidad de Km./h 90 con una orientación O 60 N ° .

Calcula:

i) Velocidad de la avioneta respecto a la Tierra.

ii) Deriva.

iii) Derrota o rumbo.

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INTRODUCCION A LA TRIGONOMETRIA ESFERICA

46.­ Determina si es posible construir un triángulo esférico C B A en cada

uno de los siguientes casos:

i) ° ° ° 100 = A C 70 = C B 50 = B A .

ii) ° ° ° 120 = A C 65 = C B 35 = B A .

iii) ° ° ° 120 = A C 100 = C B 150 = B A .

47.­ Encontrar las partes del triángulo polar del triángulo esférico en el que

i) ° ′ ° ′ ° 90 = C 1 1 83 = B 6 5 156 = A

8 1 106 = c 2 2 72 = b 5 5 157 = a ′ ° ′ ° ′ ° .

ii) 7 85 = C 7 4 112 = B 9 5 44 = A ′ ° ′ ° ′ °

5 1 105 = c 6 3 116 = b 7 1 43 = a ′ ° ′ ° ′ ° .

48.­ Demuestra que ° ° 540 < C + B + A < 180 .

49.­ ¿ Es posible obtener un triángulo esférico C B A cuyos lados sean :

i) ° ° ° 70 50 30 .

ii) ° ° ° 10 150 170 ?.

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50.­ ¿ Es posible obtener un triángulo esférico C B A cuyos ángulos sean :

i) ° ° ° 111 37 30 .

ii) ° ° ° 140 85 40 ?.

51.­ El área de la superficie de una esfera de radio R es R 4 2 π . El área a

de un triángulo esférico (sobre esta esfera) es 180

E R 2 π (E expresado en

grados).¿ Qué parte del área de una esfera de m. 10 = R está limitada por el triángulo esférico de ángulos ° 110 = C = B = A ?.

52.­ Encontrar la diferencia de longitudes entre las ciudades:

a)SANFRANCISCO ( O 7 15, 122 Long. ′ ° ) y DAKAR ( O 0 25, 17 Long. ′ ° ).

b) SAN FRANCISCO y MELBOURNE ( E 5 58, 144 Long. ′ ° ).

c) DAKAR y CIUDAD DEL CABO ( E 0 26, 18 Long. ′ ° ).

d) MELBOURNE y CIUDAD DEL CABO.

53.­ Encontrar la distancia (expresada en millas náuticas) entre los puntos

O) 120 Long. , N 0 4 40 lat. ( A ° ′ ° y O) 120 Long. , N 5 2 75 lat. ( B ° ′ ° .

54.­ a) Encontrar la distancia (expresada en millas náuticas) entre los

puntos O) 10 Long. , N 0 3 10 lat. ( A ° ′ ° y O) 10 Long. , S 0 3 50 lat. ( B ° ′ ° .

b) Encontrar la distancia (expresada en millas náuticas) entre los

puntos O) 160 Long. , N 0 3 10 lat. ( A ° ′ ° ′ y O) 160 Long. , S 0 3 50 lat. ( B ° ′ ° ′ .

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55.­ a) Encontrar la distancia (expresada en millas náuticas) entre los

puntos O) 30 Long. , N 10 lat. ( A ° ° y ) E 40 Long. , N 10 lat. ( B ° ° .

b) Encontrar la distancia (expresada en millas náuticas) entre los

puntos O) 30 Long. , N 80 lat. ( A ° ° ′ y E) 40 Long. , N 80 lat. ( B ° ° ′ .

56.­ a) Un barco navega millas 100 hacia el O en la latitud de N 10° .Halla

el cambio de longitud.

a) Calcula ese mismo cambio, si lo hiciese en la latitud de N 85° .

57.­ Un buque se encuentra en un punto

E) 3 20, 132 Long. , S 0 3 56 lat. ( A ′ ° ′ ° navega horas 24 al O a una

velocidad de nudos 15 . Calcula su nueva situación.

58.­ Halla el tiempo que tardará en recorrer la distancia que separa los

puntos O) 40 Long. , N 5 2 20 lat. ( A ° ′ ° y ) O 15 Long. , N 5 2 20 lat. ( B ° ′ °

un barco que navega a nudos 12 .

59.­ Un barco que se desplaza entre dos puntos

O) 80 Long. , S 0 3 45 lat. ( A ° ′ ° y ) O 100 Long. , S 0 3 45 lat. ( B ° ′ ° ,

tarda en hacer el recorrido dÍas 2 .¿A qué velocidad se desplaza?.

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60.­ Un barco que se encuentra en un punto

E) 0 2 32 Long. , S 0 3 56 lat. ( a ′ ° ′ ° navega al E a una velocidad de

nudos 20 .¿ Cuánto tiempo tardará en volver a pasar por a ?.

61.­ a) Calcula lo que mide el paralelo que pasa por LOS ANGELES

O) 6 1 118 Long. , N 3 4 33 lat. ( ′ ° ′ °

b) Calcula un punto de la superficie terrestre en el que su paralelo

mida el doble que el que pasa por LOS ANGELES. Calcula otro punto

en el que su paralelo mida la mitad.

62.­ Un barco se encuentra en un punto

O) 6 5 25, 30 Long. , S 8 7 52, 26 lat. ( A ′ ° ′ ° el día 4 de noviembre a las

horas 00 : 10 , navegando con rumbo N y velocidad de nudos 20 , el 7

de noviembre a las horas 00 : 08 cambia de rumbo y navega al E .

Halla las coordenadas geográficas a las horas 00 : 09 del día 10 de

noviembre.

63.­ Un buque parte de un punto O) 8 2 120 Long. , S 7 32, 35 lat. ( A ′ ° ′ ° y

navega con rumbo O 58 N ° , a las horas 00 : 08 del día siguiente ha

contraído una diferencia de latitud millas 90 = l ∆ y una diferencia de

Longitud millas 80 = L ∆ ( OJO: no ha recorrido 80 millas).Halla sus

nuevas coordenadas geográficas.

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64.­ Un buque se encuentra en un punto

E) 7 32, 127 Long. , S 0 3 45 lat. ( A ′ ° ′ ° navega horas 10 al E a una

velocidad de nudos 16 .Calcula sus nuevas coordenadas geográficas.

65.­ Un avión parte de ) E 10 Long. , N 30 lat. ( A ° ° , vuela hacia el

millas 900 N , a continuación cambia de rumbo hacia el E y vuela

millas 1200 , vuelve a cambiar de rumbo hacia el S y vuela millas 900

para finalmente volar hacia el millas 1200 O . ¿ A qué distancia se

encuentra del punto de partida?.

TRIANGULOS ESFERICOS RECTANGULOS

66.­ Resuelve el triángulo esférico C B A rectángulo con ° 90 = A

conociendo : 8 12, 50 = b 4 15, 72 = a ′ ° ′ ° .

67.­ Resuelve el triángulo esférico C B A rectángulo con ° 90 = A

conociendo : 6 12, 17 = b 5 37, 110 = a ′ ° ′ ° .

68.­ Resuelve el triángulo esférico C B A rectángulo con ° 90 = C

conociendo : 1 14, 120 = b 5 13, 120 = c ′ ° ′ ° .

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ISIDORO PONTE­E.S.M.C.103

69.­ Resuelve el triángulo esférico C B A rectángulo con ° 90 = B

conociendo : 5 12, 50 = A 4 25, 73 = b ′ ° ′ ° .

70.­ Resuelve el triángulo esférico C B A rectángulo con ° 90 = A

conociendo : 8 14, 110 = B 7 23, 115 = a ′ ° ′ ° .

71.­ Resuelve el triángulo esférico C B A rectángulo con ° 90 = B

conociendo : 5 43, 71 = c 2 35, 118 = a ′ ° ′ ° .

72.­ Resuelve el triángulo esférico C B A rectángulo con ° 90 = A

conociendo : 6 12, 155 = B 8 38, 67 = C ′ ° ′ ° .

73.­ Resuelve el triángulo esférico C B A rectángulo con ° 90 = A

conociendo : 8 49, 123 = C 3 49, 75 = b ′ ° ′ ° .

74.­ Resuelve el triángulo esférico C B A rectángulo con ° 90 = A

conociendo : 3 45, 103 = B 2 41, 137 = b ′ ° ′ ° .

75.­ Resuelve el triángulo esférico C B A rectángulo con ° 90 = B

conociendo : 7 36, 122 = b 4 22, 158 = c ′ ° ′ ° .

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ISIDORO PONTE­E.S.M.C.104

76.­ Dado el triángulo esférico C B A rectángulo con ° 90 = A del que

conocemos a y C + B . Resuelve el triángulo.

77.­ Dado el triángulo esférico C B A rectángulo con ° 90 = A del que

conocemos a y C ­ B . Resuelve el triángulo.

78.­ Dado el triángulo esférico C B A rectángulo con ° 90 = A del que

conocemos c y b ­ a . Calcula a y b .

79.­ Dado el triángulo esférico C B A rectángulo con ° 90 = A del que

conocemos b y C + B . Calcula B y C .

80.­ Dado el triángulo esférico C B A rectángulo con ° 90 = A del que

conocemos b y B ­ a . Calcula a y B .

81.­ Dado el triángulo esférico C B A rectángulo con ° 90 = B del que

conocemos c y a ­ b . Calcula a y b .

82.­ Resuelve el triángulo esférico C B A rectángulo con ° 90 = B

conociendo 6 7 36, 26 = c ­ b 0 5 24, 71 = a ′ ° ′ ° .

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ISIDORO PONTE­E.S.M.C.105

83.­ Resuelve el triángulo esférico C B A rectángulo con ° 90 = A

conociendo : 6 2 45, 246 = b + C 0 8 15, 138 = B ′ ° ′ ° .

84.­ Dado el triángulo esférico C B A rectángulo con ° 90 = C .¿Es cierta la

fórmula : b sen 2 = B) ­ (c ­ B) + (c s co cos ?. Porqué.

85.­ Dado el triángulo esférico C B A rectángulo con ° 90 = B .¿Es cierta la

fórmula :

b 2 c) + (a ­ 1 b 2 = c) ­ (a

cos cos cos cos ?. Si no es cierta

complétala.

86.­ Dado el triángulo esférico C B A rectángulo con ° 90 = B .¿Es cierta la

fórmula : ) C ­ (A ) C + (A = tg 2 b 2 sec cos • ?. Si no es cierta complétala.

87.­ Dado el triángulo esférico C B A rectángulo con ° 90 = C .¿Es cierta la

fórmula : ] + tg[ ] ­ tg[ = tg

2 B A­

4

2 B + A

4 2 b 2

π

π

?. Si no es cierta complétala.

88.­ Dado el triángulo esférico C B A rectángulo con ° 90 = A . Encuentra una fórmula que relacione a los datos siguientes b + a , b ­ a y B .

89.­ Dado el triángulo esférico C B A rectángulo con ° 90 = B . Encuentra una fórmula que relacione a los datos siguientes A + b , b ­ A y a .

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90.­ Dado el triángulo esférico C B A rectángulo con ° 90 = A . Encuentra una fórmula que relacione a : 2

a tg , ) C + (B s co y ) C ­ (B s co .

91.­ El rumbo inicial de un buque a lo largo de una circunferencia máxima, a partir de CIUDAD DEL CABO ) E 6 2 18 Long. , S 0 1 34 (lat. C ′ ° ′ ° es

O 70 S ° , localizar el punto B del recorrido más cercano al Polo Sur S . Calcula a que distancia está B del Polo Sur y a que distancia del Polo Norte.

92.­ El rumbo inicial de un buque a lo largo de una circunferencia máxima, a partir de PORT OF SPAIN (Trinidad)

) O 0 3 61 Long. , N 0 4 10 (lat. P ′ ° ′ ° es E 5 1 20 N ′ ° , localizar el punto A del recorrido más cercano al Polo Norte N . Calcula a que distancia está A del punto de partida así como la distancia de dicho punto al Polo Norte. NOTA: resolver el problema usando triángulos esféricos rectiláteros.

93.­ i) Un barco parte de CIUDAD DEL CABO ) E 6 2 18 Long. , S 0 1 34 (lat. C ′ ° ′ ° con un rumbo inicial hacia el O a lo

largo de un paralelo. Calcula su posición cuando ha recorrido millas 500 .

ii) Un barco parte de CIUDAD DEL CABO ) E 6 2 18 Long. , S 0 1 34 (lat. C ′ ° ′ ° con un rumbo inicial hacia el O a lo

largo de una circunferencia máxima. Calcula su orientación y posición cuando ha recorrido millas 500 .

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94.­ A las horas 00 : 00 del día enero 1 , un barco tiene de coordenadas geográficas ) O 5 47 Long. , S 2 38 (lat. ′ ° ′ ° y navega con rumbo

E 60 N ° , siguiendo un arco de circunferencia máxima con una velocidad de nudos 18 . Calcula: i) Longitud del punto de corte con el ecuador. ii) Hora y fecha de paso por dicho punto.

95.­ Dos barcos A y B salen a las horas 00 : 05 del día enero 1 de un punto ) O 120 Long. , N 5 3 30 (lat. C ° ′ ° , a través de arcos de circunferencia

máxima. A navega con rumbo de salida E 60 N ° y con velocidad de nudos 15 , B navega con rumbo de salida O 30 N ° y con velocidad de nudos 18 . Se pide la distancia entre ambos barcos a las horas 00 : 07

del día enero 6 .

TRIANGULOS ESFÉRICOS RECTILATEROS Y EQUILATEROS

96.­ ¿ Puede ocurrir en un triángulo esférico C B A rectilátero con ° 90 = b que algún ángulo sea de ° 90 ?.

97.­ Sea C B A un triángulo con ° 90 = b = a birrectilátero. ¿ Que ocurre con los restantes elementos del triángulo ?.

98.­ ¿ Puede existir algún triángulo esférico C B A rectilátero con ° 90 = b que satisfaga alguna de las siguientes condiciones i) ° 270 > c + a ii) ° 90 > c ­ a ó ° 90 > a ­ c ?.

ENUNCIADOS DE PROBLEMAS DE AMPLIACIÓN DE MATEMATICAS

Y TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA

ISIDORO PONTE­E.S.M.C.108

99.­ ¿ Puede existir algún triángulo esférico C B A rectilátero con ° 90 = c que satisfaga alguna de las siguientes condiciones i) ° 90 < b + a ii) C sen > A sen ó C sen > B sen ?.

100.­ ¿ Puede existir algún triángulo esférico C B A rectilátero con ° 90 = a que satisfaga alguna de las siguientes condiciones i) b y B estén en distinto cuadrante. ii) ° 90 > C > A ?.

101.­ Resuelve el triángulo esférico C B A rectilátero con ° 90 = a conociendo : 2 47, 129 = B 6 44, 107 = A ′ ° ′ ° .

102.­ Resuelve el triángulo esférico C B A rectilátero con ° 90 = b conociendo : 6 34, 106 = B 5 47, 129 = a ′ ° ′ ° .

103.­ Resuelve el triángulo esférico C B A cuadrantal con ° 90 = a conociendo : 2 21, 112 = c 4 47, 24 = b ′ ° ′ ° .

104.­ Resuelve el triángulo esférico C B A cuadrantal con ° 90 = c conociendo : 8 18, 122 = B 9 34, 60 = a ′ ° ′ ° .

105.­ Resuelve el triángulo esférico C B A rectilátero con ° 90 = a conociendo : 6 53, 32 = C 9 24, 115 = B ′ ° ′ ° .

106.­ Resuelve el triángulo esférico C B A rectilátero con ° 90 = c conociendo : 4 45, 56 = A 2 15, 69 = a ′ ° ′ ° .

ENUNCIADOS DE PROBLEMAS DE AMPLIACIÓN DE MATEMATICAS

Y TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA

ISIDORO PONTE­E.S.M.C.109

107.­ Resuelve el triángulo esférico C B A rectilátero con ° 90 = b conociendo : 8 7 31, 43 = a ­ c 5 2 22, 81 = B ′ ° ′ ° .

108.­ Resuelve el triángulo esférico C B A rectilátero con ° 90 = c conociendo : 7 8 19, 2 = C ­ b 2 6 56, 114 = B ′ ° ′ ° .

109.­ Dado un triángulo esférico C B A rectilátero con ° 90 = a del que conocemos: C y B + A , calcula A y B .

110.­ Dado un triángulo esférico C B A rectilátero con ° 90 = b del que conocemos: A y a ­ B , calcula B y a .

111.­ Dado un triángulo esférico C B A rectilátero con ° 90 = c .Encuentra una fórmula que relacione a los datos C + B , C ­ B y b .

112.­ Dado un triángulo esférico C B A rectilátero con ° 90 = b . Completa la

fórmula:

B 2 C) + (A + 1 =

B A) ­ (C

cos cos

cos cos .

113.­ Resuelve el triángulo esférico C B A equilátero del que sabemos que 7 1, 4 = b ­ B ′ ° .

114.­ Resuelve el triángulo esférico C B A isósceles del que sabemos que 2 36, 112 = A 4 28, 54 = c = b ′ ° ′ ° .

ENUNCIADOS DE PROBLEMAS DE AMPLIACIÓN DE MATEMATICAS

Y TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA

ISIDORO PONTE­E.S.M.C.110

115.­ Resuelve el triángulo esférico C B A isósceles del que sabemos que 6 54, 118 = C 5 23, 78 = b = a ′ ° ′ ° .

116.­ Resuelve el triángulo esférico C B A isósceles del que sabemos que 0 15, 132 = a 5 52, 38 = C = B ′ ° ′ ° .

117.­ Un buque que parte de la ISLA DE PASCUA ) O 110 Long. , S 27 (lat. P ° ° y que navega a lo largo de una

circunferencia máxima corta al Ecuador en un punto cuya longitud es O 140° . Encontrar el rumbo inicial y final del buque.

118.­ Un barco parte de NUKU­IVA (Islas Marquises) ) O 0 1 140 Long. , S 0 1 9 (lat. I ′ ° ′ ° con un rumbo , a lo largo de una

circunferencia máxima, de ° 315 . i) Halla las coordenadas geográficas del primer punto del Ecuador por el que pasa. ii) Calcula la distancia entre dicho punto del Ecuador y el punto de partida.

119.­ El rumbo de un buque a lo largo de una circunferencia máxima, a partir de ISLA DE SAN BENEDICTO

) O 0 2 110 Long. , N 0 2 19 (lat. B ′ ° ′ ° es O 50 S ° . Localizar el punto donde su rumbo corta al Ecuador, así como la distancia, en la circunferencia máxima, recorrida hasta dicho punto.

120.­ Un barco que sale de HILO (Hawaii) ) O 155 Long. , N 18 (lat. H ° ° y que sigue una circunferencia máxima corta al ecuador en un punto

) O 150 Long. , N 0 (lat. E ° ° . ¿ A que distancia está E de HILO ?.

ENUNCIADOS DE PROBLEMAS DE AMPLIACIÓN DE MATEMATICAS

Y TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA

ISIDORO PONTE­E.S.M.C.111

RESOLUCION DE TRIANGULOS ESFÉRICOS OBLICUÁNGULOS

121.­ Resuelve el triángulo esférico C B A conociendo : 3 14, 61 = c 5 36, 72 = b 6 24, 112 = a ′ ° ′ ° ′ ° .

122.­ Resuelve el triángulo esférico C B A conociendo : 8 12, 89 = C 6 58, 37 = B 4 28, 62 = A ′ ° ′ ° ′ ° .

123.­ Resuelve el triángulo esférico C B A conociendo : 6 16, 78 = C 6 52, 63 = b 4 25, 113 = a ′ ° ′ ° ′ ° .

124.­ Resuelve el triángulo esférico C B A conociendo : 6 12, 61 = B 2 54, 82 = A 7 32, 104 = a ′ ° ′ ° ′ ° .

125.­ Resuelve el triángulo esférico C B A conociendo : 4 34, 45 = C 3 20, 27 = c 8 12, 96 = A ′ ° ′ ° ′ ° .

126.­ Resuelve el triángulo esférico C B A conociendo : 1 25, 47 = C 8 19, 52 = c 3 42, 81 = b ′ ° ′ ° ′ ° .

127.­ Resuelve el triángulo esférico C B A conociendo : 5 57, 84 = C 7 42, 66 = B 4 8, 107 = a ′ ° ′ ° ′ ° .

ENUNCIADOS DE PROBLEMAS DE AMPLIACIÓN DE MATEMATICAS

Y TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA

ISIDORO PONTE­E.S.M.C.112

128.­ Resuelve el triángulo esférico C B A conociendo : 8 35, 64 = c 4 23, 95 = A 2 53, 98 = a ′ ° ′ ° ′ ° .

129.­ Resuelve el triángulo esférico C B A conociendo : 7 10, 56 = B 5 52, 35 = A 6 38, 40 = a ′ ° ′ ° ′ ° .

130.­ Resuelve el triángulo esférico C B A conociendo : 0 4, 82 = b 2 34, 83 = A 3 5, 80 = a ′ ° ′ ° ′ ° .

131.­ Resuelve el triángulo esférico C B A conociendo : 3 3, 101 = C + B 6 52, 128 = A 6 24, 112 = a ′ ° ′ ° ′ ° .

132.­ De un triángulo esférico C B A se conocen los siguientes datos: p , A y B . Calcula c . ¿Cuántas soluciones son posibles y en que casos ?.

133.­ De un triángulo esférico C B A se conocen los siguientes datos: b , c y C ­ B . Calcula C + B .

134.­ De un triángulo esférico C B A se conocen los siguientes datos: B , b y C + A . Calcula a y c .

135.­ De un triángulo esférico C B A se conocen los siguientes datos: B , c + a y C + A . Resuelve el triángulo .

ENUNCIADOS DE PROBLEMAS DE AMPLIACIÓN DE MATEMATICAS

Y TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA

ISIDORO PONTE­E.S.M.C.113

136.­ Resuelve el triángulo esférico C B A conociendo : 0 8 45, 22 = C ­ A 9 5 7, 92 = c 0 4 8, 107 = a ′ ° ′ ° ′ ° .

137.­ De un triángulo esférico C B A se conocen los siguientes datos: 3 56, 145 = p ′ ° , 0 58, 117 = A ′ ° y 8 13, 93 = B ′ ° . Calcula los tres lados.

138.­ Un buque parte del puerto de LA CORUÑA ) O 5 2 8 Long. , N 0 2 43 (lat. C ′ ° ′ ° con un rumbo desconocido, a lo largo

de una circunferencia máxima, hacia el Oeste, llegando a un punto A de latitud N 55° . Calcula: i) La situación del punto A . ii) Rumbo de salida y rumbo de llegada.

139.­ Las longitudes de dos puntos A y B situados en el hemisferio Norte son O 160 = . Long A ° y E 165 = . Long B ° . Un buque pasa por el punto A con un rumbo de salida E 65 N ° y navegando a lo largo de una circunferencia máxima llega a B con un rumbo de llegada E 70 N ° . Calcula: i) Distancia entre A y B . ii) Latitud de A y latitud de B .

140.­ Las coordenadas de un radio­faro son ) E 160 Long. , N 50 (lat. R ° ° . En un momento dado, la demora de un buque B tomada desde R es E 60 S ° y la distancia millas 2100 . Calculas las coordenadas geográficas del buque.

141.­ Calcula la distancia entre dos puntos ) L Long. , l lat. ( A A A y ) L Long. , l lat. ( B B B de la Tierra.

ENUNCIADOS DE PROBLEMAS DE AMPLIACIÓN DE MATEMATICAS

Y TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA

ISIDORO PONTE­E.S.M.C.114

142.­ Calcula la distancia en Kms. entre GIJON ) O 4 2 5 Long. , N 3 3 43 (lat. G ′ ° ′ ° y CADIZ ) O 0 2 6 Long. , N 0 3 36 (lat. C ′ ° ′ ° .

143.­ Calcula la distancia en Kms. entre GIJON ) O 4 2 5 Long. , N 3 3 43 (lat. G ′ ° ′ ° y HONG­KONG

) E 0 1 114 Long. , N 8 1 22 (lat. H ′ ° ′ ° .

144.­ Un avión cubre la ruta : ASTURIAS ) O 7 5 5 Long. , N 6 3 43 (lat. A ′ ° ′ ° ­ SAN FRANCISCO (EE.UU.) ) O 5 2 122 Long. , N 8 4 37 (lat. S ′ ° ′ ° ­ TOKIO (JAPON) ) E 5 4 139 Long. , N 3 4 35 (lat. T ′ ° ′ ° y el regreso lo efectúa los días pares TOKIO­ASTURIAS y los días impares TOKIO­ SAN FRANCISCO­ASTURIAS. Sabiendo que en cada escala se detiene horas 2 y que su velocidad media es de km/h 1000 ,estudia que tiempo emplea en efectuar cada ruta completa (salida y llegada a ASTURIAS). NOTA: supóngase que se desplaza lo más próximo a tierra posible.

145.­ Calcula el rumbo de salida(inicial) entre dos puntos ) L Long. , l lat. ( A A A

y ) L Long. , l lat. ( B B B de la superficie terrestre.

146.­ Un avión cubre la ruta : ASTURIAS ) O 7 5 5 Long. , N 6 3 43 (lat. A ′ ° ′ ° ­ SAN FRANCISCO (EE.UU.) ) O 5 2 122 Long. , N 8 4 37 (lat. S ′ ° ′ ° ­ TOKIO (JAPON) ) E 5 4 139 Long. , N 3 4 35 (lat. T ′ ° ′ ° . Calcula los rumbos iniciales en las rutas: ASTURIAS­SAN FRANCISCO , SAN FRANCISCO­TOKIO y TOKIO­ASTURIAS.

ENUNCIADOS DE PROBLEMAS DE AMPLIACIÓN DE MATEMATICAS

Y TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA

ISIDORO PONTE­E.S.M.C.115

147.­ Calcula el vértice (punto de mayor latitud de la derrota) de la ruta entre dos puntos ) L Long. , l lat. ( A A A y ) L Long. , l lat. ( B B B de la superficie terrestre.

148.­ Un avión cubre la ruta : ASTURIAS ) O 7 5 5 Long. , N 6 3 43 (lat. A ′ ° ′ ° ­ SAN FRANCISCO (EE.UU.) ) O 5 2 122 Long. , N 8 4 37 (lat. S ′ ° ′ ° ­ TOKIO (JAPON) ) E 5 4 139 Long. , N 3 4 35 (lat. T ′ ° ′ ° .Calcula el punto más cercano al Polo Norte por los que pasa en la ruta ASTURIAS­ SAN FRANCISCO­TOKIO­ASTURIAS, dando su situación y la distancia a la que se encuentra del Polo Norte.

149.­ Dos barcos parten de dos puertos A y B situados en el Hemisferio Norte ) L Long. , l lat. ( A A A y ) L Long. , l lat. ( B B B , navegando por circunferencias máximas y con la misma velocidad; después de cierto tiempo se encuentran en el meridiano de longitud LE (meridiano situado entre los meridianos de A y B en su camino más corto). Calcula: i) La latitud del punto de encuentro. ii) Distancia recorrida. iii) Distancia entre los puertos A y B .

150.­ Dos buques que en un momento determinado se hallan en dos puntos ) O 30 Long. , N 20 (lat. A ° ° y ) O 70 Long. , N 35 (lat. B ° ° navegando

por circunferencias máximas con la velocidad de nudos 15 , se encuentran en el meridiano de Longitud O 45° . Calcula: i) Tiempo de navegación hasta su encuentro. ii) Coordenadas de dicho punto de encuentro.