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“STATO CRITICO”

UNIVERSITA’

DEGLI STUDI DI FIRENZEDipartimento di Ingegneria Civile e AmbientaleSezione geotecnica (www.dicea.unifi.it/geotecnica)

Johann [email protected]

http://www.dicea.unifi.it/~johannf/

Corso di GeotecnicaIngegneria Edile, A.A. 2010\2011

Percorsi tensionali

2/632/63

Dr. Dr. IngIng. Johann Facciorusso. Johann FacciorussoCorso di Geotecnica per Ingegneria EdileCorso di Geotecnica per Ingegneria EdileA.A. 2010/2011A.A. 2010/2011

STATI E PERCORSI TENSIONALI

Def.

Lo

stato

tensionale

in

un

punto

di

un

mezzo

continuo

solido

in condizioni assialsimmetriche

è

rappresentato nel piano di Mohr

(σ, τ)

da un

cerchio

avente

il

centro

sull’asse

delle

ascisse

(cerchio

di

Mohr).

La successione

continua

degli

stati

tensionali

che

il

terreno

attraversa

si

definisce percorso tensionale.

Un percorso tensionale

può essere definito come:‐

una successione di cerchi sul piano di Mohr‐

una

linea

continua

ottenuta

esprimendo

lo

stato

tensionale

in

funzione

delle variabili di tensione

O

A

t

s

τ

σσ3

a)

σ1

(σ1-σ

3)/2

(σ1+σ

3)/2

b)

(σ1+σ

3)/2

O σ3

(σ1+σ

3)/2

A

O

Percorso tensionale

( )2

s 31 σ+σ=

( )2

t 31 σ−σ=

32

p 31 σ⋅+σ=

31q σ−σ=

(q)

(p)

Percorsi tensionali

33/63/63


1)

Le

variabili

t

e

s,

per

ogni

stato

tensionale

rappresentano

il

vertice

del cerchio

di

Mohr

corrispondente

sul

piano

di

Mohr

ed

hanno

solo

un

significato geometrico.

2)

Le

variabili

p

e

q,

rappresentano

rispettivamente

la

pressione

media

e

il deviatore delle tensioni (invarianti di tensione)

3tsp −=

t2q ⋅=

6qps +=

2qt =

Tali parametri di tensione sono legati dalle seguenti relazioni biunivoche

Percorsi tensionali

44/63/63


Nel

caso

dei

terreni

i

percorsi

tensionali

possono

essere

definiti

con riferimento sia alle tensioni totali

(TSP = Total Stess

Path) sia alle tensioni

efficaci

(ESP = Effective

Stress Path).Applicando il principio delle tensioni efficaci

si ha

( ) us2

'''s 31 −=σ+σ

=

( ) t2

'''t 31 =σ−σ

=

up3

'2''p 31 −=σ⋅+σ

=

q'''q 31 =σ−σ=

Utilizzando

i

percorsi

tensionali

è

possibile

descrivere

la

successione continua nel tempo degli stati tensionali

totali ed efficaci

di un provino di

terreno

durante

l’esecuzione

delle

prove

geotecniche

assialsimmetriche standard di laboratorio che sono state descritte, nei piani:

(s’, t)(s, t)

(p’, q)(p, q)TSP

ESP

Percorsi tensionali

55/63/63


1) CONSOLIDAZIONE isotropa (Δσ)

A s,s’

t

B.P.

A’ B’ B

A = stato tensionale

iniziale totale

A’

= stato tensionale

iniziale efficace

u0

= 0 A = A’

B = stato tensionale

finale totale (t = ∞)

B’

= stato tensionale

finale efficace (t = ∞)

(q)

(p,p’)

Δσ

C = stato tensionale

intermedio totale (t > 0)C’

= stato tensionale

intermedio efficace (t > 0)

B = B’= CC’A = A’

Δu

Prima fase delle prove TxCID,TXCIU

A

B

s,s’

t

u(t)45°

TSP

Δ Δσs =

( ) 1+k Δσ

( ) 1-k Δσ

( ) 1-k Δσ2

2

2

ESP TSP

A’

B’

V’V

αk0 0 0= arctg[(1-K )/(1+K )]

(T = 0) (T = 0)

0

0 0

0

0

(T = T )c

C

Δs’ =

Δt =

Δs -Δs’ =

Percorsi tensionali

66/63/63


2) CONSOLIDAZIONE edometrica

(Δσ)

A = stato tensionale

iniziale totale

A’

= stato tensionale

iniziale efficace


finale totale (t = ∞)

B’

= stato tensionale

finale efficace (t = ∞)


totale (t = 0)C’

= stato tensionale

efficace (t = 0)

A = A’

= C’

B = B’

V = stato tensionale

totale (t > 0)V’

= stato tensionale

iniziale efficace (t > 0)

( )( ) 's

K1K1

t0

0 ⋅+−

=

LINEA K0

Prova edometrica

u0

= 0 A = A’

Percorsi tensionali

77/63/63


3) COMPRESSIONE ASSSIALE (Δσ)


iniziale totale

B’

= stato tensionale

iniziale efficace


finale totale

C’

= stato tensionale

finale efficace

Seconda fase delle prove TxCID,TXCIU

s,s’

t

45°

B.P.

B’

C’ C

B

ESP

TSP

(q)

(p,p’)

31

Δt’

= Δt =Δσ/2

Δs’

= Δs = Δσ/2

t = s’

+ s’0

Δq = Δq’

= Δσ

Δp = Δp’

= Δσ/3q = p’/3 + p’0(q = p/3 + p0

)

(t = s + s0

)

Caso drenato (TxCID)

p0p’0

Percorsi tensionali

88/63/63


3) COMPRESSIONE ASSSIALE (Δσ)


iniziale totale

B’

= stato tensionale

iniziale efficace


finale totale

C’

= stato tensionale

finale efficace

Seconda fase delle prove TxCID,TXCIU)

Caso non drenato (TxCIU)

s,s’

t

45°

B.P.Δu

B’

a)

C’ C

B

ESP

TSP

s,s’

t

45°

B.P.Δu

B’

b)

C’ C

B

ESP

TSP

Terreno NC Terreno OC

Percorsi tensionali

99/63/63


In

generale

a

incrementi

delle

tensioni

principali

maggiore

e

minore rispettivamente

pari

a

Δσ1

e

a

Δσ2

=

Δσ3

corrisponde

un

segmento

di percorso tensionale

di lunghezza L e pendenza α:

s-ts-t

τ, t

σ, sO

ΔL αΔt

3Δσ 1Δσ

Δs

2L

23

21

tsσΔ+σΔ

=Δ −

31

31tstan

σΔ+σΔσΔ−σΔ

=α −

nel piano s,t

3123

21qp 141310

31L σΔ⋅σΔ⋅−σΔ⋅+σΔ⋅⋅=Δ −

31

31qp 2

)(3tanσΔ⋅+σΔσΔ−σΔ⋅

=α −

nel piano p,q

1)

Δσ1

= Δσ3

= ΔσσΔ=Δ −tsLσΔ=Δ −qpL

0tan ts =α −

0tan qp =α −

2)

Δσ1

= Δσ;

= Δσ3

= 0

2L ts

σΔ=Δ −

σΔ⋅=Δ − 310L qp

1tan ts =α −

3tan qp =α −

Teoria dello stato critico

1010/63/63


La teoria dello Stato Critico

fornisce un quadro interpretativo generale del comportamento

dei

terreni

saturi

e

consente

di

affrontare

i

problemi

relativi alla deformabilità

ed alla resistenza dei terreni.

TEORIA DELLO STATO CRITICO

Nel

seguito,

si

introdurrà

un

modello

matematico

un

poco

più

complesso ma

più

generale

(il

modello

Cam

Clay

Modificato)

per

la

previsione

quantitativa di tale comportamento.

I parametri di tale modello possono essere ricavati dai risultati delle prove geotecniche

standard

di

laboratorio

già

descritte

per

la

determinazione

del

comportamento

meccanico

dei

terreni

sono

le

prove

triassiali

e

le

prove

di compressione edometrica, entrambe assialsimmetriche.


1111/63/63


STATO TENSIONALE STATO DEFORMATIVO

σ1

= σaσ2

= σ3

= σr 01a H

HΔ=ε=ε

03r D

DΔ=ε=ε

031rav V

V22 Δ=ε⋅+ε=ε⋅+ε=ε

( ) ( )31ras 32

32

ε−ε⋅=ε−ε⋅=ε

Tensione assiale

Tensione radialeDeformazione assiale

Deformazione radiale

Deformazione volumetrica

Deformazione deviatorica

H0

= altezza iniziale del provinoD0

= diametro iniziale del provinoV0

= volume iniziale del provino

σ1

= σa

σ2

= σ3

= σr

I percorsi di carico si rappresentano in uno spazio tridimensionale definito dalla terna di assi cartesiani ortogonali p’(p)‐q‐v:

)p(3

'2''p 31 σ⋅+σ=

31q σ−σ=

)e1(VVv

S

+==

Deviatore

Pressione media

Volume specifico


1212/63/63


LINEE NCL E URL (consolidazione

isotropa)Durante

la

fase

di

compressione

isotropa

drenata

(prima

fase

delle

prove

TXCID

e

TXCIU),

il

percorso

efficace

(e

totale)

di

carico

si

svolge interamente sul piano p’‐v

(ovvero sul piano q = 0).

La

curva

sperimentale

corrispondente

(linea

di

normal‐consolidazione, NCL),

se

rappresentata in

un

piano

semilogaritmico

(ln

p’,v),

può

essere

schematizzata con una retta, di equazione:

p’

q

p’

v

B

A

A

C

C

D

DB

⎩⎨⎧

=⋅λ−Ν=

0q)'pln(v

dove:N è il valore del volume specifico

sulla NCL corrispondente ad una pressione efficace p’=1 e dipende dal sistema di unità di misura adottato;

λ è la pendenza della NCL ed èadimensionale (dipende dal tipo di terreno)


1313/63/63


Qualora

la

pressione

di

cella

venga

diminuita

gradualmente (deconsolidazione

isotropa),

il

percorso

tensionale

efficace

(e

totale),

si

svolge

ancora

sul

piano

p’‐

v

(q

=

0),

dove

è

rappresentato

da

un

ciclo d’isteresi,

che

se

riportato

sul

piano

semilogaritmico

lnp’

–

v,

può

essere

sostituito con il suo asse (linea di scarico‐ricarico, URL)

p’ (ln)

v

1

11

-λ

-κκ

N

vB

A

C

c

D

p’

Comportamento

elastico

(deformazioni volumetriche interamente reversibili)⎩

⎨⎧

=⋅κ−= κ

0q)'pln(vv

dove:vκ è il valore del volume specifico

sulla URL corrispondente ad una pressione efficace p’=1 e dipende dal sistema di unità di misura adottato;

κ è la pendenza della URL ed èadimensionale, e dipende dal tipo di terreno


1414/63/63


La

linea

NCL

è

unica

per

ciascun

terreno,

mentre

esistono

infinite

linee

di scarico

e

ricarico,

ciascuna

corrispondente

ad

un

diverso

valore

della

pressione di consolidazione p’c

,e tra loro parallele (κ

costante).Infatti

è

possibile

determinare

una

relazione

biunivoca

tra

vκ

e

p’c

imponendo l’appartenenza del punto B sia alla URL sia alla NCL:

( ) ( )'cplnv ⋅κ−λ−Ν=κ ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

κ−λ−Ν

= κvexpp'c

p’(ln)

v

1

11

-λ

-κ

N

vκ 1

B1

A

C1

p’c 1

1-κ

1-κ

B2

B3

C2

C3

vκ 2

vκ 3

p’c 2

p’c 3

Un

terreno

il

cui

stato

tensionale

si trova sulla linea URL è

isotropicamente

sovraconsolidato

(OC).

Il

rapporto

tra la

pressione

efficace

attuale

e

quella

di

consolidazione

è

detto

rapporto

di sovraconsolidazione

isotropa:

'0

'c

0 pp

R =

ed

è

legato

al

rapporto

di

sovraconsolidazione

edometrica

(OCR)

dalla relazione:

OCR)OC(K21)NC(K21R

0

00 ⋅

⋅+⋅+

=

o:


1515/63/63


Def.

Si definisce pressione efficace media equivalente, p’e, di un terreno il cui stato

tensionale

è

descritto

dai

parametri

(p’A

,

qA

,

vA

),

il

valore

della pressione

efficace

media

p’

che,

sulla

linea

NCL

corrisponde

alllo

stesso

valore di volume specifico, vA

p’(ln)p’

v

1-λ

N

v AA

A

A

A

A eA

eA

NCL

p’ p’

v

q

q

v

A

NCL

p’ p’

a) b)

)'pln(v eAA ⋅λ−Ν= ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

λ−

= A'eA

vNexpp


1616/63/63


LINEA k0

(consolidazione

edometrica)Durante la fase di compressione edometrica

drenata

, assialsimmetrica

e ad

espansione laterale impedita (prova edometrica), le variabili che esprimono lo stato tensionale

e deformativo

diventano:

( ) )K1(q;K213

'p

K

;0

0'10

'1

'10

'3

'2

1v32

−⋅σ=⋅+⋅σ

=

σ⋅=σ=σ

ε=ε=ε=ε

Ad ogni incremento di carico Δσ’v

= Δσ’1

, durante la prova edometrica, si ha una corrispondente variazione delle variabili tensionali:

Δp’

= Δ[(σ’1

+2σ’3

) /3] = (Δσ’1

+ 2Δσ’3

)/3 = (Δσ’1

+ 2k0

∙Δσ’1

)/3 = (1+2k0

)/3∙Δσ’vΔq

= Δ(σ’1

‐

σ’3

) = Δσ’1

‐

Δσ’3

= Δσ’1

‐

k0

∙Δσ’1

= (1‐k0

)∙Δσ’v

da cui si ottiene che:

( )( )0

0

K21K13'pq

⋅+−⋅

⋅Δ=Δ


1717/63/63


Se

il

terreno

è

normalmente

consolidato,

K0

è costante

e

il

percorso tensionale

nel

piano

p’‐q

è

rettilineo,

passa

per

l’origine

degli

assi

(linea

K0

), ed ha equazione: ( )

( )0

0

K21K13'pq

⋅+−⋅

⋅=

p’

q

1

1

3

K = 00

K = 10

K > 10

0 < K < 10

Linea K

0

p’

q

(Compressione isotropa)

a) b)

N.B.

Non potendo essere k0

< 0

(altrimenti σ’3

< 0 sarebbe uno sforzo di trazione che il terreno non può sostenere), ne risulta

che la pendenza della linea k0

, mk0

= ≤

3.

q = 3p’ è la linea che delimita gli stati tensionali

possibili sul piano p’q

A ≡

A’

B’

(p)

B

mk0

(mk0

= 3)(0 < mk0

< 3)

(mk0

= 0)

(mk0

< 0)

Δp = Δσv

/3

( )v

0

3K21'p σΔ⋅

+=Δ

Δq=

(1‐k0

) Δσv

( )( )0

0K21K13

⋅+−⋅

Δp – Δp’= ‐2/3∙k0

∙Δσv

Δu(t) stati tensionali

impossibili


1818/63/63


Nel

piano

p’‐v

il

percorso

tensionale

è

del

tutto

simile

a

quello

della compressione

isotropa

e

può

essere

schematizzato

nel

piano

semilogaritmico ln

p’‐v, con una retta di equazione:

'plnNv 0 ⋅λ−=

dove:N0 è il valore del volume specifico

sulla linea k0 corrispondente ad una pressione efficace p’=1 e dipende dal sistema di unità di misura adottato;

p’(ln)

v

1

11

-λ

-κ

N0

c,edo

K0vB’

A’

Linea K0

C’

D’

p’

λ è la pendenza della linea k0, che èquindi parallela alla linea NCL


1919/63/63


In

condizioni

di

scarico

tensionale,

il

terreno

diventa

sovraconsolidato (OCR

>1)

ed

anche

il

coefficiente

di

spinta

a

riposo

k0

,

prima

costante

al variare

della

tensione

efficace

raggiunta

(k0

(NC)

=

1

– senϕ’),

ora

varia

e aumenta

al

diminuire

della

tensione

efficace

verticale,

ovvero

all’aumentare di OCR (k0

= k0

(NC)∙OCRα)

A ≡

A’

B’

p’C’

k0

(NC)

k0

(OC) > k0

(NC)

q

p’(ln)

v

1

11

-λ

-κ

N0

c,edo

K0vB’

A’

Linea K0

C’

D’

p’

N.B. La linea k0

per un terreno NC è

unica, mentre per un terreno OC varia al variare del gradi sovreaconsolidazione

OCR


2020/63/63


ciascuna

corrispondente

ad

un

diverso

valore

della

pressione

di consolidazione edometrica

p’c,edo

.Infatti

è

possibile

determinare

una

relazione

biunivoca

tra

vκ0

e

p’c,edo

imponendo

l’appartenenza

del punto

B

sia

alla

linea

di

scarico‐

ricarico sia alla linea k0

:

p’(ln)

v

1

11

-λ

-κ

N0

c,edo

K0vB

A

Linea K0

C

D

p’

Nel

piano

p’‐v

il

percorso

tensionale

è

del

tutto

simile

a

quello

della compressione

isotropa

e

può

essere

schematizzato

nel

piano

semilogaritmico ln

p’‐v, con infinite rette parallele di equazione:'plnvv

0K ⋅κ−=

( ) ( )'edo,c0K plnv

0⋅κ−λ−Ν=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡κ−λ

−Ν= 0K0'

edo,c

vexpp

N.B. Anche la curva di compressione edometrica

sul piano ln

p’,e è

rettilinea ed esiste una corrispondenza con la pendenza delle linea k0

: λ⋅=⋅λ= 303,210lnCc

Solo approssimativamente

(variando k0

) per i terreni OC: κ⋅=⋅κ= 303,210lnCs


2121/63/63


A

differenza

della

linea

NCL

che

si

sviluppa

solo

sul

piano

(v,p’),

la

linea k0

si sviluppa nello spazio (v,p’,q) ed ha equazione:q

p’ 1

Linea K0

Linea NCL

v

( )( )0

0K21K13

⋅+−⋅

( )( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

⋅+−⋅

⋅=

⋅λ−=

0

0

0

K21K13'pq

'plnNv


2222/63/63


LINEA CSL E STATO CRITICO (compressione

assiale

per terreni

NC)

1. Compressione triassiale

drenata di terreno NC (TXCID)Dopo

la

prima

fase

di

compressione

isotropa

lungo

la

linea

NCL,

fino

alla

pressione

di

consolidazione

isotropa

p’c

,

la

compressione

assiale

in

condizioni drenate

avviene

a

pressione

di

confinamento

costante

(σ’3

=

p’c

=

cost),

dalla fine

della

fase

di

consolidazione

(A’)

fino

al

raggiungimento

della

condizione

di stato critico

(B’). a) Al crescere della deformazione assiale εa

(prova

a

deformazione

assiale

controllata)

la

tensione

deviatorica

q

cresce progressivamente

fino

ad

un

valore

massimo qf

poi si mantiene circa costante.

b)

Il

volume

decresce

progressivamente fino ad un valore minimo, poi si mantiene circa costante

a

a

baq

ε⋅+ε

=A’

B’

B’

q

εv

εa

qf

Def.

La

condizione

di

stato

critico

è

quella

per

cui

la

tensione

deviatorica raggiunge un valore costante pur continuando il terreno a deformarsi.

p’A’

A’

B’

B’

q

31

p’

v

p’c p’f


2323/63/63


c)

Il

percorso

tensionale

efficace

A’B’

(e

totale

AB),

ha

come

proiezione

sul piano

p’‐q

un

segmento

rettilineo

con

pendenza

3:1,

da

A(p’c

,0)

a

B(p’f

,qf

). Infatti per un incremento della tensione assiale Δσ1

=Δσ’1

(prova drenata):

d)

Nel

piano

p’‐v

il

percorso

tensionale efficace

ha

origine

nel

punto

A’

sulla

linea

NCL

e

termina

nel

punto

B’

sottostante

la linea NCL

Δp’

= Δp = Δ[(σ’1

+2σ’3

)/3] = (Δσ’1

+ 2Δσ’3

)/3 = (Δσ’1

)/3Δq

= Δ(σ’1

‐

σ’3

) = Δσ’1

‐

Δσ’3

= Δσ’1

Δq/Δp’

= Δq/Δp

= 3

q = 3∙(p’

–p’c)(ESP) q = 3∙(p‐pc

) (TSP)

(p)

Bu0

ESP

TSP


2424/63/63


Se 3 provini della stessa argilla satura isotropicamente

consolidati a pressioni p’c

diverse

sono portati a rottura in condizioni drenate si osserva che:

le tre curve εa–q hanno la stessa forma e, normalizzate rispetto alla pressione di consolidazione p’c, sono (quasi) coincidenti;

A = A = A1 2 3

A1

A1

B1 B1

a) b)

c)

q

p’

εv

εa

q

p’

NCLCSL

CSL

v

M1

qf1

qf2

qf3B2

B3

B 1

B1

p’c1

A2

A2

B2

B2

A3

A3

B3

B3p’f3

p’c2p’c3

p’f2p’f1

vf1vf2vf3

B 2 B3

la deformazione volumetrica durante la compressione assiale varia in modo pressoché eguale per i tre provini, aumentando lievemente al crescere della pressione di consolidazione;i punti A’ rappresentativi

dello stato iniziale (fine consolidazione isotropa) stanno su una stessa linea (linea NCL)i punti B’ rappresentativi

dello stato finale (condizione di stato critico) dei tre provini giacciono su una linea, detta di Stato Critico (CSL).

p’ccrescente


2525/63/63


La linea di stato critico (Critical

State

Line)

si

sviluppa

nello

spazio

v‐p’‐q

ed ha equazione:

⎪⎩

⎪⎨⎧

⋅=

⋅λ−Γ=

)II(pMq

)I(plnv'ff

'ff

q

p’ 1

M

CSL

NCL

v

(I)

La

proiezione

sul

piano

v‐p’

è una

curva

che

può

essere

schematizzata nel

piano

semilogaritmico

ln

p’‐v, con

una retta

parallela

alla

linea

NCL

(pendenza λ),

dove

Γ

è il

valore

del volume

specifico

sulla

linea

CSL

corrispondente

ad

una

pressione efficace

p’=1

e

dipende

dal

sistema

di unità

di misura adottato.

(II)

La

proiezione

sul

piano

q‐p’

è una

retta,

la

cui

equazione

equivale,

solo

per

i

terreni

NC,

al

criterio

di rottura di Mohr‐Coulomb:

'cs

'nf tan ϕ⋅σ=τ

dove

ϕ’cs

è l’angolo

di

resistenza

al

taglio

in

condizione

di

stato

critico (ovvero al crescere di εa

, q e εv

rimangono costanti)

STATO CRITICO ≡

ROTTURA


2626/63/63


Il

parametro

di

stato

critico

M

è

funzione

dell’angolo

di

resistenza

al

taglio allo stato critico, ϕ’cs

, (e quindi dipende dal tipo di terreno) e delle modalità

di prova:

Infatti

durante

se

il

provino

è

portato

a

rottura

per

compressione

assiale (prova triassiale

standard):

'r

'2

'3

'a

'1

σ=σ=σ

σ=σ ( ) ( )

f

'r

'a

f

'3

'1'

f

f'r

'af

'3

'1f

32

32p

q

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ σ⋅+σ=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ σ⋅+σ=

σ−σ=σ−σ=

e ricordando che a rottura: 'cs

'cs

f'3

'1

sen1sen1

φ−φ+

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛σσ

( )( )

( )( )

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛φ−φ+

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛φ−φ+

⋅

=+σσ

−σσ⋅=

σ⋅+σσ−σ⋅

===

2sen1sen1

1sen1sen13

2/1/3

23

pqMM

cs

cs

cs

cs

f'r

'a

f'r

'a

f'r

'a

f'r

'a

'f

fc

( )( ) '

cs

'cs

f'cs

'cs

'cs

'cs

sen3sen6

sen22sen1sen1sen13

φ−φ⋅

=φ−+φ+φ+−φ+⋅

=

c

c'cs M6

M3sen

+⋅

=φ'cs

'cs

c sen3sen6M

φ−φ⋅

=


2727/63/63


Invece,

nel

caso

in

cui

il

provino

sia

portato

a

rottura

per

estensione

assiale (ovvero aumentando la tensione efficace di confinamento a tensione efficace assiale costante):

e ricordando che a rottura:'cs

'cs

f'3

'1

sen1sen1

φ−φ+

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛σσ

'a

'3

'r

'2

'1

σ=σ

σ=σ=σ ( ) ( )

f

'a

'r

f

'3

'1'

f

f'a

'rf

'3

'1f

32

32p

q

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ σ+σ⋅=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ σ+σ⋅=

σ−σ=σ−σ=

( )( ) '

cs

'cs

f'r

'a

f'a

'r

'f

fe sen3

sen62

3pqMM

φ+φ⋅

=σ⋅+σσ−σ⋅

===

'cs

'cs

e sen3sen6M

φ+φ⋅

=e

e'cs M6

M3sen−⋅

=φ

N.B.

ϕ’cs(e)

=

ϕ’cs(c)

,

mentre

Me

<

Mc

,

e

per

lo

stesso

terreno

e

a

parità

di

pressione efficace media, qf(e)

< qf(c)

.

Me

< Mc

p’

q CSL

CSL

Mc

Me

1

(a)

(b)

1qf(e)

qf(c)

Teoria dello stato criticoDr. Dr. IngIng. Johann Facciorusso. Johann FacciorussoCorso di Geotecnica per Ingegneria EdileCorso di Geotecnica per Ingegneria EdileA.A. 2010/2011A.A. 2010/2011

I percorsi tensionali

efficaci nello spazio p’‐q‐v, ottenuti per lo stesso terreno al variare

della

pressione

di

consolidazione,

durante

la

fase

di

compressione

drenata si svolgono tutti su uno stesso piano, detto piano drenato.q

A

A’

B’

Bp’ 13

CSLPiano drenato

NCL

v


2929/63/63



non drenata di terreno NC (TXCIU)

Dopo

la

prima

fase

di

compressione

isotropa

lungo

la

linea

NCL,

fino

alla pressione

di

consolidazione

isotropa

p’c

,

la

compressione

assiale

in

condizioni non drenate

avviene

a

pressione

di

cella

costante

(σ3

=

pc

=

cost),

dalla

fine della fase di consolidazione (A’) fino condizione di stato critico (B’).

a) Al crescere della deformazione assiale εa

la

tensione

deviatorica

q


fino

ad

un

valore

massimo

qf

poi

si

mantiene

circa

costante (condizione di stato critico).

b)

Il

volume

del

provino

(e

quindi

v) rimane costante

(prova non drenata)

c) La pressione interstiziale u, a partire dal valore

iniziale

u0

(back

pressure) cresce progressivamente

fino

al

raggiungimento

di

un

valore

massimo,

uf

,

corrispondente alla

condizione

di

stato

critico,

poi

si

mantiene circa costante

A’

B’

B’

q

Δu

εa

qf


3030/63/63


d)

Il

percorso

tensionale

totale

AB,

ha

come

proiezione

sul

piano

p’‐q

un segmento

rettilineo

con

pendenza

3:1,

da

A(pc

,0)

a

B(pf

‐

qf

).

Infatti

per

un incremento della tensione assiale Δσ1

f)

Nel

piano

p’‐v

il

percorso

tensionale

ha origine

nel

punto

A’

sulla

linea

NCL

e

procede

in

direzione

orizzontale

(v

=

cost) fino al punto B’

Δp

= Δp = Δ[(σ1

+2σ3

)/3] = (Δσ1

+ 2Δσ3

)/3 = (Δσ1

)/3Δq

= Δ(σ1

‐

σ3

) = Δσ1

‐

Δσ3

= Δσ1

Δq/Δp

= Δq/Δp

= 3 q = 3∙(p‐pc) (TSP)

e)

Il

percorso

tensionale

efficace

A’B’,

ha come

proiezione

sul

piano

p’‐q

una

curva

monotona da A(p’c

,0) a B(pf

,qf

), determinata dal fatto che la distanza tra i percorsi TSP e ESP

(ovvero

la

pressione

interstiziale

u)

cresce

fino

alla

condizione

di

stato

critico (mentre p’

in generale decresce)

TSP

ESP

NCL

p,p’

ufΔuf

A

A’

B

q

31

p’

v

pc pf

B’

B’

A’p’cp’f

u0

u0


3131/63/63



consolidati a pressioni p’c diverse

sono portati a rottura in condizioni non drenate si osserva che:

le tre curve εa–q hanno la stessa forma e, normalizzate rispetto alla pressione di consolidazione p’c, sono (quasi) coincidenti;

TSP 3

ESP3

A = A = A1 2 3A1 A2

B’1

B’2

B’3

A’1 A’2

A’1B’1

a) b)

c)

q

p,p’εa

q

p’

NCLCSL

CSL

v

M1

qf1

qf2

qf3

B1

p’f3

v01

B2 B3

Δu

Δuf1

Δuf2

Δuf3

Δuf2Δuf3

B1B1

B2B2

B3B3

A’2A’3

B’2

B’3

A3A’3

v02v03

p’f2p’f1

Δuf1

la sovrappressione interstiziale Δu, aumenta in modo uguale per i tre provini fino ad un valore massimo che cresce al crescere della pressione di consolidazione p’c;i punti A’ rappresentativi

dello stato iniziale (fine consolidazione isotropa) stanno su una stessa linea (linea NCL)i punti B’ rappresentativi

dello stato finale (condizione di stato critico) dei tre provini giacciono sulla stessa linea giàdefinita nel caso drenato (lineaCSL).

p’ccrescente

q

A

A’

B’

Bp’

CSL

ESP

Piano non drenato

NCL

v


I percorsi tensionali

efficaci nello spazio p’‐q‐v, ottenuti per lo stesso terreno al variare

della

pressione

di

consolidazione,

durante

la

fase

di

compressione

non

drenata

si

svolgono

tutti

su

uno

stesso

piano

parallelo

al

piano

p’‐q

(v

=

cost), detto piano non drenato.

3232/63/63


La proiezione sul piano q‐p’

è

dunque una retta di equazione:

L’equazione

della

linea

di

stato

critico

(Critical

State

Line)

nel

caso

non drenato (essendo v = cost. = v0

), può essere così

scritta:

⎪⎩

⎪⎨⎧

⋅=

⋅λ−Γ=='ff

'f0f

pMq

plnvv

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

λ−Γ

⋅Μ=⋅Μ= 0'ff

vexppq

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⋅=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

λ−Γ

=

ff

0'f

'pMq

vexpp

e,

come

nel

caso

drenato,

la

sua

equazione

equivale,

solo

per

i terreni

NC,

al

criterio

di

rottura

per

condizioni

non

drenate

(criterio

di Tresca), per il quale:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

λ−Γ

⋅Μ

== 0fu

vexp

22qc

N.B.

Per

un

dato

terreno

i

parametri

M,

Γ

e

λ

sono

costanti,

quindi

cu

dipende

soltanto

dal

volume

specifico

v0

=

1+e0

=

1+w∙Gs

(per

terreni saturi), e quindi dal contenuto in acqua w. 3333/63/63

σ

τ

cu

σ1fσ3f


Tutti

i

percorsi

tensionali

efficaci,

di prove

drenate

e

non

drenate,

che

dalla

linea

di

consolidazione

normale

(NCL) pervengono

alla

linea

di

stato

critico

(CSL) giacciono per uno stesso terreno su una

superficie

nello

spazio

p’‐q‐v,

detta

Superficie di Roscoe, che limita il dominio degli stati tensionali

possibili

q

p’

CSLSuperficie di Roscoe

NCL

v

q/p’e

CSL

Superficie di Roscoe normalizzata

NCL

p/p’e

3434/63/63

N.B.

Se normalizziamo, per lo stesso terreno NC, tutti i percorsi drenati e non drenati rispetto alla pressione efficace

media

equivalente,

p’e

(che

è costante

nei percorsi non drenati e varia in quelli drenati)

Tali

percorsi

coincidono,

nel

piano normalizzato

p’/p’e

‐q/p’e

con

un’unica

curva (superficie di Roscoe

normalizzata)



drenata di terreno OC (TXCID)

Dopo

la

prima

fase

di

compressione

isotropa

lungo

la

linea

NCL,

fino

alla pressione

di

consolidazione

isotropa

p’c

,

il

provino

viene

isotropicamente decompresso in condizioni drenate, fino ad una pressione efficace p’0

<< p’c

in modo

da

divenire

fortemente

sovraconsolidato,

con

grado

di

sovraconsolidazione

isotropo:

INVILUPPO A ROTTURA (compressione

triassiale

per terreni

OC)

Infine sottoposto a compressione assiale drenata, a pressione di confinamento costante

(σ’3

=

p’c

=

cost),

dalla

fine

della

fase

di

consolidazione

(A’)

fino

al raggiungimento

della

condizione

di

rottura

(B’)

seguita

dalla

condizione

di

stato critico

(C’).

R0

= p’c

/p’0

3535/63/63


3636/63/63


IMP.

La

condizione

di

stato

critico

e

quella

di

rottura

non

coincidono

per

i terreni OC.

A

A

D

D

B

B

C

C

q

εv

εa

qf

εa

qcs

a) Al crescere della deformazione assiale εa

la

tensione

deviatorica

q


fino

ad

un

valore

massimo

qf

che

corrisponde

alla condizione

di

rottura

(punto

B’),

poi

decresce

fino

a

stabilizzarsi

su

un

valore minore

(qcs

)

che

corrisponde

allo

stato critico

(punto C’)

b)

Il

volume

del

provino

prima diminuisce,

poi

aumenta,

supera

il

valore

iniziale e infine tende a stabilizzarsi.La

curva

εa

‐εv

presenta

tangente orizzontale nei

punti

C’

e

D’

che

corrispondono al valore q = qcs

, e un flesso nel punto B che corrisponde a q = qf

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

εε

0dd

a

v

maxa

v

dd

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛εε

‘

‘‘

‘

‘

‘‘

p’A

A

B

C = D

B

C

D

qESP

31

p’

v

p’0

p’0

p’f

p’f

qf

qcs

p’c

vDvAvBvC


3737/63/63


c)

Il

percorso

tensionale

efficace

A’B’C’

(e totale

ABC),

ha

come

proiezione

sul

piano

p’‐q

un

segmento

rettilineo

con

pendenza 3:1.

Nel

tratto

da

A(p’c

,0)

a

B(p’f

,qf

),

fino alla

rottura,

il

percorso

è

ascendente,

nel

tratto da B(p’f

,qf

) a C(p’cs

,qcs

) è

discendente.

d)

Nel

piano

p’‐v

il

punto

A’ rappresentativo dello stato iniziale si trova sulla

curva

di

scarico‐ricarico

corrispondente

alla

pressione

di consolidazione

p’c

.

La

proiezione

del percorso

tensionale

efficace

(A’B’C’)

nel

piano

p’‐v

ha

tangente

orizzontale

nei punti C’

e D’

(p)

B

u0

ESP

TSP

‘

‘ ‘

‘

‘ ‘ ‘‘

B


Se

3

provini

della

stessa

argilla

satura

isotropicamente

consolidati

alla

stessa pressione p’c

ma sovraconsolidati

a diversi vsalori

di R0

,

sono portati a rottura in condizioni drenate si osserva che:

se il punto rappresentativo dello stato iniziale del provino nel piano pʹ‐v è sotto la CSL (punto A1), esso è fortemente sovraconsolidato, qf >> qcs, e manifesta un comportamento dilatante (aumento di volume); se il punto rappresentativo dello stato

iniziale del provino nel piano pʹ‐v è sotto la NCL ma sopra la CSL (punto A2), esso èdebolmente sovraconsolidato, qf = qcs, e manifesta un comportamento contraente(diminuzione di volume)

se il punto rappresentativo dello stato iniziale del provino nel piano pʹ‐v è sulla NCL, esso è normalmente consolidato, qf = qcse manifesta un comportamento contraente(diminuzione di volume)

a)

b)p’

q

p’

NCL

URLCSL

CSL

v

M

Linea di inviluppoa rottura

m

q

1

1

A2

A2A1

A1

B1

B1

C1

C1A3

A3

D3

p’cp’02p’01

D1

D1

D2C2

C3

D2C2 D3C3

13

p’

qCSL

M

Linea di inviluppoa rottura

m

q

1

1

A2A1

B1

C1

A3

D3

D1

D2C2

C3

13


3939/63/63


I

punti

rappresentativi

delle

condizioni

di

rottura

(punti

C)

di

provini

con eguale

pressione

di

consolidazione

p’c

(punti

A

sulla

stessa

linea

di

scarico‐ ricarico)

giacciono

su

una

retta

(linea

inviluppo

a

rottura)

distinta

dalla

CSL

per

i

provini

fortemente

sovraconsolidati,

e

sulla

CSL

per

i

provini debolmente sovraconsolidati

e normalconsolidati.

I punti rappresentativi delle condizioni ultime

(punti D) giacciono sulla CSL La

linea

inviluppo

a

rottura,

per

i

terreni sovraconsolidati, ha equazione:

'pmqq ff ⋅+=

Alla

linea

inviluppo

a

rottura

definita nel

piano

p’‐q,

corrisponde nello

spazio

v‐p’‐q

una

superficie

detta superficie di Hvorslev.

Imponendo

la

condizione

che

i

terreni non

possano

sostenere

tensioni

di

trazione e che quindi per σ’3

= 0, q = σ’1

e p’

= σ’1

/3, allora: q = 3p’

Si deduce che la linea inviluppo a rottura è

limitata a sinistra dalla retta che delimita gli stati tensionali

ammissibili (piano limite per trazione).


4040/63/63


Per le argille sovraconsolidate, il criterio di rottura di Mohr‐Coulomb

diventa:

'tan'c 'nf φ⋅σ+=τ

( ) ( )'sen'gcot'c

221 f

'3

'1

f'3

'1 φ⋅⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡φ⋅+

σ+σ=σ−σ⋅

( ) ( ) ⋅φ⋅+φ⋅σ+σ=σ−σ 'cos'c2'senf'3

'1f

'3

'1

e può anche essere espresso in funzione delle tensioni principali a rottura, σ’1f

e σ’3f

:

Oc’

D

3,f

n,f

ff

f

τ

σ’σ’

σ’

τ

ϕ’

θ = π/4+ϕ ’/2

2θA

inviluppo di rotturatraccia del pianodi rottura

F C B

1,fσ’

'sin1'cos'c2

'sin1'sin1

f'3f

'1 φ−

φ+

φ−φ+

σ=σ

'pmqq ff ⋅+=

Essendo: qf

= (σ’1

–

σ’3

)f p’f

= (σ’1

+ 2σ’3

)f

/ 3

( ) ( )32

mq f'3

'1

f'3

'1

σ+σ⋅+=σ−σ m3

q3m3m23

f'3f

'1 −

+−

+σ=σ


4141/63/63


Quindi, essendo:

'tan'c 'nf φ⋅σ+=τ 'sin1

'cos'c2'sin1'sin1

f'3f

'1 φ−

φ+

φ−φ+

σ=σ

'pmqq ff ⋅+=m3

q3m3m23

f'3f

'1 −

+−

+σ=σ

'sin1'sin1

m3m23

φ−φ+

=−

+

'sin1'cos'c2

m3q3

φ−φ

=−

'sin3'sin6mφ−

φ=

'sin3'cos'c6q

φ−φ

=



non drenata di terreno OC (TXCIU)

Dopo

la

prima

fase

di

compressione

isotropa

lungo

la

linea

NCL,

fino

alla pressione

di

consolidazione

isotropa

p’c

,

il

provino

viene

isotropicamente decompresso

in

condizioni

drenate,

fino

ad

una

pressione

efficace

p’0

<<

p’c

(terreno fortemente sovraconsolidato).Infine

sottoposto

a

compressione

assiale

non

drenata, a

pressione

di

cella

costante

(σ3

=

pc

= cost), dalla fine della fase di consolidazione (A’) fino al raggiungimento della condizione di stato critico

(B’).

4242/63/63

A

q

+-

Δu

εa

εa

qcs B’

’

A’

B’

a)

Al

crescere

della

deformazione

assiale

εa

la tensione

deviatorica

q

cresce

progressivamente

in

modo

monotono

fino

ad

un

valore

massimo qf

che

corrisponde

alla

condizione

di

stato critico

(punto B’).

b)

Il

volume

del

provino

rimane

costante

(v

= cost),

mentre

la

sovrappressione

interstiziale

Δu

prima aumenta, poi diminuisce, si annulla e infine

tende

a

stabilizzarsi

(duale

di

εa

‐εv

nel caso drenato).

qf


4343/63/63


c)

Il

percorso tensionale

totale

AB

ha

come proiezione

sul

piano

p’‐q

un

segmento

rettilineo

con

pendenza

3:1.

Il

percorso tensionale

efficace

A’B’

è

curvilineo

(la

pressione

media

efficace

può

anche decrescere

nella

fase

iniziale, mentre

in

generale è

crescente fino allo stato critico).

d)

Nel

piano

p’‐v

il

punto

A’ rappresentativo dello stato iniziale si trova sulla

curva

di

scarico‐ricarico

corrispondente

alla

pressione

di consolidazione

p’c

.

La

proiezione

del percorso

tensionale

efficace

(A’B’)

nel

piano

p’‐v

è

orizzontale

(essendo

v

=

cost) e si muove dalla linea URL alla linea CSL.

b)

d)

+

-

p,p’AA’

A

BB’

B

q

TSP

ESP

ESP

NCL

URL

3u

Δu u0

1

p’

v

p0

u0ufΔuf

p’0

p’0 p’f

qcs

p’c

v0

Δucs ucs



consolidati

a

pressioni

p’c

uguali

e

scaricati

pressioni

p’0

(differenti

R0

)

sono

portati

a

rottura

in

condizioni non drenate si osserva che:

se lo stato iniziale è sotto la CSL (A1), il terreno è fortemente sovraconsolidato, il percorso è curvilineo (con p’ in generale crescente, a parte una fase iniziale eventualmente decrescente) e perviene prima alla condizione di rottura e poi allo stato critico (B1), con Δu prima crescente e poi decrescente e q sempre crescente; se lo stato iniziale è sotto la NCL ma

sopra la CSL (punto A2), è debolmente sovraconsolidato, il percorso curvilineo (con p’ prima crescente e poi decrescente), perviene alla condizione di stato critico (coincidente con la condizione di rottura)

a)

b)

p,p’

q

p’

NCL

URL

CSL

CSL

v

MLinea di inviluppo

a rottura

m

q

1

1

A2

A2A1

A1 B2

B2B1

B1A3

A3

B3

B3

p’c

R = p’01 c/p’ = 601

p’02p’01

R = p’02 c/p’ = 1.502R 03 = 1

se lo stato iniziale è sulla NCL, ènormalmente consolidato, il percorso curvilineo (con p’ generalmente decrescente) perviene alla condizione di stato critico (con Δu è sempre crescente)

p,p’

q

CSL

MLinea di inviluppo

a rottura

m

q

1

1

A2A1

B2B1

A3

B3


4545/63/63


I

punti

rappresentativi

delle

condizioni

di

rottura

di

provini

con

eguale pressione

di

consolidazione

p’c

(punti

A

sulla

stessa

linea

di

scarico‐ricarico) giacciono

sulla

linea

inviluppo

a

rottura

precedentemente

definita

per

i

provini

fortemente

sovraconsolidati,

e

sulla

CSL

per

i

provini

debolmente sovraconsolidati

e normalconsolidati.


4646/63/63


N.B. Se si confrontano il deviatore a rottura

e relativo allo stato critico

ottenuti per lo stesso terreno OC

(con uguale pressione di consolidazione p’c

e uguale grado

di

sovraconsolidazione

R0

)

da

prova

drenata

e

non

drenata

si

osserva che: qcs

< qcsu qf

< qfu

AA

BE

D

F

D

E F

C

C E

a) b)q

p,p’εa

A

D BC

F

q

NCLCSL

URL

p’

v

MCSL

m

1

1

p’0

p’0

qcsu

qcs

p’c

v0

c)

qfqfu

BC


4747/63/63


SUPERFICIE DI STATOLa superficie di Roscoe, che contiene tutti i percorsi drenati e non drenati dalla

NCL

alla

CSL

per

una

stessa

argilla

satura,

la

superficie

di

Hvorslev,

la

cui intersezione con il piano p’‐q determina l’inviluppo a rottura e il piano limite di

rottura

formano

nello

spazio

p’‐q‐v la

Superficie

di

Stato,

che

delimita

il

volume degli stati di tensione possibili. q

p’


Superficie di Hvorslev

Piano limite di trazione

NCL

v


4848/63/63


Così

come

per

la

superficie

di

Roscoe,

anche

il

piano

limite

di

trazione

e

la superficie

di

Hvorslev

possono

essere

rappresentati

sul

piano

normalizzato

p’/pe

– q/p’e

,

in

particolare

la

superficie

di

Hvorslev

diventa

una

retta

di equazione:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅+= '

e'e p

'phgpq 'phpgq '

e ⋅+⋅=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

λ−

=vNexpp'

e⎩⎨⎧

⋅=⋅λ−Γ='pMq

'plnv

'phvexp)hM(q ⋅+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

λ−Γ

⋅−=

'tan'c 'nf φ⋅σ+=τ

Resistenza per attrito

Resistenza per coesione

N.B.

M, h, Γ, λ

sono i parametri di stato critico

dipendenti dal tipo di terreno, mentre

il

volume

specifico

v

dipende

dall’indice

dei

vuoti,

e,

e

quindi

dal

contenuto in acqua, w.

q

p’


Superficie di Hvorslev

Pareteelastica

NCL

URL

v

Modello Cam‐Clay

modificato

4949/63/63


MODELLO CAM‐CLAY MODIFICATO (CCM)Il

modello

Cam

Clay

Modificato

è un

modello

matematico

che

viene

utilizzato

per

la

previsione

quantitativa

del

comportamento

dei

terreni

e che si basa sulle definizioni di dominio elastico

e curva di plasticizzazione.

Si

definisce

parete

elastica (o

dominio

elastico)

nello

spazio p’‐q‐v

una superficie cilindrica,

limitata

dalla

superficie

di

stato,

avente come direttrice una linea di scarico‐ricarico

(URL)

e

come

generatrice

una

retta parallela

allʹasse

q

(p’=cost.,v=cost.).

q

p’

CSL

NCL

v

Modello Cam‐Clay

modificato

5050/63/63


Un punto appartenente ad una parete

elastica

(A)

può

spostarsi

su

unʹaltra

parete elastica

(C)

solo

raggiungendo

prima la superficie limite (B) e muovendosi

anche

su

di

essa.

Nel

percorso

sulla

superficie limite

si

producono

deformazioni plastiche.

Un

punto

appartenente

ad

una

parete

elastica

può

muoversi

liberamente

su di essa

provocando solo deformazioni elastiche.

A

B

B’

C

C’

Parete elastica 1

Parete elastica 2La

proiezione

del

percorso

sul

piano

v‐p’

giace

sulla URL

della

parete

1

(AB’)

finché

il

punto

si

trova sula

parete

1,

quindi

si

sposta

fino

a

raggiungere la linea URL della parete 2 (B‘C’)

Modello Cam‐Clay

modificato

5151/63/63


Il

percorso

tensionale

efficace

(ESP)

di

una

prova

TxCIU

si

svolge

interamente sul piano non drenato

(v = cost), e, nel caso di provino OC (stato iniziale A sulla

URL),

la

parte

iniziale

(elastica)

del

percorso

è il

segmento

intersezione

fra

il piano non drenato e la parete elastica che contiene la URL.

Percorso non drenato (TxCIU)

Tale

segmento

(AB),

essendo

il piano non drenato verticale (v = cost),

nel

piano

p’‐q

è

anch’esso

verticale, e quindi, non variando p’,

non

variano

i

parametri

elastici

ed

il

comportamento

è elastico lineare

q

A

B C

p’

CSLPiano non drenato

Parete elasticaNCLURL

v

Invece

sul

piano

v‐p’

la proiezione

del

percorso

corrispondente

(AB’)

coincide con il punto A (A≡B’)

B’

≡

Modello Cam‐Clay

modificato

5252/63/63


Il

percorso

tensionale

efficace

(ESP)

di

una

prova

TxCID

si

svolge

interamente sul piano drenato, e, nel caso di provino OC (stato iniziale A sulla URL), la parte iniziale (elastica) del percorso è il segmento intersezione fra il piano drenato e la parete elastica.

Percorso drenato (TxCID)

Tale

segmento

(AB),

essendo

il piano drenato con pendenza 3:1, nel

piano

p’‐q

è un

segmento

anch’esso

di

pendenza

3:1,

e quindi,

non

p’,

variano

i

parametri

elastici

ed

il comportamento

è

elastico

non

lineare

URL

q

A

B

Cp’ 13

CSL

Piano drenato

NCL

v

Parete elastica

Invece

sul

piano

v‐p’

la proiezione

del

percorso

corrispondente

(AB’)

giace

sulla linea URL .

B’

Modello Cam‐Clay

modificato

5353/63/63


CURVA DI PLASTICIZZAZIONENel piano delle tensioni esiste una curva, detta di curva di plasticizzazione

(yield

curve),

che

separa

gli

stati

di

tensione

che

producono

risposte elastiche dagli stati di tensione che producono risposte plastiche.

Evidenze

sperimentali

indicano

che

per

i

terreni

la

forma

della

curva

di plasticizzazione

nel

piano

delle

tensioni

p’‐q

è

approssimativamente

ellittica

Nel

modello

CCM

tale

curva

è

rappresentata da un’ellisse F di equazione:

( ) 0Mqp'p'pF 2

2'c

2 =+⋅−=

dove:

‐

la lunghezza dell’asse maggiore è

pari alla pressione di consolidazione p’c‐

la lunghezza dell’asse minore è

pari a M∙

p’c

/2

‐

la

linea

di

stato

critico

CSL

interseca

l’ellisse

nel

suo

vertice

V

e,

sul piano v‐p’, tale punto V’

corrisponde all’intersezione tra la CSL e la URL

q

P’

v

NCL p’c

CSL

URL

CSL

p’c

/2

Mp’c

/2V

V’∈

CSL & V’∈

URL

V’B’

B’∈

NCL & B’∈

URL⇒ Γ – N ‐

(k‐λ)∙ln2 = 0 (valida solo nel modello CCM)

Modello Cam‐Clay

modificato

5454/63/63


q

Mc

A

A - Stato di tensione elasticoB - Inizio della plasticizzazioneC - Stato elasto-plastico

BC Curva di plasticizzazione

iniziale

Curva di plasticizzazioneespansa

p’p’ /2c

p’c

Se lo stato di tensione di un elemento di terreno è

rappresentato da un punto interno

alla

curva

di

plasticizzazione

iniziale

(A)

la

risposta

del

terreno

è

elastica.Se

lo

stato

di

tensione

è

rappresentato

da

un

punto

sulla

curva

di

plasticizzazione

iniziale

(B)

ogni

incremento

di

tensione

che

comporti

un movimento

verso

l’esterno

della

curva

è

accompagnato

da

deformazioni

elasto‐plastiche

e

da

un’espansione

della

superficie

di

plasticizzazione cosicché

il punto rappresentativo dello stato di tensione permane sulla curva

di plasticizzazione

(C).

Se il percorso dal punto C si

muove

verso

l’interno

vi

saranno

deformazioni elastiche,

poiché

la

curva

di

plasticizzazione

si

è espansa

e

la

regione

elastica

è

divenuta

più grande.

Modello Cam‐Clay

modificato

5555/63/63


Si consideri un provino di terreno consolidato isotropicamente

alla pressione p’c

e

poi scaricato

(sempre

isotropicamente)

alla

pressione

p’0

,

esso

risulta isotropicamente

OC, con grado sovraconsolidazione

isotropo R0

= p’c

/p’0.

PERCORSI TENSIONALI IN PROVE TxCID

E TxCIU SECONDO IL MODELLO CCM

Alla luce dei concetti espressi sul percorso tensionale

efficace

di un provino di

argilla

isotropicamente

OC,

che

è

inizialmente

elastico

e

che

quindi

nel

tratto

iniziale

si

svolge

sulla

parete

elastica

associata

alla

pressione

di preconsolidazione,

p’c,

nonché

sulla

forma

ellittica

della

curva

di

plasticizzazione, tali percorsi nelle prove di compressione triassiale

standard, possono essere interpretati secondo il modello Cam

Clay Modificato (MCC).

Modello Cam‐Clay

modificatoDr. Dr. IngIng. Johann Facciorusso. Johann FacciorussoCorso di Geotecnica per Ingegneria EdileCorso di Geotecnica per Ingegneria EdileA.A. 2010/2011A.A. 2010/2011

1.Prova TxCID

ESP

CSL

13

q

p’

qf

A

B

GE

C=F

D

p’0 p’f

AB

DE

p’

v

vfp’c

NCLCSL

C=F

G

a)

Durante

la

seconda

fase

della

prova

di compressione

assiale,

il

percorso

tensionale

(che

si

svolge

sul

piano

drenato

con

pendenza

3:1) appartiene

per

un

primo

tratto

(AB)

alla

parete

elastica,

dove si svolge, sul piano p’‐q, all’interno dell’ellisse

di

plasticizzazione

corrispondente

a

p’c

, con deformazioni elastiche.b) Sul piano v‐p’

il primo tratto del

percorso

si

svolge interamente sulla linea URLc)

Raggiunta

la

fase

di

plasticizzazione

(B),

il

percorso sul piano p’‐q si svolge sulla stessa linea con

pendenza

3:1:

se

l’ascissa

di

B,

p’B

>p’c

/2 (terreno

debolmente

OC)

il

percorso

si

muove

verso

l’esterno

dell’ellisse,

che

si

espande

(D)

e

a cui

corrispondono

valori

di

p’c

sempre

maggiori,

fino allo stato critico=rottura

(C=F).d)

Sul

piano

v‐p’

il

percorso

scende

e

attraversa

linee

URL

con

p’c

sempre

maggiori

fino

a raggiungere la linea CSL (C=F)

Ellisse di plast.allo stato critico (rottura)

Ellisse di plast.fine cons.

Stato A = fine consolidazioneStato C (=F) = critico = rottura

Modello Cam‐Clay


c)

Se

l’ascissa

di

B

p’B

<

p’c

/2

(terreno fortemente

OC)

il

percorso

si

muove

verso

l’interno dell’ellisse, che si contrae (C) e a cui corrispondono valori di p’c inferiori, fino alla condizione

di

stato

critico

(C),

distinta

da

quella di rottura (F=B).d)

Sul

piano

v‐p’

il

percorso

sale

e

attraversa

linee

URL

con

p’c

inferiori

fino

a

raggiungere la linea CSL (C)

ESP

CSL

13

q

p’

qfqcs

A

D=C

B=F

C

D

p’0

AD

D

p’

v

p’c

NCLCSL

p’ /2c

B=F

Ellisse di plast.allo stato critico

Ellisse di plast.a rottura (= iniz.)

Stato A = fine consolidazione

Stato C = critico

Stato B (=F) = rottura

Modello Cam‐Clay


ESP

CSL

13

a) b)

d)

q

p’ ε1

q

v

qf qf

c)A

B

GE

C=F

DB

A

p’0 p’f

A AB B

D

E

p’

v

vfp’c

NCLCSL

ε1C=F

G

C=F

C=F

D

D

5858/63/63

1a. Prova TxCID

su argille debolmente OC (p’B

> p’c

/2)

Modello Cam‐Clay


5959/63/63

1b. Prova TxCID

su argille fortemente OC (p’B

< p’c

/2)

ESP

CSL

13

a) b)

d)

q

p’ ε1

q

qfqcs

c)A

D=C

B=F

C

C

D

D

B=F

A

p’0

A

A

D B=F D

p’

v

p’c

NCLCSL

ε1

εv

p’ /2c

D B=F

C

TSP

CSL

13

q

p’,p

qf

A

B

C=F

u0E G

p’0p’f

A BD E

p’

v

v = vA f

p’c

NCLCSL

D

C=F G

Modello Cam‐Clay


2.Prova TxCIU

a)

Il

percorso

tensionale

(che

si

svolge

sul

piano non drenato verticale, con v = cost) appartiene per un

primo

tratto

(AB)

alla

parete

elastica,

e

si

svolge,

sul

piano

p’‐q,

su

un

segmento

verticale fino

a

incontrare

l’ellisse

di

plasticizzazione

(B)

corrispondente a p’c

, con deformazioni elastiche.b)

Sul

piano

v‐p’

il

primo

tratto

del

percorso

coincide con lo stato iniziale

(A) sulla linea URLc) Raggiunta la plasticizzazione

(B), il percorso sul

piano

p’‐q

si

svolge

su

una

linea

curva,

che,

se l’ascissa di B, ovvero p’0

, è

maggiore di p’c

/2

(R0

<2, terreno

debolmente

OC)

il

percorso

si

muove

allontanandosi

dal

percorso

TSP

(Δu

crescenti) verso

l’esterno

dell’ellisse,

che

si

espande

(D)

e

a

cui

corrispondono

valori

di

p’c

sempre

maggiori, fino allo stato critico=rottura

(C=F).

d)

Sul

piano

v‐p’

il

percorso

è

orizzontale

verso sin.

e

attraversa

linee

URL

con

p’c

sempre maggiori fino a raggiungere la linea CSL (C=F)

Ellisse di plast.allo stato critico (rottura)

Ellisse di plast.fine cons.

Stato A = fine consolidazioneStato C (=F) = critico = rottura

TSP

ESP

CSL

13

q

p’,p

qfqcs D

D

B=F

B=F

D

C

D

p’0

D

p’

v

p’c

NCL

CSL

Δucs

Δuf

p’ /2c

A u0

A=B=F

C

C

Modello Cam‐Clay


c) Se l’ascissa di B è

maggiore di p’c

/2

(R0

>2, terreno fortemente OC) il percorso si muove verso l’interno dell’ellisse, che si contrae (C) e a cui corrispondono valori di p’c inferiori, fino

alla

condizione

di

stato

critico

(C),

distinta

da

quella

di

rottura

(F=B).

Il

punto (D)

in

corrispondenza

del

quale

il

percorso

ESP attraversa il percorso TSP corrisponde a Δu

=0.

d)

Sul

piano

v‐p’

il

percorso

è

sempre orizzontale,

ma

verso

dx

e

e

attraversa

linee

URL

con

p’c

inferiori

fino

a

raggiungere

la linea CSL (C).

Ellisse di plast.allo stato critico

Ellisse di plast.a rottura (= iniz.)

Con

riferimento

al

punto

B

(p’f

=p’0

,qf

), ponendo

l’appartenenza

all’ellisse

di

plasticizzazione: ( ) 0Mqppp 2

2f'

c'0

2'0 =+⋅−

2Rperc21RpMq 0u0'0f >⋅=−⋅⋅=

Stato A = fine consolidazioneStato C = criticoStato B (=F) = rottura

Modello Cam‐Clay


6262/63/63

2a. Prova TxCIU

su argille debolmente OC (p’0

> p’c

/2, R0

<2)

TSP

CSL

13

a) b)

d)

q

p’,p ε1

q

qf

qf

c)A

B

C=F

u0

C=F

E G

DB

A

p’0p’f

A

A

B

B

D

E

p’

v

v = vA f

p’c

NCLCSL

ε1

Δu

D

C=FD

C=F G

Modello Cam‐Clay


6363/63/63

2b. Prova TxCIU

su argille fortemente OC (p’0

< p’c

/2, R0

>2)

TSP

ESP

CSL

13

q

p’,p

qfqcs D

D

B=F

B=F

D

C

D

p’0

D

p’

v

p’c

NCL

CSL

Δucs

Δuf

p’ /2c

A u0

A=B=F

C

C

ε1

q

A

A ε1

Δu

Δucs

Δuf

B=F D C

B=F

D

C

UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI FIRENZE Dipartimento …geotecnica.dicea.unifi.it/less_sc10.pdf · è...

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