Harjoitustehtävät

Mereologia ja sen soveltaminen

Laskuharjoitus 1

M. Keinänen

Tehtävät

• HT1: P3. ¬(x « x) (irrefleksiivisyys) seuraa alla olevistaPA1. x « y → ¬ (y « x) (asymmetrisyys) PA2. ((x « y) Λ (y « z)) → (x « z) (transitiivisuus)• HT2: olla osa-relaatio toteuttaa seuraavat ehdot(x < x) (refleksiivisyys)((x < y) Λ (y < z)) → (x < z) (transitiivisuus) ((x < y) Λ (y < x)) → (x = y) (antisymmetrisyys)

• HT3: heikko täydennysperiaate seuraa vahvasta täydennysperiaatteesta, jos oletetaan perusmereologia.

• HT4: P13 seuraa vahvasta täydennysperiaatteesta.

HT1

• x « y → ¬ (y « x) • ((x « y) Λ (y « z)) → (x « z)

x(x « x) Oletus

2. (a « a) ES 1 a/x

3. x y((x « y) → ¬ (y « x)) AKS.

4. (a « a) → ¬ (a « a) US 3 a/x, a/y

5. ¬ (a « a) MP 2,4, RR

6. x ¬(x « x) ¬oletus

HT2

• HT2: olla osa-relaatio ”<” toteuttaa seuraavat ehdot:

A) (x < x) (refleksiivisyys)

B) ((x < y) Λ (y < z)) → (x < z) (transitiivisuus)

C) ((x < y) Λ (y < x)) → (x = y) (antisymmetrisyys)

• Osoitetaan että ((x « y) ν (x = y)) toteuttaa nämä ehdot.

• A) 1. x(x = x) Id aks.

2. (x = x) US 1 x/x

3. ((x « x) ν (x = x)) taut, MP 2

4. (x < x) MÄÄR.

5. x(x < x) UG. 4

HT2

• B) transitiivisuus

1. ((x « y) Λ (y « z)) → (x « z)) AKS. US x/x y/y z/z

2. ((x < y) Λ (y < z)) Premissi

3 . ((x « y) ν (x = y)) Λ ((y « z) ν (y = z)) 2, MÄÄR.

4. ((x « y)Λ(y « z))ν((x « y)Λ(y = z))ν((x = y)

Λ(y « z)) ν ((x = y)Λ (y = z)) Taut. MP

5. (x « z) ν (x « z) ν (x « z) ν (x = z) 4, AKS, ID, Lausel

6. (x < z) 5, lausel. MÄÄR

7. ((x < y) Λ (y < z)) → (x < z)) CP 5,6, MÄÄR.

8. x y ((x < y) Λ (y < z)) → (x < z)) UG 7.

HT2

C) ((x < y) Λ (y < x)) → (x = y)

1.((x < y) Λ (y < x)) prem.

2.((x « y) → ¬(y « x)) AKS. US x/x, y/y

2A. ((x « y) Λ (y « z)) → (x « z) AKS. US x/x, y/y

3. ((x « y) ν (x = y)) Λ ((y « x) ν (y = x)) 1, MÄÄR

4. ((x « y) Λ (y « x)) ν ((x « y) Λ (y = x)) ν ((x = y) Λ (y « x)) ν ((x =y) Λ (y = x)) 3, lauselogiikka

5. (x « x) ν (x « x) ν (x « x) ν (x = y) 2A, 4, ID, lauselogiikka

Eliminoidaan 2:n kanssa ristiriidassa olevat disjunktit ja saadaan (x = y).

HT3

• HT3: heikko täydennysperiaate seuraa vahvasta täydennysperiaatteesta, jos oletetaan perusmereologia.

• x « y → (z)((z « y) Λ ¬ (z ○ x))• ¬(x < y) → (z)((z < x) Λ ¬ (z ○ y))

Todistuksen perusidea• 1. x « y oletus• 2. ¬ (y < x) (prem. 1 seuraus)• 3. (z)((z < y) Λ ¬ (z ○ x)) (VTP, 2)

HT3

x y (¬(x < y) → (z)((z < x) Λ ¬ (z ○ y))) SSP├ x y((x« y) → (z)((z « y) Λ ¬ (z ○ x))) WSP

1. x y (¬(x < y) → (z)((z < x) Λ ¬ (z ○ y)) PR1

2. x « y apupremissi PR2

3. (y < x) ↔ ((y « x) ν (y = x)) US x/x, y/y MÄÄR.

4. x y ((x « y) → ¬(y < x)) Lemma

5. ¬(x « x) US Teor. x/x

6. ¬(x = y) MP 2,5, lausel.

7. x « y → ¬(y « x) US AKS. x/x, y/y

8. ¬(x = y) Λ ¬(y « x) MP t., 2,6,7

8A. ¬(y < x) 3, lauselogiikka

8B. (x « y) → ¬(y < x) CP 2,…8A

Lemma 4 todistettu

HT3

9. ¬(y < x) → (z)((z < y) Λ ¬ (z ○ x)) US 1 x/x,y/y

10. x « y → (z)((z < y) Λ ¬ (z ○ x)) 8B, 9

11. (z)((z < y) Λ ¬ (z ○ x)) MP 2,4,10

12. (t < y) Λ ¬ (t ○ x)) ES. t = txy

13. ((t « y) ν (t = y)) Λ ¬ (t ○ x)) MÄÄR. 12

13A.((t « y) Λ ¬ (t ○ x))ν ((t = y) Λ ¬ (t ○ x)) Lauselogiikka 13

14. ((t = y) Λ ¬ (t ○ x)) apuoletus

15. ¬ (y ○ x) IK, 14

16.(x < x) teoreema, US

17.(x < y) 2, MÄÄR, MP

18. (x < y) Λ (x < x)) 16,17

19. w((w < y) Λ (w < x)) EG. 18(uusi muuttuja)

20. (y ○ x) 19, MÄÄR

HT3

20A. ¬ (y ○ x) Λ (y ○ x) RR

21. (t « y) Λ ¬ (t ○ x) 13

22. (z)((z « y) Λ ¬ (z ○ x)) EG. 22, z

23. (x« y) → (z)((z « y) Λ ¬ (z ○ x)) CP. 2…23

x y((x« y) → (z)((z « y) Λ ¬ (z ○ x))) UG. 23

HT4

Väite: x y (¬ (x < y) → (z)((z < x) Λ ¬ (z ○ x)))

├ (z)((z « x) Λ x y (z((z « x) → (z « y)) → (x < y)))

Todistetaan:

├ (z)((z « x)) Λ x y (¬ (x < y) → (w)((w « x) Λ ¬ (w « y)) • Todistuksen perusidea• (z)((z « x)) Λ ¬ (x < y) premissi• (z)((z < x) Λ ¬ (z ○ x)) SSP• (¬ (x ○ y) Λ (z « x)) → ¬ (z « y) MÄÄR.• ¬ (x ○ y) → (z)((z « x) Λ ¬ (z « y))• (x ○ y) Λ ¬ (z ○ y) → ¬ (z = x) MÄÄR.• ((x ○ y) Λ (z < x) Λ ¬ (z ○ y)) → ((z « x) Λ ¬ (z « y)) • ((x ○ y) Λ (z < x)) → (z)((z « x) Λ ¬ (z « y))• ((x ○ y) ν (¬ (z ○ y))• (z)((z « x) Λ ¬ (z « y))

HT4

A1. (z)((z « x)) Λ ¬ (x < y) premissi

A2. ¬ (x < y) → (z)((z < x) Λ ¬ (z ○ y)) premissi, US x/x, y/y

1.¬ (x ○ y) ↔ z ¬ ((z < x) Λ (z < y)) MÄÄR. Kvant.

2.¬ (x ○ y) APUPREM.

3. (a « x) ES A1 a/y, a=axyz

4.¬ ((a < x) Λ (a < y)) MP, US 1,2 a/z

5.(a < x) → ¬ (a < y) MP, Lausel. 4

6.(a « x) → ¬ (a « y) MÄÄR., Lausel. 5

9. (a « x) Λ ¬ (a « y) 3, 6

10. (w((w « x) Λ ¬ (w « y)) EG 9 (uusi var.)

10A. ¬(x ○ y) → (w((w « x) Λ ¬ (w « y)) CP

HT4

11A. (x ○ y) APUPR.

11B. ¬ (x < y) → ((a < x) Λ ¬ (a ○ y)) ES A2. a/z

11C. ((a < x) Λ ¬ (a ○ y)) A1, 11B MP

12. ((x ○ y) Λ ¬ (a ○ y)) → ¬ (a = x) id. lausel.

13. (¬ (a = x) Λ (a < x)) → (a « x) Määr. <

14. ¬ (a ○ y) 11C

15. ¬ (a ○ y) ↔ v¬ ((v < a) Λ (v < y))

16. ¬ ((a < a) Λ (a < y)) US 15 a/v

17. ¬ (a < y)

18. ¬ (a « y) 17 MÄÄR. 19.((x ○ y) Λ (a < x) Λ ¬ (a ○ y)) → ((a « x) Λ ¬ (a « y)) 12,

13,18

21. (x ○ y) → ((a « x) Λ ¬ (a « y))11…,20, CP

HT4

22.(x ○ y) → (w)((w « x) Λ ¬ (w « y)) EGEN 21

23. ((x ○ y) ν ¬ (x ○ y) Taut.

24. (w)((w « x) Λ ¬ (w « y)) 11A,22

25. (z)((z « x)) Λ ¬ (x < y) → (w)((w « x) Λ ¬ (w « y))

26. x y (z ((z « x)) Λ ¬ (x < y) → (w)((w « x) Λ ¬ (w « y))) UG 25

HT5

P13. x y (z (z « x) → (z)((z « x) → (z « y)) → (x < y)))

├ x y((z (z « x) → (z)((z « x) ↔ (z « y)) ↔ (x = y)))

1. (z)(z « x) → (z((z « u) → (z « v)) → (u < v))) US u/x, v/y, PR1

1A. (z)(z « x) → (z((z « v) → (z « u)) → (v < u))) US v/x, u/y, PR1

• (a « u) → (z ((z « u) → (z « v)) → (u < v))) ES a/z, a= axy

2A. (a « u) → (z ((z « v) → (z « u)) → (v < u))) ES a/z, a=axy

3. (a « u) Apupremissi, 4.((t « u) → (t « v)) → (u < v)) MP, US t/z 2, 35.((t « v) → (t « u)) → (v < u)) MP, US t/z 2A, 36. ((t « u) ↔ (t « v)) → ((u < v) Λ (v < u)) 4,5, lauselogiikka7. ((t « u) ↔ (t « v)) → (u = v) 6, teoreema <8. Käänteinen: identiteetin korvattavuus 9. ((t « u) ↔ (t « v)) ↔ (u = v) 7,8

HT510. (z)((z « u) ↔ (z « y)) ↔ (x = y) UG9 z/t11. z((z « u) → (z)(((z « u) ↔ (z « u)) ↔ (u = v)))) Apup.

EG12. xyz((z « x) → (z (((z « x) ↔ (z « y)) ↔ (x = y)))) UG u/x, v/y

P14. (z)((z « x) ν (z « y)) → ((z)((z « x) ↔ (z « y)) ↔ (x = y))