Mët t i l»u ngn gån v· Lþ thuy¸t Ph¤m trò v H m tû · Mët t i l»u ngn gån v· Lþ...

32
υo‘.

Transcript of Mët t i l»u ngn gån v· Lþ thuy¸t Ph¤m trò v H m tû · Mët t i l»u ngn gån v· Lþ...

Mët t i l»u ng­n gån v·Lþ thuy¸t Ph¤m trò v 

H m tû

A short way to

Theory of Categories and Functors

Author: DongPhD

DongPhD Problems Book Series

υo`.1

All rights reserved.

c© 2009 by wWw.VnMath.CoM

MÖC LÖC

Líi tüa 1

1 Ph¤m trò 21.1 Kh¡i ni»m v· ph¤m trò . . . . . . . . . . . 2

1.2 C¡c vªt v  c¡c c§u x¤ �°c bi»t . . . . . . . 4

1.3 Ph¤m trò khîp, cëng t½nh, abel . . . . . . 14

2 H m tû 172.1 Kh¡i ni»m h m tû . . . . . . . . . . . . . 17

2.2 Ph²p bi¸n �êi tü nhi¶n . . . . . . . . . . . 19

2.3 H m tû khîp . . . . . . . . . . . . . . . . 20

T i li»u tham kh£o 28

i

www.vnmath.com

Líi tüa

Lþ thuy¸t ph¤m trò v  h m tû l  mæn håc mîi vîi ph¦n

�æng chóng ta. Vi»c t¼m mët quyºn b i tªp v· nâ qu£ l 

khâ kh«n. �º phöc vö cho nhu c¦u æn tªp cõa m¼nh, tæi

bi¶n so¤n tªp t i li»u ng­n gån n y. Gâp nh°t nìi n y v i

þ t÷ðng, nìi kia v i luªn cù tæi �¢ l m cæng vi»c cõa mët

con b÷îm li»ng v÷ín hoa - v÷ín hoa xù l¤ - m  khæng

mong k¸t tinh mët �÷ñc mët thù mªt n o l nh ngåt. May

ch«ng, ch¿ câ thº tr¡nh �÷ñc sü cho¡ng ngñp ban �¦u khi

ti¸p cªn vîi �tay ki¸m kh¡ch væ còng trøu t÷ñng� n y.

R§t mong �÷ñc sü ch¿ gi¡o cõa c¡c �ëc gi£ v· nhúng

sai l¦m khæng tr¡nh khäi trong t i li»u n y.

N÷îc muæn sæng khæng �õ cho tæi rûa tai �º nghe nhúng

líi cao luªn.†

Hu¸, Mòa �æng, n«m �inh Hñi

DongPhD

†Of first editon. Thanks for nothing.‡This is the second version.§Ask not me why

1

www.vnmath.com

1 Ph¤m trò

Chaque v²rit² que je trouvois ²tant une r±gle qui me

servoit apr±s   en trouver d'autres [Each problem

that I solved became a rule which served afterwards

to solve other problems]. (Ren² Descartes, �Discours

de la M²thode�)

1.1 Kh¡i ni»m v· ph¤m trò

B i tªp 1.1.

1. 1 l  ph¤m trò vîi mët vªt ? v  mët môi t¶n id?;

2. 0 l  ph¤m trò réng khæng câ vªt v  môi t¶n n o.

3. Gr khæng l  ph¤m trò con �¦y cõa ph¤m trò S

4. Ab l  ph¤m trò con �¦y cõa Gr.

Líi gi£i.

3. Trong ph¤m trò Gr ta câ [Z2,Z2] = {0, id}. Tuy nhi¶n

trong ph¤m trò S, [Z2,Z2] = {0, id, e} vîi e(0) =

1, e(1) = 1

4. Rã v¼ kh¡i ni»m c§u x¤1 trong Ab v  Gr l  nh÷ nhau.

B i tªp 1.2. Cho mët hå (Ai)i∈I c¡c vªt trong mët ph¤mtrò C, chùng minh r¬ng CS, CP l  ph¤m trò.

1Mët sè s¡ch gåi l  môi t¶n(arrow)

2

www.vnmath.com

1. Ob(CS) = {(αi : Ai −→ X)I |X ∈ Ob(C)},[(αi : Ai −→ X)I , (βi : Ai −→ Y )I ]CS = {δ : X −→Y ∈ [X, Y ]C|βi = δαi, ∀i ∈ I}hñp th nh c¡c c§u x¤ trong CS ch½nh l  t½ch c¡c c§ux¤ trong C.

2. Ob(CP) = {(αi : X −→ Ai)I |X ∈ Ob(C)},[(αi : X −→ Ai)I , (βi : Y −→ Ai)I ]CP = {γ : X −→Y ∈ [X, Y ]C|βi = γαi, ∀i ∈ I}hñp th nh c¡c c§u x¤ trong CP ch½nh l  t½ch c¡c c§ux¤ trong C.

Líi gi£i.

∗ Ta câ [(αi : Ai −→ X)I , (βi : Ai −→ Y )I ]CS ⊂ [X, Y ]Cn¶n nâ l  mët tªp hñp.

∗ 1(αi:Ai−→X)I = 1X

∗ V¼ ph²p hñp th nh c¡c c§u x¤ trong CS ch½nh l  t½ch

c¡c c§u x¤ trong C n¶n 1(αi:Ai−→X)I = 1X l  duy nh§t

v  ph²p hñp th nh câ t½nh k¸t hñp.

B i tªp 1.3. Cho A, B l  c¡c vªt trong mët ph¤m trò C,chùng minh r¬ng OvB, UnA l  ph¤m trò.

1. Ob(OvB) = {(X −→ B)|X ∈ Ob(C)},[X

α−→ B, Yβ−→ B]OvB = {γ : X −→ Y ∈ [X, Y ]C|βγ =

α}

3

www.vnmath.com

2. Ob(UnA) = {(A −→ Y )|Y ∈ Ob(C)},[A

α−→ Y,Aβ−→ X]UnA = {δ : X −→ Y ∈ [X, Y ]C|δβ =

α}

Líi gi£i. Ch¿ vi»c kiºm tra c¡c ti¶n �· nh÷ B i tªp 1.2.

1.2 C¡c vªt v  c¡c c§u x¤ �°c bi»t

B i tªp 1.4. Chùng minh r¬ng

a. N¸u α, β l  �ìn x¤ v  βα x¡c �ành th¼ βα công �ìnx¤.

b. N¸u αβ th¼ α �ìn x¤ (nh÷ng β khæng nh§t thi¸t �ìnx¤).

c. N¸u α l  to n x¤ (�ìn x¤) trong ph¤m trò C th¼ [α]

khæng to n x¤ (�ìn x¤) trong ph¤m trò th÷ìng cõa C.

Líi gi£i.

a. Gi£ sû câ f , g sao cho βαf = βαg. V¼ β l  �ìn x¤

n¶n αf = αg, do α l  �ìn x¤ n¶n f = g. Vªy βα �ìn

x¤.

b. Gi£ sû câ f , g sao cho αf = αg. Suy ra βαf = βαg

do βα l  �ìn x¤ n¶n f = g. Vªy α l  �ìn x¤.

β khæng nh§t thi¸t �ìn x¤.

Trong ph¤m trò c¡c tªp hñp, x²t c¡c c§u x¤

N α−→ Z β−→ Nn 7−→ n

z 7−→ |z|

4

www.vnmath.com

Rã r ng βα = idN l  �ìn x¤. Tuy nhi¶n β khæng l 

�ìn x¤ v¼ |z1| = |z2| khæng suy ra �÷ñc z1 = z2.

c. X²t ph¤m trò và nhâm nh¥n N. Ta x²t mët quan h»

t÷ìng �÷ìng tr¶n Mor(N):

a, b ∈ Mor(N), a ∼ b⇐⇒ a v  b còng chia h¸t cho 2

hay �·u khæng chia h¸t cho 2.

Khi �â Mor(N) �÷ñc chia th nh hai lîp:[0], [1].

Ta câ ph¤m trò th÷ìng N:

Ob(N) = {N},Mor(N) = {[0], [1]}

Hñp th nh[a], [b]:

[a][b] = [ab] =

[1] n¸u a v  b �·u l´

[0] c¡c tr÷íng hñp cán l¤i

Ta câ 2 l  to n x¤ (�ìn x¤) trong N. Nh÷ng [2] khæng

to n x¤ (�ìn x¤) trong N.

B i tªp 1.5.

1. To n x¤ ch÷a ch­c l  to n ¡nh.

2. �ìn x¤ ch÷a ch­c l  �ìn ¡nh.

Líi gi£i.

1. X²t ph¤m trò Mon c¡c nûa nhâm câ �ìn và(Monoid)

c¡c c§u x¤ l  c¡c �çng c§u cõa chóng.

�çng c§u bao h m j : N −→ Z l  mët to n x¤ nh÷ng

khæng to n ¡nh. Thªt vªy, gi£ sû r¬ng g1 and g2 l 

hai c§u x¤ ph¥n bi»t tø Z tîi mët monoid M n o

5

www.vnmath.com

�â. Lóc �â câ n ∈ Z sao cho g1(n) 6= g2(n), do �â

g1(−n) 6= g2(−n). Ho°c n ho°c −n /∈ N, g1j 6= g2j.

Vªy j l  to n x¤.

2. Trong ph¤m trò Div c¡c nhâm abel chia �÷ñc v  c¡c

c§u x¤ l  c¡c �çng c§u nhâm giúa chóng. X²t �çng

c§u th÷ìng q : Q −→ Q/Z. Rã r ng nâ khæng l  �ìn

¡nh; tuy nhi¶n, nâ l  mët �ìn x¤ trong ph¤m trò n y.

Thªt vªy, n¸u qf = qg trong �â f , g : G −→ Q, G

l  nhâm abel chia �÷ñc n o �â. Lóc �â qh = 0 vîi

h = f − g (�¥y l  mët ph¤m trò cëng t½nh2). Suy ra

h(x) l  mët sè húu t¿ n¸u x ∈ G. N¸u h(x) 6= 0, ch¯ng

h¤n,

h

(x

2008h(x)

)=

1

2008

th¼

qh

(x

2008h(x)

)6= 0

m¥u thu¨n vîi qh = 0, vªy h(x) = 0 v  q l  �ìn x¤.

B i tªp 1.6. Chùng minh r¬ng c¡c m»nh �· sau t÷ìng�÷ìng:

a. A l  vªt khæng.

b. O −→ A l  to n x¤.

c. A −→ O l  �ìn x¤.

d. 1A l  c§u x¤ khæng.2xem [1]

6

www.vnmath.com

Líi gi£i. Ta ch¿ chùng minh a⇐⇒ b v  a⇐⇒ d.

1. (a =⇒ b). Gi£ sû A l  vªt khæng. N¸u câ f , g : A −→X sao cho f.0OA = g.0OA th¼ f = g v¼ [A,X] câ duy

nh§t mët ph¦n tû. Vªy O −→ A l  to n x¤.

2. (b =⇒ a). Gi£ sû O −→ A l  to n x¤. c Ta s³ chùng

minh O −→ A l  �¯ng x¤. Thªt vªy,

A0AO // O

0OA // A

∗ Ta câ 0OA.0AO = 0AA ∈ [A,A] v  1AA ∈ [A,A].

M°t kh¡c 0AA0OA = 1AA0OA = 0OA, do 0OA l 

to n x¤ n¶n 0AA = 1AA.

∗ Ta công câ 0AO.0OA = 0OO = 1OO.

Vªy a⇐⇒ b.

3. (a =⇒ d). Rã.

4. (d =⇒ a). Gi£ sû 1A l  c§u x¤ khæng. A l  vªt tªn

còng v¼ 0XA ∈ [X,A] v  n¸u f ∈ [X,A] th¼ 1Af =

0XA = 1A0XA, do �â f = 0XA v¼ 1A l  �¯ng x¤.

Vªy a⇐⇒ d.

B i tªp 1.7. Cho C l  mët ph¤m trò v  h¼nh vuæng saugiao ho¡n:

Pp1 //

p2��

B1

β1

��D2 β2

// B

7

www.vnmath.com

Ta x²t ph¤m trò Pull:Vîi β1 : B1 −→ B, β2 : B2 −→ B cho s®n cõa COb(Pull) = {(p1 : P −→ B1, p2 : P −→ B2)|p1, p2 ∈

Mor(C), β1p1 = β2p2} [(p1, p2), (p′1, p′2)]Pull = {γ : P ′ −→

P ∈Mor(C)| p′1 = p1γ, p′2 = p2γ};

hñp th nh l  hñp th nh trong trong C; 1(p1,p2) = 1C.H¢y t¼m vªt tªn còng trong ph¤m trò Pull.

Líi gi£i.

∗ Gi£ sû trong ph¤m trò Pull tçn t¤i n½u cho c°p β1,

β2 l  (P, p1, p2) th¼ (p1, p2) ch½nh l  vªt tªn còng c¦n

t¼m.

∗ N¸u ph¤m trò Pull khæng tçn t¤i n½u cho c°p β1, β2.

Gi£ sû (p1, p2) l  vªt tªn còng cõa ph¤m trò Pull th¼(P, p1, p2) l  n½u (væ lþ).

B i tªp 1.8. Chùng minh r¬ng:

a. N¸u α l  �ìn x¤ th¼ Kerα = 0, nh÷ng ng÷ñc l¤i th¼ch÷a ch­c;

b. N¸u β l  �ìn x¤ th¼ Ker(α) = Ker(βα).

c. N¸u u : K −→ A l  h¤t nh¥n cõa α : A −→ B v p : A −→ K∗ l  �èi h¤t nh¥n cõa u th¼ u l  h¤t nh¥ncõa p.

Líi gi£i.

a. Ta câ

X0XA−→ A

α−→ B

8

www.vnmath.com

∗ α.0XA = 0.

∗ Gi£ sû câ c§u x¤ u′ : K ′ −→ A thäa m¢n �i·u

ki»n αu′ = 0. V¼ α l  �ìn x¤ n¶n u′ = 0XA. Vîi

λ = idX ta câ 0XA.λ = u′.

Vªy Kerα = 0.

Ph£n v½ dö:

X²t ph¤m trò R− Smod c¡c nûa mæ�un tr¡i.

X²t Λ3 = {0, 1, a}, trong �â a kh¡c 0 v  1 vîi

ph²p to¡n cång �÷ñc �ành ngh¾a nh÷ sau:

+ 0 1 a

0 0 1 a

1 1 1 1

a a 1 a

Λ3 l  và nhâm cëng giao ho¡n vîi ph¦n tû �ìn và

l  1.

Ta câ N = {0, 1, 2, . . .} vîi ph²p cëng v  nh¥n

thæng th÷íng l  nûa v nh.

X²t ¡nh x¤

ϕ : N× Λ3 −→ Λ3

(n, x) 7−→ nx = x+ x+ . . . x︸ ︷︷ ︸n l¦n

Ta câ ∀m,n ∈ N, ∀x, y ∈ Λ3

n(x+ y) = (x+ y) + . . . (x+ y)︸ ︷︷ ︸n l¦n

= x+ x+ . . . x︸ ︷︷ ︸n l¦n

+ y + y + . . . y︸ ︷︷ ︸n l¦n

= nx+ ny

9

www.vnmath.com

T÷ìng tü

(m+ n)x = nx+mx

(mn)x = m(nx)

1x = x

Vªy Λ3 l  mët N− nûa mæ�un tr¡i.

X²tf : Λ3 −→ Λ3

0 7−→ 0

1 7−→ 1

a 7−→ 1

f(0 + 1) = f(1) = 1 = 0 + 1 = f(0) + f(1)

T÷ìng tü

f(0 + a) = f(0) + f(a)

f(1 + a) = f(1) + f(a)

f(m1) = mf(1)

f(m0) = mf(0)

f(ma) = mf(a)

Vªy f l  N−�çng c§u nûa mæ �un tr¡i.

X²t K = {x ∈ Λ3|f(x) = 0} = {0} l  vªt khæng

trong R− Smod.X²t

K ′0K′K=λ

~~

g′

BBB

BBBB

B

Kg=0 // Λ3

f // Λ3

10

www.vnmath.com

vîig : K −→ Λ3

0 7−→ 0

Ta câ fg = f.0KΛ3 = 0KΛ3.

Vîi måi g′ : K ′ −→ Λ3 thäa fg′ = 0K′Λ3. Suy ra

g′ = 0.

Khi �â tçn t¤i duy nh§t c§u x¤

λ : K ′ −→ K = {0}x 7−→ 0

sao cho gλ(x) = g(0) = 0 = g′(x), ∀x ∈ K ′.Vªy K = Kerf nh÷ng f khæng �ìn ¡nh, do �â

khæng �ìn x¤3.

b. Ta chùng minh n¸u tçn t¤i Ker(α) th¼ Ker(βα) công

tçn t¤i v  Ker(α) = Ker(βα) v  ng÷ñc l¤i .

(=⇒)

Xkerα−→ A

α−→ Bβ−→ C

Ta câ (βα)kerα = β(αkerα) = β0XB = 0XC

K ′

λ

~~

u′

AAA

AAAA

A

Xkerα // A

α // Bβ // C

Gi£ sû câ u′ : K ′ −→ A sao cho βαu′ = 0K′C , v¼ β

l  �ìn x¤ n¶n αu′ = 0XB. M  αkerα = 0XB n¶n tçn

t¤i duy nh§t λ : K ′ −→ K sao cho ker(α).λ = u′.3Ph£n chùng: khæng khâ �º t¼m ra mët ph£n th½ dö.

11

www.vnmath.com

Vªy Ker(α) = Ker(βα).

(⇐=)4

c.

K ′

λ

~~

u′

AAA

AAAA

A

K u// A

p //

α ��@@@

@@@@

K∗

γ}}B

∗ Ta câ pu = 0 v¼ p = cokeru.

M°t kh¡c αu = 0 n¶n theo t½nh ch§t cõa cokeru

tçn t¤i c§u x¤ duy nh§t γ : K∗ −→ B sao cho

γp = α.

∗ Gi£ sû câ u′ : K ′ −→ A thäa m¢n pu′ = 0. Lóc

�â γpu′ = 0 = αu′. Do u = kerα n¶n tçn t¤i duy

nh§t c§u x¤ λ : K ′ −→ K sao cho uλ = u′.

Vªy u l  h¤t nh¥n cõa p.

B i tªp 1.9. Ta gåi t½ch thî cõa mët hå c§u x¤ (βi :

Bi −→ B)i∈I) cõa ph¤m trò C l  t½ch cõa hå vªt (βi :

Bi −→ B)i∈I) trong ph¤m trò OvB c¡c vªt ph½a tr¶n B.Khi méi c§u x¤ βi l  �ìn x¤ th¼ t½ch thî cõa hå (βi :

Bi −→ B)i∈I) cán �÷ñc gåi l  giao cõa hå c¡c vªt Bi, k½hi»u

⋂i∈IBi.

H¢y chùng tä r¬ng n¸u ph¤m trò C câ vªt tªn còng B th¼4rã

12

www.vnmath.com

i) Ph¤m trò OvB c¡c vªt ph½a tr¶n B tròng vîi ph¤m trò�¢ cho.

ii) T½ch cõa hå vªt (Bi)i∈I tròng vîi t½ch thî cõa hå (βi :

Bi −→ B)i∈I).

Líi gi£i.

i) Chùng minh trong ph¤m trò C câ vªt tªn còng th¼

OvB ≡ C. Ta c¦n chùng minh

1. Ob(C) 1−1←→ Ob(OvB)

2. [Xf−→ B, Y

g−→ B] = [X, Y ]C

1. Ta câ vîi méi vªt cõa Ob(OvB) t÷ìng ùng 1 − 1

vîi méi vªt cõa Ob(C).(X −→ B) ∈ Ob(OvB)

1−1←→ X ∈ Ob(C)

2. Ta câ ∀γ ∈ [Xf−→ B, Y

g−→ B]OvB , γ : X −→Y : gγ = f .

γ ∈ [X, Y ]C. Suy ra [Xα−→ B, Y

β−→ B] ⊂[X, Y ]C.

Ng÷ñc l¤i, vîi måi γ ∈ [X, Y ]C, γ : X −→ Y . Khi

�â gγ : X −→ B ∈ [X,B].

Ta câ f : X −→ B ∈ [X,B] v  do B l  vªt tªn

còng n¶n gγ = f . Do �â γ ∈ [Xf−→ B, Y

g−→B]OvB , tùc l  [X, Y ]C ⊂ [X

f−→ B, Yg−→ B]OvB .

Vªy [Xf−→ B, Y

g−→ B] = [X, Y ]C.

ii) Gi£ sû (P, Ppi−→ Bi)i∈I l  t½ch cõa hå vªt (Bi)i∈I

trong ph¤m trò C. Ta s³ chùng minh (P, Ppi−→ Bi)i∈I

13

www.vnmath.com

l  t½ch thî cõa hå (βi : Bi −→ B)i∈I .

Thªt vªy, ta câ

βipi : P −→ B, βjpj : P −→ B

Do B l  vªt tªn còng n¶n βipi = βjpj, ∀i, j ∈ ISuy ra βipi ∈ Ob(OvB).

∀X ∈ Ob(C), (X,Xαi−→ Bi)i∈I ta câ

βiαi : X −→ B, βjαj : X −→ B

Do B l  vªt tªn còng n¶n βiαi = βjαj, ∀i, j ∈ I.Suy ra βiαi ∈ Ob(OvB).

Do P l  t½ch n¶n tçn t¤i duy nh§t c§u x¤ γ : X −→ P

sao cho piγ = αi, ∀i ∈ I.Vªy P l  t½ch thî cõa hå (βi : Bi −→ B)i∈I .

1.3 Ph¤m trò khîp, cëng t½nh, abel

B i tªp 1.10. Trong ph¤m trò khîp

1. Chùng minh méi �ìn x¤ l  h¤t nh¥n cõa �èi h¤t nh¥ncõa nâ

2. Mët c§u x¤ α l  �ìn x¤ khi v  ch¿ khi Kerα = 0.

Líi gi£i. Trong ph¤m trò khîp, ta câ måi c§u x¤ α :

A −→ B thäa α = uv trong �â u = ker(cokerα), v =

coker(kerα).

14

www.vnmath.com

1. Gi£ sû α l  �ìn x¤. Ta chùng minh α = ker(cokerα).

V¼ α �ìn x¤ n¶n kerα = 0XA. Ta câ v = coker(kerα) =

coker0XA = 1A. Vªy α = u1A = ker(cokerα).

2. kerα = 0 =⇒ α �ìn x¤.

Thªt vªy, gi£ sû câ f, g : X −→ A sao cho αf = αg

hay uvf = uvg. V¼ u l  �ìn x¤ n¶n vf = vg hay

coker(kerα)f = coker(kerα)g. Suy ra 1Af = 1Ag,

tùc l  f = g .

B i tªp 1.11. Trong ph¤m trò cëng t½nh, chùng minh

1. α to n x¤ ⇐⇒ Cokerα = 0.

2. Coequ(α, β) = Coker(α− β).

Líi gi£i. Cho α : A −→ B, cokerα : B −→ Y .

1. Ta chùng minh Cokerα = 0 =⇒ α to n x¤.

Gi£ sû câ f, g : B −→ Y ∗ sao cho fα = gα th¼

fα− gα = 0 hay (f − g)α = 0.

Aα // B

Cokerα //

f−g BBB

BBBB

B Y

γ~~Y ∗

Lóc �â tçn t¤i duy nh§t γ : B −→ Y ∗ sao cho f−g =

γcokerα = 0. Vªy f = g, tùc l  α l  to n x¤.

2. Gi£ sû (C, h) = Coker(α− β) tçn t¤i. 5

Ta chùng minh Coequ(α, β) = Coker(α − β). Ta câ5Khi Coequ(α, β) tçn t¤i th¼ ta chùng minh t÷ìng tü

15

www.vnmath.com

h(α− β) = hα− hβ = 0 n¶n hα = hβ.

N¸u câ u : B −→ Z sao chouα = uβ hay u(α−β) = 0

th¼ theo �ành ngh¾a cõa �èi h¤t nh¥n câ duy nh§t

γ : Y −→ Z sao cho γh = u.

Aα−β // B

h //

u ��@@@

@@@@

C

�Z

Vªy Coequ(α, β) = Coker(α− β).

16

www.vnmath.com

2 H m tû

If you can't solve a problem, then there is an easier

problem you can solve, find it.(George P�olya)

2.1 Kh¡i ni»m h m tû

B i tªp 2.1. Chùng tä c¡c t÷ìng ùng sau �¥y l  h m tûhi»p bi¸n

a. T÷ìng ùng

HA : C −→ SX 7−→ [A,X]C

Xα−→ Y 7−→ HA(X)

[A,α]=HA(α)−→ HA(Y )

f 7−→ αf

trong �â C l  mët ph¤m trò tuý þ v  A l  mët vªt cè�ành trong ph¤m trò C.

b. T÷ìng ùng

A⊗R − : R−Mod −→ AbX 7−→ A⊗R X

Xα−→ Y 7−→ A⊗R X

1⊗α−→ A⊗R X

trong �â A l  mët R−mæ�un ph£i, R−mod l  ph¤mtrò c¡c R−mæ�un tr¡i.

c. T÷ìng ùng

HomR(A,−) : R−Mod −→ AbX 7−→ HomR(A,X)

Xα−→ Y 7−→ HomR(A,α)

17

www.vnmath.com

trong �â A l  mët R−mæ�un ph£i, R−mod l  ph¤mtrò c¡c R−mæ�un tr¡i.

Líi gi£i. Rã r ng c¡c t÷ìng ùng

X 7−→ [A,X]C

Xα−→ Y 7−→ HA(X)

HA(α)−→ HA(Y )

f 7−→ αf

l  c¡c ¡nh x¤.

Ta câ

∗ HA(1X) = 1HA(X). Thªt vªy, vîi måi φ ∈ [A,X]C th¼

HA(1X)(φ) = 1X(φ) = φ

1HA(X)(φ) = φ.

∗ Vîi måi φ ∈ [A,X]C, f ∈ [X, Y ]C g ∈ [Y, Z]C th¼

HA(gf)(φ) = (gf)φ = gfφ

HA(g)HA(f)(φ) = HA(g)(fφ) = gfφ,

suy ra HA(gf) = HA(g)HA(f).

Vªy HA l  mët h m tû hi»p bi¸n.

18

www.vnmath.com

2.2 Ph²p bi¸n �êi tü nhi¶n

B i tªp 2.2. Cho α : A −→ B l  mët c§u x¤ cõaMor(C),ta x²t c¡c h m tû ph£n bi¸n HA v  HB. Vîi X ∈ Ob(C),ta x¡c �ành ¡nh x¤

Hα : HA(X) −→ HB(X)

f 7−→ αf

Chùng tä r¬ng Hα l  mët ph²p bi¸n �êi tü nhi¶n tø h mtû HA tîi h m tû HB.

Líi gi£i. V¼ HA v  HB l  hai h m tû ph£n bi¸n n¶n �º

chùng minh Hα l  ph²p bi¸n �êi tü nhi¶n ta s³ chùng

minh vîi méi φ : X −→ Y ∈ Mor(C) ta câ biºu �ç sau

giao ho¡n

HA(Y )

HA(φ)��

Hα(Y )//HB(Y )

HB(φ)��

HA(X)Hα(X)

//HB(X)

hay biºu �ç sau giao ho¡n

[Y,A]C

HA(φ)��

Hα(Y )// [Y,B]C

HB(φ)��

[X,A]CHα(X)// [X,B]C

Thªt vªy, vîi måi f ∈ [Y,A] ta câ

HB(φ)Hα(Y )(f) = HB(φ)(αf) = αfφ

Hα(X)HA(φ)(f) = Hα(X)(fφ) = αfφ.

19

www.vnmath.com

Vªy

HB(φ)Hα(Y ) = Hα(X)HA(φ).

2.3 H m tû khîp

B i tªp 2.3. N¸u F : C −→ D l  h m tû cëng t½nh th¼

a. F (0) = 0

b. F (−α) = −F (α), ∀α ∈Mor(C).

Líi gi£i.

a. Ta câ F (id0 + id0) = F (id0) + F (id0) =⇒ F (id0) = 0

=⇒ idF (0) = 0 =⇒ F (0) = 0

b. Ta câ F (α− α) = F (0) = F (α) + F (−α) = 0,

F (−α) = −F (α)

B i tªp 2.4. Mët h m tû hi»p bi¸n cëng t½nh F tø ph¤mtrò abel C v o ph¤m trò abel D l  khîp ph£i n¸u v  ch¿n¸u nâ bi¸n méi d¢y khîp

Xα−→ Y

β−→ Z −→ 0

th nh d¢y khîp

F (X)F (α)−→ F (Y )

F (β)−→ F (Z) −→ 0

Líi gi£i.

20

www.vnmath.com

1. (=⇒) Gi£ sû F bi¸n méi d¢y khîp

Xα−→ Y

β−→ Z −→ 0

th nh d¢y khîp

F (X)F (α)−→ F (Y )

F (β)−→ F (Z) −→ 0

Ta chùng minh F khîp ph£i.

N¸u trong C câ d¢y c§u x¤ Xα−→ Y

β−→ Z vîi β =

Cokerα th¼ β l  to n x¤ n¶n β = Cokerα = Coimβ.

Suy ra Imα = Kerβ. Do �â d¢y

Xα−→ Y

β−→ Z −→ 0

khîp sinh ra d¢y khîp

F (X)F (α)−→ F (Y )

F (β)−→ F (Z) −→ 0

hay ImF (α) = KerF (β) v  F (β) l  to n x¤. Vªy

CokerF (α) = CoimF (β) = F (β).

2. (⇐=) Gi£ sû F khîp ph£i, tùc l  n¸u trong C câ d¢y

c§u x¤ Xα−→ Y

β−→ Z vîi β = Cokerα th¼ d¢y

F (X)F (α)−→ F (Y )

F (β)−→ F (Z) −→ 0

câ CokerF (α) = F (β).

Gi£ sû

Xα−→ Y

β−→ Z −→ 0

khîp, tùc l  Imα = Kerβ v  β l  to n x¤. Do �â

Cokerα = Coimβ = β n¶n câ d¢y

F (X)F (α)−→ F (Y )

F (β)−→ F (Z)

21

www.vnmath.com

vîi

CokerF (α) = CoimF (β) = F (β)

Suy ra ImF (α) = KerF (β) v  F (β) l  to n x¤.6

B i tªp 2.5. Chùng tä r¬ng :

a. C¡c h m tû HA, HB, HomR(A,−), HomR(−, B) :

R−Mod −→ Abl  khîp tr¡i.

b. C¡c h m tû

A⊗R − : R−Mod −→ Ab−⊗R B : R−Mod −→ Ab

l  khîp ph£i

Líi gi£i. Ta ch¿ x²t HA v  A⊗R − v  k½ hi»u C thay cho

R−Mod.

a. Ta chùng minh HA l  khîp tr¡i.

∗ HA l  h m tû hi»p bi¸n.

∗ HA l  cëng t½nh. Thªt vªy, vîi måi f, g ∈ [A,X]Cta câ

[A,α](f+g) = α(f+g) = αf+αg = [A,α]f+[A,α]g

∗ HA l  khîp tr¡i, tùc l  n¸u trong C câ d¢y c§u x¤

Xα−→ Y

β−→ Z vîi α = Kerβ th¼ trong Ab câ

d¢y c§u x¤

[A,X]C[A,α]−→ [A, Y ]C

[A,β]−→ [A,Z]C6??? Sai ð �¥u

22

www.vnmath.com

vîi F (α) = KerF (β).

i) F (α) ⊂ KerF (β).

Ta câ F (β)F (α)(f) = βαf = 0 =⇒ F (β)F (α) =

0 hay F (α) ⊂ KerF (β).

ii) KerF (β) ⊂ F (α).

L§y g ∈ KerF (β) ta câ F (β)(g) = 0 =⇒ βg =

0. V¼ α = kerβ n¶n tçn t¤i duy nh§t �çng c§u

γ : A −→ X sao cho αγ = g, tùc l  F (α)(γ) =

g. Vªy KerF (β) ⊂ F (α).

b. Ta chùng minh A⊗R − l  khîp ph£i.

∗ A⊗R − v  −⊗R B �·u l  h m tû hi»p bi¸n7.

∗ A ⊗R − l  h m tû cëng t½nh. Ta câ ∀X, Y ∈Ob(R-Mod) : α, β ∈ [X, Y ]R-Mod

A⊗R (α + β) = A⊗R α + A⊗R β.

Thªt vªy, ∀(a⊗ x) ∈ A⊗R X,

A ⊗R (α + β)(a ⊗ x) = 1A(a) ⊗ [(α + β)(x)] =

a⊗ [α(x) + β(x)]

= a⊗ α(x) + a⊗ β(x) = (1A ⊗ α)(a⊗ x) + (1A ⊗β)(a⊗ x)

= (1A ⊗ α + 1A ⊗ β)(a⊗ x).

∗ A ⊗R − l  khîp ph£i. Gi£ sû trong C câ d¢y c§u

x¤ Xα−→ Y

β−→ Z vîi β = cokerα ta s³ chùng7Vi»c chùng minh −⊗R B khîp ph£i ta ti¸n h nh t÷ìng tü

23

www.vnmath.com

minh trong Ab câ d¢y c§u x¤

A⊗R X1⊗α−→ A⊗R Y

1⊗β−→ A⊗R Z

vîi 1⊗ β = Coker(1⊗ α).

Thªt vªy, v¼ β = Cokerα = Y/Imα n¶n β l  to n

x¤, do �â β = Coimβ = Y/Kerβ. =⇒ imα =

kerβ.

Vªy d¢y Xα−→ Y

β−→ Z −→ O khîp, tø �â d¢y

A⊗R X1⊗α−→ A⊗R Y

1⊗β−→ A⊗R Z −→ 0

khîp8.

Suy ra im(1⊗α) = ker(1⊗β) v  1⊗β l  to n

x¤ n¶n

1 ⊗ β = coim(1 ⊗ β) = A ⊗R Y/Ker(1 ⊗ β) =

A⊗R Y/Im(1⊗ α)

= Coker(1⊗ α)

NH�N X�T:Nâi chung − ⊗R B, HomR(B,−) khæng khîp. Thªt vªy,

chån R = Z, B = Z2.

∗ Ta câ d¢y sau khîp:

0 −→ 2Z j−→ Z p−→ Z2 −→ 0,

trong �â j(1) = 2, p(1) = 1̄. Tuy nhi¶n, d¢y sau khæng

khîp

0 −→ 2Z⊗Z Z2j⊗id−→ Z⊗Z Z2

p⊗id−→ Z2 ⊗Z Z2 −→ 0

8X ⊗R A1⊗α−→ Y ⊗R A

1⊗β−→ Z ⊗R A −→ 0 công khîp

24

www.vnmath.com

v¼ j ⊗ id khæng �ìn ¡nh. Thªt vªy,

j⊗id(1⊗1̄) = j(1)⊗id(1̄) = 2⊗1̄ = 1⊗21̄ = 1⊗0̄ = 0.

=⇒ j ⊗ id l  ¡nh x¤ khæng. Nâ khæng �ìn ¡nh v¼

2Z⊗Z Z2∼= Z⊗Z Z2

∼= Z2 6= 0.9

∗ Ta câ vîi ϕ ∈ HomZ(Z2,Z), 2ϕ(1̄) = ϕ(2̄ = 0.

=⇒ ϕ(1̄) = 0 hay ϕ = 0. =⇒ HomZ(Z2,Z) = 0.

N¸u d¢y khîp

0 −→ Z j−→ Z p−→ Z2 −→ 0,

trong �â j(1) = 2, p(1) = 1̄ sinh ra d¢y khîp

0 −→ HomZ(Z2,Z)j?−→HomZ(Z2,Z)

p?−→HomZ(Z2,Z2) −→ 0

th¼ d¢y sau khîp

0 −→ 0 −→ 0 −→ HomZ(Z2,Z2) −→ 0

Vªy HomZ(Z2,Z2) = 0 (væ lþ).

B i tªp 2.6. Cho P l  R−mæ�un ph£i tü do10, h m tûsau khîp:

P ⊗R − : R−Mod −→ AbX 7−→ P ⊗R X

Xα−→ Y 7−→ P ⊗R X

1⊗α−→ P ⊗R X9R⊗RM ∼= M ⊗R R ∼= M v  2Z ∼= Z

10P x¤ £nh công �óng

25

www.vnmath.com

Líi gi£i. V¼ c¡c ph¤m trò R −Mod v  Ab l  c¡c ph¤m

trò abel n¶n ta s³ chùng minh P ⊗R− bi¸n d¢y khîp ng­n

0 −→ Xα−→ Y

β−→ Z −→ 0

th nh d¢y khîp ng­n

0 −→ P ⊗R X1⊗α−→ P ⊗R Y

1⊗β−→ P ⊗R Z −→ 0

Ta bi¸t P ⊗R − l  khîp ph£i n¶n vi»c cán l¤i l  chùng

minh P ⊗R f l  �ìn c§u. V¼ P tü do n¶n P câ cì sð (ei)I .

Khi �â måi ph¦n tû cõa P ⊗RX �·u câ thº vi¸t duy nh§t

d÷îi d¤ng∑ei ⊗R xi trong �â xi ∈ X v  hå (xi)I câ gi¡

húu h¤n.11

Gi£ sû

(P ⊗R f)(∑

ei ⊗R xi) =∑

ei ⊗R f(xi) = 0 =∑

ei ⊗R 0

Do �â f(xi) = 0, ∀i ∈ I. M°t kh¡c f �ìn c§u n¶n xi =

0∀i ∈ I. Vªy ker(P ⊗R f) = 0 hay P ⊗R f l  �ìn c§u.

B i tªp 2.7.

1. N¸u P l  mæ�un x¤ £nh th¼ h m tû HomR(P,−) khîp.

2. Cho Q l  mæ�un nëi x¤ th¼ h m tû HomR(−, Q) khîp.

Líi gi£i.

1. HomR(P,−) l  h m tû hi»p bi¸n khîp tr¡i n¶n �º

chùng minh d¢y khîp ng­n 0 −→ Af−→ B

g−→ C −→0 sinh ra d¢y khîp

0 −→ HomR(P,A)f?−→HomR(P,B)

f?−→HomR(P,C) −→ 0

11Xem l¤i lþ thuy¸t mæ �un

26

www.vnmath.com

ta ch¿ cán chùng minh g? l  to n c§u. Thªt vªy, v¼

d¢y tr¶n khîp n¶n g l  to n c§u.

P

�

ϕ

~~B g

// C // O

M  P x¤ £nh n¶n vîi måi α : P −→ C tçn t¤i ϕ :

P −→ B sao cho gϕ = α = g?.

2. HomR(−, Q) l  h m tû ph£n bi¸n khîp tr¡i. 12. Y¶u

c¦u cõa b i to¡n t÷ìng �÷ìng vîi f ? l  to n c§u n¸u

f �ìn c§u ngh¾a l  ∀β ∈ HomR(A,Q) tçn t¤i ϕ ∈HomR(B,Q) sao cho f ?(ϕ) = ϕf = β. �i·u n y rã

r ng v¼ Q l  nëi x¤.

12D¢y khîp Af−→ B

g−→ C −→ 0 c£m sinh d¢y khîp

0 −→ HomR(C,Q)f?

−→ HomR(B,Q)f?

−→ HomR(A,Q)

27

T�I LI�U THAM KH�O

[1] Nguy¹n Xu¥n Tuy¸n, L¶ V«n Thuy¸t, Cì sð �¤i sèhi»n �¤i, NXB Gi¡o döc, 2001.

[2] Barry Mitchell, Lþ thuy¸t ph¤m trò, Academic Press,

1965 (B£n dàch ti¸ng Vi»t)

[3] Saunder MacLane, Categories for mathematicianworking, Graduate Texts in Mathematics 5, Springer-

Verlag.

[4] Barr, Michael Wells, Charles (2002), Toposes, Triplesand Theories, http://www.case.edu/artsci/math/wells/pub/pdf/ttt.pdf.

[5] Ad¡mek, Ji�r½, Herrlich, Horst Strecker, George E.

(1990), Abstract and Concrete Categories, John

Wiley Sons, ISBN 0-471-60922-6, http://katmat.math.uni-

bremen.de/acc/acc.pdf .

[6] Asperti, Andrea Longo, Giuseppe (1991), Cat-egories, Types and Structures, MIT Press,

ftp://ftp.di.ens.fr/pub/users/longo/CategTypesStructures/book.pdf.

S¡ch l  th¦y cõa c¡c th¦y

H¦u h¸t c¡c t i li»u tr¶n �·u câ t¤i �àa ch¿

http://www.vnmath.com/2009/11/pham-tru-ham-tu.html

28