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TANGNTES A CURVAS PARAMETRIZADAS, LONGITUD DE CURVAS Y EAS DE SUPERFICIES

ECUACIONES PARAMTRICAS Y RECTANGULARES DE ALGUNAS CURVAS PLANAS

1.- Considera las ecuaciones x = e y = 1 t

a) Complete la tabla

-/2-/40/2/4

x

y

b) Dibujar los puntos (x,y) generados por la tabla y esbozar la una grfica de las ecuaciones paramtricas.

c) Hallar la ecuacin rectangular eliminando el parmetro y restringir su dominio.

2.- Considere las ecuaciones x = 4cos2 e y = 2 sen

a) Complete la tabla

b) Dibujar los puntos (x,y) generados por la tabla y esbozar la una grfica de las ecuaciones paramtricas.

c) Hallar la ecuacin rectangular eliminando el parmetro y restringir su dominio.3.- Dibujar la curva definida por las ecuaciones y hallar sus ecuaciones rectangulares.

a) x = 3 cos t , y = 3 sen t

b) x = 2 cos t , y = 3 sen t

c) ) x = 1 + 2 cos t , y = -2 + 2 sen t d) ) y = 3 cos t , x = 2 sen t

e) x = -1 + 2t , y = 3t

f) x = 4 + 3t , y = 2 4t

g) x = 1 + t , y = t2 + 2

h) x = 2 t , y = t2 + 1

i) x = t2 1 , y = 2t

j) 1 + , y = t 1

k) x = tan2 , y = sec2

TANGNTES A CURVAS PARAMETRIZADAS, LONGITUD DE CURVAS Y EAS DE SUPERFICIES1.- Encuentre una ecuacin para la recta tangente a la curva en el punto definido por el valor de t. a) x = 2 cos t , y = 2 sen t en t = /4

b) x = sen 2t , y = cos 2t en t = -1/6

c) x = 4 sen t , y = 2 cos t en t = /4

d) x = cos t , y = cos t = 2/3

e) x = t , y = en t =

f) x = sec2 t 1 , y = tan t en t = - /4

g) x = sen t , y = tan t en t = /6

h) x = - , y = en t = 3

i) x = 2t2 +3 , y = t2 en t = -1

j) x = t sen t , y = 1 cos t en t = /3

k ) x = 1/t , y = -2 + ln t en t = 1

2.- Encuentre la longitud de curva en cada uno en el intervalo indicado.

a) x = cos t , y = t + sen t en 0 t b) x = t3 , y = 3t2/2 en 0 t

c) x = t2 , y = , en 0 t 4

d) x = , y = t + t2/2 en 0 t 3

e) x = 8 cos t + 8t sen t , y = 8 sen t 8t cos t en 0 t /2

f) x = ln ( sec t + tan t ) sen t , y = cos t en 0 t /3

g) Hipocicloide: x = a cos3 , y = a sen3

h ) Arco de cicloide x = a ( sen ) , y = a ( 1 cos )

i) Involuta de circunferencia : x = cos + sen , y = sen cos

3.- Encuentre el rea de las superficies generadas al girar las curvas respecto a los ejes indicados.

a) x = cos t , y = 2 + sen t en 0 t 2 en eje x

b) x = , y = 2 en 0 t en eje y

c) x = t + , y = en - t

d) x = ln ( sec t + tan t ) sen t , y = cos t en 0 t /3

e) x = t , y = 2t en 0 t 4 en eje x y en eje y

f) x = a cos , y = b sen en 0 t 2 en eje x y en eje y.

COORDENADAS POLARES Y CARTESIANAS. 1.- Grafica los conjuntos de puntos cuyas coordenadas satisfacen las ecuaciones y desigualdades siguientes.

a) r = 2 b) r 1 c) 0 r 2 d) 1 r 2

e) o /6 , r 0 f) = 2/3 , r -2 g) = /3 , -1 r 3

2.- Sustituya las ecuaciones polares por sus respectivas ecuaciones cartesianas equivalentes.

a) r cos = 2

b) r sen = 0

c) r = 4 csc

d) r sen = -1

e) r cos = 0

f) r = -3 sec

g) r2 = 1

h) r2 = 4r sen

i) r =

j) r2 sen 2 = 2

k) r2 + 2r2 cos sen = 1

l) r = 4 tan sec

m) r sen = ln r + ln cos

n) r2 = -6r sen2

2.- Reemplace las ecuaciones cartesianas por ecuaciones polares equivalentes.

a) x = 7

b) x y = 3

c) x = y

d) x2 + y2 = 4

e)

f) x2 + xy + y2 = 1

g) xy = 2

h) x2 + (y 2 )2 = 4

LONGITUD DE ARCO Y REA DE SUPERFICIE EN COORDENADAS POLARES.

1.- Determinar la longitud de la grfica sobre el intervalo indicado.

a) r = 2a cos en -/2 t /2

b) r = 1 + sen en 0 2

c) r = 5( 1 + cos ) en 0 2

d) r = 2 en 0

e) r = a sen2 en 0 , a >0

f) r = en /2 2.- Hallar el rea de la superficie generada por revolucin de la curva alrededor de la recta dada.

a) r = 2 cos en 0 2 , alrededor del eje polar

b) r = 2a cos en 0 2 , alrededor del = /2

c) r = a( 1 + cos ) en 0 , alrededor del eje polar.

d) r = en 0 /2, alrededor del eje x

DERIVADAS PARCIALES Y RECTAS TANGNTES, REGLA DE LA CADENA, DERIVADAS PARCIALES IMPLICITAS Y DERIVADAS PARCIALES DE ORDEN SUPERIOR.

1.- Halla en cada una de las funciones que se dan a continuacin. a) f(x,y) = 2x 3y + 5

b) z = x

c) z = x2

d) f(x,y) = ln (x2 + y2 ) e) f(x,y) = x2 3y2 + 7

f) f(x,y) = x

g) z = tg ( 2x t )

h) f(x,y) =

i) z = cos 3y sen 3x

j) z = ln

k) f(x,y) =

l) z = sen xy

m) f(x,y) =

n) f(x,y) =

) f(x,y) = sen2 (x 3y)

o) z = tg-1(y/x)

2.- Calcular la pendiente de la superficie en las direcciones de x e y en el punto indicado.

a) g(x,y) = 4 x2 y2 , (1,1,2) figura 29

b) f(x,y) = x2 y2 , (-2,1,3)

c) z = cos y , (0,0,1)

d) z = sen ( 2x y ) , (/4, /3,1/2)

e) z = , (2,3,6)

3.- Verificar que las derivadas parciales cruzadas fxyy, fyxy y fyyx son iguales.

a) f(x,y,z) = xyz

b) f(x,y,z) = x2 3xy + 4yz + z3

c) f(x,y,z) = sen yz

d) f(x,y,z) =

4.- En cada uno de los siguientes ejercicios halla dw/dt.

a) w = x2 + y2 , si x = e y =

b) w = , si x = sen t e y =

c) w = x sec y , si x = e y = t

d) w = ln , si x = cos t e y = sen t

e) w = x2 + y2 + z2 , si x = cos t , y = sen t , z =

f) w = xy +xz +yz , si x = t 1, y = t2 1, z = t

g) w = xy , si x = 2 sen t , y = cos t

5.- Utilizando la regla de la cadena halla y luego evaluarlas en los valores de s y t que se indican.

a) w = x2 + y2 , x = s + t , y = s t en s = 2 y t = -1

b) w = -3yx2 + y3 , x = , y = en s = 0 y t = 1 c) w = x2 - y2 , x = s cos t , y = s sen t en s = 3 y t = /4

d) w = sen (2x + 3y ) , x = s + t , y = s t en s = 0 y t = /2 e) w = xy + yz + xz , x = u + v, y = u v , z = uv

INTEGRALES MLTIPLES: Iteradas, dobles y triples.

1.- Calcula las siguientes integrales iteradas.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

2.- Dibuja un esbozo de la regin R cuyas reas vienen dadas por las integrales que sen dan a continuacin, y luego cambia el orden de intregracin y prueba que ambos ordenes dan el mismo valor.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

EMBED Equation.3 g)

3.- Calcula el rea de la regin entre las dos curvas usando una integral iterada.

a) y = 4 x2 e y = x + 2.

b) y = 4 x2 en 0 y 3 y 0 x 2 c) y = ; x = 2 y x = 5

d) x2 + y2 = 4 en 0 y 2 y 0 x 2

e) La parbola x = -y2 y la recta y = x + 2

f) Las parbolas x = y2 y x = 2y y2 g) Las curva y = y las rectas y = 0, x = 0 y x = ln2

4.- Escribe una integral para cada orden de integracin y utiliza el ms conveniente para evaluar la integral sobre la regin R. a) ; R : rectngulo de vrtices (0,0), (0,5), (3,5), (3,0)

b) ; R: regin acotada por y = x, y = 2x, x = 2

c) ; R: sector circular en el primer cuadrante acotado por y = , 3x 4y = 0, y = 0

5.- Usar una integral doble para calcular el volumen de los slidos que se te dan a continuacin.

INTEGRALES DOBLES EN COORDENADAS POLARES.

1.- Calcula el rea de la regin sombreada utilizando una integral doble.

2.- Calcula las siguientes integrales dobles pasando a coordenadas polares.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

INTEGRALES TRIPLES, VOLUMEN Y MOMENTOS DE INERCIA.

1.- Calcula las siguientes integrales triples.

a)

b)

c)

d)

e)

2.- Haga un esbozo de la regin slida cuyo volumen representa la integral triple que se te da a continuacin y reescribe la integral en el nuevo orden de integracin que se especifica.

a) ; usar el orden dydxdz

b)

c)

2.- Hallar los momentos Ix, Iy e Iz para los slidos cuya densidad se especifica.

INTEGRALES TRIPLES EN COORDENADAS CILNDRICAS Y ESFRICAS.

1.- Evale las siguientes integrales en coordenadas cilndricas.

a)

b)

c)

d)

2.- Evale las siguientes integrales en coordenadas esfricas.

a)

b)

c)

d)

3.- Establezca la integral iterada para evaluar sobre la regin D dada.

VECTORES TANGENTES Y NORMALES UNITARIOS.

1.- Hallar el vector tangente unitario T(t) y unas ecuaciones para