Mario CosenzaElectromagnetismoVersin A-15Mario CosenzaUniversidad de Los AndesMrida, VenezuelaElectromagnetismoVersin A-2015c _MMXVa BernardaY Dios dijo: E = 4E +1cBt= 0 B = 0B1cEt=4cJ,y se hizo la luz.Frmulas vectorialesA (BC) = (AB)C = C (AB) = (CA)B = B (CA)(AB)(CD) = (A C)(B D) (A D)(B C)A(BC) = B(A C) C(A B)(A B) = A(B) +B(A) + (A )B+ (B )A(AB) = A( B) B( A) + (B )A(A )B (AB) = B (A) A (B)(A) = (A) A() (A) = ( A) +A () = +(A) = ( A) 2A (A) = 0() = 0[rf(r)] = 0r = 0 r = 3_V_2 +_d3r =_S nda Primera identidad de Green_V(2 2) d3r =_S( ) nda Teorema de Green_V( A) d3r =_SA nda Teorema de Gauss (divergencia)_S(A) nda =_CA dl Teorema de Stokes_VAd3r =_S n Ada_S n () da =_C dl_V d3r =_S ndandice general1. Electrosttica. 11.1. Ecuaciones de Maxwell. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Campo electrosttico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3. Potencial escalar elctrico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.4. Expansin multipolar del potencial elctrico. . . . . . . . . . . . . . . . 291.5. Ecuaciones de Poisson y de Laplace. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371.6. Energa electrosttica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391.7. Interaccin de una distribucin de carga con un campo externo. . . . . 431.8. Potencial y campo elctrico en conductores. . . . . . . . . . . . . . . . 471.9. Capacitancia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511.10. Problemas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562. Problemas de frontera en Electrosttica 592.1. Teorema de Green. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592.2. Funcin de Green. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 622.3. Mtodo de imgenes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 682.4. Funciones ortogonales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 782.5. Ecuacin de Laplace en coordenadas cartesianas. . . . . . . . . . . . . 812.6. Ecuacin de Laplace en coordenadas polares. . . . . . . . . . . . . . . 872.7. Ecuacin de Laplace en coordenadas esfricas. . . . . . . . . . . . . . . 902.8. Problemas de frontera con simetra azimutal. . . . . . . . . . . . . . . 952.9. Armnicos esfricos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1052.10. Expansin de la funcin de Green en coordenadas esfricas. . . . . . . 1102.11. Aplicaciones de la expansin esfrica de la funcin de Green. . . . . . . 1182.12. Problemas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126vii3. Campos elctricos en la materia 1313.1. Polarizabilidad molecular. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1313.2. Modelos estadsticos de polarizabilidad molecular. . . . . . . . . . . . . 1343.3. Electrosttica en medios dielctricos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1403.4. Problemas de frontera con dielctricos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1453.5. Energa electrosttica en medios dielctricos. . . . . . . . . . . . . . . . 1503.6. Problemas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1544. Magnetosttica 1554.1. Ecuaciones de la Magnetosttica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1554.2. Ley de Biot-Savart y Ley de Ampre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1614.3. Fuerza magntica entre corrientes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1664.4. Expansin multipolar del potencial vector. . . . . . . . . . . . . . . . . 1694.5. Momento magntico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1744.6. Magnetosttica en medios materiales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1784.7. Problemas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1865. Campos electromagnticos dependientes del tiempo. 1895.1. Ley de Faraday y ecuaciones de Maxwell. . . . . . . . . . . . . . . . . 1895.2. Transformaciones de calibre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1955.3. Energa del campo magntico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1975.4. Conservacin de energa del campo electromagntico. . . . . . . . . . . 2015.5. Momento del campo electromagntico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2035.6. Momento angular del campo electromagntico. . . . . . . . . . . . . . 2085.7. Ondas electromagnticas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2115.8. Polarizacin, reexin y refraccin de ondas electromagnticas. . . . . 2185.9. Ondas electromagnticas en medios materiales. . . . . . . . . . . . . . 2225.10. Problemas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2306. Transformaciones relativistas de campos electromagnticos. 2336.1. Revisin de Relatividad Especial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2336.2. Corrimiento Doppler relativista. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2476.3. Transformaciones de campos electromagnticos. . . . . . . . . . . . . . 2536.4. Problemas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265A. Bibliografa 267Captulo 1Electrosttica.1.1. Ecuaciones de Maxwell.Los fenmenos electromagnticos macroscpicos estn descritos por las ecuacionesde Maxwell, E = 4 (1.1)E+1cBt= 0 (1.2) B = 0 (1.3)B1cEt=4cJ. (1.4)Estas ecuaciones corresponden a fuentes y campos en el vaco, en el sistema de uni-dades cgs o gaussiano. En medios materiales, aparecen algunos factores adicionales,pero la forma de las ecuaciones es la misma.Las cantidades fsicas que aparecen en las ecuaciones de Maxwell y sus unidadesen el sistema cgs Gaussiano sonE : campo elctrico [statvoltio/cm],B : campo magntico [Gauss], : densidad de carga elctrica [statcoulomb/cm3],J : densidad de corriente elctrica [statampre/cm2],c : velocidad constante de la luz en el vaco [cm/s].(1.5)12 CAPTULO 1. ELECTROSTTICA.La conversin de unidades entre el sistema mks y el cgs Gaussiano es1 coulomb = 3 109statcoulombs.1 ampre = 3 109statampres.1 voltio = 3001statvoltios.(1.6)Las ecuaciones de Maxwell describen leyes de la naturaleza descubiertas experi-mentalmenteenunaseriedetrabajosmonumentalesdebidosaOersted, Coulomb,Faraday, Ampre, Biot, Savart y otros grandes fsicos.La Ec. (1.1) tambin se conoce como la ley de Gauss para el Electromagnetismo,y es consecuencia de la ley de Coulomb para las fuerzas entre cargas elctricas. LaEc. (1.2) correspondealaleydeinduccindeFaraday. LaEc. (1.3) describelaausencia de cargas (monopolos) magnticas, mientras que la Ec. (1.4) contiene la leyde Ampre para el campo magntico producido por una corriente elctrica, es decir,por cargas elctricas en movimiento.Maxwell di forma matemtica a estas leyes e introdujo una notacin convenien-te. Lainclusindel trmino1cEt(denominadocorrientededesplazamiento)enlaEc. (1.4), mediante un requerimiento de simetra en relacin con la Ec. (1.2), consti-tuye la contribucin fundamental de Maxwell al Electromagnetismo. Con la adicinde este trmino, las ecuaciones de Maxwell pemitieron la prediccin de ondas elec-tromagnticas cuya velocidad de propagacin es igual a la velocidad de la luz.Las ecuaciones de Maxwell expresan la relacin fsica entre los camposE yB, yde stos con sus fuentes yJ. Desde el punto de vista matemtico, las ecuacionesde Maxwell son un conjunto de ocho ecuaciones diferenciales acopladas, en derivadasparciales de primer orden con respecto al espacio y al tiempo, para las seis compo-nentes los campos vectorialesE(r, t) yB(r, t); dadas las fuentes(r, t) yJ(r, t).Para aplicar estas ecuaciones en situaciones fsicas se requiere un sistema de coor-denadas (cartesianas, esfricas, cilndricas, etc.) apropiado para el problema conside-rado.En coordenadas cartesianas, el vector de posicin en el espacio tridimensional conrespecto a unorigen dadoOesr=(x, y, z)=(x1, x2, x3), y el campo elctrico (omagntico) en el puntor y en el instantet esE(r, t) = (Ex(r, t), Ey(r, t), Ez(r, t)) , (1.7)dondeEx(r, t) = Ex(x, y, z, t), etc. En general, escribimos las componentes cartesia-nas Ei(r, t) =Ei(x1, x2, x3, t), i =1, 2, 3. El vectorunitarioenladireccinxisedenota por xi.1.1. ECUACIONES DE MAXWELL. 3Figura 1.1:CamposE(r, t) yB(r, t) en un sistema de coordenadas cartesianas.Los operadores diferenciales vectoriales en las ecuaciones de Maxwell, en coorde-nadas cartesianas, son:Gradiente:(x, y, z) =_x, y, z_. (1.8)Divergencia: E =_Exx+Eyy+Ezz_. (1.9)Rotacional:E = x y zExEyEzxyz=_EyzEzy_ x+_EzxExz_ y +_ExyEyx_z.(1.10)Derivada temporal:Et=_Ext, Eyt, Ezt_. (1.11)Una consecuencia inmediata de las ecuaciones de Maxwell es la conservacin de lacarga elctrica. Para ver esto, consideremos la siguiente derivada parcial con respecto4 CAPTULO 1. ELECTROSTTICA.at, tomando en cuenta que las coordenadas der y t son independientes,t ( E) =t_Exx+Eyy+Ezz_=2Exxt+2Eyyt+2Ezzt= _Et_. (1.12)Derivando parcialmente la Ec. (1.1) con respecto at, tenemos_Et_= 4t. (1.13)Sustituyendo el trminoEtde la Ec. (1.4), tenemosc (B) 4 J = 4t. (1.14)Pero (B) = 0 (identidad vectorial). Luego,t+ J = 0. (1.15)Esta es la ecuacin de continuidad para el ujo de carga elctrica, similar a la ecuacinde continuidad de un uido incompresible. Si la densidad de carga disminuye en unaregion, debemos tenert< 0 en esa region; mientras que la divergencia de la corrienteelctrica debe ser J > 0; es decir, hay un ujo de corriente (cargas en movimiento)que sale de dicha regin. Por otro lado, un aumento de carga en una regin,t> 0,est asociado a una divergencia negativa de la corriente, J < 0; es decir, las cargaselctricas deben entrar a esa regin. La Ec. (1.15) expresa la conservacin de la cargaelctrica.Enel Electromagnetismoclsicolasdistribucionesdecargasydecorrientesseasumen continuas en el espacio, aunque con frecuencia consideramos distribucionesde cargas localizadas como puntos. Sabemos que la carga elctrica est cuantizada anivel microscpico; toda cargaqes un mltiplo entero de la carga fundamental delelectrn,e = 1,6 1019Coulomb.1.1. ECUACIONES DE MAXWELL. 5Figura 1.2: Conservacindelacargaelctrica:ladisminucindeladensidaddecargaenunaregin del espacio est asociada a la divergencia positiva de la densidad de corriente J en esa regin.Las ecuaciones de Maxwell describen la dinmica de los campos E y B producidospor cargas y corrientes elctricas; no describen el movimiento de cargas sujetas a esoscampos. Ladinmicadeunacargaelctricaq quesemueveconvelocidadvenpresencia de campos electromagnticos externos E, B (es decir, no producidos por q)es un resultado experimental adicional a las ecuaciones de Maxwell, y est descritapor la fuerza de Lorentz,F = q_E+vc B_. (1.16)Los camposE yB contribuyen diferentemente a la fuerza de Lorentz sobre unacarga en movimiento. La fuerza que el campo elctricoE produce en un punto delespacio donde est ubicada la carga permite medirE en ese punto y, similarmente,la componente magntica de la fuerza determinaB.Los camposE, B tienen signicado propio independiente de las fuentes que losproducen; ellos pueden existir en regiones lejos de sus fuentes en forma de ondas, ypueden llevar energa, momento lineal y momento angular.Las ecuaciones de Maxwell se simplican considerablemente si las cantidades sonestacionarias, es decir, siE,B, yJ, no dependen del tiempo,Et= 0 ,Bt= 0 ,t= 0. (1.17)En este caso, los camposE(r), B(r) se desacoplan y las ecuaciones de Maxwellse pueden separar en dos pares de ecuaciones, correspondientes a la Electrosttica ya la Magnetosttica, E = 4 (1.18)E = 0 (1.19)_Electrosttica+6 CAPTULO 1. ELECTROSTTICA. B = 0 (1.20)B =4cJ. (1.21)___Magnetosttica1.2. Campo electrosttico.Consideremosdoscargaspuntualesq1yq2ubicadasenlasposicionesr1yr2,respectivamente.Figura 1.3:Dos cargas puntuales en el espacio.Lafuerzasobreq2debidaalainteraccinconq1estdadaexperimentalmentepor la Ley de Coulomb,Fsobreq2= kq1q2[r2r1[3(r2r1) , (1.22)dondek es una constante de proporcionalidad que depende del sistema de unidades;en el sistema cgs,k 1. Debido a la Tercera Ley de Newton, tenemosFsobreq2= Fsobreq1. (1.23)La fuerza entre cargas elctricas debida a la Ley de Coulomb puede ser atractivao repulsiva. Esto permite distinguir dos tipos de cargas existentes en la Naturaleza,designadas como positivas o negativas; cargas de signos opuestos se atraen y cargasde signos iguales se repelen.El campo electrosttico E(r) en un punto r del espacio se mide en trminos de lafuerza ejercida sobre una carga de prueba puntualq colocada en la posicinr,F(r) = qE(r). (1.24)1.2. CAMPO ELECTROSTTICO. 7La fuerzaF(r) experimentada por la cargaq es debida a su interaccin con otrascargas que producen el campoE(r).Figura 1.4:Campo elctricoE externo en la posicin de una cargaq.El campo elctrico E(r) se dene cuando el campo creado por la carga de pruebaenr es despreciable; es decir, cuandoq 0,E(r) =lmq0F(r)q. (1.25)El campo elctrico producido en la posicinr2 por una cargaq1, cuandoq2 0 esE(r2) =lmq20Fsobreq2q2=q1[r2r1[3(r2r1) . (1.26)Figura 1.5:Campo elctricoE(r) producido en la posicinr por una cargaq ubicada enr1.LadireccindeE(r2)dependedel signodelacargaq1. Engeneral, el campoproducido en la posicinr por una cargaq ubicada enr1 esE(r) =q[r r1[3(r r1) . (1.27)8 CAPTULO 1. ELECTROSTTICA.Una cargaq ubicada en el origenO (r1= 0) produce un campo radialE(r) =qr3r =qr2r , (1.28)donde usamos la notacinr = [r[.Las ecuaciones deMaxwell sonlineales paralos campos EyB. Los camposcumplenel principiodesuperposicin: si E1yE2soncamposindependientesquesatisfacenlasecuacionesdeMaxwell,entoncessusumaE1+ E2tambinsatisfaceestasecuaciones. Luego, el campototal enlaposicinrdebidoaunconjuntodecargas puntualesqi ubicadas en los puntosri,i = 1, 2, . . . , N, esE(r) =N

i=1qi(r ri)[r ri[3. (1.29)Figura 1.6:Campo elctrico creado en la posicinr por un conjunto de cargasqiubicadas enri.Si las cargas son muy pequeas (qi 0) y N es muy grande (N ), tenemos ellmite de una distribucin continua de carga , tal que ri r

y qi dq= (r

)d3r

,donde denotamos el elemento innitesimal de volumen por d3r

. En el lmite continuo,la sumatoria sobre las cargas se convierte en una integral de la densidad de carga sobreel volumen. El campo elctrico producido por una densidad de carga resulta enE(r) =_(r

) (r r

)[r r

[3d3r

, (1.30)donde empleamos la notacin:r : punto de observacin jo. (1.31)r

: posicin de fuentes, variable de integracin. (1.32)1.2. CAMPO ELECTROSTTICO. 9Figura 1.7:Campo elctrico producido por una densidad de carga. La coordenada de integracinesr

y la de observacin esr.El campo elctrico en la Ec. (1.30) constituye una expresin de la Ley de Coulombpara distribuciones continuas de carga. La Ec. (1.30) es compatible con las dos ecua-ciones de la Electrosttica, como veremos.Dadaunadistribucinarbitrariadecarga, laEc. (1.30)permite, enprincipio,calcular el campo elctrico producido por esa carga en cualquier punto del espacio.En la prctica, el clculo de la integral en la Ec. (1.30) puede resultar difcil, salvoen conguraciones geomtricas que posean mucha simetra.Las ecuaciones de la Electrosttica pueden expresarse en forma integral. En par-ticular, la frmulaintegral delaLeydeGaussconstituye una alternativa til paracalcular el campo elctrico producido por ciertas distribuciones simtricas de carga.La ecuacin de la Electrosttica E = 4 se puede expresar en forma integralempleando el teorema de la divergencia:_SA nda =_V Ad3r. (1.33)donde A es un campo vectorial denido dentro de un volumen Vy sobre la supercieSque encierra aV , y n es el vector unitario normal a cada punto deS. La integral10 CAPTULO 1. ELECTROSTTICA.sobre la supercie se denomina ujo deA a travs deS.Siintegramoslaecuacin E=4sobreunvolumenV quecontengaa,tenemos _V Ed3r = 4_V(r) d3r, (1.34)y el teorema de la divergencia implica que_SE nda = 4qenc, (1.35)dondeqenc es la carga total encerrada por la supercieS. La Ec. (1.35) es la Ley deGauss en forma integral.Figura 1.8:Ley de Gauss.Note que solamente se consideran las cargas encerradas porS, aunque el campoelctricoEusadoenlaevaluacindel ujoatravsdeScontengacontribucionesde otras fuentes ubicadas fuera deS. El ujo neto a travs deS, debido a camposproducidos fuera deS, es cero.Porotrolado, laecuacindelaElectrosttica E=0puedeescribirseenforma integral mediante el teorema de Stokes:_CA dl =_S(A) nda. (1.36)dondeA es un campo vectorial denido sobre una supercieSy en el contornoCque encierra esa supercie.Si integramos la ecuacin E = 0 sobre una supercie arbitrariaS, encerradapor una curvaC, y aplicando el teorema de Stokes, tenemos_S(E) nda = 0_CE dl = 0. (1.37)1.2. CAMPO ELECTROSTTICO. 11Figura 1.9:Teorema de Stokes.Las ecuaciones de la Electrosttica en forma integral permiten establecer las con-dicionesdefronteraparael campoelctricosobreunasupercieSqueposeeunadistribucin supercial de carga.Figura 1.10:Campo elctrico en ambos lados de una supercie cargada.Ladensidadsupercial decargaenlaposicinr

es (r

). SeanE1yE2loscampos elctricos en la posicinr

sobre la supercieSen el lado 1 y en el lado 2,respectivamente. Sea n la normal aS que apunta hacia el lado 2.Para evaluar la condicin de frontera para la componente normal de los camposproducida por la carga supercial en el puntor

, usamos la ley de Gauss con unasupercieS

cilndrica que atraviesa transversalmente a la supercie cargadaS.Tomando el lmiteh 0 en la supercie cilndricaS

, tenemos_S

E nda =_2E2 nda +_1E1 ( n) da = 4qenc_A(E2E1) nda = 4_A(r

) da. (1.38)En el lmiteA 0, tenemos en el puntor

,E2(r

) n E1(r

) n = 4(r

). (1.39)12 CAPTULO 1. ELECTROSTTICA.Figura1.11: Superciegaussianaparaevaluarladiscontinuidaddelacomponentenormal delcampo elctrico a travs de una supercie cargada.La Ec. (1.39) expresa la discontinuidad de la componente normal del campo elctricoa travs de una supercie cargada.Figura 1.12:ContornoCpara evaluar la componente tangencial del campo elctrico a travs deuna supercie cargada.Para evaluar la condicin de frontera para la componente tangencial del campoelctrico, consideremoslaintegral delneadeEalolargodeunrectnguloCdeladosb yl que atraviesa la supercie del conductor. Entonces,_CE dl = 0. (1.40)Tomamos el lmiteb 0,lmb0_cE dl =_2E2 dl +_1E1 dl = 0 (1.41)Haciendol 0, tenemosdl dlt en el lado 1, ydl dlt en el lado 2; luegolml0_2E2

t dl lml0_1E1

t dl = 0E2

t = E1

t. (1.42)1.2. CAMPO ELECTROSTTICO. 13La Ec. (1.42) indica que la componente tangencial del campo elctrico es continua atravs de una supercie cargada.Ejemplos.1. Calcular el campo elctrico de un plano innito con densidad uniforme de cargasupercial.Figura 1.13:Aplicacin de la Ley de Gauss para un plano innito con carga supercial uniforme.Por simetra,E es perpendicular al plano y paralelo al ejez. Usamos la Ley deGauss en su forma integral para una supercie cilndricaS, como se muestraen la gura._SE nda = 4qenc. (1.43)La integral del ujo a travs deS contiene contribuciones de tres integrales desupercie: dos trminos correspondientes a las tapas del cilindro, de rea A cadauna, indicadas como 1 y 2; y un trmino correspondiente al lado del cilindro,identicado con 3.Sobre el lado 3 del cilindro, el campo elctricoE3 es perpendicular a la normal n3asociada a ese lado. Luego, E3 n3=0, y la contribucin del trmino 3 alujo a travs deS, es nula. Sobre la tapa 1,E1=Ez y n1= z; mientras que14 CAPTULO 1. ELECTROSTTICA.sobre la tapa 2,E2= Ez y n2= z. Entonces,_SE nda =_1E1 n1da +_2E2 n2da=_1Ezz da +_2E(z)(z) da = 2EA= 4q[total sobreA] = 4A E= 2. (1.44)Luego,E1= 2z , E2= 2z. (1.45)Funcin delta de Dirac.Muchas distribuciones de carga elctrica de inters en Electrosttica estn locali-zadas en supercies, planos, lneas, o puntos; es decir, corresponden a distribucionesconnadas en algunas dimensiones. La funcin delta de Dirac resulta til para expre-sar este tipo de distribuciones.Figura 1.14:Ilustracin de la funcin delta de Dirac en una y en tres dimensiones.La funcin delta de Dirac en un intervalo real I se dene mediante las propiedades:1. (x a) = 0, si x ,= a2. _I (x a)dx =_1, si a I0, si a/ I3. _I f(x)(x a)dx = f(a)1.2. CAMPO ELECTROSTTICO. 15La funcin delta de Dirac tambin se puede denir en tres dimensiones y poseelas siguientes propiedades:1. (r A) = (x Ax)(y Ay)(z Az)2. _V(r A)d3r =_1, si AV0, si A / V3. _Vf(r)(r A)d3r = f(A)Note que las unidades de la funcin delta de Dirac denida en un espacio de dimen-sind son [distanciad].Ejemplos.1. Expresar para una distribucin de Ncargas puntuales qi situadas en posicio-nesri.Figura 1.15:Distribucin de cargas puntuales.La densidad es(r) =N

i=1qi(r ri). (1.46)16 CAPTULO 1. ELECTROSTTICA.Empleando la Ec. (1.30), el campo elctrico en la posicin r debido a un conjuntode cargas puntuales se puede expresar comoE(r) =_(r

) (r r

)[r r

[3d3r

=N

i=1qi_(r

ri) (r r

)[r r

[3d3r

=N

i=1qi(r ri)[r ri[3. (1.47)Una carga ubicada en el origen se expresa como (r) = q (r). El campo elctricocorrespondiente en una posicinr esE(r) =_q (r

) (r r

)[r r

[3d3r

= qrr3=qr2r. (1.48)2. Expresar la densidad de carga de volumen para un plano innito con densidadsupercial de carga.Figura 1.16:Planoz= 0 con densidad supercial de carga.Escojamos el plano enz=0. Entonces, la densidad de carga en coordenadascartesianas es(x, y, z) = (z).El elemento de volumen en coordenadas cartesianas esd3r = dxdy dz. La inte-gral de sobre todo el volumen debe dar la carga total,_d3r = _dx_dy_(z)dz (1.49)= _dx_dy= q total.1.2. CAMPO ELECTROSTTICO. 173. Expresar en coordenadas esfricas para una carga q distribuida uniformementesobre un cascarn esfrico de radioa.Figura 1.17:Cascarn esfrico cargado.Solamentehaycargaenr=a; superciedelaesfera. Proponemoslaforma(r, , ) =k q (r a), dondekesunfactordeproporcionalidadquedebecontener informacin sobre la geometra, tal que_(r)d3r = q, (1.50)donded3r = r2sin d ddr en coordenadas esfricas. Luego,k q_20d_0sin d_0r2(r a)dr = q (1.51)kq 2 2 a2= q k =14a2(1.52)(r, , ) =q4a2(r a). (1.53)4. Expresar la funcin delta de Dirac(r r

) = (x x

)(y y

)(z z

) (1.54)en coordenadas esfricas.Tenemos, en coordenadas cartesianas,_V(r r

) d3r =_V(r r

) dxdy dz=_V(xx

)(y y

)(z z

) dxdy dz(1.55)18 CAPTULO 1. ELECTROSTTICA.En coordenadas esfricasd3r = r2sin d ddr, y tenemos_V_r r

_d3r =_V(rr

)r2dr dsin d=_V_r r

_r2dr dd(cos ).(1.56)La Ec. (1.56) posee la misma forma que la Ec. (1.55) si, en coordenadas esfricas,tenemos(r r

) =1r2_r r

__

__cos cos

_. (1.57)5. Expresar encoordenadas cilndricas para una densidadlinealde carga uni-forme distribuida sobre un cilindro de radiob.Figura 1.18:Cilindro con densidad lineal de carga.Proponemos la forma(R, , z) = k (Rb), donde = q/L. Determinamosel factork tal que_(r)d3r = q, (1.58)donded3r = RddzdR en coordenadas cilndricas. Luego,_ d3r = k_20d_dz_0(R b)RdR= k 2 Lb = q k =12b (R, , z) =2b(R b).1.3. POTENCIAL ESCALAR ELCTRICO. 191.3. Potencial escalar elctrico.De la ley de Coulomb, obtuvimos el campo elctrico enr creado por una distri-bucin de carga(r

),E(r) =_(r

) (r r

)[r r

[3d3r

(1.59)donde la integral se extiende a todo el volumen donde exista.Este campoE(r) debe satisfacer las ecuaciones de Maxwell correspondientes a laElectrosttica,E = 0, (1.60) E = 4. (1.61)ParademostrarqueE(r)satisfacelaecuacin E=0, calculemosprimerolasiguiente expresin,_1[r r

[_, (1.62)donder r

=__x x

_2+_y y

_2+_z z

_2_1/2, (1.63)y el operador acta sobre las coordenadas der, no der

.Tenemos,x_r r

1_= 12 2_x x

___x x

_2+_y y

_2+_z z

_2_32= (x x

)[r r

[3.Similarmente,y_r r

1_= (y y

)[r r

[3z_r r

1_= (z z

)[r r

[3,20 CAPTULO 1. ELECTROSTTICA.Luego,_1[r r

[_= _(x x

)[r r

[3,(y y

)[r r

[3,(z z

)[r r

[3_= (r r

)[r r

[3. (1.64)En particular, sir

= 0,_1r_= rr3= rr2. (1.65)Un clculo relacionado es r, donder =_x2+y2+z2_12. (1.66)Tenemos,rx=12 2 x(x2+y2+z2)1/2=xr. (1.67)Similarmente,ry=yr;rz=zr(1.68)Luego,r =_rx, ry, rz_=1r(x, y, z) =rr=r . (1.69)El campo elctrico puede expresarse entonces comoE(r) =__r

_(r r

)[r r

[3d3r

= _(r

) _1[r r

[_d3r

. (1.70)Recordemosqueel operadordiferencial actasobre r, nosobrelavariabledeintegracinr

. Luego, podemos escribirE(r) = __(r

)[r r

[d3r

_. (1.71)1.3. POTENCIAL ESCALAR ELCTRICO. 21La expresin entre parntesis es una funcin que depende del punto de observacinr. Denotamos esta funcin por(r) _ (r

)[r r

[d3r

. (1.72)La funcin(r) se denomina potencial escalar elctrico. Entonces, podemos escribirE(r) = (r) . (1.73)Esto es, el campo electrosttico se puede expresar como (menos) el gradiente de unpotencial escalar.El campoE expresado en la Ec. (1.73) satisface la ecuacin de la ElectrostticaE = ((r)) = 0 , (1.74)lo cual es una identidad vectorial.Para demostrar que el campo electrosttico satisface la ecuacin E(r) = 4(r),requerimos un importante resultado adicional. Consideremos el teorema de la diver-gencia,_V Ad3r =_SA nda, (1.75)para el campo vectorialA = _1[r r

[_. (1.76)donder, r

V . Entonces,_V2_1[r r

[_d3r =_S_1[r r

[_ nda= _S(r r

)[r r

[3 nda (1.77)DenimosR r r

.TomamoslasupercieScomounaesferaconorigenO

enr

yconradioR= [r r

[.Entonces,lanormalenlasupercieSes n=Ryda = R2d. Sustituyendo en la integral de supercie, obtenemos_S(r r

)[r r

[3 nda =_SRR2 RR2d =_Sd = 4. (1.78)22 CAPTULO 1. ELECTROSTTICA.Figura 1.19:Coordenadas para la integral de supercie Ec. (1.78).Luego,_V2_1[r r

[_d3r = 4. (1.79)Recordemos la propiedad de la funcin delta de Dirac tridimensional,_V(r r

) d3r = 1, sir

V . (1.80)Entonces, podemos escribir la Ec. (1.79) como_V2_1[r r

[_d3r = 4_V(r r

) d3r, (1.81)lo cual implica que2_1[r r

[_= 4_r r

_. (1.82)Esta relacin es una propiedad general de la funcin delta de Dirac y se puede tomarcomounadenicindeestafuncinentresdimensiones. Enparticular, si r

=0,tenemos la relacin2_1r_= 4 (r). (1.83)Entonces, tomando la divergencia deE en la Ec. (1.71), obtenemos E(r) = 2__(r

)[r r

[d3r

_= _(r

)2_1[r r

[_d3r

= _(r

) _r r

_d3r

= 4(r). (1.84)1.3. POTENCIAL ESCALAR ELCTRICO. 23En general, si se conoce la densidad de carga(r

) en todo el espacio, el clculode(r) a partir de la Ec. (1.72) resulta ms fcil que la determinacin directa delcampo elctrico E(r) usando la integral Ec. (1.59). En la prctica, se calcula el campoelctrico a partir de(r), mediante la relacinE = (r).Note que para calcular la integral de(r), hay que conocer (r

) sobre todo elespacio; esto implica quer

y que el punto de observacin incluyer .Interpretacin fsica del potencial escalar elctrico.Consideremos una cargaq en una regin donde existe un campo elctricoE.Figura 1.20:Cargaq llevada por fuerza externa entre puntosA yB en un campo elctrico.La fuerza que ejerce el campo sobre la cargaq esFelect= q E. (1.85)ConsideremoseltrabajoquedeberealizarunafuerzaexternaFextparallevarunacargaq en equilibrio desde un puntoA a otro puntoB en esa regin,WAB=_BAFext dl, (1.86)dondedl = (dx, dy, dz) es el vector tangente en cada punto de la trayectoria que unelos puntosA yB. La fuerza externa debe serFext= Felect. (1.87)Luego,WAB= q_BAE dl = q_BA()dl. (1.88)24 CAPTULO 1. ELECTROSTTICA.Perodl =xdx +ydy +zdz=

ixidxi= d(x, y, z). (1.89)Luego,WAB= q_BAd = q (BA) . (1.90)El trabajo depende solamente de la diferencia de la funcin potencial evaluada en lospuntosA yB, no de la trayectoria entre esos puntos. Entonces,(BA) =WABq, (1.91)es decir, la diferencia de potencial elctrico entre dos puntos es el trabajo por unidadde carga que debe realizar un agente externo para llevar una carga entre esos puntos.Adicionalmente, la integral de linea_BAE dl = AB(1.92)es independiente del camino entreA yB. Si el camino es cerrado,A = B; entonces_E dl = 0, (1.93)por lo tanto,_Felect dl = 0. (1.94)lo cual signica que las fuerzas electrostticas son conservativas (el trabajo realizadopor una fuerza conservativa a lo largo de una trayectoria cerrada es cero).Aplicando el Teorema de Stokesa la Ec. (1.93), tenemos_S(E) nda = 0 E = 0. (1.95)Luego, la ecuacin de la Electrosttica E = 0 expresa el hecho de que las fuerzaselectrostticas son conservativas.1.3. POTENCIAL ESCALAR ELCTRICO. 25La Ec. (1.72) implica que el potencial(r) debido a cualquier distribucin loca-lizadadecargatiendeacerocuandor . Si el puntoAes r , entoncesA=(r ) =0. Luego, laEc. (1.90)implicaqueel trabajoparatraerunacargaq desde un puntoA enr = hasta un puntoB correspondiente a unr nitoesW(r) = q B= q (r). (1.96)En la prctica, el innito se reere a un reservorio con potencial jo = 0 desdeelcualsepuedenextraercargasindenidamente.Conunabuenaaproximacin,laTierra funciona como un reservorio inagotable de cargas y se le asigna potencial cero.Supongamos que el potencial (r) es producido por una carga puntual q

colocadaenr

; entonces(r) =q

[r r

[. (1.97)Figura 1.21:Potencial producido enr por cargaq

ubicada enr

.El trabajo que debe hacer un agente externo para traer una carga q desde r = hastar en presencia de una cargaq

colocada enr

esW(r) = q (r) =q q

[r r

[ U. (1.98)Este trabajo est acumulado en forma de energa potencialUen el campo electros-ttico de la conguracin de las dos cargas.26 CAPTULO 1. ELECTROSTTICA.Ejemplos.1. El potencial escalar elctrico producido por un conjunto de cargas puntuales qicolocadas en las posicionesri puede expresarse mediante la densidad de carga(r

) =

iqi(r

ri) , (1.99)esto es,(r) =

iqi_(r

ri)[r r

[d3r

=

iqi[r ri[. (1.100)El potencial producido por una cargaq colocada en el origen (r1= 0) es(r) =qr . (1.101)2. Potencial producidoporunplanoinnitocondensidadsupercial decargauniforme.E = 2z = (r) (z> 0)2 = z(z) = 2z + cte. (1.102)3. Potencial producido por planoz= 0 con densidad supercial de carga(x, y).Figura 1.22:Planoz= 0 con densidad de carga no uniforme._r

_= _x

, y

__z

_. (1.103)1.3. POTENCIAL ESCALAR ELCTRICO. 27r r

=__x x

_2+_y y

_2+_z z

_2_12. (1.104)Luego,(r) =_ (r

)[r r

[d3r

=_ (x

, y

) (z

)[r r

[dx

dy

dz

.=__x

, y

_dx

dy

_ (z

) dz

[r r

[=_ (x

, y

)dx

dy

[r r

[z

=0=_ (x

, y

)dx

dy

[(x x

)2+ (y y

)2+z2]1/2. (1.105)4. Potencial producido por un disco de radioa, cargado con uniforme.Figura 1.23:Disco con densidad de carga uniforme.La densidad supercial de carga es(x

, y

) =___, si R =_x2+y2_1/2a0, si R = (x2+y2)1/2>a.(1.106)Podemos usar la Ec. (1.105) para calcular el potencial. La simetra del problemasugiere el empleo de coordenadas polares;dx

dy

RdRd. Entonces,(r) = _20_a0RdRd[r r

[z

=0. (1.107)28 CAPTULO 1. ELECTROSTTICA.Cuandoz

=0,lavariabledeintegracinencoordenadaspolaresesr

=R;luegor r

z

=0= [r R[ =_r2+R22 r Rcos_2 __12=_r2+R22 r Rsin 12=_z2sec2 +R22zRtan 1/2,donde hemos usadoz= r cos r = z sec . (1.108)Luego,(r) = (z, ) = 2 _a0RdR[z2sec2 +R22zRtan ]1/2. (1.109)Las coordenadas y z del punto de observacin r son jas. El potencial Ec. (1.109)producidoporeldiscoenelespacioposeesimetraazimutal(nodependedelngulo). La evaluacin de la integral en la Ec. (1.109) para todos los valoresdees difcil. Sin embargo, podemos calcular el potencial sobre el ejez, quecorresponde al caso especial = 0.(z) = 2_a0RdR[z2+R2]1/2= 2_z2+R212R=aR=0= 2__z2+a2_1/2[z[_. (1.110)Consideremos los casos lmites:a) [z[ a, muy cerca del disco [z[ /a 1(z) = 2_a_1 +z2a2_1/2[z[_. (1.111)Empleamos la expansin de Taylor,(1 x)m 1 mx. . . , si [x[ 1. (1.112)1.4. EXPANSIN MULTIPOLAR DEL POTENCIAL ELCTRICO. 29(z) 2_a_1 +z22a2_[z[_ 2 [a [z[]=_2 (a z),z> 02 (a +z),z< 0.El campo elctrico esEz= z=_2 ,z> 02 ,z< 0, Ex= 0, Ey= 0, (1.113)es decir; muy cerca del disco, E es perpendicular a la supercie de ste,similar al campo de un plano innito con densidad uniforme de carga.b) [z[ a, muy lejos del disco a/[z[ 1(z) = 2 [z[__1 +a2z2_1/21_ 2 [z[_1 +a22z2 1_= a2[z[=q[z[, (1.114)lo cual corresponde al potencial de una carga puntual. Es decir, para dis-tancias grandes comparadas con el tamao del disco, la estructura del discoodelobjetoqueproduceelcampoesirrelevante;sloimportasucargatotal.1.4. Expansin multipolar del potencial elctrico.En el espacio libre, el potencial producido por una distribucin de carga(r

) enun puntor es(r) =_ (r

)[r r

[d3r

. (1.115)30 CAPTULO 1. ELECTROSTTICA.El clculo analtico de esta integral, salvo en situaciones que posean sucientes sime-tras, es en general difcil. Sin embargo, es posible obtener una expresin del potencialen el espacio libre para distancias alejadas de la fuenter>r

en forma de serie depotencias der

/r.Figura 1.24:Potencial producido por una distribucin de carga lejos de la fuente,r> r

.En tal sentido, podemos escribir1[r r

[=1r2+r22rr

=1r1 _2rr

r2r2_. (1.116)donder

/r < 1. Denamosx 2rr

r2r2< 1, (1.117)y recordemos la siguiente expansin en serie de Taylor vlida parax < 1,(1 x)1/2= 1 +12x +1324x2+135246x3+ (1.118)Entonces podemos expresar,1[r r

[=1r_1 +12_2rr

r2r2r2_+38_4(rr

)2r44(rr

)r2r4+r4r4_+O_r6r6__.(1.119)Manteniendo los trminos hasta orden O_1/r3_, tenemos1[r r

[=1r+rr

r3r22r3+32(rr)2r5+1r+rr

r3+12r5_3(rr

)2r2r2. (1.120)1.4. EXPANSIN MULTIPOLAR DEL POTENCIAL ELCTRICO. 31Sustituyendo en la Ec. (1.115), tenemos el potencial parar > r

,(r) _(r

)_1r+rr

r3+12r5_3(rr

)2r2r2_d3r

(1.121)1r_(r

) d3r

+rr3 _(r

) r

d3r

+12r5_(r

)_3(rr

)2r2r2d3r

.El primer trmino en la Ec. (1.121) equivale aqr, dondeq=_(r

) d3r

, (1.122)es la carga total, que tambin se denomina momento monopolarde la distribucin decarga.El segundo trmino en la Ec. (1.121) se puede expresar comorpr3, (1.123)donde se dene el vector momento dipolarde la distribucin de carga comop =_(r

) r

d3r

. (1.124)Para expresar el tercer trmino en la Ec. (1.121), consideremos(rr

)2=_x1x

1 +x2x

2 +x3x

3_2=3

i,j=1xixjx

ix

j(1.125)r2= x21 +x22 +x23=3

i,j=1xixjij . (1.126)Entonces,3(rr

)2r2r2= 33

i,j=1xixjx

ix

jr23

i,j=1xixjij(1.127)=3

i,j=1xixj_3x

ix

jr2ij_. (1.128)32 CAPTULO 1. ELECTROSTTICA.Luego, el tercer trmino se puede escribir12r5_(r

)_3(rr

)2r2r2d3r

=12r53

i,j=1xixj_(r

)_3x

ix

jr2ij_d3r

.(1.129)Denimos los momentos cuadripolaresde la distribucin de carga comoQij=_(r

)_3x

ix

jr2ij_d3r

. (1.130)Los momentos cuadripolares son simtricos,Qij= Qji.Entonces, el tercer trmino se puede expresar como12r53

i,j=1xixj Qij . (1.131)Losmomentosmultipolares sonunapropiedaddelafuentequeproduceel po-tencialydesugeometra;esdecir,dependendelaformacomoestdistribuidalacarga en el espacio con respecto a un sistema de coordenadas particular. El momentomonopolar es un escalar, el momento dipolar es un vector y el momento cuadripolares un tensor.Reuniendo los resultados, podemos expresar la expansin del potencial para r > r

en trminos de los momentos multipolares de la distribucin de carga en la siguienteforma,(r) qr+rpr3+12r53

i,j=1xixj Qij . (1.132)Notequeel potencial del monopolovacomo1r, el del dipolovacomo1r2, el delcuadripolo cae como1r3.El momento dipolar est asociado a una distribucin de carga a lo largo de unadireccin espacial. El dipolo ms simple est constituido por dos cargasqy qse-paradas por una distanciaa. Podemos escoger el ejez en la direccin de la lnea queune las dos cargas y el origen de coordenadas en el punto medio de esa lnea.La densidad de carga del dipolo est dada por(r

) = q (r

a/2) q (r

+a/2). (1.133)1.4. EXPANSIN MULTIPOLAR DEL POTENCIAL ELCTRICO. 33Figura 1.25:Dipolo elemental.El potencial enr es(r) =_ (r

)[r r

[d3r

(1.134)=q[r a/2[ q[r +a/2[=q_r2ra +a2/4q_r2+ra +a2/4=qr__1 rar2+a24r2_1/2_1 +rar2+a24r2_1/2_. (1.135)Consideremos el punto de observacin muy alejado de la fuente; es decir, a/r 1.Empleamos las siguientes expansiones en serie, vlidas parax < 1,(1 x)1/2= 1 12x +38x2 (1.136)Haciendox =rar2< 1, podemos expresar(r) =qr__1 +ra2r2__1 ra2r2__+O_a2r2_(1.137) qarr3. (1.138)El momento dipolar de la distribucin de carga esp =_(r

) r

d3r

= q a = qaz. (1.139)34 CAPTULO 1. ELECTROSTTICA.Note que la direccin del vectorp va de la carga negativa a la carga positiva. Luego,el potencial parar > a se puede escribir como(r) prr3=prr2. (1.140)Esta expresin es exacta en el lmitea 0, manteniendop constante y correspondeal potencial de un dipolo elemental. Si tomamosp=pz, el potencial del dipolo encoordenadas esfricas(r, , ) se puede expresar como(r) = (r, ) =p cos r2, (1.141)el cual es independiente del ngulo ; es decir el potencial de un dipolo posee simetraazimutal. El campo elctrico producido por un dipolo puede calcularse en coordenadasesfricas, a partir deE = (r) = _rr +1r +1r sin _. (1.142)Luego,Er= r=2p cos r3(1.143)E= 1r=p sin r3(1.144)E= 0. (1.145)En coordenadas cartesianas, el campo elctrico puede calcularse a partir deE = _prr3_. (1.146)La componenteEi esEi= xi_

j pjxjr3_= xi_

j pjxj(x21 +x22 +x23)3/2_= _

j pjijr3322xi

j pjxjr5_=3xi(pr)r5pir3. (1.147)1.4. EXPANSIN MULTIPOLAR DEL POTENCIAL ELCTRICO. 35Luego, empleando la notacin r = r/r, el campo elctrico del dipolo se puede escribircomoE(r) =3r(pr)r5pr3=3(pr)r pr3. (1.148)Ejemplos comunes de dipolos elctricos son muchas molculas. Las molculas notienen carga elctrica neta; sin embargo; muchas de ellas poseen momentos dipolaresdebido a la distribucin preferencial de los electrones en la direccin de los enlacesinteratmicos presentes.Figura 1.26:Campo elctrico de un dipolo.Los momentos cuadripolaresQijse pueden interpretar como componentes de untensor o matriz3 3,Q =__Q11Q12Q13Q21Q22Q23Q31Q32Q33__. (1.149)Debido a la simetraQij=Qji, solamente6 componentes de la matrizQ son inde-pendientes. Por otro lado,

iQii=_(r

)

i_3x2ir2_d3r

(1.150)=_(r

)_3

ix2i

ir2_d3r

(1.151)=_(r

)_3r23r2_d3r

= 0 . (1.152)36 CAPTULO 1. ELECTROSTTICA.Es decir, solamente2 de las componentes diagonalesQii son independientes. Luego,el tensor de momento cuadripolarQ posee5 componentes independientes.La distribucin de carga ms simple que da lugar a momentos cuadripolares con-siste en un arreglo de cuatro cargas puntuales muy cercanas, con signos alternativos,formando un cuadrado. Note que, para esta conguracin,q= 0 yp = 0.Figura 1.27:Campo elctrico del cuadripolo ms simple.Ejemplo.1. Calcular los momentos multipolares de una distribucin de carga esfricamentesimtrica.La densidadde carga depende slo de la coordenada radial; (r

)=(r

).Elmomento monopolar, o la carga total, esq=_(r

) d3r

=_(r

) r2dr

_20d_sin

d

= 4_(r

)r2dr

,= 0,donde hemos empleado el elemento de volumend3r

= r2sin

dr

d

d

.El momento dipolar esp =_(r

) r

d3r

.1.5. ECUACIONES DE POISSON Y DE LAPLACE. 37Las componentes der

en coordenadas cartesianas sonx

= r

sin

cos

y

= r

sin

sin

z

= r

cos

.Entonces,px=_(r

)x

d3r

=_(r

)r3dr

*0_20cos

d

_0sin2

d

= 0py=_(r

)y

d3r

=_(r

)r3dr

*0_20sin

d

_0sin2

d

= 0pz=_(r

)z

d3r

=_(r

)r3dr

_20d

:0_0cos

sin

d

= 0.Luego,p = 0.La componenteQ12 del momento cuadripolar esQ12= 3_(r

) x

y

d3r

= 3_(r

)r4dr

:0 _20sin

cos

d

_0sin3

d

.= 0.Similarmente, las otras componentesQij= 0.1.5. Ecuaciones de Poisson y de Laplace.La ecuacin de la ElectrostticaE = 0implica que el campo elctrico se puede expresar como el gradiente de un potencialescalarE = (r) , (1.153)38 CAPTULO 1. ELECTROSTTICA.el cual debe satisfacer tambin la otra ecuacin de la Electrosttica, E = 4 . (1.154)Por lo tanto, () = 42 = 4. (1.155)Esta es la ecuacin de Poisson.En sitios donde no hay cargas( = 0), el potencial escalar satisface2 = 0. (1.156)Esta ecuacin se conoce como la ecuacin de Laplace. En coordenadas cartesianas,2 =3

i=12x2i=_2x2+2y2+2z2_. (1.157)En coordenadas esfricas, el operador laplaciano tiene la forma2 =1r2r2(r) +1r2sin _sin _+1r2sin222. (1.158)Las ecuaciones de Poisson y de Laplace son ecuaciones diferenciales parciales enderivadasespacialesdesegundoorden.Engeneral,lasolucindelaecuacindePoisson o de Laplace en regiones del espacio limitadas por supercies o fronterasSrequiere conocer ciertas condiciones sobre esas fronteras; especicamente, el conoci-miento del valor del potencial y de su derivada en la direccin normal sobreS:[S,nS. (1.159)En principio, el clculo directo del potencial a travs de la integral de la densidadde carga es posible si se conoce sta en todo el espacio. Sin embargo, hemos visto queeste mtodo es limitado. La alternativa para calcular el potencial en regiones donde seconocen las condiciones de frontera Ec. (1.159) es resolver la ecuacin de Poisson o deLaplace en esa region. En el Captulo 2 estudiaremos varios mtodos de solucin de1.6. ENERGA ELECTROSTTICA. 39estas ecuaciones con condiciones de frontera. La solucin de la ecuacin de Poissonenunaregindel espacioquecontieneunadensidaddecargapuedeobtenerseutilizandolafuncindeGreenomtododeimgenes. LasolucindelaecuacindeLaplacepuedeencontrarseenmuchoscasosmedianteseparacindevariablesyexpansin en series de funciones ortogonales.Algunas consecuencias de las ecuaciones de Poisson y Laplace son:1. En un punto donde (r) = 0, no existe mximo o mnimo local de (r). Si existeun extremo (mximo o mnimo), cada trmino2x2itendra el mismo signo (+ ), de modo que i2x2i,= 0.2. En una regin donde = 0, no puede ser simultneamente peridico en todaslas tres dimensiones (puede ser peridico en una o en dos de las dimensiones).Si es peridico en la direccin xi, entonces tiene la forma sin(kixi) cos(kixi), donde ki es una constante, y por lo tanto, satisface2x2i= k2i. Si es peridico es las tres dimensiones, tendramos 2 = _k21 +k22 +k23_ ,= 0,incompatible con la ecuacin de Laplace.1.6. Energa electrosttica.Consideremos el trabajototal Wtotalparaensamblar unaconguracinde Ncargas qienlasposiciones ri, trayendosucesivamentecadacargadesdeel innitohasta su correspondiente posicin en presencia de las cargas precedentes. Esto es,Wtotal= Wq1+Wq2+Wq3+. . . +WqN(1.160)dondeWqisignica el trabajo para traer la cargaqi a la posicinri, en presencia delas anteriores cargasq1, q2, . . . , qi1.Tenemos,Wq1= 0 (no hay otras cargas presentes, ni campos externos.)Wq2= q2(r2) =q2q1[r2r1[Wq3= q3(r3) =q3q1[r3r1[+q3q2[r3r2[Wq4= q4(r4) =q4q1[r4r1[+q4q2[r4r2[+q4q3[r4r3[(1.161)40 CAPTULO 1. ELECTROSTTICA.Figura 1.28:Conguracin deNcargasqien posicionesri.Sumando todos los trminos,Wtotal=12

i , ji=jqiqj[rirj[, (1.162)donde el factor12se introduce para no repetir la suma de trminos simtricosi j.El trabajoWtotales equivalente a la energa potencial total almacenada en estaconguracin,U= Wtotal. (1.163)Figura 1.29:Energa electrosttica de una distribucin de carga.Para una distribucin continua de carga, sustituimos los elementos de carga in-nitesimalesqi dq= d3r yqj dq

= d3r

en el lmite continuo de la suma:1.6. ENERGA ELECTROSTTICA. 41Wtotal= U =12_d3r_ (r) (r

)[r r

[d3r

=12_d3r (r)_ (r

)[r r

[d3r

=12_ (r) (r)d3r , (1.164)donde la integral de volumen se extiende a todo el espacio (r ). La Ec. (1.164) esel trabajo para ensamblar la distribucin de cargas en contra de sus propio campos;mientras que la Ec. (1.183) expresa el trabajo para colocar una distribucin de cargasya formada en un campo externo.UtilizamoslaecuacindePoisson 2= 4, dedonde (r) = 2/4.Sustituyendo en Ec. (1.164), tenemosU= 18_2d3r. (1.165)Empleamos la identidad vectorial (a) = a + a, (1.166)y haciendoa = , obtenemos2 = () [[2. (1.167)Sustituyendo en la Ec. (1.165)U=18_[[2d3r 18_ ()d3r. (1.168)Evaluamos la segunda integral mediante el teorema de la divergencia:_V ()d3r =_S nda. (1.169)Tomemos ScomounaesferaderadioR , dentrodelacual seencuentraladensidaddecargaqueproduceel potencial entodoel espacio. Lanormal napunta en la direccin radial.42 CAPTULO 1. ELECTROSTTICA.Figura 1.30: Integral de volumen se extiende a todo el espacio cuando la supercie tiende a innito.Entonces,sobre S QR(Q = carga total encerrado enS) (1.170) n[S=nS=R QR2(1.171)da = R2sin d d = R2d (1.172)Luego,_S nda =_S n da _SR2R3d =_S1R d (1.173)En el lmiteR obtenemos_V ()d3r =_S nda = 0. (1.174)Luego, tenemos la energa potencialU=18_[[2d3r . (1.175)UsandoE = , tambin se puede expresarU=18_[E[2d3r , (1.176)lo que describe la energa potencial almacenada en todo el espacio donde existe uncampoelctricoE. Puestoquestaesunaintegral sobreunvolumen, sedeneladensidad de energa[energa/volumen] de un campo electrostticoE comou = [E[28. (1.177)1.7. INTERACCINDE UNADISTRIBUCINDE CARGACONUNCAMPOEXTERNO.43Ejemplo.1. Calcular la fuerza por unidad de rea entre dos planos innitos paralelos, condensidades superciales de carga y , respectivamente.Sea xladireccinperpendicular entrelos planos. El campoelctricoenelespacio entre los planos esE = 4 x.La densidad de energa electrosttica entre los planos esu =18 [E[2= 22. (1.178)Consideremos un desplazamientodx de uno de los planos en la direccin x, talque el volumen entre los planos aumenta en una cantidadAdx. Consequente-mente, la energa electrosttica del sistema aumenta endU= uAdx = 22Adx. (1.179)La fuerza sobre un plano esF = dUdx x, y la fuerza por unidad de rea esFA= 1AdUdx x = 22 x (1.180)es decir, la fuerza entre los planos es atractiva.1.7. Interaccin de una distribucin de carga con un cam-po externo.Supongamos una regin del espacio donde existe un campo elctrico externo EextyunpotencialexternodadoporEext(r)= ext(r).Recordemosqueeltrabajopara traer una cargaq desder = hasta una posicinr, donde existe un potencialexternoext, esW(r) = q ext(r) = U, (1.181)44 CAPTULO 1. ELECTROSTTICA.dondeUes la energa potencial de la interaccin de la carga con el campo externo.ParaunconjuntodeNcargasqienposicionesrienpresenciadeunpotencialexternoext, no producido por las cargas, la energa potencial de interaccin esU=N

iqiext(ri). (1.182)Para una distribucin continua de carga (r) en presencia de un potencial externoext(r), la energa potencial de la interaccin corresponde aU=_(r) ext(r) d3r. (1.183)Esta es la energa potencial de una distribucin de cargas ya formada, interactuandocon un campo externo. No es el trabajo para ensamblar la distribucin de las cargasen contra de sus propios campos.Figura 1.31:Distribucin de carga en un campo elctrico externo.Supongamos queladistribucindecarga(r) enel espacioincluyeel origenr = 0 y que el potencial externo vara sobre la extensin de la distribucin. Entonces,podemos hacer una expansin de Taylor del potencial alrededor der = 0,ext(r) = (0) +3

ixi0xi +12

i,j2xixj0xixj += (0) + ()0 r +12

i,jxi_xj_0xixj + (1.184)1.7. INTERACCINDE UNADISTRIBUCINDE CARGACONUNCAMPOEXTERNO.45donde hemos suprimido la notacin ext, por simplicidad.Utilizando la relacinEext= ext(r), podemos escribirext(r) = (0) rE(0) 12

i,j_Ejxi_0xixj + (1.185)Sustitucin en la Ec. (1.183) permite obtener la expansin de la energa potencialU= (0)_(r) d3r E(0) _(r) r d3r 12

i,j_(r) xixj_Ejxi_0d3r +(1.186)lo cual se puede escribir comoU= q (0) pE(0) 12

i,j_(r) xixj_Ejxi_0d3r + (1.187)donde hemos usado las deniciones de los momentos monopolarq y dipolarp.El tercer trmino se puede poner en forma cuadripolar usando el hecho de que elcampo electrosttico externo, lejos de sus fuentes y en la regin donde se localiza ladistribucin(r), satisface Eext= 0. Luego, Eext=

iEixi=

i__

jEjxiij__=

i,jEjxiij= 0 . (1.188)En particular, enr = 0, el campo externo satisface E(0) =

i,j_Ejxi_0ij= 0 . (1.189)Restandolacantidadnula16E(0) r2enel integrando, el tercertrminopuedeescribirse como12

i,j_(r) xixj_Ejxi_0d3r = 12

i,j_(r)_xixj_Ejxi_013_Ejxi_0r2ij_d3r= 16

i,j_(r)_3xixjr2ij_Ejxi_0d3r= 16

i,j_Ejxi_0Qij(1.190)46 CAPTULO 1. ELECTROSTTICA.donde hemos usado la denicin de los momentos cuadripolaresQij=_(r

)_3x

ix

jr2ij_d3r

. (1.191)Finalmente, podemos expresar la energa de una distribucin de carga en presenciade un campo elctrico externo como la siguiente expansin multipolar,U= q (0) pE(0) 16

i,jQij_Ejxi_0+ (1.192)El primer trmino corresponde a la interaccin del monopolo con el potencial externo;el segundo trmino expresa la interaccin del dipolo de la distribucin de carga conel campo elctrico externo; y el tercer trmino describe la interaccin del momentocuadripolar de la distribucin con el gradiente del campo.La interaccin de un dipolo con un campo externo corresponde en general aU= pEext, (1.193)dondeEext es el campo externo evaluado en la posicin del dipolo.En particular, si tenemos un dipolop1 en presencia del campoE2 producido porun dipolop2, entonces la energa de interaccin serU= p1 E2. (1.194)Figura 1.32:Campo elctrico de un dipolop2en la posicin de un dipolop1.Si r es la posicin del dipolo p1 con respecto al dipolo p2, el campo E2 producidoporp2 en la posicin dep1 est dado por la Ec. (1.148),E2=3(p2 r)r p2r3. (1.195)1.8. POTENCIAL Y CAMPO ELCTRICO EN CONDUCTORES. 47Luego, la energa de interaccin de los dos dipolos esUdip= p1

_3(p2 r)r p2r3_=p1 p23(p1 r)(p2 r)r3. (1.196)En general, si p1est en la posicinr1yp2est enr2, la energa potencial deinteraccin de los dos dipolos esUdip=p1 p23(p1 r)(p2 r)[r2r1[3, (1.197)donde r r2r1[r2r1[.Figura 1.33:Interaccin entre dos dipolosp1yp2.La fuerza de interaccin entre dos dipolosp1 yp2 est dada porFdip= Udip.Notequelafuerzaentredosdipoloselctricosdependedeladistanciacomo1/r4,mientras que la fuerza entre dos cargas puntuales vara como 1/r2(Ley de Coulomb).1.8. Potencial y campo elctrico en conductores.LasolucindelaecuacindePoissonodeLaplaceenunaregindel espaciolimitadaporobjetosofronteras, denotadaspor S, requiereconocerlassiguientescondiciones para el potencial sobre las fronteras:[S,nS. (1.198)Estas condiciones son particularmente simples en fronteras constituidas por ma-teriales conductores, los cuales adems tienen muchas aplicaciones prcticas.48 CAPTULO 1. ELECTROSTTICA.Un conductores un material donde las cargas son capaces de moverse librementeen su interior y sobre su supercie. En Electrosttica, las distribuciones de cargas ylos campos en un conductor deben alcanzar un estado de equilibrio (independientedel tiempo).Los conductores poseen las siguientes propiedades:i. Toda carga neta en un conductor debe estar en su supercie.Consideremos una densidad de carga neta colocada inicialmente dentro de unconductor. Lacarganetacorrespondeapartculasconcargadeunmismosigno; es decir que se repelen (si hay cargas con signos opuestos, se atraen hastaanularse; el exceso corresponde a ). Puesto que tienen la posibilidad de moverselibremente dentro del conductor, las cargas alcanzarn su mxima separacin.Esto implica que las cargas deben alcanzar la supercie del conductor. Luego,siunconductorposeeunacarganeta,stadebeestarjustoensusupercie,distribuida como una densidad supercial de carga.Figura 1.34:La carga neta se encuentra en la supercie de un conductor.ii. El campo elctrico dentro de un conductor es cero.ApliquemoslaLeydeGaussdentrodel conductor. Tomemosunasuperciegaussiana S justo debajo y arbitrariamente cerca de la supercie del conductor.Puesto que no hay carga encerrada dentro deS, tenemos_SE nda = 0 E = 0 dentro deS. (1.199)PuestoqueSestarbitrariamentecercadelasuperciedel conductor, estoimplicaque E=0entodopuntodentrodel conductor. Luego, E= implica, a su vez, que es constante dentro de un conductor.1.8. POTENCIAL Y CAMPO ELCTRICO EN CONDUCTORES. 49Figura 1.35:El campo elctrico dentro de un conductor es cero.iii. Un conductor es una supercie equipotencial.ConsideremosunconductorencampoelctricoexternoE.Elcampoexternomueve las cargas libres dentro del conductor e induce una densidad de cargano uniforme en la supercie del conductor.Figura 1.36:Campo elctrico en la supercie de un conductor.El campo dentro del conductor esE1= 0, mientras que el campo en un puntosobre la supercie se puede escribir comoE2= En n +Ett, (1.200)donde n y t son el vector normal y el vector tangente a la supercie, respecti-vamente.Figura 1.37:Campo elctrico e integral de lnea a travs de la supercie de un conductor.50 CAPTULO 1. ELECTROSTTICA.Recordemosquelascomponentestangencialesdel campoelctricoenamboslados de una supercie con densidad de carga son continuas; esto esE2

t = E1

t. (1.201)PeroE1= 0 dentro del conductor. LuegoE2

t = Et= 0; (1.202)es decir, la componente del campo elctrico tangente a la supercie de un con-ductor es cero.El potencial sobre la supercieS del conductor satisfaceE2

t = |S

t =lS= 0 = constante sobreS. (1.203)Luego, tanto el interior como la supercie de un conductor poseen un potencial constante.iv. El campo elctrico en la supercieS de un conductor siempre es normal aS ysu magnitud esEn= 4.Vimos que las componentes normales de los camposE1E2a ambos lados deuna supercie con densidad de carga estn relacionados localmente por(E2E1) n = 4. (1.204)PeroE1= 0 (dentro del conductor). Luego,E2 n = En= 4. (1.205)Puesto queE2 n = |S nEn= nS= 4. (1.206)Engeneral, resolverlaecuacindePoissonodeLaplaceenregioneslimitadasporconductoresrequiereencontrarunquesatisfacelascondicionesdefronteraEc. (1.203) y Ec. (1.206) sobre los conductores.1.9. CAPACITANCIA. 511.9. Capacitancia.SupongamosunsistemadeNconductoresconcargas qiypotenciales i, i =1, . . . , N, colocados en el espacio libre.La energa electrosttica total del sistema esU=18_V[E[2d3r , (1.207)donde el volumenV se extiende a todo el espacio, excluyendo el volumen ocupadopor los conductores donde el campo elctrico es cero.Figura 1.38:Sistema de conductores con cargasqiy potenciales i.Usando la relacinE = , podemos escribir la Ec. (1.207) comoU = 18_VE d3r= 18_V[ (E) ( E)]d3r= 18_S(E) nda, (1.208)donde hemos usado el teorema de la divergencia para el primer trmino en la Ec. (1.208)y la Ley de Gauss, E = 0 (puesto no hay cargas en el volumenV ), en el segundotrmino de dicha ecuacin. La supercie S que delimita al volumen Vincluye el in-nito (S ) y las supercies Si de los conductores, mientras que el vector normal napunta hacia fuera de toda laS; en particular, hacia dentro de la supercie de cada52 CAPTULO 1. ELECTROSTTICA.conductor. Luego,U= 18_S(E) nda 18

i_Si(Ei)( ni) dai, (1.209)donde nieslanormalsobrecadaSi( niapuntahaciadentrodelconductor).Laintegral en el primer trmino tiende a cero en el lmiteS ; entonces,U =18

ii_SiE nidai(i es constante sobre cadaSi),=18

ii(4qi) (usando la Ley de Gauss sobre cadaSi),=12

iqii. (1.210)Las cargas qi y los potenciales i en la Ec. (1.210) no son independientes. El potencialdelconductorisedebealacargaqiyalascontribucionesdetodaslascargasenlos dems conductores. Supongamos que tenemos una cargaqk ,= 0 yqi= 0, i ,= k;entonces el potencial en cada conductor debe ser simplemente proporcional aqk, esdecir, i= pikqk. Puesto que las ecuaciones de la Electrosttica son lineales, podemosescribir los potenciales para un conjunto de cargas mediante la superposicin lineali=N

j=1aij qj , (1.211)donde losaijsoncoecientes de proporcionalidad.Las Ecs.(1.211) constituyenunconjunto deNecuaciones lineales que se pueden invertir para obtenerqi=N

j=1Cij j . (1.212)La matriz Cij se denomina tensor de capacitancia. Sus elementos poseen dimensionesde longitud y dependen de factores geomtricos, tales como la forma de los conduc-tores y la posicin relativa entre stos. Si tenemos solamente un conductor con cargaq, el nico elementoCse denomina la capacidaddel conductor,q= C. (1.213)1.9. CAPACITANCIA. 53La capacidad C expresa la cantidad de carga que el conductor puede contener cuandoestsujetoaunpotencial dado. Lacapacidadestrelacionadaconel tamaodelconductor. Por ejemplo, para una esfera de radio R que tiene una carga q, el potencialsobre su supercie es = q/R. Comparando con la denicin Ec. (1.213), obtenemosC= R para una esfera conductora.Lacapacitanciadeunsistemaformadopordosconductoresqueposeencargasigualesyopuestassedenecomoel cocienteentrelacargadeunconductoryladiferenciadepotencial entreellos. Sepuedendisear diversas conguraciones deconductores para almacenar carga elctrica sujetos a potenciales; tales dispositivos sellaman capacitoreso condensadores.Usando el tensor de capacitancia, la energa potencial electrosttica del sistemade conductores, Ec. (1.210), se puede expresar comoU=12

i,jCij ij. (1.214)La energa almacenada en un capacitor con capacitanciaCsujeto a un potencial esU=12 C2. (1.215)54 CAPTULO 1. ELECTROSTTICA.Resumen.1. Funcin delta de Dirac:_If(x)(x a)dx = f(a).2_1[r r

[_= 4 (r r

) .2. Ecuaciones de la Electrosttica: E = 4.E = 0.3. Forma integral de la ley de Gauss:_SE nda = 4qenc.4. Condiciones de frontera del campo elctrico a travs de una supercie cargada:E2(r

) n E1(r

) n = 4(r

).E2

t = E1

t.5. Potencial escalar:E = .(r) =_ (r

)[r r

[d3r

.6. Diferencia de potencial entre dos puntosA yB:(BA) =WABq.7. Ecuaciones de Poisson y de Laplace,2 = 4 (Ec. Poisson).2 = 0 (Ec. Laplace).1.9. CAPACITANCIA. 558. Energa electrosttica de una conguracin de cargas puntuales:Wtotal=12

i , ji=jqiqj[rirj[.9. Energa de un campo electrosttico:U=18_[E[2d3r.10. Expansin del potencial de una distribucin de carga parar > r

,(r) qr+rpr3+12r53

i,j=1xixj Qij .11. Momento dipolar de una distribucin de carga,p =_(r

) r

d3r

.12. Potencial de un dipolo,(r) =prr2.13. Campo elctrico de un dipolo,E(r) =3(pr)r pr3.14. Energa de un dipolo en un campo elctrico externo,U= pE.15. Energa potencial de interaccin de dos dipolos,Udip=p1 p23(p1 r)(p2 r)[r2r1[3.16. Propiedades de conductores:E = 0, dentro del conductor. = cte, dentro y sobre la supercie del conductor.En= nS= 4, en la supercie del conductor.17. Capacidad de un conductor:q= C.56 CAPTULO 1. ELECTROSTTICA.1.10. Problemas.1. Usando funciones delta de Dirac en las coordenadas indicadas, exprese las si-guientes densidades de carga:a) Una cargaquniformemente distribuida sobre un cascarn esfrico de radioa, en coordenadas esfricas.b) Una carga uniforme por unidad de longitud distribuida sobre una super-cie cilndrica de radiob, en coordenadas cilndricas.c) Una cargaq distribuida uniformemente sobre un disco de radioR y espesordespreciable, en coordenadas cilndricas.d) Igual que c), pero en coordenadas esfricas.2. Dos planos conductores paralelos e innitos se encuentran enx=0 yx=b,y tienen potencialesV1 yV2, respectivamente. Hay un plasma con densidad decarga constanteo en el espacio entre los planos.a) Encuentre el potencial en todo punto entre los planos.b) Encuentre la densidad de carga supercial sobre el plano enx = 0.c) Calcule el campo elctrico entre los planos.3. Una cargaQ se distribuye en una esfera no conductora de radioa. Encuentrela energa electrosttica de la conguracin en los siguientes casos:a) La carga se distribuye uniformemente en el volumen de la esfera.b) La carga se distribuye uniformemente en la supercie de la esfera.c) Explique por qu los resultados a) y b) son diferentes.4. El potencial promedio de un tomo de hidrgeno se puede expresar como = qe2r/aor_1 +rao_,dondeq es la magnitud de la carga del electrn yao es el radio de Bohr.a) Encuentre la distribucin de carga que produce este potencial.b) Calcule la carga orbital total del tomo de hidrgeno.c) Interprete fsicamente los resultados.5. Unacargaqseencuentraaunadistanciaaperpendicularauncablerectoinnitoymuydelgadoqueposeeunadensidadlineal decarga. Calculelafuerza sobre la cargaq.1.10. PROBLEMAS. 576. Una cargaq se distribuye uniformemente sobre un anillo de radioa. Calcule lafrecuencia para pequeas oscilaciones de una partcula de masam y carga qque se mueve sobre el eje perpendicular al plano del anillo y que pasa por sucentro.7. Tres esferas conductoras concntricas de radiosR1,R2, yR3(R1< R2< R3)poseen potencialesV1, V2, yV3, respectivamente. Determine la carga de cadaesfera.8. Una pompa de jabn de radio 1 cm se encuentra a un potencial de 100 voltios.Si la pompa colapsa hasta un radio de 1 mm, cul es el cambio en su energaelectrosttica?9. Considereunaesferaderadioayconcargatotal q. Enuncaso, laesferaesconductora; enotrocaso, laesferatieneunadensidaduniformedecarga;yenunatercerasituacin, laesferaposeeunadensidaddecargaquevararadialmente comorn, conn > 3.a) Calcule el campo elctrico dentro y fuera de la esfera en cada caso.b) Dibuje esquemticamente el campo elctrico en funcin de la distancia radialr en los dos primeros casos; y paran = 2 yn = 2 en el tercer caso.10. Una lmina plana innita, con densidad de carga supercial uniforme, tieneun agujero circular de radio a. Una carga q se encuentra a una distancia z sobreel eje perpendicular al plano de la lmina que pasa por el centro del agujero.Calcule la direccin y magnitud de fuerza sobre la cargaq.11. Un cable coaxial innito est formado por un conductor cilndrico interior deradioa sujeto a un potencial Voy otro conductor cilndrico exterior de radiob, conectado a tierra. Encuentre la densidad de carga lineal en el conductorinterior.12. UnaesferaderadioRposeeunadensidaddecargauniformeytieneunacavidad esfrica no concntrica de radioa (a 0 frente al plano conductorz= 0.ElvolumenV deintersestconstituidoporelsubespacioz>0,encerradopor la supercieSinnita que incluye al planoz=0. Usando el teorema deGreen con condicin de frontera tipo Dirichlet, el potencial est dado por(r) =_V_r

_GD_r, r

_d3r

14_S[SGDn

da

(2.44)donde[S= 0 y el volumenVes el subespacioz> 0.La funcinGD(r, r

)=1|rr

|+ F(r, r

) para este problema debe satisfacer lassiguientes propiedadesa) GD(r, r

) = 0 parar enz= 0, tal que(r)[z=0= 0.70 CAPTULO 2. PROBLEMAS DE FRONTERA EN ELECTROSTTICAb) GD(r, r

) 0, para [r[ , tal que(r ) 0, enV .c) 2GD(r, r

) = 4(r r

) (2F(r, r

) = 0), enV .Probemos con la siguiente forma paraGD(r, r

),G_r, r

_=1[r r

[ 1r r

I, (2.45)donder

=(x

, y

, z

), dentrodeV (z >0); yr

I=(x

, y

, z

), fueradeV(z< 0). Note que el vectorr

I= (x

, y

, z

) corresponde a la imagen especulardel vectorr

= (x

, y

, z

) con respecto al planoz= 0.Luego,r r

=__x x

_2+_y y

_2+_z z

_2_1/2(2.46)r r

I=__x x

_2+_y y

_2+_z +z

_2_1/2(2.47)Vemos queGD(r, r

) satisfaceG(r, r

)[z=0= 0 yGD(r, r

) 0, para [r[ .Adems,2GD(r, r

) = 4(r r

) + 4_r r

I_, (2.48)peroelpuntodeobservacinrestenV yr

IestfueradeV .Luego,enVsiempre tenemosr

I ,= r, y la segunda funcin delta siempre es0 enV .Entonces, el potencial paraz> 0 es(r) =_z>0(r

)GD_r, r

_d3r

=_z>0(r

)[r r

[d3r

_z>0(r

)r r

Id3r

.(2.49)Explcitamente tenemos,(r) =_z>0 (r

) d3r

_(x x

)2+ (y y

)2+ (z z

)2_12_z>0 (r

) d3r

_(x x

)2+ (y y

)2+ (z +z

)2_12. (2.50)2.3. MTODO DE IMGENES. 71Este potencial puede interpretarse como el potencial resultante de dos contri-buciones: el primer trmino corresponde al potencial producido por la densidaddada en el volumenV(z>0), y el segundo trmino proviene del potencialasociado a una densidad de carga virtual o imagenI= , ubicada fuera deV(z0. Enestecaso, (r

) =q (r

ro) =q (x

) (y

) (z

zo) yrI= (0, 0, zo).Sustituyendo(r

) en la Ec. (2.50), obtenemos(r) =q_x2+y2+ (z zo)2_12q_x2+y2+ (z +zo)2_12. (2.51)Vemosqueelpotencialsatisfacelacondicindefrontera(x, y, 0)=0sobrez= 0, y = 0 para [r[ . Este potencial se puede expresar tambin como(r) =q[r r0[ q[r rI[, (2.52)72 CAPTULO 2. PROBLEMAS DE FRONTERA EN ELECTROSTTICAdonde[r r0[ =_x2+y2+ (z z0)2_12, (2.53)[r rI[ =_x2+y2+ (z +z0)2_12, (2.54)y se puede interpretar como el potencial resultante de la cargaqcolocada enr0, msel potencial deunacargavirtual qubicadaenrIcomolaimagenespecular deq con respecto al planoz= 0.Podemos calcular el campo elctricoE = paraz> 0, tal queEz= z=q(z z0)_x2+y2+ (z z0)2_32q(z +z0)_x2+y2+ (z +z0)2_32Ex= x=q x_x2+y2+ (z z0)2_32q x_x2+y2+ (z +z0)2_32Ey= y=q y_x2+y2+ (z z0)2_32q y_x2+y2+ (z +z0)2_32.Figura 2.8: Izquierda: campo elctrico paraz 0. Derecha: densidad de carga inducida sobre elplanoz= 0.El campo elctrico sobrez= 0 esEz[z=0=2 q z0[x2+y2+z02]32, Ex[z=0=Ey[z=0= 0. (2.55)2.3. MTODO DE IMGENES. 73Luego, E[z=0=Ez[z=0z. Lanormal al planohaciafueradel volumenV es n= z; esdecir E[z=0esnormal alasupercie, comodebesersobreunconductor. El campo elctrico normal sobre el conductor satisfaceEn=Ez[z=0= 4 [z=0. (2.56)Podemos calcular la densidad de carga supercial inducida sobre el plano z= 0,[z=0= (x, y) =En4= q z02 (x2+y2+z02)3/2. (2.57)La carga total inducida sobre el conductor esQtotal=_dx_dy (x, y) . (2.58)Estaintegralsepuedeevaluarmsfcilmenteencoordenadaspolares(R, ),dondeR2= x2+y2, ydxdy= RdRd. Entonces,(R, ) = q z02 (R2+z02)3/2(2.59)yQtotal= q z02_20d_0RdR(R2+z02)3/2= +q z0_R2+z02_120= q , (2.60)donde hemos usado la integral_xdx(x2+a2)32= _x2+a2_12. (2.61)Luego, la carga total inducida sobre el plano conductor es igual y opuesta a lacargaq colocada frente al plano. Esta carga proviene de la Tierra, a la cual elplano est conectado.74 CAPTULO 2. PROBLEMAS DE FRONTERA EN ELECTROSTTICALa carga inducida sobre el plano ejerce una fuerza atractiva sobre la cargaq,equivalente a la fuerza elctrica entreq y una carga imagenqI= q colocadaenz= zo; esto esF = q24z2oz . (2.62)El trabajo que debe realizar un agente externo para traer la cargaqdesde elinnitoasuposicinzofrentealplanorequiereunafuerzaFext= Fyundesplazamientodl = dz z. Luego,Wext=_zoFext dl =q24_zo1z2dz= q241zzo= q24zo. (2.63)Estetrabajoeslamitaddelaenergapotencial elctricaalmacenadaenunsistema de dos cargasq y q separadas por una distancia2zo.3. Carga puntual q colocada a una distancia ro del centro de una esfera conductorade radioa < ro conectada a tierra. Calcular el potencial fuera de la esfera.Figura2.9: Mtododeimgenesparaunacargaqfrenteaunaesferaconductoraconectadaatierra.El volumen Vdonde se busca el potencial corresponde a todo el espacio exteriora la esfera conductora, r>a. Puesto que la esfera est conectada a tierra, lacondicin de frontera sobre ella es(r = a) = 0.Supongamos una carga imagenqIubicada en la posicinrIdentro de la esfe-ra,esdecir,fueradeV .Porsimetra, rIdebeestarenladireccindero.Elproblema consiste en encontrar [rI[ yqItal que(r=a)=0. Denimos los2.3. MTODO DE IMGENES. 75siguientes vectores normales a la supercieS de la esfera, no= vector unitario en direccinro. (2.64) n = vector unitario en direccinr. (2.65)El potencial total en un puntor fuera de la esfera es el resultado de las contri-buciones de los potenciales de la cargaq y de la carga virtualqI, esto es(r) =q[r ro[+qI[r rI[=q[r n ro no[+qI[r n rI no[. (2.66)Evaluamos enr = a,(r = a) =q[a n ro no[+qI[a n rI no[= 0. (2.67)La Ec. (2.67) debe satisfacerse para todos los posibles ngulos entre n y no,en particular para=0 cuando n es paralelo a no. En ese caso n= no, y dela Ec. (2.67) obtenemosq[a ro[+qI[a rI[= 0q(roa)+qI(a rI)= 0, (2.68)puesto quero> a, ya > rI. Luego, podemos escribirqro_1 aro_+qIa_1 rIa_= 0. (2.69)La relacin (2.69) requiere satisfacer simultneamente las siguientes condicionesqro= qIa, (2.70)aro=rIa, (2.71)76 CAPTULO 2. PROBLEMAS DE FRONTERA EN ELECTROSTTICAlo que conduce aqI= aroq (2.72)rI=a2ro rI= rI no=a2r2oro. (2.73)Luego,(r) =q[r ro[ q aror a2r20ro. (2.74)El potencial (2.74) se puede expresar en coordenadas esfricas como(r, ) =q[r22rro cos +r2o]1/2q (a/ro)_r22_aro_2rro cos +_aro_4r2o_1/2, (2.75)dondeesel nguloentreryro. Sepuedevericarque(a, ) =0enlaEc. (2.75).El potencial (2.74) corresponde a la solucin del problema de Dirichlet(r) =_V_r

_GD_r, r

_d3r

(2.76)en el volumenr>a, con condicin de frontera(r=a)=0. La densidad decarga corresponde a la carga puntual ubicada enro,_r

_=q _r

ro_. (2.77)Comparando con la solucin (2.74), vemos que la funcin de Green para esteproblema esG_r, r

_=1[r r

[ ar

r a2r

2r

. (2.78)2.3. MTODO DE IMGENES. 77La fuerza entre la cargaq y la esfera corresponde a la fuerza atractiva entreqy la carga virtualqI, separadas por una distancia[r rI[ = roa2ro. (2.79)Luego, la magnitud de la fuerza esF=q qI[r rI[2=aroq2(r2oa2)2. (2.80)Ladensidaddecargasupercial inducidasobrelasupercie Sdelaesferaconductora puede ser calculada mediante la relacinEn[S= 4 = 14rr=a. (2.81)A partir de la Ec. (2.75), calculamosr= q(r ro cos )[r22rro cos +r2o]3/2+q_aro__r _aro_2ro cos __r22_aro_2rro cos +_aro_4r2o_3/2,rr=a= q_arocos _r2o_1 2 arocos +a2r2o_3/2+q_roa__1 arocos _r2o_1 2 arocos +a2r2o_3/2.Despus de algunas simplicaciones, obtenemos= 14rr=a= q4a2_aro__1 a2r2o__1 2 arocos +a2r2o_3/2. (2.82)Se puede vericar que la integral de rea desobre la supercie de la esferada el valor de la carga imagen,qI= aroq.78 CAPTULO 2. PROBLEMAS DE FRONTERA EN ELECTROSTTICA4. Carga puntual q colocada a una distancia ro del centro de una esfera conductoraaislada, de radioaaestoes equivalenteal potencialproducido por una cargaQqIcolocada en el centro de la esfera.Luego, el potencial fuera de la esfera es(r) =q[r ro[ q aror a2r2oro+_Q+qaro_r. (2.83)2.4. Funciones ortogonales.En muchas situaciones, las soluciones de problemas de potencial que involucran laecuacin de Laplace se pueden expresar mediante expansiones en series de funciones2.4. FUNCIONES ORTOGONALES. 79ortogonales. El conjunto de funciones ortogonales apropiado para un problema dadodepende de la geometra y de las simetras presentes en el sistema.Sedicequeunafuncinreal ocomplejaf(), para (a, b), esdecuadradointegrableen el intervalo(a, b), si_baf()f() d=_ba[f()[2d es nito. (2.84)Consideremos un conjunto de funciones reales o complejas un(),n = 1, 2, . . . ,de cuadrado integrable y ortonormales en el intervalo(a, b).Ortonormalidad signica que_baun()um() d= nm=_1, si m = n0, si m ,= n.(2.85)El concepto de ortogonalidad de funciones es anlogo al de ortogonalidad de vectores:ab=0a b.Cualquier funcinf() de cuadrado integrable en el intervalo(a, b) puede repre-sentarse mediante una expansin en serie de las funciones ortonormales un(),f() =

n=1anun(), (2.86)donde los coecientesanestn unvocamente determinados. Para ver esto, multipli-quemos la Ec. (2.86) porum() e integremos en el intervalo(a, b),_baum() f() d =_baum ()_

n=1anun ()_d=

n=1an__baum() un ()d_=

n=1anmn=am. (2.87)Luego,an=_baun() f() d . (2.88)80 CAPTULO 2. PROBLEMAS DE FRONTERA EN ELECTROSTTICASe dice que las funcionesu() forman una basecompletaen el intervalo(a, b) paralas funciones cuyo cuadrado es integrable en ese intervalo.Sustituyendo los coecientesan de la Ec. (2.88) en la Ec. (2.86), obtenemosf () =

n__baun_

_f_

_d

_un ()=_baf_

__

nun_

_un ()_d

, (2.89)lo cual implica que

nun_

_un () =_

_. (2.90)La Ec. (2.90) se denomina la relacin de clausura o completitud del conjunto un().Si una funcin de cuadrado integrable f(, ) depende de dos variables, (a, b)y (c, d), entonces esa funcin se puede representar mediante una doble expansinen serie de conjuntos de funciones ortogonales un(), denidas en (a, b), y vn(),denidas en(c, d), en la formaf(, ) =

n

manmun() v(), (2.91)donde anm=_bad_dcdun() vm() f(, ). (2.92)Ejemplos.1. Las series de Fourier constituyen uno de los ejemplos ms conocidos de expan-sin de funcionesf(x) en un intervalox [c, c] (x [0, 2c]), en trminosdel conjunto de funciones ortonormalesun(x)n=1,2,...=_1c sin_nxc_,1c cos_nxc__. (2.93)Se expresaf(x) =b02+

n=1bn cos_nxc_+

n=1an sin_nxc_(2.94)2.5. ECUACIN DE LAPLACE EN COORDENADAS CARTESIANAS. 81an=1c_ccf(x) sin_nxc_dx (2.95)bn=1c_ccf(x) cos_nxc_dx (2.96)2. Integrales de Fourier. Si el intervalo (a, b) es (, ), las funciones ortogonalesun() son no contables n ,= 1, 2, . . . . Este es el caso de las funciones u(x) = eikx,x (, ), que satisfacen la condicin de ortonormalidad,12_ei(kk

)xdx = _k k

_, (2.97)yquepermitenlaexpansindeunafuncinf(x)decuadradointegrableenx (, ),f(x) =12_a(k) eikxdk, (2.98)a(k) =12_f(x) eikxdx. (2.99)La condicin de clausura es12_eik(xx

)dk = _x x

_. (2.100)2.5. Ecuacin de Laplace en coordenadas cartesianas.La ecuacin de Laplace, 2(r) = 0, en coordenadas cartesianas es2x2+2y2+2z2= 0. (2.101)La ecuacin de Laplace es una ecuacin diferencial homognea en derivadas par-ciales. Este tipo de ecuaciones se puede resolver en muchos casos mediante el mtododeseparacindevariables. Estemtodoconsisteentransformarunaecuacindi-ferencial en derivadas parciales en un conjunto de ecuaciones diferenciales ordinarias.82 CAPTULO 2. PROBLEMAS DE FRONTERA EN ELECTROSTTICAComo ejemplo de este mtodo, buscamos una solucin de la Ec. (2.101) en la formade un producto de funciones con variables independientes,(r) = (x, y, z) = X(x)Y (y)Z(z). (2.102)Sustitucin en la Ec. (2.101) daY ZX

+XZY

+XY Z

= 0. (2.103)Dividiendo porXY Z, obtenemos1Xd2Xdx2+1Yd2Ydy2+1Zd2Zdz2= 0 . (2.104)La Ec. (2.104) contiene la suma de tres trminos que son funciones independientes,y se debe satisfacer x, y, z. Luego, cada trmino por separado debe ser igual a unaconstante diferente, tal que la suma sea cero,1Xd2Xdx2= 2 X

+2X= 0 (2.105)1Yd2Ydy2= 2 Y

+2Y= 0 (2.106)1Zd2Zdz2= 2 Z

2Z= 0 (2.107)donde2= 2+2. (2.108)Escogemos las constantes y reales, tales que2> 0,2> 0.Las ecuaciones paraXyYson anlogas a la ecuacin de un oscilador armnico.Sus soluciones tienen la formaX(x) = Acos (x) Bsin (x) = A

eixB

eix(2.109)Y (y) = Acos (x) Bsin (x) = A

eiyB

eiy, (2.110)mientras que la ecuacin paraZtiene solucin de la formaZ(z) = Asinh (z) Bcosh (z) = A

ezB

ez. (2.111)2.5. ECUACIN DE LAPLACE EN COORDENADAS CARTESIANAS. 83Lasolucin=XY ZesunasolucinparticulardelaecuacindeLaplace. Loscoecientes y la forma especca de la solucin particular para un problema dado sedeterminan mediante las condiciones de frontera del sistema. La solucin general seencuentraporsuperposicindetodaslassolucionesparticularesquesatisfacenlascondiciones de frontera.Ejemplos.1. Encontrar el potencial dentro de una caja rectangular de ladosa,b yc, cuyascaras estn todas conectadas a tierra, excepto la cara superiorz= c, que estsujeta a un potencialV (x, y).Figura 2.11: Caja rectangular con potencial (x, y, c) = V (x, y) y demas lados con potencial cero.Puesto que no hay cargas dentro de la caja, se cumple la ecuacin de Laplace enla regin donde se busca el potencial escalar. Se trata de encontrar la solucinen la forma = XY Z. Para determinar las funcionesX,YyZ, examinamoslas condiciones de frontera en cada coordenadax,y yz.Condiciones de frontera paraX(x): = 0 en x = 0 X(0) = 0. Sugiere la forma: X sin(x). (2.112) = 0 en x = a X(a) = 0. Luego, X sin(a) = 0. (2.113)84 CAPTULO 2. PROBLEMAS DE FRONTERA EN ELECTROSTTICAEntonces, debemos tenera = n n=na, n = 0, 1, 2, . . . (2.114)La forma deXque satisface las condiciones de frontera enx = 0 yx = a esX(x) = sin_nax_. (2.115)Similarmente, evaluando las condiciones de frontera paraY , tenemos = 0 en y= 0 Y (0) = 0. Y sin(y). (2.116) = 0 en y= b Y (b) = 0. Y sin(b) = 0. (2.117)m=mb, m = 0, 1, 2, . . . (2.118)Y (y) = sin_mby_. (2.119)Condicin de frontera enz= 0, = 0 enz= 0 Z(0) = 0. Sugiere la forma: Z sinh(z). (2.120)Esto conduce a2= 2+2 nm= _n2a2+m2b2(2.121)Z(z) = sinh (nmz) . (2.122)Entonces, la solucin parcial para el potencial tiene la formanm= sin_nax_sin_mby_sinh (nmz) . (2.123)La solucin general se obtiene como la combinacin lineal de todas las solucionesparciales; es decir, sumando sobre todos los ndicesn ym,(x, y, z) =

n=1

m=1anm sinh (nmz)sin_nax_sin_mby_, (2.124)2.5. ECUACIN DE LAPLACE EN COORDENADAS CARTESIANAS. 85dondeanmsoncoecientesquesepuedenobtenerevaluandolacondicindefrontera faltante enz= c,(x, y, c) = V (x, y) =

n=1

m=1anm sinh (nmc)sin_nax_sin_mby_.(2.125)Losfactoresanm sinh (nmc)puedeninterpretarsecomocoecientesdelaex-pansindeV (x, y)enunadobleseriedeFourierenx (0, a)yy (0, b).Luego,anm sinh (nmc) =2a2b_a0dx_b0dy V (x, y)sin_nax_sin_mby_(2.126)anm=4ab sinh(nmc)_a0dx_b0dy V (x, y)sin_nax_sin_mby_. (2.127)Luego, la solucin general(x, y, z), dada en la Ec. (2.124), est determinada.Note que esta solucin es equivalente a la expansion en series de Fourier de laintegral de supercie en la solucin de la ecuacin de Laplace, Ec. (2.29), concondiciones tipo Dirichlet en la caja rectangular.2. Ecuacin de Laplace en dos dimensiones.En ciertos problemas, el potencial escalar elctrico no depende de alguna coor-denada espacial. En esos casos, la ecuacin de Laplace en dos dimensiones, encoordenadas cartesianas, es2x2+2y2= 0. (2.128)El potencial debetener laforma(x, y) =X(x)Y (y), independientede z.SustituyendoenlaecuacindeLaplacebidimensional ydividiendoporXY ,obtenemos1Xd2Xdx2+1Yd2Ydy2= 0. (2.129)Cada trmino debe ser constante por separado, es decir,X

+2X= 0 X= Asin(x) Bcos(x) (2.130)Y

2Y= 0 Y= AeyBey. (2.131)86 CAPTULO 2. PROBLEMAS DE FRONTERA EN ELECTROSTTICAComo ejemplo, calculemos el potencial dentro de un canal rectangular de anchoaenladireccinx, queseextiendeinnitamenteenladireccinzyenladirecciny. El potencial esceroenlasparedeslateralesyel pisoinferioreny= 0 est sujeto a un potencial constanteV .Figura 2.12:Problema de potencial en dos dimensiones en coordenadas catersianas.Las condiciones de frontera paraX(x) son = 0 en x = 0 X(0) = 0 X sin(x). (2.132) = 0 en x = a X(a) = 0 X sin(a) = 0. (2.133) n=na, n = 0, 1, 2, . . . (2.134)La condicin de frontera paraY (y) eny= esY () = 0 Y ey. (2.135)Luego, tenemos la solucin parcialn= enysin_nax_. (2.136)La solucin general es(x, y) =

n=1anenysin_nax_. (2.137)2.6. ECUACIN DE LAPLACE EN COORDENADAS POLARES. 87Los coecientesan se obtienen evaluando la condicin de frontera eny= 0,(x, 0) = V=

n=1ansin_nax_, (2.138)lo que representa la expansin en serie de Fourier de la funcin constanteVenel intervalox (0, a). Luego,an=2a_a0V sin_nax_dx=2Va_an_cos_nax_0a=2Vn[1 cos(n)]=_0, n par4Vn, n impar.(2.139)Entonces, la solucin general se puede expresar como(x, y) =4V

n impar1n enaysin_nax_. (2.140)2.6. Ecuacin de Laplace en coordenadas polares.La ecuacin de Laplace, 2=0, para(r, ) en coordenadas polares tiene laforma1rr_rr_+1r222= 0 . (2.141)Buscamos una solucin de la Ec. (2.141) por el mtodo de separacin de variables,tal que(r, ) = R(r)(). (2.142)La funcin() debe ser peridica para [0, 2] con periodo2; es decir,(0) =(2). Sustitucin de (2.142) en la Ec. (2.141) darddr_rdRdr_+Rr2d2d2= 0. (2.143)88 CAPTULO 2. PROBLEMAS DE FRONTERA EN ELECTROSTTICAMultiplicamos la Ec. (2.143) porr2Ry obtenemosrRddr(rR

) +

= 0. (2.144)Cada trmino por separado en la Ec. (2.144) debe ser constante; es decirrRddr_rR

_= n2(2.145)

= n2. (2.146)Si n ,=0, buscamos una solucin de la ecuacin paraR en la formaR=r, locualconducea= n.Luego, R=rnyR=rnsonsoluciones.Porotrolado,la ecuacin para corresponde a un oscilador armnico. Luego, las soluciones paran ,= 0 se pueden expresar comoR(r) = arn+brn(2.147)() = Acos(n) +Bsin(n). (2.148)La condicin de periodicidad para debe cumplirse A, B. En particular, debemostenersin(n2) = 0. Esta condicin implica quen ,= 0 debe ser un nmero entero.Sin = 0, la ecuacin paraR tiene la formarR

= cte, (2.149)y su solucin esR = c1 ln r +c2, (2.150)dondec1, c2 son constantes, mientras que la ecuacin para se convierte en

= 0, (2.151)cuya solucin es = A0 +B0. (2.152)Para que sea peridica en, debemos tenerB0= 0. Juntando los resultados paran ,=0 yn=0, podemos expresar la solucin general de la ecuacin de Laplace encoordenadas polares como(r, ) = a0 +b0 ln r +

n=1_anrn+bnrn_[An cos(n) +Bn sin(n)] . (2.153)2.6. ECUACIN DE LAPLACE EN COORDENADAS POLARES. 89Si el origenr = 0 se incluye en el volumen donde no hay carga, todos los coecientesbn son iguales a cero, y solamente las potencias positivas de r aparecen en la solucin.Si se excluye el origen, los coecientes bn pueden ser diferentes de cero. En particular,el trminoln r representa el potencial de una lnea de carga ubicada enr = 0.Ejemplo.1. Encontrarelpotencialdentrodeuntuboinnitamentelargo,deradioa,se-parado en dos mitades longitudinales mantenidas a potenciales constantesVyV , respectivamente, y separadas por una brecha muy estrecha.Figura 2.13:Problema de potencial en coordenadas polares.Puesto que el origen se incluye en la reginr a. Por lo tanto, la solucin externa debe tener la formaex(r, ) =

l=0Blr(l+1)Pl (cos ) , r > a. (2.186)Las soluciones interna y externa deben coincidir enr = a:

l=0AlalPl (cos ) =

l=0Bla(l+1)Pl (cos ) = V () , (2.187)lo que implicaAlal= Bla(l+1)Bl= Ala2l+1. (2.188)Enr = a, la solucin interna dain(a, ) = V() =

l=0AlalPl (cos ) . (2.189)La Ec. (2.189) representa la expansin de la funcinV () en una serie de poli-nomios de Legendre para [0, ]. Luego,Al=(2l + 1)2al_0V ()Pl (cos ) sin d. (2.190)Entonces el potencial puede escribirse(r, ) =___

l=0AlrlPl (cos ) , r < a.

l=0Ala2l+1rl+1Pl (cos ) , r > a.(2.191)donde el coecienteAl determinado por la Ec. (2.190).2.8. PROBLEMAS DE FRONTERA CON SIMETRA AZIMUTAL. 972. Encontrar el potencial dentro de una esfera de radioa, la cual est dividida endos hemisferios sujetos a potenciales constantesVy V , respectivamente.Figura 2.16:Esfera dividida en hemisferios sujetos a potencialesVy V .En este caso,V () =___V, 0 0 (2.202)Bl= Ala2l+1, l > 0. (2.203)PuestoqueEz= z=E, lacondicinparael potencial enr debetener la forma= Ez, dondez=r cos . Es decir, la condicin de fronteraenr es(r , ) = Er cos , (2.204)lo cual signica que solamente los trminosAlrlPl(cos ) sobreviven en la so-lucin Ec. (2.201) para poder satisfacer esta condicin parar . De estostrminos, slo el trminol=1, que tiene la formaP1(cos )=cos , satisfacela condicin de parar . Los dems trminos debe ser cero; es decir,Al= 0, Bl= 0, si l ,= 1. (2.205)Manteniendo slo el trminol = 1 parar en la Ec. (2.201), tenemos(r , ) = A1r cos = Er cos , (2.206)lo que implica queA1= E, (2.207)B1= A1a3= Ea3(usando Ec. (2.203). (2.208)Entonces, la solucin Ec. (2.201) para r > a, con el nico trmino sobrevivientel = 1, queda(r, ) = Er cos +Ea3r2cos . (2.209)Esta solucin satisface ambas condiciones de frontera enr = a y enr .100 CAPTULO 2. PROBLEMAS DE FRONTERA EN ELECTROSTTICAElprimertrminocorrespondealpotencialasociadoalcampoexterno,sinohubiera esfera presente, y el segundo trmino corresponde al potencial producidopor la carga inducida sobre la esfera conductora.LadensidaddecargainducidasobrelaesferasepuedecalcularmediantelarelacinEn= 4 para una supercie conductora, donde n =r; esto da() =14 Err=a= 14rr=a=3E4cos . (2.210)Note que() > 0, 0 r, una expansin similar se puede obtener intercambiandor r

.En general, si es el ngulo entrer

yr, podemos escribir la expansin1[r r

[=1r>

l=0_r_lPl(cos ), (2.220)donder< es el menor entrer yr

, yr> es el mayor entrer yr

.5. Expansin de la funcin de Green en polinomios de Legendre para el problemade una carga frente a una esfera conductora conectada a tierra.Vimos que la funcin de Green, Ec. (2.78), para este problema esG_r, r

_=1[r r

[ ar

r a2r

2r

. (2.221)donde aesel radiodelaesferay, tantorcomor

, sonmayoresque a. Siescogemos r

en la direccin z, entonces es el ngulo entre r

y r, y el sistemaposee simetra azimutal con respecto al ejez.Vimos que el primer trmino en la funcin de Green se puede expresar como1[r r

[=1r>

l=0_r_lPl(cos ). (2.222)2.8. PROBLEMAS DE FRONTERA CON SIMETRA AZIMUTAL. 103Consideremos la expansin del segundo trmino cuandor

yr son paralelos,ar

_r _ar

_2r

_1=arr

_1 a2rr

_1=arr

l=0_a2rr

_l. (2.223)Luego, podemos escribir el segundo trmino de la funcin de Green comoar

r a2r

2r

=ar>r

r

r

l=0_r_lPl(cos ) ar>r

r

_rl_Pl(cos ). (2.225)6. Calcular el potencial producido en todo el espacio por una cargaquniforme-mente distribuida sobre un aro de radioa.Figura 2.19:Potencial producido por un aro cargado.Tomemos el eje z perpendicular al plano del aro y que pasa por su centro. Estesistema posee simetra azimutal. El diferencial de potencial producido sobre el104 CAPTULO 2. PROBLEMAS DE FRONTERA EN ELECTROSTTICAejez por un elemento del aro de longitudds esd(z) =q2ads(a2+z2)1/2. (2.226)El potencial total para una distanciaz sobre el eje es(z) =q(a2+z2)1/2, (2.227)el cual, en coordenadas esfricas con simetra azimutal, corresponde a la condi-cin de frontera para = 0,(r, 0) =q(a2+r2)1/2. (2.228)La solucin para el potencial en todo el espacio tiene la forma(r, ) =

l=0_Alrl+Blr(l+1)_Pl(cos ). (2.229)Para = 0 debemos tener,q(a2+r2)1/2=

l=0_Alrl+Blr(l+1)_. (2.230)Paradeterminarloscoecientes AlyBl, debemosexpandirlafuncinenellado izquierdo de la Ec. (2.230) en serie de potencias de r, y comparar esa seriecon la expresin en el lado derecho. En tal sentido, consideremos la siguienteexpansin vlida parax < 1,(1 x)1/2= 1 12x +1324x2135246x3+13572468x4 (2.231)Supongamosr > a, y denamosx a2/r2< 1. Entonces, la funcin en el ladoizquierdo de la Ec. (2.230) puede expandirse en serie comoq(a2+r2)1/2=qr_1 +a2r2_1/2=qr_1 12_ar_2+1324_ar_4135246_ar_6+13572468_ar_8+_=qr

l par(1)l/2(l 1)!!l!!_ar_l, l = 0, 2, 4, . . . (2.232)2.9. ARMNICOS ESFRICOS. 105Comparando la Ec. (2.232) con la Ec. (2.230) para = 0, tenemosq

l par(1)l/2alrl+1(l 1)!!l!!=

l=0_Alrl+Blr(l+1)_, (2.233)lo que implica queAl= 0 (2.234)Bl= q (1)l/2al(l 1)!!l!!, l = 0, 2, 4, . . . (2.235)Luego, el potencial parar > a es(r, ) = q

l par(1)l/2alrl+1(l 1)!!l!!Pl(cos ) . (2.236)Similarmente, intercambiandor a, obtenemos parar < a,(r, ) = q

l par(1)l/2rlal+1(l 1)!!l!!Pl(cos ). (2.237)Ambos resultados pueden expresarse en la siguiente forma(r, ) = q

l par(1)l/2rl(l 1)!!l!!Pl(cos ) , (2.238)donder< es el menor entrer ya, yr> es el mayor entrer ya.2.9. Armnicos esfricos.Hemos visto que la solucin de la ecuacin de Laplace en coordenadas esfricaspuede encontrarse en la forma(r, , ) =U(r)rY (, ). (2.239)106 CAPTULO 2. PROBLEMAS DE FRONTERA EN ELECTROSTTICAEl mtodo de separacin de variables, empleando la solucin Ec. (2.239), conducea la Ec. (2.168) para la funcinY (, ), esto es,1sin _sin Y_+l (l + 1) Y+1sin22Y2= 0 . (2.240)EmpleandoY (, )=P() Q(), obtuvimosQ()=eim, dondem es constante;mientras que la funcinP() satisface la Ec. (2.172); es decir,1sin dd_sin dPd_+_l (l + 1) m2sin2_P= 0. (2.241)Enparticular, si m=0, el potencial nodependedel ngulo, yel sistemaposee simetra azimutal. En ese caso, vimos que la solucin para el potencial puedeexpresarse mediante una expansin en serie de los polinomios de Legendre,(r, ) =

l=0_Alrl+Blr(l+1)_Pl(cos ). (2.242)La Ec. (2.241), con el cambio de variablesx=cos , se puede expresar como laecuacin generalizada de Legendre,ddx__1 x2_dP(x)dx_+_l (l + 1) m21 x2_P(x) = 0. (2.243)Las soluciones de la Ec. (2.243) param ,= 0 corresponden a los polinomios asociadosde Legendre, denidos por la formula generalizada de Rodrigues,Pml(x) =(1)m2ll!(1 x2)m/2dl+mdxl+m_x21_l, (2.244)conl = 0, 1, 2, . . . (2.245)m = l, (l 1), . . . , 0, . . . , (l + 1), l . (2.246)Entonces, la parte angular de la solucin Ec. (2.239) de la ecuacin de Laplace tienelaformaY (, ) =P()Q() =Pml(cos ) eim. Ladependenciaangularpuedeexpresarse mediante las funciones denominadas armnicos esfricos, denidas comoYlm(, ) =(2l + 1)4(l m)!(l +m)!Pml(cos ) eim. (2.247)2.9. ARMNICOS ESFRICOS. 107La forma explcita de los primeros armnicos esfricos es la siguiente,l = 0 Y00=14, (2.248)l = 1___Y11= _34sin eiY10=_34cos Y1,1=_34sin ei.(2.249)Algunas propiedades de los armnicos esfricos soni) Conjugacin:Yl,m(, ) = (1)mYlm(, ). (2.250)ii) Ortonormalidad:_20d_0sin d Yl

m (, ) Ylm(, ) = l

lm

m. (2.251)iii) Completitud:

l=0l

m=lYlm(

,

) Ylm(, ) = (

) (cos cos

) . (2.252)iv) Teorema de la adicin:Si es el ngulo entre los vectores r

= (r

,

,

) y r = (r, , ), en coordenadasesfricas, entoncesPl(cos ) =4(2l + 1)l

m=lYlm(

,

) Ylm(, ) . (2.253)En particular, si= 0, tenemos

= y

= ; entoncesl

m=l[Ylm(, )[2=(2l + 1)4. (2.254)108 CAPTULO 2. PROBLEMAS DE FRONTERA EN ELECTROSTTICAFigura 2.20:Teorema de la adicin para armnicos esfricos.Los armnicos esfricos forman una base completa para expresar cualquier funcinf(, ), denida en [0, ], [0, 2]:f(, ) =

l=0l

m=lAlmYlm(, ), (2.255)donde los coecientes est determinados porAlm=_20d_0sin d Ylm(, ) f(, ). (2.256)La solucin general Ec. (2.239) de la ecuacin de Laplace en coordenadas esfricaspuede escribirse en trminos de potencias der y de los armnicos esfricos como(r, , ) =

l=0l

m=l_Almrl+Blmr(l+1)_Ylm(, ). (2.257)LoscoecientesAlmyBlmsedeterminanmediantelascondicionesdefronteradelproblema particular. Note que para m = 0, la solucin general Ec. (2.257) cor