Grafi

ASD - Grafi 2

Definizioni/1• Rappresentazione di relazioni binarie

• G=(V,E), |V|=n, |E|=m• V: insieme di Vertici

• E={(vi, vj): vi, vj ε V} : insieme di Archi

• (vi, vj)=(vj, vi): Grafo semplice

• (vi, vj) <> (vj, vi): Grafo diretto

ASD - Grafi 3

Esempi

• Relazioni di parentela – Alberi genealogici

• Relazioni tra classi nei linguaggi OO

• Grafo del Web• Assetti societari• Reti di trasporto• ................

ASD - Grafi 4

Definizioni/2

• Multigrafo: E è un multinsieme• Pseudografo: E contiene anche coppie (vi, vi) cappi

• Circuito in un grafo: v1,v2,…..,vk:(vi, vi+1) ε E, v1= vk

• Ciclo in un grafo: circuito con v1 v2 ….. vk

• Grafo pesato: valore reale wk associato ad ogni arco ek

ASD - Grafi 5

Definizioni/3• Kn: Grafo semplice in cui sono presenti tutti gli archi.

• Numero di archi in Kn:• G’=(V’,E’) sottografo di G=(V,E) se e solo seV’ V ed E’ E.

• grado(v): #di archi incidenti in v

1

1 2

)1(n

i

nnin

ASD - Grafi 6

Esempi di grafi: (a-d) grafi semplici; (c) un grafo completo K4; (e) un multigrafo; (f) uno pseudografo; (g) un circuito in un grafo orientato; (h) un ciclo nel grafo orientato

ASD - Grafi 7

Rappresentazioni• Lista di adiacenza: ogni vertice è associato con la lista dei vertici adiacenti.

• Lista di adiacenza può essere una tabella o una lista concatenata

• Matrice di adiacenza: aih=1 se (vi, vh) E, aih=0

altrimenti• Matrice di Incidenza:

aih=1 se vi eh, aih=0 altrimenti

ASD - Grafi 8

Rappresentazioni di grafi. Un grafo (a) rappresentato con una lista di adiacenze (b-c),

ASD - Grafi 9

Rappresentazioni di grafi. Un grafo (a) rappresentato come una matrice di adiacenze (d) e come una matrice d’incidenza (e)

ASD - Grafi 10

Vantaggi e Svantaggi• Lista di adiacenza: O(m)

Vantaggi: permette di scorrere i nodi adiacenti a v in O(grado(v))Svantaggi: inserimenti e cancellazioni su liste concatenate in O(grado(v))

• Matrice di adiacenza: O(n2)Vantaggi: Inserimenti e cancellazioni in O(1)Svantaggi: permette di scorrere i nodi adiacenti a v in O(n)

• D.: matrice di incidenza ?

ASD - Grafi 11

Visita di un Grafo• Obiettivo: visitare una sola

volta tutti i nodi del grafo. – Es.: visitare un porzione del

grafo del Web• Difficoltà:

– Presenza di cicli– Presenza di nodi isolati

ASD - Grafi 12

Visita in profondità - DFS• La visita procede da tutti gli archi uscenti da un nodo.

• Se tutti i nodi adiacenti sono stati visitati allora si torna al nodo “predecessore”.

• Una volta tornati al nodo di partenza si prosegue da un nodo qualsiasi non visitato.

• I nodi vengono rinumerati secondo l’ordine di visita.

ASD - Grafi 13

Esempio di applicazione dell’algoritmo depthFirstSearch ad un grafo

ASD - Grafi 14

L’algoritmo depthFirstSearch applicato ad un grafo orientato

ASD - Grafi 15

Implementazione della DFS/1• I nodi sono inizialmente marcati con 0, i=0.

• Assumi la visita sia arrivata ad un nodo v.

• La visita prosegue da un nodo u adiacente a v se marcato 0.

• Se nessun nodo adiacente marcato 0 è disponibile torna al nodo da cui si è raggiunto v oppure termina se v è il nodo iniziale.

• Ogni volta che un nodo mai visitato è raggiunto, questo viene marcato con i++

ASD - Grafi 16

Implementazione della DFS/2depthFirstSearch() {for (tutti i vertici v)

num(v)=fin(v)=0; / Vedi slide seg. */edges = null;i=j=1; /* Servono per aggiornare num(v) e fin(v) */while (<esiste un vertice v tale che num(v) == 0>)

DFS(v);<visualizza edges>

}

ASD - Grafi 17

Implementazione della DFS/3DFS(v) {num(v)=i++; /* num(v): prima volta che si visita v */for (<tutti i vertici u adiacenti a v>)

if (num(u) == 0) {<inserisci lato (v,u) in

edges>DFS(u);

}fin(v)=j++; /* fin(v): ultima volta che si visita v */

}

ASD - Grafi 18

Implementazione della DFS/4

• L’implementazione iterativa usa una pila per memorizzare gli archi uscenti da un nodo visitato.

• Ad ogni passo si estrae l’arco (v,u) sulla cima della pila.

• La visita prosegue dal nodo adiacente u se marcato 0.

ASD - Grafi 19

Proprietà della DFS• Gli archi che portano alla scoperta di nuovi nodi costituiscono un albero che copre l’intero grafo

• Questa proprietà dipende dal fatto che un arco viene seguito solo se il nodo adiacente non è mai stato raggiunto.

• Gli archi seguiti connettono un nodo con marca inferiore ad un nodo con marca superiore

• Gli archi che non vengono seguiti al contrario connettono nodi con marca superiore a nodi con marca inferiore

ASD - Grafi 20

Complessità della DFS

• O(n) per inizializzare marcatura dei nodi.

• Test degli archi uscenti da un nodo v:– O(grado(v)) nella rappresentazione con lista di adiacenza.

– O(n) nella rappresentazione con matrice di adiacenza.

• Ogni controllato al più due volte, una volta per estremo

• Complessivamente O(n + m)

ASD - Grafi 21

Visita in ampiezza - BFS

• uso di una coda per memorizzare tutti gli archi incidenti nel nodo visitato

• I nodi vengono marcati.• La visita quindi procede dall’arco (v,u) in testa alla coda.

ASD - Grafi 22

Implementazione della BFSbreadthFirstSearch() {

for (tutti i vertici v)num(v)=0;

edges= null;i=1;while (<esiste un vertice v tale che num(v) == 0>) {

num(v) = i++;enqueue(v);while (<la coda non è vuota>) {

v = dequeue();for (<tutti i vertici u adiacenti a v>)

if num(u) = 0 {num(u) = i++;enqueue(u); <inserisci arco (v,u) in edges>

}}

}<visualizza edges>

}

ASD - Grafi 23

Un esempio di applicazione dell’algoritmo breadthFirstSearch ad un grafo

ASD - Grafi 24

Applicazione dell’algoritmo breadthFirstSearch ad un grafo orientato

ASD - Grafi 25

Implementazione di Grafi/Vertici

class Vertex {String vertexName;long vertexWeight;public Vertex(String name, long weight) {

vertexName = name;vertexWeight = weight;

}public Vertex() {

this(null, (long) 0);}

}

ASD - Grafi 26

Esempio: generico elemento del vettore dei

vertici/* Generico elemento del vettore dei vertici. Contiene

un vertice e la lista di adiacenza del vertice */class adListElement {

Vertex vertex;LinkedList adList;public adListElement(Vertex v, LinkedList l) {

vertex = v;adList = l;

}public adListElement() {

this(null, null);}

}

ASD - Grafi 27

Esempio: classe Grafo

public class Grafo {protected static final int NO_NODES = 10;protected adListElement vertexArray[] = new adListElement[NO_NODES];/* Gestisce grafi con no. nodi costante. Se si vuole un grafo il cuino. di nodi sia variabile occorre usare una lista invece di un array *//* Continua alla prossima slide *//* Nota: questa è una classe “minima” */

ASD - Grafi 28

Esempio: classe Grafo/2

public Grafo(String inputFile) {/* Costruisce un grafo a partire

da una sua rappresentazione sumemoria secondaria del tipo:<String nomeNodo> <long peso>

<String primo vertice adiacente>.....\n*/

}/* Continua */

ASD - Grafi 29

Esempio: classe Grafo/3public void dijkstra(String sorg, String dest) {

/* Trova percorso minimo tra i vertici aventi nome

sorg e dest del grafo usando l'algoritmo di Dijkstra.

Stampa i nomi dei nodi del percorso in successione

*/}/* Continua */

ASD - Grafi 30

Esempio: classe Grafo/4

public void dfs(String start) {/* Visita in profondità il grafo

partendo dal nodo di nome start. Stampa i nomi dei nodi

nell'ordine di attraversamento */

}} /* Fine della classe */

ASD - Grafi 31

Connettività in Grafi diretti• u,v sono connessi in un grafo orientato se esiste un cammino diretto che collega u a v

• Un grafo diretto è fortemente connesso se per ogni coppia u,v, esiste un cammino da u a v e da v ad u

• Un grafo è debolmente connesso se per ogni coppia u,v, esiste un cammino da u a v (o viceversa)

ASD - Grafi 32

Il problema dei Cammini Minini/2• Determinare il cammino di lunghezza minima – dal nodo s al nodo t– dal nodo s a tutti gli altri nodi V (SSSP)

– tra tutte le coppie di nodi del grafo (APSP)

• Numerose applicazioni: reti stradali, reti di comunicazione, scheduling di progetti, progetto di circuiti,….

ASD - Grafi 33

Il Problema dei Cammini Minimi

• G=(V,E) è un grafo pesato sugli archi

• d(u,v), (u,v) E: peso sull’arco (u,v)

• Cammino dal nodo s al nodo t:v1, v2,….., vk: (vi, vi+1) E, v1= s, vk=t

• Lunghezza del cammino:• Trovare un cammino di lunghezza minima

• Non contiene cicli per distanze positive

),( 1

1

1

i

k

ii vvd

ASD - Grafi 34

Single Source Shortest Paths/1

• Determinare il cammino minimo da un nodo s a tutti i nodi V del grafo

• Ogni sottocammino di un cammino minimo è esso stesso un cammino minimo.

• Ex: s,…,i,…j,…,v: cammino minimo da s a v– i,…,j è un cammino minimo da i a j.

Come si dimostra?

ASD - Grafi 35

Single Source Shortest Paths/2

• La collezione dei cammini minimi da s a tutti i nodi V forma un albero. Come si dimostra?

• Algoritmi per SSSP mantengono ad ogni istante delle etichette sui nodi.

• Etichette rappresentano delle approssimazioni delle distanze dalla sorgente.

ASD - Grafi 36

Dijkstra/1

1. Due insiemi di nodi Q ed R. 2. Inizialmente Q= {}, R={1,..,n}3. 4. Ad ogni passo estrai il nodo v in R con

min dist(v) ed inserisci v in Q5. Per ogni u adiacente a v aggiorna la

distanza da s ad u attraverso nodi in Q

0)(,)(,, sdistvdistsvRv

vpred(u)

uvdvdistudist

uvdvdistudistif

),()()(

),()()( Nota: dist(v) indicala distanza di v dalla sorgente s

ASD - Grafi 37

Un’esecuzione diDijkstraAlgorithm

ASD - Grafi 38

Dijkstra/2DijkstraAlg(grafo_semplice_pesato, vertice source) {

for (<tutti i vertici v >)dist(v)= ;

dist(source)=0;R = <tutti i vertici>; Q = Ø;while (R!=Ø) {

v = <vertice in R con minimo dist(v)>R = R – {v}; Q = Q U {v};for (<tutti i vertici u in R adiacenti a v>)

if (dist(u) > dist(v) + d(v,u)) {dist(u) = dist(v) + d(v,u);pred(u) = v;

}}

}

ASD - Grafi 39

Dijkstra/3• Ad ogni passo si determina la distanza minima di un nodo v in R. Il nodo viene inserito in Q.

• Dijkstra termina in n passi. • Ad ogni passo occorre determinare il nodo v in R con minimo valore dist(v), O(log n) usando un heap per la coda di priorità.

• Occorre poi eseguire il rilassamento per ogni adiacente u di v, O(grado(u)) vertici, ed eventualmente aggiornare la priorità. Complessivamente O(m log n)

• Complessità di Dikstra O((n + m )log n).

ASD - Grafi 40

Dijkstra/4• Correttezza: Dimostrare che dist(v) è la distanza minima d(v) da v ad s quando v è incluso in Q.

• Per assurdo, considera il primo nodo inserito in Q per cui d(v) < dist(v)

• Esiste un cammino alternativo più breve che contiene almeno un nodo in R.

• Sia v’ l’ultimo nodo in R sul cammino da v a s.

• v’ è connesso ad s con un cammino formato di soli nodi in Q con dist(v’) < dist(v).

• Una contraddizione poiché v’ sarebbe stato selezionato in luogo di v.

ASD - Grafi 41

Dijkstra/5• La collezione dei pred(u) forma l’albero dei cammini minimi con sorgente s.

• Si può risolvere il problema APSP eseguento n volte Dijkstra a partire da n sorgenti.

• Complessità:O(nlog n(m +n)).

ASD - Grafi 42

Animazione disponibile a:

http://www.cs.uwa.edu.au/undergraduate/courses/230.300/readings/graphapplet/graph.html