Núcleo AtómicoPropriedades fundamentais

Descoberta do núcleo atómico

• dispersão de Rutherford - dispersão de partículas α por ouro partículas ocasionalmente retro-dispersadas

partículas α rápidas, massivas fi energéticas probabilidade de retro-dispersão por múltiplos pequenos

1

probabilidade de retro-dispersão por múltiplos pequenos centros difusores muito pequena

• interpretação de Rutherford – partículas α dispersadas por um centro difusor

muito pequeno comparado com a dimensão do átomo contendo a grande parte da massa do átomo com grande carga eléctrica

fi descoberta do núcleo atómico

Partículas α da dispersão de Rutherford

• feixe de partículas com energia cinética:

•

MeV5.5k ≈E

≈

==

MeV5.5

MeV3730

k

2

rep

E

cmE α

( )222cmE =

2

•

•

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )repkk

2

2

rep

22222

krep

222

rep

2EEEpc

EpccmpcE

EEE

cmE

+=⇒

+=+=

+=

=

α

α

( )fm6

2 repkk

≈+

==EEE

hc

pc

hcλ

comprimento de onda associado à partícula α

da ordem de grandeza da dimensão nuclear

Secção eficaz da dispersão de Rutherford• pressupostos

interacção puramente Coulombiana

partículas projéctil e alvo sem estrutura interna

dispersão elástica

desprezada a dinâmica do alvo

• secção eficaz não relativistade dispersão elástica é

∫⋅=

=Ω

)( )(

)( '

'

4

1

3

22

42lab

rVrdqI

qIvv

p

d

d

rqie rr

r

hrr

αα

α

π

σ

3

aproximação de Born

elástica dispersão ←2

αm

α

αα

α

αα

partícula da final linear momento -

partícula da final velocidade - partícula da incial velocidade -

'

' ;

p

vv

otransferid momento - /) hrrr

αα '( ppq −=

Secção eficaz da dispersão de Rutherford

∫∫∫

∫∫

=

⇒

Ω∑=

∑== ⋅

drrrVqr

qrdrYdrrrVqrjqY

l

l i

rYqY

l

qrjl

irVrdrVrdqI

l

l

l

ll

ll

rqie

2

00

2

33

)()sin(

4

4

)ˆ()()()ˆ( 4

)ˆ()ˆ()( 4)( )( )(

*

*

π

δδπλ

π

λπ

λ

λλ

λλ

43421

r rr

potencial de Coulomb

4

aZZe

rVrV

re

απε

γ

γ

0

2

0

4

0lim)(

−

→= ⇒

+→=

220

1

0lim)(

γγ qVqI

rfi

2

20

2

2lab

14

2

=

Ω qV

m

d

dπ

π

σ α

h

partícula α

alvo

Secção eficaz da dispersão de Rutherford

α

ααααααα θθ

πε

α

m

pE

pppppq

ppq

c

e

2

2/sin4cos'2''

4

2

kin

2

22

2

22

2

0

2

=

=−+

=⇒−

=

=

hhh

rrr

h

fina estrutura de constante -

pα = p’α - dispersão elástica

5

42

kin

222

lab )2/sin(2

1

=

Ω θ

σαα

E

cZZ

d

da

h

• quanto < é Ekin mais tempo sofre a acção do potencial > é a secção eficaz

• distribuição angular: assinatura do potencial de Coulomb de alcance ¶

• aproximação drástica : partículas sem estrutura

Números A, Z e N

• Z – nº atómico = nº de protões; sendo = ao de electrões do seu átomo define o elemento químico

• N – o nº de neutrões• A =Z +N – o nº de massa = nº total de nucleões

• núcleo representado por onde X é o símbolo químico do elemento correspondente.

Ex: - ferro com 26 protões, 30 neutrões e 56 nucleões

XA

Z

Fe56

6

Ex: - ferro com 26 protões, 30 neutrões e 56 nucleões

• núcleos com o mesmo A chamam-se isóbaros• núcleos com o mesmo Z chamam-se isótopos• núcleos com o mesmo N chamam-se isótonos

• ambundância natural dos isótopos depende da sua estabilidadeEx:

Fe56

26

CCCC 14

6

13

6

12

6

11

6 ,,,

%1.1%98

Núcleo : conjunto compacto de Z protões e N neutrões:

• ligados através da interacção nuclear de curto alcance

fortemente atractiva para distâncias ~ 1 fm

fortemente repulsiva para distâncias < 0.5 fm

• com repulsão coulombiana entre protões

Carga Q=Ze massa do neutrão

),()(),( ZAEm

N

ZAZmZAM np +−+=321

7

Massa e energia de ligação

•

massa do protão

energia de ligação valor próprio de H

>−=

<⇒−+<

0),(),(

0),()(),(

ZAEZAB

ZAEm

N

ZAZmZAM np 321

quanto maior for B(A,Z)/A - mais estável é o núcleo

“Modern Physics”, Serway, Moses & Moyer, 2005

núcleos leves maior

estabilidade para N=Z

núcleos mais pesados

maior estabilidade para N > Z.

Porque:

Gráfico de Segré

8

Z cresce fi repulsão de

Coulomb cresce e são

necessários mais neutrões

para se obter mais atracção

e, assim, estabilidade

Linha de estabilidade

Não se conhecem núcleos estáveis para Z > 83

Picos de estabilidade

60 para MeV7.8/max

≈≈ AAB

UAB238

92para MeV 6.7/ ≈

Energia de ligação por nucleão

9“Nuclear and Particle Physics”, W.S.C. Williams, 1991

B/A cresce com A para núcleos leves

B/A decresce com A para núcleos pesados

Em grande parte da Tabela Periódica

B/A~constante

Núcleos leves • B/A cresce com A fi fusão de 2 núcleos liberta energia

• exemplo:

energia

HeHH 4

2

2

1

2

1 γ

α

+→+

dd

[ ] [ ] [ ] [ ] 0/4/4

final

/422

inicial

/22 2442 >−=−+−−+ ==== AAAnpAnp ABABABmmABmm4444 34444 214444 34444 21

Núcleos pesados

10

Núcleos pesados • B/A decresce com A fi fissão de 1 núcleo liberta energia

• exemplo: nn 1

0

92

36

141

56

235

92

1

0 3KrBaU ++→+

[ ][ ]

[ ][ ] [ ][ ]

[ ] [ ] [ ] 0/235/92/141

final

/92)3692(36/141)56141(563

inicial

/235)92235(92

23592141

92141

235

>−+

=−−++−−++

−−−++

===

==

=

AAA

AnpAnpn

Anpn

ABABAB

ABmmABmmm

ABmmm

4444444444444444 34444444444444444 21

44444444 344444444 21

Modelo da Gota Líquida

• núcleo esférico

• nucleões comportam-se como moléculas numa gota líquida

• força nuclear fortemente atractiva e de curto alcance fi nucleões ocupam uma pequena região do espaço – análoga à força de

Wan-der-Wallsforça nuclear repulsiva a curtíssimas distâncias fi nucleões não colapsam – análoga à força de Wan-der-Walls

11

colapsam – análoga à força de Wan-der-Walls

• densidade nuclear aproximadamente constante e independente de A

• fórmula semi-empírica de massa

),()(

),(2

31

223 ZA

A

ZNa

A

ZaAaAaZAB ACSV δ+

−−−−=

termo de volume

• cada nucleão inteiramente rodeados de outros

• cada nucleão só interage com os 1ºs vizinhos fi ∂ A → saturação da força nuclear

relacionada com o curto alcance da força nuclear explica que a densidade seja independente de A: nº de 1ºs

vizinhos é sempre o mesmo

termo de superfície 3/2Aa−

AaV

12

termo de superfície

• negativo e diminui a energia de ligação• introduz efeitos de superfície – análogo à tensão superficial –

nucleões perto da superfície não estão inteiramente rodeados de outros

• - na gota líquida

3/2AaS−

3/22

3/1

AR

AR

∝

⇓

∝ 3/1nR ∝

nº de moléculas

termo de superfície

termo de Coulomb

• negativo e diminui a energia de ligação• tem em consideração a repulsão de Coulomb entre protões• análogo à energia de Coulomb de uma distribuição esférica de carga

termo de assimetria

• negativo e diminui a energia de ligação• com os restantes factores iguais, a maior estabilidade dá-se para

3/12 / AZaC−

3/12 / RQ∝

AZNaA /)( 2−−

13

• com os restantes factores iguais, a maior estabilidade dá-se para N=Z

termo de emparelhamento

• nucleões do mesmo tipo emparelham-se, estas configurações são mais favoráveis

−

=−

−

ímpar-ímpar núcleos -

ímpar núcleos -

par-par núcleos -

2/1

2/1

0),(

Aa

Aa

ZA

p

p

δ

Nota: este emparelhamento não parece ocorre nos núcleos leves, onde a simetria do isospin é uma simetria importante

Energia de ligação por nucleão

14Nuclear and Particle Physics, W.S.C. Williams1991

Números mágicos

• dados experimentais: picos de estabilidade quando Z ou N são

2, 8, 20, 28, 50, 82, 128→ nºs mágicos

• núcleo mágico - Z ou N mágicos• núcleo duplamente mágico - Z e N mágicos• modelo em camadas permite explicar os nºs mágicos

• evidências experimentais dos nºs mágicos1. picos de estabilidade visíveis em B(A,Z)/A

15

1. picos de estabilidade visíveis em B(A,Z)/A

2. energias de separação de neutrões e protões éexcessivamente alta em núcleos mágicos

3. núcleos com Z(N) mágicos têm mais isótopos(isótonos)4. elementos químicos com Z mágico têm maiores

abundâncias naturais5. núcleos com N mágico têm secções eficazes de absorção de

neutrões muito mais baixas6. energia de excitação do 1º estado excitado de núcleos

duplamente mágicos é muito grande

Spin

• spin do núcleo resulta do acoplamento dos spins intrínsecos do nucleões – s=1/2 – para S total dos momentos angulares orbitais dos nucleões para L total de L com S

ou do acoplamento do momento angular orbital e spin intrínseco de cada nucleão para j de todos os j’s

16

de todos os j’s

• esquema impraticável para muitos nucleões MAS

• núcleos grandes: nucleões do mesmo tipo emparelham-se: com o mesmo momento angular orbital e acoplam os seus j’s para zero fi

núcleos par-par: spin total nulo núcleos ímpar-par: spin total dado pelo j do nucleão desemparelhado núcleos ímpar-ímpar: spin total dado pelo acoplamento dos j’sdos nucleões desemparelhados

Paridade

• núcleo estado ligado de núcleos através da interacção forte• interacção forte conserva a paridade ¤ interacção forte comuta com o operdor paridade fi• estados próprios do Hamiltoniano são estados próprios do operador paridade fi• núcleos têm paridade bem definida

• nucleões fermiões de paridade intrínseca positiva fi

17

• nucleões fermiões de paridade intrínseca positiva fi

• paridade do nucleão = (-1)l,l = momento angular orbitalfi

núcleos par-par: paridade positiva – existem sempre 2 nucleões com o mesmo l

núcleos ímpar-par: paridade dada pela paridade do nucleão desemparelhado

núcleos ímpar-ímpar: paridade dada pelo produto das paridades dos nucleões desemparelhados

Dimensão e forma nucleares

• dispersão de electrões e factores de forma

secção eficaz de dispersão elástica de electrões

( ) )()( ; )( )(

)( 2

)(

3

2

2

2lab

rerVrVrdqI

qIm

d

d

rqie

e

rrrr

r

hrr

φ

πθσ

σ

−==

==

Ω

∫⋅

massa do electrão

carga do electrão

18

∫

( ) ( )∫∫∫ ∇=∇== ⋅⋅⋅ )()( )( )( 23

2

23

2

3rrd

q

errd

q

erVrdqI

rqirqirqi eee rrrr rrrrrr

φφ

0

2 )()(

ε

ρφ

rr

rr

−=∇

Teorema de Gauss

∫⋅−= )( )( 3

2

0

rrdq

eqI

rqie rr rr

ρεEquação de Poisson

densidade da distribuição de cargas que gera o potencial

)()()( 1

)(2

0

23

qFq

ZeqIrrd

ZeqF

rqie rrrr rr

ερ −=⇒= ∫

⋅

Dimensão e forma nucleares

• dispersão de electrões e factores de forma

factor de forma: transformada de Fourier da densidade de carga

carga total da distribuição de cargas

se a distribuição de cargas for pontual

19

1)( ; 4

)()( ; )()(

0

2

=−=−== qFr

ZererVrr

rrrrr

πεφδρ

se a distribuição de cargas for pontual

expressão final para a secção eficaz

→=

=

2/sin/2 )(

2)(

2

2

2

0

22

2 θεπθσ

h

r

h pqqF

q

Zeme

( )

2

pontual4

22

kin

)( )()(/22sin

)( )(

qF

qF

E

cZ rr

hθσθσ

θθσ

α=⇔

=

secção eficaz de Rutherford substituíndo a partícula α pelo electrão

factor de forma – correcção decorrente da estrutura interna do alvo

20

• limite dos baixos momentos transferidos

pontual)()(1)(lim

0θσθσ =⇒=

→qF

q

r estrutura interna do alvo não se manifesta ; sonda não “vê” a estrutura interna do alvo

• à medida que q cresce, a natureza oscilatória do factor de forma

reduz a secção eficaz

Dispersão elástica

Descoberta do núcleoNúcleo pontualpontual

)()( θσθσ =

Nα

eN

MeV 10

θcos

21

Observação da estrutura nuclear

Protão pontual

eN

pontual)()( θσθσ <

angle small

ep

pontual)()( θσθσ =

MeV 100

θcos

θcos

Dispersão elástica

descoberta da estrurura do protão

descoberta dos quarkseq pontual

)()( θσθσ =

grande θ

ep

GeV 1

GeV 10

θcos

pontual)()( θσθσ <

22

quark pontualpontual)()( θσθσ =GeV 100 qq

θcos

θcos

EXEMPLOS DE FACTORES DE FORMA

∫∫ ==⇒= ⋅)( )(

4)(

1)()()( 0

23rqrdrjr

Zerrd

ZeqFrr

rqie ρπ

ρρρrrrr

densidade isotrópica

L 232

322

0 )( 1

6)(

1)()(

6

11)( rrrd

Ze

qrrd

ZeqFqrqrj ∫∫ −=⇒+−= ρρ

23

44 344 2144344212

0

6

1

6

r

ZeZe∫∫

=

L+−= 22

2

61)( r

qqF fi quanto mais extenso é o alvo mais

rápido é o decaimento de F(q2)

fi F(q2) apresenta máximos e mínimos da difracção do feixe incidente pelo alvo

EXEMPLOS DE FACTORES DE FORMA

densidade isotrópica

0

2

222

2

)(6

=

−=

qdq

qFdr

• retirando o factor de forma da secção eficaz para núcleos pesados obteve-se

24

fm94.0 3/12Ar =

• se o núcleo for esférico e homogéneo

fm21.13

5

5

3)(

1

3/4

3/122

2232

3

ARrR

RrrrdZe

rR

Ze

=⇒=⇒

==⇒= ∫ ρπ

ρ

EXEMPLOS DE FACTORES DE FORMA

0.6

0.8

1.0

0

)(

ρ

ρ r

25

)()( θ0 Rrr −= ρρ

2 4 6 8 10

0.2

0.4

r

10-4

0.01

1fm 2=R

fm 5=R fm 10=R

2

)0(

)(

F

qF

FACTORES DE FORMA

26

1 2 3 4

10-10

10-8

10-6

>

≤=

Rr

Rrr

para 0

para )(

0ρρ ∫

∞

=0

0

2 )()()( drrqrjrqF ρ

q

FACTORES DE FORMA

0.6

0.8

1.0

0

)(

ρ

ρ r

R

R – raio a meia alturad– espessura da superfície

fm 0.7

fm 1.4

=

=

d

R

27d

Rr

er

−

+

=

1

)( 0ρρ Função de Saxon Wood

2 4 6 8 10

0.2

0.4

r

∫∞

=0

0

2 )()()( drrqrjrqF ρ

FACTORES DE FORMA

10-5

0.01

2

)0(

)(

F

qF

fm 0.7

fm 1.4

=

=

d

R

28d

Rr

er

−

+

=

1

)( 0ρρ

∫∞

=0

0

2 )()()( drrqrjrqF ρ

q1 2 3 4

10-11

10-8

carga pontual

)(θσ

Dispersão elástica de electrões por

ouro

29

θ

Ekin=135MeV

“Nuclear and Particle Physics”, Burcham and Jobes, 1995

Correcções relativistas

• na densidade de estados

∑='

2

'' 1

)(12

)(

pm

pm

pppp

p

p

p

mpTmpg

EF

rr

hρ

πθσ

( ) '

''

2)'( 2

3

p

p

pp

dE

dpp

VE

hπρ =

30

( )

( ) '

'

2)'(

''

'

''

''

'

'''

2

'

''

'

2

3

2

2

22242

2

p

p

p

p

p

pp

p

p

ppp

pp

p

p

v

pVE

vccm

vm

E

cpcpcm

dp

d

dp

dER

vm

mv

m

p

m

p

dp

d

dp

dENR

hπρ

γ

γ

=

⇔

===+=→

====→

a mesma nos 2 contextos

• nos estados de spin

−==

=

⇒→

∑

∑

+

2sin1)(),()','(

2

1)(

''

2

1),(

2

2

2

'

22

'

2

θ

c

vqImpumpuqI

mpVmpg

mpum

pm

pm

pp

pm

pm

pppp

p

pp

rr

rrr

electrões

spinores de Dirac

depende do quadrado

22

Mott

2

2

NR

4

2

22 )(

)(

2sin1

)(

2sin2

1)( qF

c

v

kinE

cZ

44444444 344444444 21

44444 844444 76

h

θσ

θ

θσ

θθσ α

−

=

31

secção eficaz da dispersão relativista de electrões deprezada a estrutura e dinâmica do alvo

depende do quadrado do 4-momento

Correcções relativas à dinâmica do alvo

22

recuoc/ Mott

Mott )(

)(

)()( qFE

E'

p

p

4434421

θσ

θσθσ =

Se o alvo tiver spin 1/2

32

22

2

222

recuoc/ Mott

4

)(2

tan21)()(

cm

q

qF

a

−=

+=

τ

θτθσθσ

momento dipolar magnético

partícula de massa m, carga q, momento angular orbital e spin tem um momento magnético

Lr

Sr

( )SgLgm

qSLSL

rrhrrr+=+=

2µµµ

em unidades Ñ

MOMENTOS MULTIPOLARES DOS NÚCLEOS

33

interage com o campo magnético atraves de

BHrr

⋅−= µint

m2

-Factor de Landé – depende fortementeda estrutura interna da partícula

- Partícula de Dirac – gs@ 2

• momento dipolar magnético do electrão – partícula de Dirac, sem estrutura interna, q=-e, massa me e spin 1/2

• momento dipolar magnético do protão – partícula com estruturainterna, q=e, massa m e spin 1/2

( )111124 MeVT10788.5JT10274.9

2

00232.2 ;

−−−− ×=×==

=+−=+=

e

B

SSBSL

m

e

gSgL

h

rrrrr

µ

µµµµ

Magnetão de Bohr

34

interna, q=e, massa mp e spin 1/2

( )114127 MeVT10152.3JT10051.5

2

5856.5 ;

−−−− ×=×==

=+−=+=

p

N

SSBSL

m

e

gSgL

h

rrrrr

µ

µµµµ

Magnetão de Bohr

• momento dipolar magnético do neutrão – partícula com estruturainterna, sem carga, massa mn e spin 1/2

8261.3 ; −=−=+= SSBSL gSgrrrr

µµµµ

• momento dipolar magnético do núcleo de spin J e descrito pelo

estado quântico

( )

+==

=

∑=

protões para protões para

de

58565 ;

1

1

0

0

.gg

SgLgA

i

ii

Sii

LNz

JJJJ

J

rrrµµµµ

ψµψµ

JMψ

35

−

neutrões para neutrões para 82613 ;

0 .gg

iS

iL

Teorema de Wigner Eckart fi valor médio só é diferente de zero para J ¥ 1/2

núcleos para-par, J=0, tem µJ=0

momentos multipolares eléctricos

momento multipolar eléctrico de ordem l de um do núcleo de spin J

e descrito pelo estado quânticoJMψ

)ˆ()(

)()(1

)( 3

carga

1

l

l

JJJJZ

i

il

JJ

l

rYrcrQ

rdrQre

rQQ λλ ρψψ

=

== ∫∑=

r

rrr

36

• momento monopolar eléctrico

)ˆ()( il

l

lil rYrcrQ λλ =r

1)(

)(1

)()(1

00

0

3

carga

3

00carga0

=

⇒=== ∫∫

rQ

eQe

Zerdr

erdrQr

eQ JJJJ

r

rrrρρ

carga do núcleo

• momento multipolares eléctricos ímpares são nulos porque a funções de onda têm paridade bem definida

0

)ˆ(

ímparpar

),,,(

),,,()ˆ(),,,(

1

1

2

21

1

1

2121

=

=

=

∑ ∫

∑∫

=

=

+

A

Z

i

il

l

iA

JJ

l

A

Z

i

A

JJ

il

l

ilA

JJ

l

rdrdrYrrrrc

rdrdrrrrYrcrrrQ

rL

r

444 3444 21

rL

rr

rL

rrL

rrrL

rr

λ

λ

ψ

ψψ

37

0=

• momento quadripolar eléctrico

rdrzre

rdrYrre

rYrQ

rzrYrrQ

JJ

l

JJ

JJZ

i

ii

JJ

322

carga

3

0

2

carga

1

20

2

2

22

20

2

20

)3)((1

)ˆ()(5

161

)ˆ(5

16

3)ˆ(5

16)(

∫∫

∑

−==

=

⇒−==

=

rr

r

ρρπ

ψψπ

π

• momento quadripolar eléctrico

JJZ

i

ii

JJrYrQ ψψ

π∑

=

=1

20

2

2 )ˆ(5

16

Teorema de Wigner Eckart fi valor médio só é diferente de zero para J ¥ 1

38

núcleos com J < 1 tem momento quadripolar eléctrico nulo

necessárias componentes na função de onda com L=0,2

para que o momento quadripolar eléctrico seja não nulo

momento quadripolar eléctrico nulo

22222222

2 30 zyxzzyxrQ ==⇔=++=⇔=

momento quadripolar eléctrico positico

22 30 zrQ <⇔> maior presença média do protões junto ao

distribuição de carga média é isotrópica

39

22

2 30 zrQ <⇔> maior presença média do protões junto ao eixo dos ZZ – núcleo assume a forma prolate

momento quadripolar eléctrico positico

22

2 30 zrQ >⇔> maior presença média do protões junto ao plano XY – núcleo assume a forma oblate

eixo de quantificação

eixo de quantificação

0>Q0<Q

Eixo dos ZZ – eixo de quantificação

40

forma prolate forma oblate