Gli angoli

Prof.ssa Laura Salvagno

Definizione di angolo

Consideriamo un piano α e due semirette a e b aventi un’origine in comune B

Si definisce angolo ciascuna delle parti in cui il piano risulta suddiviso dalle due semirette

Elementi di un angolo

Consideriamo l’angolo mostrato in figuraDefiniamo vertice il punto di origine delle due semirettea e b sono i lati dell’angolo

α è l’ampiezza dell’angolo ed è l’unica dimensione che lo caratterizza

Angoli concavi e convessiDalla definizione di piano emerge chiaramente che 2 semirette aventi un origine in comune formano 2 angoli perché il piano viene diviso in due parti

Angoli concavi e convessi

Definiamo convesso l’angolo che non contiene il prolungamento dei sui lati cioè l’angolo a

Definiamo concavo l’angolo che contiene il prolungamento dei sui lati cioè l’angolo b

Angoli consecutiviL’italiano ci dovrebbe venire in soccorso quando parliamo di angoli consecutiviCosa significa consecutivo?Una cosa è consecutiva ad un’altra quando la segue, quando viene dopo, quando abbiamo elementi che si susseguono l'un l'altro

Da ciò si deduce che anche gli angoli debbono susseguirsi; ma come può avvenire questo?

Due angoli sono consecutivi quando hanno un vertice ed un lato in comune

Angoli adiacenti Si dicono adiacenti due angoli

consecutivi e i cui lati non comuni giacciono sulla stessa retta

Angoli opposti al vertice Analizziamo le parole opposti al vertice Opposto è ciò che sta dall’altra parte rispetto a qualche

cosa; questo qualche cosa si comporta come uno specchio Vertice indica che questo qualche cosa è il vertice di un

angolo Da ciò si capisce che due angoli opposti al vertice hanno il

vertice in comune …. Ma ciò non basta

Questi due angoli hanno il vertice in comune ma non sono opposti al vertice perché il vertice, in questo caso, non si comporta come uno specchio

Angoli opposti al vertice

Due angoli si dicono opposti al vertice se hanno il vertice in comune e se i suoi lati si trovano uno sul prolungamento dell’altro

Due angoli opposti al vertice sono congruenti a = b

Bisettrice

AO

A’1Consideriamo l’angolo AOA’1

Tracciamo una semiretta che ha origine nel suo vertice e che lo divide a metà

Tale retta prende il nome di bisettrice

A’

bisettrice

Bisettrice

Definiamo bisettrice la semiretta che partendo dal suo vertice O divide l’angolo in due parti uguali

Confronto di angoli Per confrontare due angoli

basta far coincidere un vertice e il lato omologo e vedere cosa succede

Vediamo cosa dice il vocabolario alla parola omologo: che è simile, che corrisponde a un altro, che ha caratteristiche identiche

Quindi i lati omologhi sono lati che hanno la stessa funzione come si può vedere nelle due immagini qui a fianco in cui i lati omologhi hanno lo stesso colore

Confronto di angoli

Se sposto il lato O’A’ e lo faccio coincidere con OA posso confrontare i due angoli

Col confronto vedo se uno è maggiore, minore od uguale all’altro

Angolo maggiore di un altro Consideriamo le due figure

precedenti

Com’è l’angolo AOB rispetto all’angolo A’O’B’?

Quando li sovrappongo vedo che il lato c cade all’interno dell’angolo AOB

In questo caso avremmo che l’angolo AOB > A’O’C

Angolo maggiore di un altroDiciamo quindi che:

Un angolo è maggiore di un altro quando sovrapponendoli si ha che l’altro lato del secondo angolo cade all’interno del primo

Angolo minore di un altro

Consideriamo i seguenti due angoli AOB e A’O’C

Se li sovrapponiamo possiamo facilmente costatare che il lato c cade all’esterno del lato AOB

In questo caso avremmo che AOB < A’O’C

Angolo minore di un altroDiciamo quindi che:

Un angolo è minore di un altro quando sovrapponendoli si ha che l’altro lato del secondo angolo cade all’esterno del primo

Angoli congruenti

Consideriamo i seguenti due angoli AOB e A’O’C

Se li sovrapponiamo possiamo facilmente costatare che il lato c coincide col lato b

Perciò si ha che AOB = A’O’C

Angoli congruentiDiciamo quindi che:

Un angolo è congruente ( cioè ha la stessa ampiezza) di un altro quando sovrapponendoli si ha che l’altro lato del secondo angolo coincide col suo omologo del primo

Tipi di angoli Possiamo individuare 5 tipi di angoli di cui 3

notevoli (una cosa è notevole quando ha qualcosa di speciale o particolare)

1. Angolo giro2. Angolo piatto3. Angolo retto4. Angolo acuto5. Angolo ottuso

Angolo giro Cosa succede se i due lati dell’angolo

coincidono? L’angolo convesso sarà nullo e quello

concavo avrà ampiezza massima Chiamiamo questo angolo angolo giro

Angolo piatto Definiamo Piatto l’angolo formato da

due semirette che sono una il prolungamento dell’altra cioè che giacciono sulla stessa retta

La sua ampiezza è la metà dell’angolo giro

Angolo Retto Prendiamo un angolo piatto e tracciamo la

sua bisettrice Tale bisettrice divide l’angolo in due parti

uguali

Definiamo retto ciascuno di questi angoli aventi ampiezza pari alla metà dell’angolo piatto

Angolo acuto

Un angolo si dice acuto se la sua ampiezza è minore di quella di un angolo retto

Angolo ottuso Un angolo si dice ottuso se la sua

ampiezza è maggiore di un angolo retto

Somma di angoli Sono dati due angoli AOB e CKD

Facciamone la somma: per fare la somma di due angoli faccio coincidere i lati non omologhi e i due vertici

Lati non omologhi: sono lati che non occupano la stessa posizione (colore diverso)

AOD è la somma fra l’angolo AOB e l’angolo CKD

AO

B

CK

D

AO

B C

K

D

Somma di angoli aOc è la somma fra l’angolo

aOb e l’angolo bOc

aOb + bOc = aOc

γ = α + β

Differenza di angoli Sono dati due angoli AOB e CKD

Facciamone la differenza: per fare la differenza di due angoli faccio coincidere i lati omologhi e i due vertici

Lati omologhi: sono lati che occupano la stessa posizione (stesso colore nella figura)

DOB è la differenza fra l’angolo AOB e l’angolo CKD

AO

B

CK

D

AO

B

CK

D

Differenza di angoli COB è la differenza fra l’angolo AOB e l’angolo AOC

AOB – AOC = COB

γ = α - β

Sottomultipli di angoli Prendiamo l’angolo AOB e dividiamolo in tre parti uguali

Un angolo è sottomultiplo di un altro quando vi è contenuto un numero intero di volte

Com’è l’angolo AOC rispetto all’angolo AOB?

Osserviamo che l’angolo AOC è contenuto 3 volte in AOB; allora come sarà questo angolo?

Se AOC è contenuto 3 volte in AOB si dice che è un suo sottomultiplo

Quando allora diciamo che un angolo è sottomultiplo di un altro?

Multipli di un angolo Quante volte AOB contiene AOC? Tre volte perché ho fatto l’operazione

di dividere l’angolo in tre parti uguali e quindi l’ho definito in partenza

Come sarà AOB rispetto ad AOC? Sarà un suo multiplo Allora quando un angolo è multiplo di

un altro?

Un angolo è multiplo di un altro quando lo contiene un numero intero di volte

Multipli di un angolo

α β

:n

x n

α è multiplo di β perché lo contiene n volte

β è sottomultiplo di α perché è contenuto n volte in α

Angoli complementari Consideriamo due

angoli AOB e CKD e proviamo a sommare questi due angoli

Cosa risulta la somma dei due angoli?

Angoli complementari

La somma risulta

un angolo retto

Due angoli si dicono complementari quando la loro somma è un angolo retto

Angoli supplementari Consideriamo due

angoli AOB e CKD e proviamo a sommare questi due angoli

Cosa risulta la somma dei due angoli?

Angoli supplementari

La somma risulta

un angolo piatto

Due angoli si dicono supplementari quando la loro somma è un angolo piatto

Angoli esplementari Consideriamo due

angoli AOB e CKD e proviamo a sommare questi due angoli

Cosa risulta la somma dei due angoli?

Angoli esplementari

Due angoli si dicono esplementari quando la loro somma è un angolo giro

La somma risultaun angolo giro