Cap. 6 Gli angoliCap. 6 Gli angoli

Definizione di angoloDefinizione di angolo Consideriamo un Consideriamo un

piano piano αα e due e due semirette a e b aventi semirette a e b aventi un’origine in un’origine in comune Ocomune O

Si definisce angolo Si definisce angolo ciascuna delle parti ciascuna delle parti in cui il piano in cui il piano risulta suddiviso risulta suddiviso dalle due semirettedalle due semirette

Angolo

Angolo

Elementi di un angoloElementi di un angolo

Consideriamo Consideriamo l’angolo mostrato in l’angolo mostrato in figurafigura

Definiamo vertice il Definiamo vertice il punto di origine delle punto di origine delle due semirettedue semirette

a e b sono i lati dell’angolo

α è l’ampiezza dell’angolo ed è l’unica dimensione che lo caratterizza

Angoli concavi e convessiAngoli concavi e convessiDalla definizione di piano emerge chiaramente che 2 semirette aventi un origine in comune formano 2 angoli perché il piano viene diviso in due parti

Definiamo convesso l’angolo che non contiene il prolungamento dei sui lati cioè l’angolo

Definiamo concavo l’angolo che contiene il prolungamento dei sui lati cioè l’angolo

Angoli consecutiviAngoli consecutiviL’italiano ci dovrebbe venire in soccorso quando parliamo di angoli consecutivi

Cosa significa consecutivo?

Una cosa è consecutiva ad un’altra quando la segue, quando viene dopo, quando abbiamo elementi che si susseguono l'un l'altro

Da ciò si deduce che anche gli angoli debbono susseguirsi; ma come può avvenire questo?

Due angoli sono consecutivi quando hanno un vertice ed un lato in comune

e sono consecutivi perché il hanno in comune il vertice B e il lato b

Angoli adiacentiAngoli adiacenti Si dicono adiacenti due angoli Si dicono adiacenti due angoli

consecutivi e i cui lati non comuni consecutivi e i cui lati non comuni giacciono sulla stessa rettagiacciono sulla stessa retta

Angoli opposti al verticeAngoli opposti al vertice Analizziamo le parole opposti al vertice Analizziamo le parole opposti al vertice Opposto è ciò che sta dall’altra parte rispetto a qualche cosa; Opposto è ciò che sta dall’altra parte rispetto a qualche cosa;

questo qualche cosa si comporta come uno specchioquesto qualche cosa si comporta come uno specchio Vertice indica che questo qualche cosa è il vertice di un Vertice indica che questo qualche cosa è il vertice di un

angoloangolo Da ciò si capisce che due angoli opposti al vertice hanno il Da ciò si capisce che due angoli opposti al vertice hanno il

vertice in comune …. Ma ciò non basta vertice in comune …. Ma ciò non basta Questi due angoli hanno il vertice in comune ma non sono Questi due angoli hanno il vertice in comune ma non sono

opposti al vertice perché il vertice, in questo caso, non si opposti al vertice perché il vertice, in questo caso, non si comporta come uno specchiocomporta come uno specchio

Due angoli si dicono opposti al vertice Due angoli si dicono opposti al vertice se hanno il vertice in comune e se i se hanno il vertice in comune e se i suoi lati si trovano uno sul suoi lati si trovano uno sul prolungamento dell’altroprolungamento dell’altro

Due angoli opposti al vertice sono congruenti Due angoli opposti al vertice sono congruenti = =

Questi due angoli hanno il vertice in comune ma non sono angoli opposti al vertice; O non si comporta come uno specchio

Questi due angoli hanno il vertice in comune e sono angoli opposti al vertice; O si comporta come uno specchio.

BisettriceBisettrice

AO

A’1Consideriamo l’angolo AOA’1

Tracciamo una semiretta che ha origine nel suo vertice e che lo divide a metà

Tale retta prende il nome di bisettrice

A’

Definiamo bisettrice di un angolo la semiretta che partendo dal suo vertice O lo divide in due parti uguali

bisettrice

Confronto di angoliConfronto di angoli Per confrontare due angoli basta Per confrontare due angoli basta

far coincidere un vertice e il lato far coincidere un vertice e il lato omologo e vedere cosa succedeomologo e vedere cosa succede

Vediamo cosa dice il vocabolario Vediamo cosa dice il vocabolario alla parola omologo: alla parola omologo: che è simile, che è simile, che corrisponde a un altro, che ha che corrisponde a un altro, che ha caratteristiche identichecaratteristiche identiche

Quindi i lati omologhi sono lati che Quindi i lati omologhi sono lati che hanno la stessa funzione come si hanno la stessa funzione come si può vedere nelle due immagini qui può vedere nelle due immagini qui a fianco in cui i lati omologhi a fianco in cui i lati omologhi hanno lo stesso colorehanno lo stesso colore

Se sposto il lato OSe sposto il lato O11AA11 e lo faccio e lo faccio coincidere con OA posso coincidere con OA posso confrontare i due angoliconfrontare i due angoli

Col confronto vedo se uno è Col confronto vedo se uno è maggiore, minore od uguale maggiore, minore od uguale all’altroall’altro

Angolo maggiore di un’altroAngolo maggiore di un’altro Consideriamo le due figure Consideriamo le due figure

precedentiprecedenti Com’è l’angolo AOB rispetto Com’è l’angolo AOB rispetto

all’angolo A’O’B’all’angolo A’O’B’ Quando li sovrappongo vedo Quando li sovrappongo vedo

che il alto c cade all’interno che il alto c cade all’interno dell’angolo AOBdell’angolo AOB

In questo caso avremmo che In questo caso avremmo che l’angolo AOB > A’O’C l’angolo AOB > A’O’C

Un angolo è maggiore Un angolo è maggiore di un altro quando di un altro quando sovrapponendoli si ha sovrapponendoli si ha che l’altro lato del che l’altro lato del secondo angolo cade secondo angolo cade all’interno del primoall’interno del primo

Angolo minore di un’altroAngolo minore di un’altro Consideriamo i seguenti due Consideriamo i seguenti due

angoli AOB e A’O’Cangoli AOB e A’O’C Se li sovrapponiamo possiamo Se li sovrapponiamo possiamo

facilmente costatare che il lato facilmente costatare che il lato c cade all’esterno del lato AOB c cade all’esterno del lato AOB

In questo caso avremmo che In questo caso avremmo che AOB < A’O’CAOB < A’O’C

Un angolo è minore di Un angolo è minore di un altro quando un altro quando sovrapponendoli si ha sovrapponendoli si ha che l’altro lato del che l’altro lato del secondo angolo cade secondo angolo cade all’esterno del primoall’esterno del primo

Angoli congruentiAngoli congruenti Consideriamo i seguenti due Consideriamo i seguenti due

angoli AOB e A’O’Cangoli AOB e A’O’C Se li sovrapponiamo possiamo Se li sovrapponiamo possiamo

facilmente costatare che il lato c facilmente costatare che il lato c coincide col lato bcoincide col lato b

Perciò si ha che AOB = A’O’CPerciò si ha che AOB = A’O’C

Un angolo è Un angolo è congruente ( cioè ha la congruente ( cioè ha la stessa ampiezza) di un stessa ampiezza) di un altro quando altro quando sovrapponendoli si ha sovrapponendoli si ha che l’altro lato del che l’altro lato del secondo angolo secondo angolo coincide col suo coincide col suo omologo del primoomologo del primo

Tipi di angoliTipi di angoli

Possiamo individuare 5 tipi di angoli di cui 3 Possiamo individuare 5 tipi di angoli di cui 3 notevoli (una cosa è notevole quando ha qualcosa notevoli (una cosa è notevole quando ha qualcosa di speciale o particolare)di speciale o particolare)

1.1. Angolo giroAngolo giro

2.2. Angolo piattoAngolo piatto

3.3. Angolo rettoAngolo retto

4.4. Angolo acutoAngolo acuto

5.5. Angolo ottusoAngolo ottuso

Angolo giroAngolo giro

Cosa succede se i due lati dell’angolo Cosa succede se i due lati dell’angolo coincidono?coincidono?

L’angolo convesso sarà nullo e quello L’angolo convesso sarà nullo e quello concavo avrà ampiezza massimaconcavo avrà ampiezza massima

Chiamiamo questo angolo angolo giroChiamiamo questo angolo angolo giro

Angolo piattoAngolo piatto Definiamo Piatto l’angolo formato da Definiamo Piatto l’angolo formato da

due semirette che sono una il due semirette che sono una il prolungamento dell’altra cioè che prolungamento dell’altra cioè che giacciono sulla stessa rettagiacciono sulla stessa retta

La sua ampiezza è la metà dell’angolo giroLa sua ampiezza è la metà dell’angolo giro

Angolo RettoAngolo Retto Prendiamo un angolo piatto e Prendiamo un angolo piatto e

tracciamo la sua bisettricetracciamo la sua bisettrice Tale bisettrice divide l’angolo in due Tale bisettrice divide l’angolo in due

parti ugualiparti uguali Definiamo retto ciascuno di questi Definiamo retto ciascuno di questi

angoli aventi ampiezza pari alla metà angoli aventi ampiezza pari alla metà dell’angolo piattodell’angolo piatto

Angoli acutiAngoli acuti

Un angolo si Un angolo si dice acuto se dice acuto se la sua la sua ampiezza è ampiezza è minore di minore di quella di un quella di un angolo rettoangolo retto

Angolo acuto

Angolo ottusoAngolo ottuso

Un angolo si Un angolo si dice ottuso se dice ottuso se la sua la sua ampiezza è ampiezza è maggiore di un maggiore di un angolo rettoangolo retto

Somma di angoliSomma di angoli Sono dati due angoli AOB e Sono dati due angoli AOB e

CKDCKD Per fare la somma di due Per fare la somma di due

angoli faccio coincidere i angoli faccio coincidere i lati non omologhi e i due lati non omologhi e i due verticivertici

Lati non omologhi: sono Lati non omologhi: sono lati che non occupano la lati che non occupano la stessa posizione (colore stessa posizione (colore diverso)diverso)

AOD è la somma AOD è la somma fra l’angolo AOB fra l’angolo AOB e l’angolo CKDe l’angolo CKD

AOB + CKD = AODAOB + CKD = AOD γγ = = αα + + ββ

AO

B

CK

D

AO

BC

K

D

Differenza di angoliDifferenza di angoli Sono dati due angoli Sono dati due angoli

AOB e CKDAOB e CKD Per fare la differenza di Per fare la differenza di

due angoli faccio due angoli faccio coincidere i lati omologhi coincidere i lati omologhi e i due verticie i due vertici

Lati omologhi: sono lati Lati omologhi: sono lati che occupano la stessa che occupano la stessa posizione (stesso colore posizione (stesso colore nella figura)nella figura)

DOB è la differenza fra DOB è la differenza fra l’angolo AOB e l’angolo l’angolo AOB e l’angolo CKDCKD

AOB – CKD = DOBAOB – CKD = DOB γγ = = αα - - ββ

AO

B

CK

D

AO

B

CK

D

Sottomultipli di angoliSottomultipli di angoli Prendiamo l’angolo AOB e Prendiamo l’angolo AOB e

dividiamolo in tre parti dividiamolo in tre parti ugualiuguali

Com’è l’angolo AOC Com’è l’angolo AOC rispetto all’angolo AOB?rispetto all’angolo AOB?

Sapendo che per Sapendo che per definizione l’angolo AOC è definizione l’angolo AOC è contenuto 3 volte in AOB contenuto 3 volte in AOB come sarà questo angolo?come sarà questo angolo?

Se AOC è contenuto 3 Se AOC è contenuto 3 volte in AOB sarà un suo volte in AOB sarà un suo sottomultiplosottomultiplo

Quando un angolo è Quando un angolo è sottomultiplo di un altro?sottomultiplo di un altro?

Un angolo è sottomultiplo di un altro quando vi è contenuto un numero intero di volte

Multipli di un angoloMultipli di un angolo Quante volte AOB contiene Quante volte AOB contiene

AOC?AOC? Tre volte per definizione Tre volte per definizione

(perché ho fatto l’operazione (perché ho fatto l’operazione di dividere l’angolo in tre parti di dividere l’angolo in tre parti uguali e quindi l’ho definito in uguali e quindi l’ho definito in partenza)partenza)

Come sarà AOB rispetto ad Come sarà AOB rispetto ad AOC?AOC?

Sarà un suo multiploSarà un suo multiplo Quando un angolo è multiplo Quando un angolo è multiplo

di un altro? di un altro? Un angolo è multiplo Un angolo è multiplo

di un altro quando lo di un altro quando lo contiene un numero contiene un numero intero di volte intero di volte

α β

:n

x n è multiplo di β perché lo contiene n volte: β è sottomultiplo di α perché è contenuto n volte in α

Angoli complementariAngoli complementari

Consideriamo due Consideriamo due angoli AOB e CO’D angoli AOB e CO’D

Proviamo a Proviamo a sommare questi sommare questi due angolidue angoli

Dalla somma è Dalla somma è uscito un angolo uscito un angolo rettoretto

Due angoli si dicono complementari se la loro somma è un angolo retto

Angoli supplementariAngoli supplementari Consideriamo due Consideriamo due

angoli AOB e CO’D angoli AOB e CO’D e proviamo a e proviamo a sommare questi sommare questi due angolidue angoli

Dalla somma è Dalla somma è uscito un angolo uscito un angolo piattopiatto

Due angoli si dicono supplementari se la loro somma è un angolo piatto

Angoli esplementariAngoli esplementari

Consideriamo due Consideriamo due angoli AOB e CKD angoli AOB e CKD

Proviamo a sommare Proviamo a sommare questi due angoliquesti due angoli

Dalla somma è uscito un angolo giro

Due Angoli si dicono esplementari se la loro somma è un angolo giro