Introduzione alla Teoria Analitica dei Numeri - unipr. ... Il libro di Montgomery & Vaughan...

Click here to load reader

  • date post

    28-Mar-2021
  • Category

    Documents

  • view

    0
  • download

    0

Embed Size (px)

Transcript of Introduzione alla Teoria Analitica dei Numeri - unipr. ... Il libro di Montgomery & Vaughan...

  • Università degli Studi di Parma Corso di Laurea in Matematica

    Introduzione alla Teoria Analitica dei Numeri

    Alessandro Zaccagnini

    (1 febbraio 2019)

    Anno Accademico 2018–2019

  • Il testo è stato composto per mezzo di un pacchetto di macro creato dall’Autore e basato su LATEX 2ε, c© American Mathematical Society. La figure sono state create con MetaPost. L’ultima versione di questo testo è disponibile all’indirizzo http://people.dmi.unipr.it/alessandro.zaccagnini/psfiles/lezioni/ tdn2017.pdf

    La data di questa versione è 1 febbraio 2019.

    Questa versione su Internet è a disposizione di chiunque, gratuita- mente, per un qualsiasi valido scopo di istruzione, a patto che non se ne faccia commercio, che non venga posta in condivisione su siti web senza l’autorizzazione scritta dell’Autore e che non ven- ga modificata in alcun modo. Si prega di citarla come ogni altro lavoro accademico.

    Si prega di inviare suggerimenti e critiche, e di segnalare eventuali errori di stampa all’indirizzo qui sotto.

    Prof. Alessandro Zaccagnini Dipartimento di Scienze Matematiche, Fisiche e Informatiche Università degli Studi di Parma Parco Area delle Scienze, 53/a – Campus Universitario 43124 Parma, ITALIA Tel. 0521 906902 – Telefax 0521 906950 e-mail: alessandro.zaccagnini@unipr.it pagina web: http://people.math.unipr.it/alessandro.zaccagnini

    http://people.dmi.unipr.it/alessandro.zaccagnini/psfiles/lezioni/tdn2017.pdf http://people.dmi.unipr.it/alessandro.zaccagnini/psfiles/lezioni/tdn2017.pdf mailto:alessandro.zaccagnini@unipr.it http://people.math.unipr.it/alessandro.zaccagnini

  • Indice

    Elenco dei simboli 7

    Simboli e notazioni 7

    1 Risultati Elementari 11 1.1 L’algoritmo di Euclide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2 I Teoremi di Fermat, Eulero, Wilson e Gauss . . . . . . . . . . . . 13 1.3 Terne pitagoriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.4 Somme di due quadrati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.5 Il Teorema dei quattro quadrati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.6 La legge di reciprocità quadratica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.7 Formule per i numeri primi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 1.8 Problemi aperti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

    2 Funzioni Aritmetiche 37 2.1 Definizioni e prime proprietà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.2 Alcune funzioni aritmetiche importanti . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.3 Il prodotto di Eulero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.4 Serie di Dirichlet formali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 2.5 Problemi aperti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

    3 Distribuzione dei Numeri Primi 57 3.1 Risultati elementari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3.2 I Teoremi di Eulero e di Chebyshev . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.3 Le formule di Mertens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 3.4 Le formule di Selberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 3.5 Dimostrazione del Teorema dei Numeri Primi . . . . . . . . . . . 72 3.6 Altri risultati su alcune funzioni aritmetiche . . . . . . . . . . . . 79 3.7 Grandi intervalli fra numeri primi consecutivi: il problema di

    Erdős–Rankin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 3.8 Problemi aperti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

    3

  • 4 A. Zaccagnini. Introduzione alla Teoria Analitica dei Numeri (2019)

    4 Primi nelle progressioni aritmetiche 89 4.1 Caratteri di un gruppo abeliano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 4.2 Caratteri e funzioni L di Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 4.3 Preliminari per il Teorema di Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . 96 4.4 Il Teorema di Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 4.5 La disuguaglianza di Pólya–Vinogradov . . . . . . . . . . . . . . 100 4.6 Il Teorema di Gauss & Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 4.7 Problemi aperti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

    5 Metodi di Crivello 105 5.1 Il principio di inclusione–esclusione e la formula di Legendre . . . 106 5.2 Il crivello di Brun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 5.3 Applicazioni del crivello di Brun . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

    5.3.1 Primi e polinomı̂ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 5.3.2 Maggiorazione del numero di primi in un intervallo . . . . 115 5.3.3 Polinomı̂ di primo grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 5.3.4 Polinomı̂ di secondo grado . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 5.3.5 Rappresentazioni come somma di quadrati . . . . . . . . 117

    5.4 Il crivello “grande” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 5.5 Applicazioni del crivello grande . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 5.6 Problemi aperti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

    6 Introduzione alla Teoria Analitica dei Numeri 133 6.1 Il programma di Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 6.2 L’equazione funzionale della funzione zeta . . . . . . . . . . . . . 134 6.3 Altre proprietà di ζ in S+(1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 6.4 Distribuzione degli zeri della funzione zeta . . . . . . . . . . . . 142 6.5 La regione libera da zeri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 6.6 La formula esplicita: legame fra ψ e ζ . . . . . . . . . . . . . . . 150 6.7 Dimostrazione del Teorema dei Numeri Primi . . . . . . . . . . . 153 6.8 La congettura di Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 6.9 Una famosa affermazione di Eulero . . . . . . . . . . . . . . . . 157 6.10 Applicazioni della formula esplicita . . . . . . . . . . . . . . . . 159

    6.10.1 Distanza fra primi consecutivi . . . . . . . . . . . . . . . 159 6.10.2 Formula asintotica negli intervalli corti . . . . . . . . . . 159 6.10.3 Formula asintotica quasi ovunque . . . . . . . . . . . . . 163

    6.11 Il Teorema e la Congettura di Montgomery . . . . . . . . . . . . 167 6.12 Considerazioni finali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

    6.12.1 Ancora sul Teorema di Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . 173 6.12.2 Distribuzione degli zeri e termine d’errore . . . . . . . . . 173

    6.13 The Zeta-Function Song . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

  • Indice 5

    6.14 Problemi aperti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

    7 Il problema di Goldbach 179 7.1 Problemi additivi: il metodo del cerchio . . . . . . . . . . . . . . 179 7.2 Il problema di Goldbach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 7.3 Dove sono le difficoltà? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

    7.3.1 Approssimazione della funzione θ di Chebyshev . . . . . 190 7.3.2 Il contributo degli archi secondari . . . . . . . . . . . . . 191

    7.4 Risultati “per quasi tutti” gli interi pari . . . . . . . . . . . . . . . 192 7.5 Varianti: il Teorema dei tre primi ed i primi gemelli . . . . . . . . 193

    A Appendice 195 A.1 Formule di sommazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 A.2 Le funzioni Gamma e Beta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 A.3 La formula di Wallis e la formula di Stirling . . . . . . . . . . . . 200 A.4 Lemmi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

    B Distribuzione dei Numeri Primi 207

    C Funzioni Aritmetiche Elementari 209

    D Generatori e Ordini modulo p 211

    Bibliografia 213

    Indice analitico 225

  • 6 A. Zaccagnini. Introduzione alla Teoria Analitica dei Numeri (2019)

  • Simboli e notazioni

    Scriveremo f := g per indicare l’uguaglianza per definizione. Dato un qualunque insieme finito A , indicheremo con |A | la sua cardinalità. Le lettere d, i, j, k, m, n, q indicano di solito numeri interi (non necessariamente positivi), mentre la lettera p denota sempre un numero primo. Le lettere x, y, t indicano numeri reali.

    Per convenzione N indica l’insieme degli interi non negativi, e quindi 0 ∈ N. Z, Q, R e C hanno il significato consueto, mentre Fq indica il campo finito con q elementi (se q è una potenza di un primo). Indicheremo con Zn l’insieme delle classi di resto modulo n, che ricordiamo costituire un anello commutativo con identità, e con Z∗n l’insieme delle unità di Zn, cioè l’insieme dei suoi elementi invertibili. In questo contesto, non è possibile alcuna confusione con i numeri p-adici.

    Scriveremo d | n quando d ed n sono interi ed esiste un altro intero q tale che dq = n. Osserviamo che con questa convenzione d | 0 per ogni d ∈ Z, mentre 0 | n implica n = 0. Scriveremo d - n per negare questa relazione. Scriveremo anche pα ‖ n (ma solo per numeri primi p) se α è la piú grande potenza di p che divide n, cioè se pα | n ma pα+1 - n. Quando n, m sono numeri interi non entrambi nulli, indicheremo con (n,m) e con [n,m] rispettivamente il massimo comun divisore ed il minimo comune multiplo di n ed m. Supporremo sempre (n,m)> 0 e [n,m]> 0, anche se n o m sono numeri negativi.

    Quasi sempre pn indica l’n-esimo numero primo, e logn x l’iterata n-esima della funzione logaritmo: log2 x := log logx e logn+1 x := log logn x per n≥ 2.

    Scriveremo

    ∑ d|n

    ∑ a mod q

    ∑∗ a mod q

    rispettivamente per indicare una somma estesa a tutti i divisori positivi d di n (anche quando n è un numero negativo), per indicare una somma su tutte le classi di resto modulo q o su tutte le classi a mod q con (a,q) = 1 (quando queste somme sono