Prova

Universita degli Studi di Milano – BicoccaFacolta di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali

Corso di Laurea in Fisica

Geometrie generalizzatee modelli σ non lineari

Candidato

Matteo CASATIMatr. 074789

Relatore

Prof. Franco MAGRI

Seduta di laurea del

28 ottobre 2008a.a 2007–2008

Introduzione Algebroidi Conclusioni

Modelli σ Non LineariMotivazioni della Tesi

Lo scopo della tesi e lo studio critico delle strutture geometrichesoggiacenti ai modelli σ non lineari

E

M

F

φ

S = −1

2

∫M

gij(ϕ)∂aϕi∂aϕjdDx

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Introduzione Algebroidi Conclusioni

Modelli σ Non LineariStoria dei Modelli σ Non Lineari

Adroni Gell-Mann 1960

Supersimmetria Zumino 1979 Kahler

Gates et al.

1980sAlgebroidi

Lindstrom 2005GCG

(Hitchin 2003)

//

//N=2

''OOOOOOOOOON=4

??

????

????

????

????

????

N≥4

oo

oo

oo

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Introduzione Algebroidi Conclusioni

Geometrie generalizzateDalle varieta complesse alla geometria complessa generalizzata – via algebrica

V. Complesse

Kahler PN

Algebroide di Lie

Lie bialg. Alg. Courant

GCG

ttjjjjjjjj**TTTTTTTTT

**TTTTTTTTttjjjjjjjjj

**TTTTTTttjjjjjjj

**TTTTTTTTT

ttjjjjjjjjj

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Introduzione Algebroidi Conclusioni

Algebroide di LieDefinizione

E

M

s

M e una varieta differenziabileE e un fibrato vettoriale su Ms e una sezione di E : s ∈ Γ(E )[·, ·] : Γ(E )× Γ(E )→ Γ(E )ρ : E → TM

[s1, fs2] = f [s1, s2] + (ρ(s1))(f ) · s2

[eA, eB ] = cDAB(x)eD

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Introduzione Algebroidi Conclusioni

Algebroide di LieUn esempio: varieta complessa

Varieta complessa

J : TM → TMJ2 = −1

TJ = [JX , JY ]− J[JX ,Y ]− J[X , JY ]− [X ,Y ] = 0

[X ,Y ]J = [JX ,Y ] + [X , JY ]− J[X ,Y ]

Questo commutatore soddisfa una regola di Leibniz modificata

[X , fY ]J = f [X ,Y ]J + JX (f ) · Y

Per [·, ·]J vale l’identita di Jacobi (grazie a TJ = 0)

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Introduzione Algebroidi Conclusioni

Algebroide di LieUn esempio: varieta complessa

Varieta complessa come algebroide di Lie

E = TM

s : M → E sono i campi vettoriali X

La parentesi e [·, ·]Jρ = J

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Introduzione Algebroidi Conclusioni

Bialgebroide di LieDefinizione

[·, ·]Sd∗

Λ(E ) Ω(E ) d

[·, ·] E E ∗ [·, ·]∗

M M

1 Algebroide di Lie

2 Algebra di Schouten edi Grassman

3 Algebroide di Lie sulduale

4 Bialgebroide di Lie

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Introduzione Algebroidi Conclusioni

Bialgebroide di LieDefinizione

Definizione

Una struttura (M,E ,E ∗), algebroide di Lie sul fibrato E e sulduale E ∗, e un bialgebroide di Lie se il codifferenziale d∗ e unaderivazione rispetto alla parentesi di Schouten

d∗[X ,Y ]S = [d∗X ,Y ]S + [X , d∗Y ]S

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Introduzione Algebroidi Conclusioni

Bialgebroide di LieUn esempio: bialgebroide PN

[·, ·]Sd∗

Λ(TM) Ω(TM)

[·, ·]N TM T ∗M [·, ·]∗

TM TM

N

p

[X ,Y ]N =[NX ,Y ]+[X ,NY ]−N[X ,Y ]

[α, β]∗ = Lpαβ − Lpβα−12

(d〈β,pα〉 − d〈α,pβ〉

)

LNXLY (p)− LN

YLX (p)− L[X ,Y ](p) = 0

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Introduzione Algebroidi Conclusioni

Bialgebroide di LieUn esempio: bialgebroide PN

Bialgebroide di una varieta PN

La condizione di compatibilita puo essere riscritta come

LX (R(Y ))− LY (R(X ))− R([X ,Y ]) = 0

che e sempre soddisfatta grazie alla 4 .

Condizioni di compatibilita per una varieta PN:

1 Np− pN∗ = 0

2 R(X ) = NLX (p)− LNX (p)− pLX (N∗) = 0

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Introduzione Algebroidi Conclusioni

Algebroide di CourantEstensione della nozione di bialgebroide

DT

TM T ∗M

M

?

$$JJJJzztttt

Idea

Un bialgebroide su TM e unalgebroide di Lie su TM ⊕ T ∗M?

s : TM ⊕ T ∗M → M s = (X , ξ)

Parentesi di Courant:q(X , ξ), (Y , η)

y=([X ,Y ],LXη − LY ξ − 1

2 d(〈η,X 〉 − 〈ξ,Y 〉

)Conclusione?

Un bialgebroide di Lie non e un algebroide di Lie sullo spaziodoppio

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Introduzione Algebroidi Conclusioni

Algebroide di CourantDefinizione

Definizione

Una struttura (E , ρ, J·, ·K, g) che gode delle proprieta

1 ρ(Jr , sK) = [ρ(r), ρ(s)]

2 JJr , sK, tK + p.c . = 13D(T(r , s, t) + T(s, t, r) + T(t, r , s))

3 Jr , fsK = f Jr , sK + (ρ(r)(f ))s − g(r , s)D f

4 g(D f ,Dh) = 0

5 ρ(r)g(s, t) = g(Jr , sK + Dg(r , s), t) + g(s, Jr , tK + Dg(r , t))

e un algebroide di Courant

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Introduzione Algebroidi Conclusioni

Dall’algebroide di Courant alla Geometria ComplessaGeneralizzataStruttura complessa generalizzata

Definizione

Una struttura quasi complessa generalizzata e un endomorfismo diDT a quadrato −1 che preserva la metrica. Una struttura quasicomplessa e integrabile (complessa) quando la torsione

TC (X ,Y ) = JJX ,JY K− J JJX ,Y K− J JX ,JY K− JX ,Y K

e nulla

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Introduzione Algebroidi Conclusioni

ConclusioniDalla Geometria Complessa Generalizzata ai moderni NLSMs

Geometria bihermitiana del NLSM di Gates, Hull, Rocek(1985) e un caso di Kahler generalizzata (2003)

Dalla geometria complessa generalizzata e stato sviluppato unPSM supersimmetrico (Lindstrom 2004)

Dalla GCG sono stati sviluppati diversi NLSMs (Zucchini 2004e 2007)

Attualmente, pare che la GCG sia la giusta cornice a cui ricondurrele versioni supersimmetriche con N ≥ 4 dei NLSMs

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