Geometrie der Relativit¨atstheorie - itp.uni- .Geometrie, von Erhaltungsgr¨oen wie Energie,...

download Geometrie der Relativit¨atstheorie - itp.uni- .Geometrie, von Erhaltungsgr¨oen wie Energie, Impuls

of 343

  • date post

    12-Aug-2019
  • Category

    Documents

  • view

    224
  • download

    0

Embed Size (px)

Transcript of Geometrie der Relativit¨atstheorie - itp.uni- .Geometrie, von Erhaltungsgr¨oen wie Energie,...

  • Geometrie der Relativitätstheorie

    Norbert Dragon

  • Der Artikel hat zur Zeit noch nicht seine endgültige Form, die jeweils neueste Fassung befindet sich im Internet bei http://www.itp.uni-hannover.de/˜dragon. Für Hinweise an dragon@itp.uni-hannover.de auf Unverständliches oder Falsches, insbesondere auch auf Tippfehler, bin ich dankbar.

    Dieser Text wurde mit LATEX2ε und der KOMA-Script-Klasse scrbook, am 1. Mai 2019 gesetzt.

  • Überblick

    So einfach wie möglich, aber nicht einfacher.

    So einfach wie möglich, aber nicht einfacher. Diese Forderung von Albert Einstein gilt insbesondere für jede Darstellung relativistischer Physik, ein Gebiet, das Laien rätseln läßt, ihre Phantasie erregt und ihr Vorstellungsvermögen quält, unnötigerweise, denn relativistische Physik beruht auf einfachen geometrischen Tatsachen.

    Um die Grundlagen der Relativitätstheorie zu begreifen, braucht man weder Koor- dinaten noch gedachte Systeme von Uhren, die das Universum füllen, sowenig wie Mil- limeterpapier oder Koordinatenachsen für Euklidische Geometrie erforderlich sind. Es reicht, sich klar zu machen, was Beobachter sehen, statt darüber zu streiten, ob dieser oder jener Beobachter recht hat. Relativitätstheorie ist eine physikalische Theorie, nicht eine juristische.

    Aus dem einfachen Befund, daß sich im Vakuum Ruhe nicht von gleichförmiger Be- wegung unterscheiden läßt, ergeben sich die Verlangsamung bewegter Uhren und die Verkürzung bewegter Maßstäbe ebenso natürlich, wie eine geneigte Leiter weniger hoch ragt als eine aufrecht stehende. Uhren sind nicht rätselhafter als Kilometerzähler und zeigen zwischen Start und Ziel eine Zeit an, die vom Weg abhängt, der dazwischen zurückgelegt wurde. Dies ist die unspektakuläre Erklärung des scheinbar paradoxen Al- terns von Zwillingen. So wie niemand darüber verwundert ist, daß in einem Dreieck die Verbindung über Eck länger ist als die gerade Verbindungslinie zweier Ecken, sowenig sollte man von der theoretischen Folgerung und experimentellen Bestätigung schockiert sein, daß auf einer Uhr eines Stubenhockers mehr Zeit vergeht als auf der Uhr eines Reisenden, der sich zwischen Abfahrt und Wiederkehr bewegt.

    Die ersten beiden Kapitel sollten im Wesentlichen auch Nichtphysikern mit geringen Mathematikkenntnissen verständlich sein. Dabei kann die Einfachheit der Darstellung täuschen. Wirkliches Verstehen erfordert das sorgfältige Durchdenken der Begründun- gen, der Gleichungen und der Diagramme. Ich empfehle, mit bereitliegendem Papier und Bleistift zu lesen.

    Die weiteren Kapitel setzen mathematische Kenntnisse voraus, wie sie Physiker und Mathematiker während des Grundstudiums erwerben. Um verwickeltere Fragen zu un- tersuchen, führen wir Koordinaten als Funktionen der gemessenen Uhrzeiten und Rich- tungen von Lichtstrahlen ein und bestimmen die Lorentztransformationen, die diese Meßwerte auf diejenigen abbilden, die bewegte Beobachter messen. Damit bestimmen wir, wie sich Geschwindigkeiten kombinieren, welche Bilder bewegte Beobachter sehen und wie die Energie und der Impuls eines Teilchens von seiner Geschwindigkeit abhän- gen.

  • ii

    Im vierten Kapitel stellen wir die Grundlagen der Mechanik zusammen und verwenden sie für relativistische Teilchen. Wichtig ist dabei der Zusammenhang von Physik und Geometrie, von Erhaltungsgrößen wie Energie, Impuls und Drehimpuls und Symmetrien wie Verschiebungen in Raum und Zeit oder Drehungen oder Lorentztransformationen. Jet-Räume, die wir einführen und für unsere Betrachtungen verwenden, mögen dem Leser auf den ersten Blick als vermeidbare Komplikation erscheinen; aber in ihnen wird der Zusammenhang von Erhaltungsgrößen und Symmetrien klar und einfach.

    Das fünfte Kapitel stellt die Elektrodynamik als relativistische Feldtheorie dar und zeigt insbesondere, daß Abänderungen der elektrischen Ladungsverteilung mit Lichtge- schwindigkeit Änderungen der elektromagnetischen Feldern bewirken. Die elektrodyna- mischen Wechselwirkungen bleiben bei Vergrößerung oder Verkleinerung der Anordnun- gen ungeändert, daher kann man nicht aus der Elektrodynamik ableiten, warum die elementaren Teilchen ihre und keine andere Masse haben und warum Atome diese und nicht jene Größe haben.

    In Kapitel 6 betrachten wir Bahnen, Beobachter und Uhren im Gravitationsfeld der Sonne oder eines schwarzen Lochs.

    Das Äquivalenzprinzip faßt die Beobachtung zusammen, daß alle Testteilchen, egal woraus sie bestehen, gleich fallen und bei gleicher anfänglicher Lage und Geschwindig- keit dieselben Weltlinien durchlaufen. Diese Tatsache, die ursprünglich als Geodätenhy- pothese gefordert wurde und die grundlegend für die Deutung der Allgemeinen Relati- vitätstheorie ist, folgern wir in Kapitel 7 aus der Koordinateninvarianz der Wirkung.

    Daran schließt sich die Herleitung der Einsteingleichungen, die den gravitativen Ein- fluß von Energie- und Impulsdichten beschreiben. Wir lösen die Einsteingleichungen in einfachen Fällen und berechnen, wie man Gravitationswellen nachweist.

    Geometrische Strukturen von gekrümmten Räumen wie Tangentialraum, Differential- formen, Metrik und Parallelverschiebung werden im Anhang erklärt. Insbesondere wer- den die geometrische Bedeutung von Torsion und Krümmung vorgeführt. Mit ausgesen- detem und zurückgestreutem Licht definieren wir drehungsfreie Richtungen.

    Bei Uhren auf Meereshöhe, die mit der Erddrehung mitgeführt werden, bewirken ihre unterschiedlichen Geschwindigkeiten und die wegen der Erdabplattung unterschiedliche Gravitation gerade, daß sie alle gleich schnell laufen.

    Aberration, die Lorentztransformation der Richtungen von Lichtstrahlen, wirkt wie eine Möbiustransformation, die man von der Riemannschen Zahlenkugel kennt. Daß Ab- erration konform ist, motiviert die genauere Untersuchung konformer Transformationen. Umgekehrt zeigt sich, daß die größtmögliche Gruppe konformer Transformationen wie Aberration auf die Richtungen von Lichtstrahlen wirkt.

    Die beiden Noethertheoreme verknüpfen Geometrie und Physik: zu Symmetrien der Wirkung gehören Erhaltungsgrößen und umgekehrt und zu Eichsymmetrien der Wirkung gehören Identitäten der Bewegungsgleichungen und umgekehrt. Hieraus folgt, daß auch bei wechselwirkenden Teilchen das Quadrat des Viererimpulses konstant ist, wenn die Wirkung unter Reparametrisierung der Weltlinie des Teilchens invariant ist. Ebenso ist bei eichinvarianter Wirkung die elektrische Ladung erhalten. In Anhang G erklären wir so physikalische Grundtatsachen durch Symmetrien.

    Der Text ist aus einem Vorlesungsskript in dem Bemühen entstanden, für die immer

  • iii

    wieder in der news-group de.sci.physik gestellten Fragen zur Relativitätstheorie stimmige und vollständige Antworten zu geben – so einfach wie möglich, aber nicht einfacher.

    Für hilfreiche Hinweise und geduldiges Zuhören bedanke ich mich insbesondere bei Frédéric Arenou, Werner Benger, Christian Böhmer, Christoph Dehne, Jürgen Ehlers, Christopher Eltschka, Chris Hillman, Olaf Lechtenfeld, Volker Perlick, Markus Pössel und Bernd Schmidt. Ulla und Hermann Nicolai danke ich für ihre Gastfreundschaft während meines Aufenthalts am Albert-Einstein-Institut der Max-Planck-Gesellschaft.

    Hannover, im November 2012 Norbert Dragon

  • Inhaltsverzeichnis

    1 Die Raumzeit 1

    Die vierdimensionale Raumzeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Allgegenwärtige Gravitation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Gerade Weltlinien in der gekrümmten Raumzeit . . . . . . . . . . . . . . 4 Drehbewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Lichtkegel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Maßstäbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Gleichortig und Gleichzeitig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Grenzgeschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Tachyon und starre Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Quantenteleportation und Bellsche Ungleichung . . . . . . . . . . . . . . 14

    2 Zeit und Länge 19

    2.1 Satz des Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Drei gleiche Uhren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Konstruktion des Schiedsrichters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

    2.2 Dopplerfaktor und Geschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.3 Zeitdehnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

    Zwillingsparadoxon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.4 Verkürzung bewegter Maßstäbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

    Längenparadoxon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.5 Orts- und Zeitkoordinaten von Ereignissen . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

    Uhrzeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.6 Dopplereffekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

    Scheinbare Überlichtgeschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.7 Skalarprodukt und Längenquadrat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

    Senkrecht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Perspektiven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

    3 Transformationen 39

    3.1 Lorentztransformation von Koordinaten . . . . . . . . . . . . . .