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  • Geometrie der Relativitätstheorie

    Norbert Dragon

  • Der Artikel hat zur Zeit noch nicht seine endgültige Form, die jeweils neueste Fassung befindet sich im Internet bei http://www.itp.uni-hannover.de/∼dragon. Für Hinweise an dragon@itp.uni-hannover.de auf Unverständliches oder Falsches, insbesondere auch auf Tippfehler, bin ich dankbar.

    Dieser Text wurde mit LATEX2ε und der KOMA-Script-Klasse scrbook, am 23. Dezember 2006 gesetzt.

    http://www.itp.uni-hannover.de/~dragon dragon@itp.uni-hannover.de

  • Überblick

    So wie Euklidische Geometrie sich aus einfachen Eigenschaften von Punkten und Ge- raden ergibt, so folgt die Relativitätstheorie aus dem einfachen Befund, daß sich im Vakuum Ruhe nicht von gleichförmiger Bewegung unterscheiden läßt. Daraus leiten wir ab, daß uns eine Uhr rotverschoben und langsamer erscheint, wenn sie sich in Sichtlinie von uns entfernt, und daß sie blauverschoben und schneller erscheint, wenn sie auf uns zu kommt. Daß dieser Dopplereffekt anders als bei Schall nur von der Geschwindigkeit der Lichtquelle uns gegenüber abhängt, macht ihn besonders einfach. Mit ihm mißt die Polizei alltäglich Geschwindigkeiten. Wir bestimmen aus dem Dopplereffekt Geschwin- digkeitsaddition, Lorentztransformationen, Zeitdehnung und Längenverkürzung.

    Koordinaten oder Systeme von Uhren, die die gesamte Welt erfüllen, sind zunächst so wenig erforderlich wie Millimeterpapier für Euklidische Geometrie. Da wir davon ausgehen, was wir sehen, wird unsere Darstellung der Relativitätstheorie nicht zu einem angewandten Gebiet der Juristerei, in dem Beobachter wie Anwälte argumentieren und verwirrenderweise alle irgendwie recht haben.

    Zunächst werden im ersten Kapitel die grundlegenden Begriffe, das Vakuum, die vier- dimensionale, gekrümmte Raumzeit und ihre Eigenschaften, vorgestellt. Insbesondere gibt es keinen Äther, demgegenüber man Ruhe meßbar von gleichförmiger Bewegung unterscheiden könnte, und es gibt keine meßbare Weltzeit, die einem Ereignis an sich ohne Bezug auf andere Ereignisse zukäme. Die Gleichzeitigkeit zweier Ereignisse hängt vom Beobachter ab, so wie es in Euklidischer Geometrie von einer gegebenen Richtung abhängt, welche Linien dazu senkrecht sind.

    Verlangsamung bewegter Uhren und Verkürzung bewegter Maßstäbe folgen im zweiten Kapitel genauso selbstverständlich wie eine geneigte Leiter selbstverständlich weniger hoch ist als eine aufgerichtete. Uhren sind nicht rätselhafter als Kilometerzähler, die zwischen Start und Ziel Entfernungen anzeigen, die vom durchlaufenen Weg abhängen.

    Diese ersten Kapitel sind so formuliert, daß sie im Wesentlichen auch Nichtphysikern mit wenig mathematischen Kenntnissen verständlich sein sollten. Tieferes Verstehen ver- langt aber Knobeln und Mitdenken und das Nachvollziehen der Gleichungen und Dia- gramme mit Bleistift und Papier. Die weiteren Kapitel setzen mathematische Kenntnisse voraus, wie sie Physiker und Mathematiker während des Grundstudiums erwerben.

    Zur Klärung schwierigerer Fragen führen wir Koordinaten als Funktionen von Meß- werten ein und leiten die Lorentztransformationen aus den Meßwerten ab, die bewegte Beobachter erhalten. Damit untersuchen wir Geschwindigkeitsaddition, Bilder, die ein bewegter Beobachter sieht, sowie Energie und Impuls von Teilchen.

    Dem Zusammenhang von Physik und Geometrie, von Erhaltungsgrößen wie Energie, Impuls und Drehimpuls mit Symmetrien wie Zeitverschiebung, räumlicher Verschiebung und Drehung, widmet sich unsere Darstellung der Mechanik in Kapitel 4. Danach formu-

  • ii

    lieren wir die Elektrodynamik als relativistische Feldtheorie und bestimmen das Kraft- gesetz, dem geladene, bewegte Teilchen unterliegen. In Kapitel 6 betrachten wir Bahnen, Beobachter und Uhren im Gravitationsfeld der Sonne oder eines schwarzen Lochs.

    Das Äquivalenzprinzip faßt die Beobachtung zusammen, daß alle Testteilchen, egal woraus sie bestehen, gleich fallen und bei gleicher anfänglicher Lage und Geschwindig- keit dieselben Weltlinien durchlaufen. Diese Tatsache, die ursprünglich als Geodäten- hypothese gefordert wurde und die grundlegend für die Deutung der Allgemeinen Re- lativitätstheorie ist, leiten wir in Kapitel 7 aus der Koordinateninvarianz der Wirkung her.

    Daran schließt sich die Herleitung der Einsteingleichungen, die den gravitativen Ein- fluß von Energie- und Impulsdichten beschreiben. Wir lösen die Einsteingleichungen in einfachen Fällen und berechnen, wie man Gravitationswellen nachweist.

    Geometrische Strukturen von gekrümmten Räumen wie Tangentialraum, Differential- formen, Metrik und Parallelverschiebung werden im Anhang erklärt. Insbesondere wer- den die geometrische Bedeutung von Torsion und Krümmung vorgeführt. Mit ausgesen- detem und zurückgestreutem Licht definieren wir drehungsfreie Richtungen.

    Bei Uhren auf Meereshöhe, die mit der Erddrehung mitgeführt werden, bewirken ihre unterschiedlichen Geschwindigkeiten und die wegen der Erdabplattung unterschiedliche Gravitation gerade, daß sie, wie wir zeigen, alle gleich schnell laufen.

    Aberration, die Lorentztransformation der Richtungen von Lichtstrahlen, wirkt wie eine Möbiustransformation, die man von der Riemannschen Zahlenkugel kennt. Daß Ab- erration konform ist, motiviert die genauere Untersuchung konformer Transformationen. Umgekehrt zeigt sich, daß die größtmögliche Gruppe konformer Transformationen wie Aberration auf die Richtungen von Lichtstrahlen wirkt.

    Die beiden Noethertheoreme verknüpfen Geometrie und Physik: zu Symmetrien der Wirkung gehören Erhaltungsgrößen und umgekehrt und zu Eichsymmetrien der Wirkung gehören Identitäten der Bewegungsgleichungen und umgekehrt. Hieraus folgt, daß auch bei wechselwirkenden Teilchen das Quadrat des Viererimpulses konstant ist, wenn die Wirkung unter Reparametrisierung der Weltlinie des Teilchens invariant ist. Ebenso ist bei eichinvarianter Wirkung die elektrische Ladung erhalten. In Anhang G erklären wir so physikalische Grundtatsachen durch Symmetrien.

    Der Text ist aus einem Vorlesungsskript in dem Bemühen entstanden, für die immer wieder in der news-group de.sci.physik gestellten Fragen zur Relativitätstheorie stimmige und vollständige Antworten zu geben – so einfach wie möglich, aber nicht einfacher. Da- bei habe ich mich auch der Antworten von anderen, von denen ich Christopher Eltschka nennen muß, bedient. Hendrik van Hees hat die jeweiligen Versionen des entstehenden Skripts als html-Datei im Internet zugänglich gemacht. Christoph Dehne und Klaus Fröhlich haben mir Korrekturen mit einer Vielzahl von Anmerkungen überlassen. Von Peter Nemec stammen Java-Applets, die es erlauben, Raumzeitdiagramme spielerisch ab- zuändern. Für hilfreiche Hinweise und geduldiges Zuhören bei den schwierigeren Fragen bedanke ich mich insbesondere bei Frédéric Arenou, Werner Benger, Christian Böhmer, Jürgen Ehlers, Chris Hillman, Olaf Lechtenfeld, Volker Perlick, Markus Pössel und Bernd Schmidt. Ulla und Hermann Nicolai danke ich für ihre Gastfreundschaft während meines Aufenthalts am Albert-Einstein-Institut der Max-Planck-Gesellschaft.

  • Inhaltsverzeichnis

    1 Die Raumzeit 1

    Allgemeinheit der Gravitation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Gerade Weltlinien in der gekrümmten Raumzeit . . . . . . . . . . . . . . 3 Drehbewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Lichtkegel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Maßstäbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Gleichortig und Gleichzeitig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Grenzgeschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Tachyon und starre Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Quantenteleportation und Bellsche Ungleichung . . . . . . . . . . . . . . 12

    2 Zeit und Länge 17

    2.1 Satz des Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Drei gleiche Uhren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Konstruktion des Schiedsrichters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

    2.2 Dopplerfaktor und Geschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.3 Zeitdehnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

    Zwillingsparadoxon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.4 Verkürzung bewegter Maßstäbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

    Längenparadoxon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.5 Orts- und Zeitkoordinaten von Ereignissen . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

    Uhrzeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.6 Dopplereffekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

    Scheinbare Überlichtgeschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.7 Skalarprodukt und Längenquadrat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

    Senkrecht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Perspektiven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

    3 Transformationen 37

    3.1 Lorentztransformation von Koordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 Lorentztransformation in vier Dimensionen . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

    3.2 Transformation von Geschwindigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.3 Augenschein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

    Irdische Aberrat