GEOMETRIE DANS L'ESPACE - Maths et tiques

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    Yvan Monka Acadmie de Strasbourg www.maths-et-tiques.fr

    GEOMETRIE DANS LESPACE

    I. Les solides usuels (rappels du collge)

    1) Les solides droits

    2) Pyramide et cne

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    3) Sphre et boule

    Aire de la sphre = 4 r2 Exemple : Surface terrestre (rayon de la terre 6370km)

    A = 4 r2 509 904 364 km2. Volume de la boule =

    43 r3

    Exemple : Volume de la terre

    V = 34 r3 108 269 693 200 km3

    Exercices conseills En devoir Exercices conseills En devoir

    -p252 n13 p253 n17 p256 n37 -p251 n4 p252 n12, 7*, 10* p257 n47* p258 n50*

    p253 n16 -p261 n43 p263 n57 -p255 n10 p260 n42, 41, 39* p255 n10* p263 n58* p265 n64*

    p261 n45

    ODYSSE 2de HATIER Edition 2010 ODYSSE 2de HATIER Edition 2014

    TP conseill TP conseill TP Algo 2 p247 : A dos de chameau TP Algo 3 p248 : Calcul des volumes des solides de rvolution

    p252 TP6 : A dos de chameau p250 TP4 : Calcul des volumes des solides de rvolution

    ODYSSE 2de HATIER Edition 2010 ODYSSE 2de HATIER Edition 2014

    II. Droites et plans : positions relatives Activit conseille Activit conseille

    p232 activit 2 questions 1 et 2 : Solide, patron et perspective p233 activit 3 Partie A : Que voit-on rellement sur une figure en perspective ?

    p236 activit 2 questions 1 et 2 : Solide, patron et perspective p237 activit 3 Partie A : Que voit-on rellement sur une figure en perspective ?

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    1) Plan de l'espace

    Rappel : Par deux points distincts du plan passe une unique droite, ainsi deux points dfinissent une droite.

    Caractrisation dun plan : Par trois points non aligns de lespace passe un unique plan, ainsi trois points non aligns dfinissent un plan. Proprits : Un plan est dfini : 1) soit par trois points non aligns, 2) soit par une droite et un point nappartenant pas cette droite, 3) soit par deux droites scantes, 4) soit par deux droites strictement parallles. Dfinition : Quatre points de l'espace sont dits coplanaires lorsquils appartiennent un mme plan. Deux droites de l'espace sont dites coplanaires lorsquelles sont incluses dans un mme plan.

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    2) Position relative de deux droites

    Droites coplanaires Droites non coplanaires Droites scantes

    Droites parallles

    Droites strictement parallles

    Droites confondues

    Exemple : On considre le paralllpipde suivant :

    - Les droites (BG) et (BA) sont scantes en B. - Les droites (GE) et (BD) sont parallles. - Les droites (FA) et (CD) sont non coplanaires. - Les droites (GE) et (EH) sont coplanaires.

    3) Position relative de deux plans

    Plans parallles Plans scants Plans strictement parallles

    Plans confondus

    Les plans sont scants suivant une droite

    Exemple : On considre le paralllpipde suivant :

    - Les plans (AFE) et (BCH) sont parallles. - Les plans (BCD) et (ABD) sont confondus. - Les plans (GBE) et (GBF) sont scants suivant la droite (GB).

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    4) Position relative d'une droite et d'un plan

    Droite et plan parallles Droite et plan scants Droite et plan strictement

    parallles

    Droite incluse dans le plan

    Exercices conseills En devoir Exercices conseills En devoir

    p253 n18 21 p256 n39 41 p254 n22*, 23*, 24

    p254 n25 p255 n11 13 p258 n31 33 p256 n17* p261 n47* p256 n16*

    p261 n48

    ODYSSE 2de HATIER Edition 2010 ODYSSE 2de HATIER Edition 2014 III. Droites et plans parallles

    1) Droites parallles un plan

    Proprit : Si une droite est parallle une droite dun plan, alors elle est parallle ce plan. Thorme du "toit" : Si deux droites d et d sont parallles telles que : - un plan P contienne la droite d, - un plan P contienne la droite d, - les plans P et P sont scants suivant une droite , alors est parallle aux droites d et d.

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    2) Plans parallles

    Thorme des plans parallles 1 : Si un plan contient deux droites scantes et parallles un autre plan, alors les deux plans sont parallles.

    Thorme des plans parallles 2 : Si deux plans sont parallles, tout plan qui coupe lun coupe lautre, et leurs intersections sont deux droites parallles.

    Mthode : Dmontrer quune droite est parallle un plan

    Vido https://youtu.be/k7F1StU4XUs SABCD est une pyramide. I, J et K sont les milieux respectifs de [SA], [SB] et [SC]. Dmontrer que la droite (IK) est parallle au plan ABC.

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    Dans le plan (SAC), on applique le thorme des milieux : I et K sont les milieux respectifs de [SA] et [SC], donc la droite (IK) est parallle la droite (AC). Pour prouver quune droite est parallle un plan, il suffit de prouver que cette droite est parallle une droite de ce plan. Comme (AC) est une droite du plan (ABC) et que (IK) est parallle (AC), on en dduit que (IK) est parallle au plan (ABC). Mthode : Dmontrer que deux plans sont parallles

    Vido https://youtu.be/IAkjUUrwZPw Dans lnonc de la mthode prcdente, dmontrer que les plans (IJK) et (ABC) sont parallles. Pour prouver que deux plans sont parallles, il suffit de trouver deux droites scantes dun plan qui sont parallles lautre plan (thorme des plans parallles 1).

    On a dmontr dans la mthode prcdente que (IK) est parallle au plan (ABC). On dmontrerait de mme que (IJ) est parallle au plan (ABC). Les droites (IK) et (IJ), scantes en I, sont parallles au plan (ABC), daprs le thorme des plans parallles 1, on en dduit que le plan (IJK) est parallle au plan (ABC). Mthode : Construire la section dun solide par un plan

    Vido https://youtu.be/vgXcf3M0f9w ABCDEFGH est un pav droit. I est un point de larte [EF], J est un point de larte [AB] et K est un point de la face EFGH.

    Construire la section du pav par le plan (IJK).

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    - Le plan (IJK) coupe la face ABFE suivant la droite (IJ). On commence donc par tracer le segment [IJ]. - Le plan (IJK) coupe la face EFGH suivant la droite (IK). Soit L le point dintersection de la droite (IK) avec larte [HG]. On trace le segment [IL]. - Daprs le thorme des plans parallles 2, les faces ABFE et DCGH tant parallles, le plan (IJK) coupe la face DCGH suivant une droite parallle (IJ). Le plan (IJK) coupe donc la face DCGH suivant la droite parallle (IJ) et passant par L. On trace cette droite qui coupe larte [CG] en M. - On justifie de mme que le plan (IJK) coupe la face ABCD suivant la droite parallle (IK) passant par J. On trace cette droite qui coupe larte [BC] en N. - Pour finir la section, on trace le segment [MN].

    Exercices conseills En devoir Exercices conseills En devoir

    p254 n26, 27 p255 n30, 31, 32, 35, 34* p254 n28*, 29* p258 n52*

    p255 n33 p258 n51

    p256 n18, 19 p257 n20, 25, 26, 23 p262 n52 n49*, 53* p257 n21*

    p257 n22, 24

    ODYSSE 2de HATIER Edition 2010 ODYSSE 2de HATIER Edition 2014 Hors du cadre de la classe, aucune reproduction, mme partielle, autres que celles prvues l'article L 122-5 du code de

    la proprit intellectuelle, ne peut tre faite de ce site sans l'autorisation expresse de l'auteur. www.maths-et-tiques.fr/index.php/mentions-legales