Geometr a de curvas y computaci on 3. Las curvas de B · PDF filedeterminado por ellos se...

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  • Geometra de curvas y computacion3. Las curvas de Bezier

    Fausto Ongay

    CIMAT, Gto., Mexico

    Julio, 2012

    Fausto Ongay (CIMAT) Julio, 2012 1 / 26

  • Curvas polinomiales

    Como indicamos, las curvas mas importantes para la graficacion son talvez las curvas polinomiales:

    Definicion

    Una curva (t) es polinomial (o polinomica, como se dice en otros pasesde habla hispana) si sus componentes x(t), y(t) son polinomios.

    El grado de una curva polinomial (t) es max{deg x , deg y}

    Fausto Ongay (CIMAT) Julio, 2012 2 / 26

  • Curvas polinomiales

    Como indicamos, las curvas mas importantes para la graficacion son talvez las curvas polinomiales:

    Definicion

    Una curva (t) es polinomial (o polinomica, como se dice en otros pasesde habla hispana) si sus componentes x(t), y(t) son polinomios.

    El grado de una curva polinomial (t) es max{deg x , deg y}

    Fausto Ongay (CIMAT) Julio, 2012 2 / 26

  • Curvas polinomiales

    Como indicamos, las curvas mas importantes para la graficacion son talvez las curvas polinomiales:

    Definicion

    Una curva (t) es polinomial (o polinomica, como se dice en otros pasesde habla hispana) si sus componentes x(t), y(t) son polinomios.

    El grado de una curva polinomial (t) es max{deg x , deg y}

    Fausto Ongay (CIMAT) Julio, 2012 2 / 26

  • Curvas polinomiales

    Como indicamos, las curvas mas importantes para la graficacion son talvez las curvas polinomiales:

    Definicion

    Una curva (t) es polinomial (o polinomica, como se dice en otros pasesde habla hispana) si sus componentes x(t), y(t) son polinomios.

    El grado de una curva polinomial (t) es max{deg x , deg y}

    Fausto Ongay (CIMAT) Julio, 2012 2 / 26

  • Motivacion

    Loss polinomios de Bernstein se aplican a la graficacion por ordenadormediante las curvas de Bezier. Como surgieron?

    En la actualidad, al efectuar una reparacion en un automovil, no pensamosen lo complejo que puede ser construir una refaccion que ajustecorrectamente.

    Pero en 1911 Cadillac pregonaba, con justificado orgullo (Standard of theWorld es su lema), que las piezas de tres vehculos distintos se podanintercambiar y obtener vehculos funcionales!

    Fausto Ongay (CIMAT) Julio, 2012 3 / 26

  • Motivacion

    Loss polinomios de Bernstein se aplican a la graficacion por ordenadormediante las curvas de Bezier. Como surgieron?

    En la actualidad, al efectuar una reparacion en un automovil, no pensamosen lo complejo que puede ser construir una refaccion que ajustecorrectamente.

    Pero en 1911 Cadillac pregonaba, con justificado orgullo (Standard of theWorld es su lema), que las piezas de tres vehculos distintos se podanintercambiar y obtener vehculos funcionales!

    Fausto Ongay (CIMAT) Julio, 2012 3 / 26

  • Motivacion

    Loss polinomios de Bernstein se aplican a la graficacion por ordenadormediante las curvas de Bezier. Como surgieron?

    En la actualidad, al efectuar una reparacion en un automovil, no pensamosen lo complejo que puede ser construir una refaccion que ajustecorrectamente.

    Pero en 1911 Cadillac pregonaba, con justificado orgullo (Standard of theWorld es su lema), que las piezas de tres vehculos distintos se podanintercambiar y obtener vehculos funcionales!

    Fausto Ongay (CIMAT) Julio, 2012 3 / 26

  • Motivacion

    Loss polinomios de Bernstein se aplican a la graficacion por ordenadormediante las curvas de Bezier. Como surgieron?

    En la actualidad, al efectuar una reparacion en un automovil, no pensamosen lo complejo que puede ser construir una refaccion que ajustecorrectamente.

    Pero en 1911 Cadillac pregonaba, con justificado orgullo (Standard of theWorld es su lema), que las piezas de tres vehculos distintos se podanintercambiar y obtener vehculos funcionales!

    Fausto Ongay (CIMAT) Julio, 2012 3 / 26

  • Classical beauty...

    Un Cadillac de 1910

    Fausto Ongay (CIMAT) Julio, 2012 4 / 26

  • Classical beauty...

    Un Cadillac de 1910

    Fausto Ongay (CIMAT) Julio, 2012 4 / 26

  • Antes de los ordenadores las curvas deban trazarse a mano, concurvgrafos, y esto introduca una gran posibilidad de error.

    Un curvgrafo

    Fausto Ongay (CIMAT) Julio, 2012 5 / 26

  • Antes de los ordenadores las curvas deban trazarse a mano, concurvgrafos, y esto introduca una gran posibilidad de error.

    Un curvgrafo

    Fausto Ongay (CIMAT) Julio, 2012 5 / 26

  • Esto cambio radicalmente en 1959, cuando un fsico, matematico, eingeniero en Citroen, Paul DeCasteljau, introdujo un algoritmo para trazarcurvas polinomiales de manera eficiente, usando puntos de control.

    Las polticas de privaca de Citroen hicieron que el trabajo de DeCasteljaufuera ignorado casi por completo, y el metodo se dio a conocer a travesdel trabajo (independiente, pero un poco posterior) de otro ingeniero, dela firma rival Renault, Pierre Bezier.

    Fausto Ongay (CIMAT) Julio, 2012 6 / 26

  • Esto cambio radicalmente en 1959, cuando un fsico, matematico, eingeniero en Citroen, Paul DeCasteljau, introdujo un algoritmo para trazarcurvas polinomiales de manera eficiente, usando puntos de control.

    Las polticas de privaca de Citroen hicieron que el trabajo de DeCasteljaufuera ignorado casi por completo, y el metodo se dio a conocer a travesdel trabajo (independiente, pero un poco posterior) de otro ingeniero, dela firma rival Renault, Pierre Bezier.

    Fausto Ongay (CIMAT) Julio, 2012 6 / 26

  • Esto cambio radicalmente en 1959, cuando un fsico, matematico, eingeniero en Citroen, Paul DeCasteljau, introdujo un algoritmo para trazarcurvas polinomiales de manera eficiente, usando puntos de control.

    Las polticas de privaca de Citroen hicieron que el trabajo de DeCasteljaufuera ignorado casi por completo, y el metodo se dio a conocer a travesdel trabajo (independiente, pero un poco posterior) de otro ingeniero, dela firma rival Renault, Pierre Bezier.

    Fausto Ongay (CIMAT) Julio, 2012 6 / 26

  • El algoritmo de DeCasteljau

    Dados n + 1 puntos en el plano, P0, ,Pn, la hoy llamada curva deBezier definida por ellos esta dada por el algoritmo recursivo siguiente:

    Definicion

    Para r = 1, , n y i = 0, , n r definamos P0i (t) = Pi , y

    P ri (t) = (1 t)P r1i (t) + tPr1i+1 (t) ; t [0, 1].

    Entonces, la curva de Bezier asociada es (t) = Pn0 (t), t [0, 1].

    Los puntos Pi se llaman puntos o vertices de control y el polgonodeterminado por ellos se llama el polgono de control de la curva de Bezier

    Fausto Ongay (CIMAT) Julio, 2012 7 / 26

  • El algoritmo de DeCasteljau

    Dados n + 1 puntos en el plano, P0, ,Pn, la hoy llamada curva deBezier definida por ellos esta dada por el algoritmo recursivo siguiente:

    Definicion

    Para r = 1, , n y i = 0, , n r definamos P0i (t) = Pi , y

    P ri (t) = (1 t)P r1i (t) + tPr1i+1 (t) ; t [0, 1].

    Entonces, la curva de Bezier asociada es (t) = Pn0 (t), t [0, 1].

    Los puntos Pi se llaman puntos o vertices de control y el polgonodeterminado por ellos se llama el polgono de control de la curva de Bezier

    Fausto Ongay (CIMAT) Julio, 2012 7 / 26

  • El algoritmo de DeCasteljau

    Dados n + 1 puntos en el plano, P0, ,Pn, la hoy llamada curva deBezier definida por ellos esta dada por el algoritmo recursivo siguiente:

    Definicion

    Para r = 1, , n y i = 0, , n r definamos P0i (t) = Pi , y

    P ri (t) = (1 t)P r1i (t) + tPr1i+1 (t) ; t [0, 1].

    Entonces, la curva de Bezier asociada es (t) = Pn0 (t), t [0, 1].

    Los puntos Pi se llaman puntos o vertices de control y el polgonodeterminado por ellos se llama el polgono de control de la curva de Bezier

    Fausto Ongay (CIMAT) Julio, 2012 7 / 26

  • El algoritmo de DeCasteljau

    Dados n + 1 puntos en el plano, P0, ,Pn, la hoy llamada curva deBezier definida por ellos esta dada por el algoritmo recursivo siguiente:

    Definicion

    Para r = 1, , n y i = 0, , n r definamos P0i (t) = Pi , y

    P ri (t) = (1 t)P r1i (t) + tPr1i+1 (t) ; t [0, 1].

    Entonces, la curva de Bezier asociada es (t) = Pn0 (t), t [0, 1].

    Los puntos Pi se llaman puntos o vertices de control y el polgonodeterminado por ellos se llama el polgono de control de la curva de Bezier

    Fausto Ongay (CIMAT) Julio, 2012 7 / 26

  • El algoritmo de DeCasteljau

    Dados n + 1 puntos en el plano, P0, ,Pn, la hoy llamada curva deBezier definida por ellos esta dada por el algoritmo recursivo siguiente:

    Definicion

    Para r = 1, , n y i = 0, , n r definamos P0i (t) = Pi , y

    P ri (t) = (1 t)P r1i (t) + tPr1i+1 (t) ; t [0, 1].

    Entonces, la curva de Bezier asociada es (t) = Pn0 (t), t [0, 1].

    Los puntos Pi se llaman puntos o vertices de control y el polgonodeterminado por ellos se llama el polgono de control de la curva de Bezier

    Fausto Ongay (CIMAT) Julio, 2012 7 / 26

  • Notese que P ri es una curva polinomial de grado r .

    Los puntos de control se identifican, en el primer paso, con curvas degrado cero: el algoritmo de DeCasteljau aproxima por polinomios de gradocada vez mayor, hasta llegar a un polinomio de grado n.

    Para entender que hace el algoritmo de DeCasteljau es conveniente seguircon detalle el procedimiento para unos pocos puntos; n = 3 o incluson = 2 dan la idea:

    Fausto Ongay (CIMAT) Julio, 2012 8 / 26

  • Notese que P ri es una curva polinomial de grado r .

    Los puntos de control se identifican, en el primer paso, con curvas degrado cero: el algoritmo de DeCasteljau aproxima por polinomios de gradocada vez mayor, hasta llegar a un polinomio de grado n.

    Para entender que hace el algoritmo de