DefiniciónDefinición

Una curva en el espacio es una función vectorial de laforma:

( ) ( ) ( ) ( )r t f t i g t j h t k= + +� � � �

( ) ( ) ( ) ( )r t f t i g t j h t k= + +

Donde son funciones continuas de en unintervalo

, ,f g h tI⊂ℝ

Ejemplo:

La hélice, dada por la función:

( ) 4cos 4sin 0 4r t t i t j t k t π= + + ≤ ≤� � � �

Derivada de Derivada de ( )r t�

( )r t�

( )r t t+∆�

( )( ) ( )

0' lim

t

r t t r tr t

t∆ →

+∆ −=

∆

� ��

( ) ( ) ( ) ( )' ' ' 'r t f t i g t j h t k= + +� � � �

Elemento de arco Elemento de arco ds

( )r t�

( )r t t+∆�

( ) ( )0

limt

ds r t t r t∆ →

= +∆ −� �

( ) ( )( )

0'l im

t

r t td s r t d

t

tt

rt

∆ →

+ ∆ −= ∆ =

∆

�� �

Curva suaveCurva suave

La curva C representada por se dice que essuave en el intervalo si son continuasy

( )r t�

' , ' , 'f g h( )' 0r t t I≠ ∀ ∈

Vector unitario tangenteVector unitario tangente

I

Vector unitario tangenteVector unitario tangente

( ) ( ) ( ) ( )r t f t i g t j h t k= + +� � � �

Sea C una curva suave en dada por:I

El vector tangente a la curva en cada valor de es t

( ) ( ) ( ) ( )' ' ' 'r t f t i g t j h t k= + +� � � �

( )r t�

( )T t��

El vector unitario tangente El vector unitario tangente viene dado por:

( ) ( ) ( ) ( )' ' ' 'r t f t i g t j h t k= + +� � � �

( )( )

( )

'

'

t

t

tr

r

T =

�

�

��

En Mecánica al vector se le llama velocidad respecto del tiempoy a su módulo se le llama rapidez.

( )'r t�

( )'r t�

( )( )

( )'

'r t dt dt dx dy dz

r t i j kds ds ds dt dt dt

dt

T t = = = + +

���

� � � �

Como: podemos escribir( )'d s r t d t=�

El vector unitario tangente El vector unitario tangente en función del parámetro arco

dt

( )dx dy dz dri j k

ds dsT s

ds ds= + + =

�� � ���

( ) ( )'dr

s r ss

Td

= =

����

Luego:

Curvatura de flexión de una curvaCurvatura de flexión de una curva

( )T t��( )T t t+∆

��

ds

( )r t�

ρ

( ) ( )' ''dT

T s r sχ = = =

���� �

Es una magnitud que mide el módulo de la razón de cambio del vector tangente unitario, con respecto al parámetro de arco.

ρ

( ) ( )' ''dT

T s r sds

χ = = =�� �

Si es la curvatura de una curva en un punto ,se llama círculo de curvatura al círculo que comparte

Si la curva viene dada por

χ A

( )r t�

( )

( )

'

'

dd dt

ds ds r tdt

T T tT

χ = = =

�� ��

�

��

Obtenemos:

se llama círculo de curvatura al círculo que compartecon la curva la misma tangente en ese punto y se encuentra al mismo lado cóncavo de la curva.El radio de ese círculo lo llamamos radio de curvaturade la curva y viene dado por:

( )

( )

( )' '

1'

1r t

T s T tρ

χ= = =

�

�� ��

Vector unitario normal principalVector unitario normal principal( )T t��

( )N t���

( )r t�

En el espacio existen infinitos vectores perpendiculares a un vector. Sabemos que:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) es unitario 1 ' 0T t T t T t T t T t⇒ = ⇒ =�� �� �� �� ��

i i

Por tanto:

( ) ( )'T t T t⊥�� ��

Definimos el vector unitario normal principal, como:

( )( )

( )

'

'

N

T t

tT t

=

���

��

��

Si derivamos respecto del parámetro arco obtenemos:

( )( )

( ) ( )0 'dT s

T s T s T sds

= ⇒ ⊥

���� �� ��

i

( )( )

( )( )

''

'

T s

TN T

ss sρ==

���

��

����

Vector unitario binormal Vector unitario binormal ( )T t��

( )N t���

( )r t�

( )B t��

Es un vector perpendicular a y a dado por:

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

' ''

' ''

Br t r

Nt

r

t tT

t r t

t×

= ××

=� ����

� �

�

��

�

( )T t��

( )N t���

Se llama aceleración a la derivada del vector velocidad

( ) ( )( ) ( ) ( )( )2

2'' '

dT sd d ds d s dsa r t r t T s T s

dt dt dt dt dtdt

= = = = +

��� � � �� ��

Aceleración Aceleración

( )( )

( )( )2

2 2dT s dT sd s ds ds d s dsa T s T s

= + = +

�� ��� �� ��

( ) ( )2 2

a T s T sdt ds dt dt dsdt dt

= + = +

( ) ( )2

2

2

1d s dsa

dtdtT N ss

ρ

= +

�� ����

Componente tangencial :

Componente normal:

2

2T

d sa

dt=

2

1N

dsa

dtρ

=

Dada la curva sabemos:

( ) ( )'ds

r tdtT s=

� ��

Radio de curvatura en paramétricas Radio de curvatura en paramétricas

( ) ( ) ( )2

2

2

1''

d s dsr t

dtds N sT

t ρ

= +

�� ����

( )r t�

y

Multiplicando vectorialmente:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

2

2

1' ''

ds d s dsr t r t

dt dtdts s sT NT

ρ

× = × + =

�� �� �� �� �

( ) ( )( ) ( )3 3

1 10 N

ds ds

dt dBT

tss s

ρ ρ

+ × = −

���� ���

Tomando módulos nos queda:

Y como:

( ) ( )( )

( ) ( )

3

3 '1

' ''

' ''

r tds

r t r tdt r t r t

ρρ

× = ⇒ = ×

�

� �

� �

( )ds �

( ) ( )i j k� � �

� �

( ) ' 2 '2 '2'ds

r t x y zdt= = + +�

( ) ( )' '' ' ' '

'' '' ''

r t r t x y z

x y z

× =� �

( )3

' 2 ' 2 ' 2

2 2 2

' ' ' ' ' '

'' '' '' '' '' ''

x y z

y z z x x y

y z z x x y

ρ

+ +=

+ +

Si la curva es plana:

Y tendríamos:

( ) 0z t =

( ) ' 2 ' 2'ds

r t x ydt= = +��

( ) ( )' '' ' ' 0

'' '' 0

i j k

r t r t x y

x y

× =

� � �

� �

'' '' 0x y

( ) ( )3 3

' 2 ' 2 ' 2 ' 2

2 ' '' '

'' '''' ''

x y x y

x yx y

x yx y

ρ

+ += =

Curvatura de torsión de una curvaCurvatura de torsión de una curva

( )B t��

( )B t t+∆��

ds

( )r t�

( )'d

ds

BB sτ = =

����

( )r t t+∆�

Es una magnitud que mide el módulo de la razón de cambio del vector binormal unitario, con respecto al parámetro de arco.

( )'ds

B sτ = =

Algunas deducciones:Algunas deducciones:

( ) ( )( )

( ) ( )( )

0 0dB s dT s

B s T s T s B sds ds

= ⇒ + = ⇒

�� ���� �� �� ��

i i i

( ) ( ) ( )( )

( )( )

1 0dB s dB s

B s B s B s B sds ds

= ⇒ = ⇒ ⊥

�� ���� �� �� ��

i i

( ) ( ) ( )�� �� ��

�� �� ��� �� ��( )( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( )

0 0dB s dB s dB s

T s B s N s T s T sds ds ds

χ+ = ⇒ = ⇒ ⊥

�� �� ���� �� ��� �� ��

i i i

Al ser perpendicular a y a , tiene la

dirección de

( )dB s

ds

��

( )B s��

( )T s��

( )N s���

Luego:

( ) ( )( ) ( )

dB s dB sN s N s

ds dsτ= − = −

�� ����� ���

( ) ( )( ) ( )

( )dN s dB s dT sT s B s= × + ×

��� �� ���� ��

Derivando la expresión: ( ) ( ) ( )B s T s N s× =�� ��� ���

( ) ( )( ) ( )

( )dN s dB s dT sT s B s

ds ds ds= × + ×

�� ��

Luego:

( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

dN sN s T s B s N s B s T s

dsτ χ τ χ=− × + × = −

������ �� �� ��� �� ��

Fórmulas de FrenetFórmulas de Frenet

( )( )

dB s��

���

( )( )

dT sN s

dsχ=

������

( )( )

dB sN s

dsτ= −���

( )( ) ( )

dN sB s T s

dsτ χ= −

����� ��

Triedro intrínseco Triedro intrínseco ( )T t��

( )N t���

( )B t��

( )��

( )���

( )B t��

A

osculadorosculadorosculadorosculador

rectificanterectificanterectificanterectificante

normalnormalnormalnormal

Los vectores , y en cada puntode la curva forman un triedro, con los planos:

( )T t��

( )N t���

( )B t��

A

( )( ) ( ) 0P r TO t t− =���� � ��

i Plano normal

( )( ) ( ) 0OP r t N t− =���

i

���� �

Plano rectificante

( )( ) ( ) 0P r BO t t− =���� � ��

i Plano osculador

planoP ∈