Curvas alabeadas

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    22-Jul-2015
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  • DefinicinDefinicin

    Una curva en el espacio es una funcin vectorial de laforma:

    ( ) ( ) ( ) ( )r t f t i g t j h t k= + +

    ( ) ( ) ( ) ( )r t f t i g t j h t k= + +

    Donde son funciones continuas de en unintervalo

    , ,f g h tI

  • Ejemplo:

    La hlice, dada por la funcin:

    ( ) 4cos 4sin 0 4r t t i t j t k t = + +

  • Derivada de Derivada de ( )r t

    ( )r t

    ( )r t t+

    ( )( ) ( )

    0' lim

    t

    r t t r tr t

    t

    + =

    ( ) ( ) ( ) ( )' ' ' 'r t f t i g t j h t k= + +

  • Elemento de arco Elemento de arco ds

    ( )r t

    ( )r t t+

    ( ) ( )0

    limt

    ds r t t r t

    = +

    ( ) ( )( )

    0'l im

    t

    r t td s r t d

    t

    tt

    rt

    + = =

  • Curva suaveCurva suave

    La curva C representada por se dice que essuave en el intervalo si son continuasy

    ( )r t

    ' , ' , 'f g h( )' 0r t t I

    Vector unitario tangenteVector unitario tangente

    I

    Vector unitario tangenteVector unitario tangente

    ( ) ( ) ( ) ( )r t f t i g t j h t k= + +

    Sea C una curva suave en dada por:I

  • El vector tangente a la curva en cada valor de es t

    ( ) ( ) ( ) ( )' ' ' 'r t f t i g t j h t k= + +

    ( )r t

    ( )T t

    El vector unitario tangente El vector unitario tangente viene dado por:

    ( ) ( ) ( ) ( )' ' ' 'r t f t i g t j h t k= + +

    ( )( )

    ( )

    '

    '

    t

    t

    tr

    r

    T =

    En Mecnica al vector se le llama velocidad respecto del tiempoy a su mdulo se le llama rapidez.

    ( )'r t

    ( )'r t

  • ( )( )

    ( )'

    'r t dt dt dx dy dz

    r t i j kds ds ds dt dt dt

    dt

    T t = = = + +

    Como: podemos escribir( )'d s r t d t=

    El vector unitario tangente El vector unitario tangente en funcin del parmetro arco

    dt

    ( )dx dy dz dri j k

    ds dsT s

    ds ds= + + =

    ( ) ( )'dr

    s r ss

    Td

    = =

    Luego:

  • Curvatura de flexin de una curvaCurvatura de flexin de una curva

    ( )T t( )T t t+

    ds

    ( )r t

    ( ) ( )' ''dT

    T s r s = = =

    Es una magnitud que mide el mdulo de la razn de cambio del vector tangente unitario, con respecto al parmetro de arco.

    ( ) ( )' ''dT

    T s r sds

    = = =

  • Si es la curvatura de una curva en un punto ,se llama crculo de curvatura al crculo que comparte

    Si la curva viene dada por

    A

    ( )r t

    ( )

    ( )

    '

    '

    dd dt

    ds ds r tdt

    T T tT

    = = =

    Obtenemos:

    se llama crculo de curvatura al crculo que compartecon la curva la misma tangente en ese punto y se encuentra al mismo lado cncavo de la curva.El radio de ese crculo lo llamamos radio de curvaturade la curva y viene dado por:

    ( )

    ( )

    ( )' '1

    '1

    r t

    T s T t

    = = =

  • Vector unitario normal principalVector unitario normal principal( )T t

    ( )N t

    ( )r t

    En el espacio existen infinitos vectores perpendiculares a un vector. Sabemos que:

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) es unitario 1 ' 0T t T t T t T t T t = =

    i i

  • Por tanto:( ) ( )'T t T t

    Definimos el vector unitario normal principal, como:

    ( )( )

    ( )

    '

    '

    N

    T t

    tT t

    =

    Si derivamos respecto del parmetro arco obtenemos:

    ( )( )

    ( ) ( )0 'dT s

    T s T s T sds

    =

    i

    ( )( )

    ( )( )

    ''

    '

    T s

    TN T

    ss s==

  • Vector unitario binormal Vector unitario binormal ( )T t

    ( )N t

    ( )r t

    ( )B t

    Es un vector perpendicular a y a dado por:

    ( ) ( ) ( )( ) ( )

    ( ) ( )

    ' ''

    ' ''

    Br t r

    Nt

    r

    t tT

    t r t

    t

    =

    =

    ( )T t

    ( )N t

  • Se llama aceleracin a la derivada del vector velocidad

    ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )2

    2'' '

    dT sd d ds d s dsa r t r t T s T s

    dt dt dt dt dtdt

    = = = = +

    Aceleracin Aceleracin

    ( )( )

    ( )( )22 2dT s dT sd s ds ds d s ds

    a T s T s = + = +

    ( ) ( )2 2

    a T s T sdt ds dt dt dsdt dt

    = + = +

    ( ) ( )2

    2

    2

    1d s dsa

    dtdtT N ss

    = +

    Componente tangencial:

    Componente normal:

    2

    2T

    d sa

    dt=

    2

    1N

    dsa

    dt

    =

  • Dada la curva sabemos:

    ( ) ( )'ds

    r tdtT s=

    Radio de curvatura en paramtricas Radio de curvatura en paramtricas

    ( ) ( ) ( )2

    2

    2

    1''

    d s dsr t

    dtds N sT

    t

    = +

    ( )r t

    y

    Multiplicando vectorialmente:

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

    2

    2

    1' ''

    ds d s dsr t r t

    dt dtdts s sT NT

    = + =

    ( ) ( )( ) ( )3 3

    1 10 N

    ds ds

    dt dBT

    tss s

    + =

  • Tomando mdulos nos queda:

    Y como:

    ( ) ( )( )

    ( ) ( )

    3

    3 '1

    ' ''

    ' ''

    r tds

    r t r tdt r t r t

    = =

    ( )ds ( ) ( )

    i j k

    ( ) ' 2 '2 '2'ds

    r t x y zdt

    = = + +

    ( ) ( )' '' ' ' ''' '' ''

    r t r t x y z

    x y z

    =

    ( )3

    ' 2 ' 2 ' 2

    2 2 2

    ' ' ' ' ' '

    '' '' '' '' '' ''

    x y z

    y z z x x y

    y z z x x y

    + +=

    + +

  • Si la curva es plana:

    Y tendramos:

    ( ) 0z t =

    ( ) ' 2 ' 2'ds

    r t x ydt

    = = +

    ( ) ( )' '' ' ' 0'' '' 0

    i j k

    r t r t x y

    x y

    =

    '' '' 0x y

    ( ) ( )3 3

    ' 2 ' 2 ' 2 ' 2

    2 ' '' '

    '' '''' ''

    x y x y

    x yx y

    x yx y

    + += =

  • Curvatura de torsin de una curvaCurvatura de torsin de una curva

    ( )B t

    ( )B t t+

    ds

    ( )r t

    ( )'d

    ds

    BB s = =

    ( )r t t+

    Es una magnitud que mide el mdulo de la razn de cambio del vector binormal unitario, con respecto al parmetro de arco.

    ( )'ds

    B s = =

  • Algunas deducciones:Algunas deducciones:

    ( ) ( )( )

    ( ) ( )( )

    0 0dB s dT s

    B s T s T s B sds ds

    = + =

    i i i

    ( ) ( ) ( )( )

    ( )( )

    1 0dB s dB s

    B s B s B s B sds ds

    = =

    i i

    ( ) ( ) ( )

    ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0

    dB s dB s dB sT s B s N s T s T s

    ds ds ds+ = =

    i i i

    Al ser perpendicular a y a , tiene la

    direccin de

    ( )dB sds

    ( )B s

    ( )T s

    ( )N s

  • Luego:( ) ( )

    ( ) ( )dB s dB s

    N s N sds ds

    = =

    ( ) ( )( ) ( )

    ( )dN s dB s dT sT s B s= +

    Derivando la expresin: ( ) ( ) ( )B s T s N s =

    ( ) ( )( ) ( )

    ( )dN s dB s dT sT s B s

    ds ds ds= +

    Luego:

    ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

    dN sN s T s B s N s B s T s

    ds = + =

  • Frmulas de FrenetFrmulas de Frenet

    ( )( )

    dB s

    ( )( )

    dT sN s

    ds=

    ( )( )

    dB sN s

    ds=

    ( )( ) ( )

    dN sB s T s

    ds =

  • Triedro intrnseco Triedro intrnseco ( )T t

    ( )N t

    ( )B t

    ( )

    ( )

    ( )B t

    A

    osculadorosculadorosculadorosculador

    rectificanterectificanterectificanterectificante

    normalnormalnormalnormal

    Los vectores , y en cada puntode la curva forman un triedro, con los planos:

    ( )T t

    ( )N t

    ( )B t

    A

    ( )( ) ( ) 0P r TO t t =

    i Plano normal

    ( )( ) ( ) 0OP r t N t =

    i

    Plano rectificante

    ( )( ) ( ) 0P r BO t t =

    i Plano osculador

    planoP