Analiza Complexa

1

□ Forma exponentiala a numerelor complexe

Presupunem ca seria infinita:

2 3

12! 3!

x x xe x

Are loc pentru x i

2 3 4

12! 3! 4!

ii i i

e i

2 4 3

12! 4! 3!

ie i

Formula lui Euler

iei sincos (7.1)

ne permite să scriem un număr complex sincos irz

în formă exponenţială

irez (7.2)

Ambele forme, trigonometrica si exponentiala, in alta interpretare sunt o

reprezentare parametrică a cercului cu centrul in origine si raza r. Parametrul

θ ia valori de la zero la 2π.

Este de preferat să scriem numerele complexe în formă

trigonometrică şi exponenţială atunci când dorim să înmulţim şi să împărţim

numere complexe.

Dacă irez Atunci: 1

1 1 1cos sin

iiz re r e ir

Dacă 1

11

ierz şi 2

22

ierz Atunci:

2121

212121

iiierrererzz (7.3)

Analiza Complexa

2

Înmulţirea numerelor complexe presupune înmulţirea modulelor şi adunarea

argumentelor.

2121 zzzz (7.4)

2121 argargarg zzzz (7.5)

Dacă folosim doar argumente principale ultima relatie poate sa nu fie

adevărată. De exemplu, dacă 1z i şi 2 1z , produsul este 1 2z z i .

arg2

i

, arg 1 , arg2

i

dar 3

arg arg 12 2

i

. Valoarea

obţinută prin sumarea argumentelor este un argument posibil pentru i dar

nu este argumentul principal.

Impartirea numerelor complexe:

21

2

1

2

1

2

1

2

1

i

i

i

er

r

er

er

z

z, 02 r (7.6)

Împărţirea numerelor complexe presupune împărţirea modulelor şi scăderea

argumentelor.

2

1

2

1

z

z

z

z (7.7)

21

2

1 argargarg zzz

z (7.8)

Ridicarea la putere: Fie z un număr complex

n

de n oriz z z z (7.9)

Dacă scriem z în formă trigonometrică şi exponenţială, atunci avem

sincos irrez i

ninrerrez ninnnin sincos (7.10)

Dacă 1r , vom obţine Formula lui Moivre

Analiza Complexa

3

ninin

sincossincos (7.11)

Radicalul unui număr complex

Definiţie: Numărul complex w se numeşte rădăcina de ordinul n a

numărului complex z, dacă zwn şi scriem n zw .

Pentru orice număr complex 0z , rădăcina n zw presupune n

valori distincte. Intr-adevăr, fie numărul complex z şi rădăcina sa w

irez şi iew

Cum zwn iinn ree

Deoarece, cele două numere complexe sunt egale, au loc egalităţile:

rn şi kn 2 , k

n r şi n

k

2

Aceste două expresii reprezintă modulul şi argumentul rădăcinii numărului

complex z. Toate rădăcinile au acelaşi modul, iar argumentele acestora

diferă prin multipli întregi de n/2 . Rezultă că n rădăcini sunt distincte şi

pot fi dispuse în planul complex, în vârfurile unui poligon regulat cu n laturi,

înscris în cercul cu raza n z şi centrul în punctul .0z originea planului

complex.

Dacă considerăm valorile 1,,2,1,0 n pentru k, obţinem n numere complexe

distincte:

n

ki

n

krz nn 2

sin2

cos , 1,,2,1,0 nk (7.12)

n

ki

nn erz

2

, 1,,2,1,0 nk (7.13)

Analiza Complexa

4

Figura 7.2

Exemplu: Să se calculeze 3 i

iz în formă trigonometrică si exponentiala este

cos sin2 2

z i

, 2

i

ez

n

ki

nn erz

2

3

22

3

k

i

k eiw

, 2,1,0k

3

2

6

ki

k ew , 2,1,0k

2

1

2

3

6sin

6cos6

0 iiewi

6sin

6cos

6

5sin

6

5cos6

5

3

2

6

1

iieewii

2

1

2

3

6sin

6cos ii

iieewii

2

3sin

2

3cos2

3

3

4

6

2

Radacinile de ordinul n ale unitatii

Solutiile ecuatiei 1nz unde n este un intreg pozitiv se numesc radacinile de

ordinul n ale unitatii si sunt date de:

Analiza Complexa

5

2

2 2cos sin

ki

nk k

z i en n

, 0,1,2, , 1k n

Fie 2

2 2cos sin

ini e

n n

, atunci cele n radacini sunt 2 11, , , , n .

Geometric, acestea sunt varfurile unui poligon regulat cu n laturi inscris in

cercul de raza unu cu centrul in origine. Acest cerc are ecuatia 1z si se

numeste cerc unitate.

Reprezentare sferica a numerelor complexe

Consideram planul complex si o sfera S tangenta la plan in 0z . Diametrul

NS este perpendicular pe plan si numim punctele N si S polii nord si sud ai

sferei. Corespunzator fiecarui punct A din plan construim dreapta NA care

intersecteaza sfera in A’. Astfel la fiecare punct din planul complex

corespunde un punct unic pe sfera si putem reprezenta orice numar complex

printr-un punct pe sfera. Polul nord N corespunde „punctului de la infinit ”

din plan. Multimea tuturor punctelor din plan inclusiv punctul de la infinit

formeaza planul complex extins.

Aceasta metoda de mapare a planului complex pe sfera se numeste

proiectie stereografica, iar sfera se numeste Sfera Riemann.

Analiza Complexa

6

Limita şirurilor de numere complexe

Fie nz un şir de numere complexe cu nnn iyxz , unde nx şi

ny .

Definiţie: Un număr complex z este limita şirului nz dacă 0 există un

număr NN astfel încât zzn , n N .

Notaţie: zznn

lim

Geometric, toţi termenii şirului nz cu n N , puncte în planul complex, se

află în interiorul cercului cu centrul în z şi rază .

Teoremă: Un şir de numere complexe nnn iyxz este convergent dacă şi

numai dacă şirurile de numere reale nx şi ny sunt convergente. În plus,

are loc:

lim lim limn n n

n n nz x i y

Exerciţii:

□ Calculaţi modulul şi argumentul principal pentru numărul complex:

cos sin5 5

z i

cos 05

x

sin 05

y

2 2

cos sin 15 5

r z

sin

5arg5

cos5

yz arctg arctg arctg tg

x

Analiza Complexa

7

4

5 5 5arctg tg

□ Scrieţi numărul complex 2 2z i în formă trigonometrică.

2 2

2 2 2r z

2 3

arg 14 42

yz arctg arctg arctg

x

3 3

2 cos sin4 4

z i

□ Calculaţi 8

1

1

i

i

1 1z i 1 2z 1arg 1

4

yz arctg arctg

x

2 1z i 1 2z 2arg 14

yz arctg arctg

x

88 88

4 244 2

4

1 2cos 4 sin 4 1

12

ii i

i

i

i ee e e i

ie

Varianta algebrica:

8 828 828

2 2

11 1 2 21

1 1 1 1 2

ii i i ii

i i

□ Calculaţi rădăcinile de ordinul 3 pentru 1z i

3 3

2 cos sin4 4

z i

3 3 2 2cos sin

3 3k

k kw z r i

, 0,1,2k

Analiza Complexa

8

3 3

3 32 2

4 4cos sin3 3

k

k k

w z r i

, 0,1,2k

33 2 22 cos sin

4 3 4 3k

k kw z i

, 0,1,2k

6 60

2 22 cos sin 2

4 4 2 2w i i

6 6

1

2 2 11 112 cos sin 2 cos sin

4 3 4 3 12 12w i i

6 6

2

2 2 2 2 19 192 cos sin 2 cos sin

4 3 4 3 12 12w i i

7.3 Definiții. Derivate. Ecuațiile Cauchy-Riemann

Mulțimi în planul complex

Vom nota cu mulţimea numerelor complexe. În formă algebrică mulţimea

numerelor complexe este:

2, , 1z x iy x y i (7.14)

Rex z Imy z

Numerele complexe se reprezintă geometric în planul complex (Diagrama

Argand).

Fie ε>0 un număr pozitiv arbitrar și fie z0 un număr complex arbitrar.

Considerăm mulțimea de puncte z din planul complex, figura 7.3, care

satisfac inegalitatea:

Analiza Complexa

9

0z z (7.15)

Figura 7.3

Considerăm 0 0 0z x iy și z x iy și obținem:

2 2

0 0 0z z x x y y (7.16)

2 2 2

0 0x x y y (7.17)

Mulțimea punctelor z din planul complex ce satisfac (7.15) formează o -

vecinătate a lui z0.

Definiții:

z este punct interior al unei mulțimi din planul complex dacă

există o -vecinătate a punctului inclusă în mulțime.

O mulțime D din planul complex se numește domeniu dacă este

alcătuită numai din puncte interioare (este deschisă) și oricare

două puncte din mulțime pot fi conectate de o curbă conținută

în mulțime.

Un punct al domeniului D este punct frontieră dacă orice -

vecinătate a sa are puncte atât în interiorul cât și în exteriorul

domeniului.

Mulțimea tuturor punctelor frontieră, notată D , formează

frontiera domeniului D.

Analiza Complexa

10

Un domeniu D împreună cu frontiera sa D este un domeniu

închis și se notează D

Exemple: Mulțimea punctelor z care verifică inegalitățile: 1 2z este un

domeniu deschis, iar mulțimea punctelor z care verifică

inegalitățile: 1 2z este un domeniu închis, figura 7.4. Frontiera este

alcătuită din cercurile: 1z și 2z .

Figura 7.4

O curbă închisă fără autointersecții se numește contur. Orice contur

împarte planul complex în două domenii, și este frontieră între acestea. Un

domeniu, cel interior conturului este mărginit, iar cel exterior este

nemărginit. Spunem că un domeniu D este simplu conex dacă interiorul

oricărui contur din D aparține lui D (practic o multime fara gauri).

Exemple:

1. Mulțimea de numere complexe z x iy care verifică condiţiile:

0 1x , 1 1y formează un domeniu simplu conex, figura 7.5.

Figura 7.5

Analiza Complexa

11

2. Mulțimea de numere complexe z care verifică condiţia: 0 1z nu

este un domeniu simplu conex. Punctul 0z aflat în interiorul

conturului nu aparţine mulţimii, figura 7.6 .

Figura 7.6

Considerăm şirul nz de numere complexe: 1 2, , , ,nz z z .

Dacă pentru orice număr 0M arbitrar de mare, există un număr

natural N a.î. toţi termenii zn ai şirului nz cu n N verifică inegalitatea

nz M , atunci spunem că şirul nz este convergent la un punct la infinit,

sau simplu la infinit, şi scriem:

lim nn

z

(7.18)

Dacă suplimentăm planul variabilelor complexe cu punctul z pe

care tocmai l-am definit, atunci obţinem planul complex extins.

Funcţii de o variabilă complexă

Funcţia :f S cu

w f z (7.19)

este definită pe o mulţime S a planului complex z dacă este precizată o lege

care pune în corespondenţă fiecare număr complex z din S cu un număr

complex w unic, vezi figura 7.8.

Analiza Complexa

12

Funcţia w f z este o transformare a punctelor din planul complex z în

planul complex w.

Figura 7.8

Considerăm z x iy , w u iv . Atunci definiţia funcţiei de variabilă

complexă w f z va fi echivalentă cu definiţia a două funcţii reale de două

variabile reale ,u u x y , ,v v x y , unde

, ,w f z u x y iv x y (7.20)

Aici, ,u u x y este partea reală şi ,v v x y partea imaginară a funcţiei

w f z .

Exemple:

1) 2w z

Considerăm z x iy , w u iv

2 2 2 2u iv x iy x y i xy

Funcţia 2w z este echivalentă cu două funcţii reale 2 2u x y , 2v xy

2) 1

wz

Considerăm z x iy , w u iv

Analiza Complexa

13

2 2 2 2 2 2

1 x iy x yu iv i

x iy x y x y x y

Funcţia 1

wz

este echivalentă cu două funcţii reale 2 2

xu

x y

,

2 2

yv

x y

O funcţie w f z transforma unu-la-unu mulţimea S dacă în puncte

diferite din S ia valori diferite. De exemplu, funcţia 2w z transforma unu-

la-unu semiplanul superior Im 0z şi nu face acest lucru pentru întreg

planul. De exemplu, 22 1i i .

Limita unei funcţii

Fie o funcţie w f z definită pe o vecinătate a punctului

0 0 0z x iy , cu o posibilă excepţie în z0. Un număr complex A este limita lui

f z când 0z z şi notăm

0

limz z

A f z

, dacă 0 putem determina o

vecinătate a punctului z0 a.î. oricare ar fi z din vecinătate, cu excepţia

posibilă pentru z0, punctul corespunzător w prin funcţie se află în

vecinătatea punctului A, figura 7.9.

Figura 7.9

Pentru z0 şi A puncte finite în planul complex, definim limita astfel:

0

limz z

A f z

0 , 0 a.î. z cu 00 z z , să

avem f z A . (7.21)

În definiţia limitei, punctul z tinde la z0 pe orice drum.

Analiza Complexa

14

Existenţa limitei (7.21) este echivalentă cu existenţa limitelor

funcţiilor reale ,u u x y , ,v v x y :

0

0

lim ,x xy y

u x y B

0

0

lim ,x xy y

v x y C

(7.22)

unde A B iC .

Cum limita (7.21) este echivalentă cu limitele funcţiilor reale de două

variabile (7.22), funcţia de variabilă complexă se supune la aceleasi reguli de

calcul pentru limite:

0 0 0

lim lim limz z z z z z

f z g z f z g z

(7.23)

0 0 0

lim lim limz z z z z z

f z g z f z g z

(7.24)

0

0

0

limlim

lim

z z

z z

z z

f zf z

g z g z

, 0

lim 0z z

g z

(7.25)

Continuitate

O funcţie w f z definită pe o mulţime S este continuă în punctul 0z S ,

dacă

0

0limz z

f z f z

, z S (7.26)

Cu alte cuvinte, f z este continuă în z0, dacă 0 , putem determina

0 a.î. z S care verifică 0z z , să avem 0f z f z .

Condiţia necesară şi suficientă ca o funcţie de variabilă complexă

, ,f z u x y i v x y să fie continuă în punctul 0 0 0z x iy este ca

Analiza Complexa

15

părţile sale reală şi imaginară ,u u x y şi ,v v x y să fie continue în

punctul 0 0,x y în x şi y.

Acest fapt ne permite să translatăm proprietăţile funcţiilor continue

de două variabile reale la funcţiile continue de variabilă complexă. Dintre

acestea amintim: continuitatea sumei, produsului, câtului de două funcţii

continue şi continuitatea funcţiilor compuse.

Dacă o funcţie f z este continuă în fiecare punct al unei mulţimi S,

atunci spunem că f z este continuă pe S.

Funcţii diferenţiabile şi funcţii analitice

O funcţie complexă este o transformare :f şi scriem f z w

cu z şi w numere complexe. Din punct de vedere geometric transformarea

poate fi gândită ca o corespondenţă între două plane complexe: planul z şi

planul w. Planul w are o axă reală u şi o axă imaginară v. u şi v sunt funcţii

reale de componentele x şi y a lui z.

, ,f z u x y iv x y

Acestă ecuaţie ne furnizează un punct unic ,u v în planul w pentru

fiecare punct ,x y din planul z. Sub acţiunea lui f mulţimi din planul z sunt

transformate în mulţimi din planul w. De exemplu, o curbă din planul z poate

fi transformată într-o curbă din planul w.

Problemă: Cum se transformă dreapta y mx din planul z în planul w? Daca

consideram functia 2w f z z

2 2 2 2w x iy x y i xy

2 2,u x y x y şi , 2v x y xy

Pentru dreapta din planul z, y mx aceste ecuaţii conduc la

Analiza Complexa

16

2 21u m x 22v mx

Eliminând x din aceste ecuaţii obţinem: 2

2

1

mv u

m

Aceasta este o dreaptă care trece prin origine planului w şi are unghiul cu

axa orizontală modificat faţă de unghiul format de dreapta y mx din planul

z cu axa orizontală.

Definitie: Fie o funcţie f z definită pe o vecinătate a punctului z0. Derivata

lui f z în z0, este:

0

0 0

0limz

z

f z z f zdf

dz z

(7.27)

cu condiţia ca limita să existe şi să fie independentă de modul in care z

tinde la zero. Independenţa de z înseamnă independenţă de componentele

x şi y

z x i y (7.28)

Geometric, z poate tinde la zero de-a lungul axei reale ( 0y ) sau de-a

lungul axei imaginare ( 0x ) sau pe orice altă direcţie. Pentru ca derivata să

existe, rezultatul nu trebuie să depindă de modul în care 0z .

Considerăm

z x iy 0 0 0z x iy

, ,f z u x y i v x y

0 0 0 0 0, ,f z u x y i v x y

0 0 0 0 0, ,f z z u x x y y i v x x y y

0 0 0 0 0 0 0 0

000

, , , ,limxy

u x x y y i v x x y y u x y i v x yf z

x i y

Analiza Complexa

17

0 0 0 0 0 0 0 0

000

, , , ,limxy

u x x y y u x y i v x x y y v x yf z

x i y

□ Considerăm mai întâi 0y şi apoi 0x , adică 0z pe axa

reală.

0 0 0 0 0 0 0 0

00 0

, , , ,lim limx y

u x x y y u x y i v x x y y v x yf z

x i y

0 0 0 0 0 0 0 0

00

, , , ,limx

u x x y u x y i v x x y v x yf z

x

0 0 0 0

0

, ,x y x y

u vf z i

x x

(7.29)

□ Considerăm mai întâi 0x şi apoi 0y , adică 0z pe axa

imaginară.

0 0 0 0 0 0 0 0

00 0

, , , ,lim limy x

u x x y y u x y i v x x y y v x yf z

x i y

0 0 0 0 0 0 0 0

00

, , , ,limy

u x y y u x y i v x y y v x yf z

i y

0 0 0 0

0

, ,x y x y

u vf z i

y y

(7.30)

Cele două expresii (7.29-30) ale lui 0f z trebuie să fie egale, deci

u v

x y

şi

u v

y x

(7.31)

Analiza Complexa

18

Exemplu: Examinaţi derivata funcţiei 2 22f z x i y în 1z i

01

1 1limz

z i

f i z f idf

dz z

0, 0

1 1lim

x y

f i x i y f i

x i y

0, 0

1 1 1lim

x y

f x i y f i

x i y

2 2

0, 0

1 2 1 1 2lim

x y

x i y i

x i y

2 2

0, 0

1 2 2 4 2 1 2lim

x y

x x i i y i y i

x i y

2 2

0, 0

2 4 2lim

x y

x x i y i y

x i y

Ne apropiem de 1z i pe dreapta 1 1y m x , atunci y m x

2 22 2

0 01

2 4 2 2 4 2lim lim

1x xz i

x x im x im x x im im xdf

dz x im x im

1

2 4

1z i

df im

dz im

In funcţie de parametrul m avem o infinitate de valori pentru derivată. Deci,

valoarea limitei depinde de drumul pe care ne apropiem de 1z i . Atunci,

funcţia nu are derivată în 1z i

Proprietăţi de calcul:

Analiza Complexa

19

df z dg zd

f z g zdz dz dz

(7.32)

df z dg zd

f z g z g z f zdz dz dz

(7.33)

2

df z dg zg z f zf zd dz dz

dz g z g z

, 0g z (7.34)

df g z dg zd

f g zdz dw dz

unde w g z (7.35)

1df z

d wdz

dw

, unde w f z şi z w este f. inversă (7.36)

Exemple:

1. Arătaţi că funcţia w f z Re z nu este diferenţiabilă în nici un punct.

Fie z x iy . Atunci w x . Prin definiţie:

0 0, 0lim limz x y

f z z f z f x iy x i y f x iyf z

z x i y

0, 0 0, 0

lim limx y x y

x x x x

x i y x i y

Această limită ar trebui sa fie independentă de drumul pe care ne apropiem

de z când trecem la limită. Considerăm două cazuri.

Fie ne apropiem de z x iy pe dreapta y ct , 0y . Atunci:

0, 0 0

lim lim 1x y x

x x

x i y x

Analiza Complexa

20

Fie ne apropiem de z x iy pe dreapta x ct , 0x . Atunci:

0, 0 0

0lim lim 0

x y y

x

x i y i y

Valoarea limitei depinde de drumul pe care ne apropiem de z. În consecinţă

w Re z nu este diferenţiabilă în nici un punct.

2. :f 3f z z este diferenţiabilă pe .

0z ,

0 0

3 30 0

0

0 0

lim limz z z z

f z f z z zf z

z z z z

0 0

2 20 0 0 2 2

0 0

0

lim limz z z z

z z z zz zz zz z

z z

0

22

0 0 0 0lim i i

z zz re z re z z

2 2 2 2 2 2

0 0 0 0 0 00

lim 2 3i i i

rz z re r e z rz e z z

Atentie: 0

iz z re

Figura 7.10

Analiza Complexa

21

3. :f 2

f z z diferenţiabilă numai în 0z .

0z ,

0 0

2 20 0

0

0 0

lim limz z z z

f z f z z zf z

z z z z

0 0

222 2

0 0 0 0

0 0

lim lim

i i

i iz z z z

z re z z re z

z re z re

0 0

2 2 2 2 2 2

0 0 0 02 2lim lim

i i i i

i iz z z z

z z re r e z z re r e

re re

0

2 3

0lim 2 i i

z zz e re

Dacă 0 0z , limita pentru 0z z înseamnă limita pentru 0r şi este egală

cu 2

02 iz e şi depinde de , adică de direcţia după care z se apropie de z0.

Deci această limită nu există şi funcţia nu este diferenţiabilă.

Dacă 0 0z , limita pentru 0z z , pentru 0r este egală cu zero. 2

f z z

este diferenţiabilă în 0z .

Problemă: Care sunt condiţiile în care o funcţie complexă este

diferenţiabilă?

Teorema 1: Dacă , ,f z u x y i v x y este o funcţie diferenţiabilă într-

un punct z x iy , atunci în punctul ,x y există derivatele parţiale ale

funcţiilor ,u u x y şi ,v v x y astfel încât:

u v

x y

şi

u v

y x

(7.37)

Relaţiile (7.37) se numesc ecuaţii diferenţiale Cauchy-Riemann.

Analiza Complexa

22

Impunând condiţii asupra părţilor reală şi imaginară ale unei funcţii

de variabilă complexă se poate garanta diferenţiabilitatea acesteia.

Teorema 2: Fie funcţiile de variabile reale ,u u x y şi ,v v x y

difernţiabile în punctul ,x y . Dacă în punctul ,x y condiţiile (7.37) sunt

îndeplinite, atunci funcţia de variabilă complexă , ,f z u x y i v x y este

diferenţiabilă în punctul z x iy .

Exemple:

1. Funcţia w z x iy nu este diferenţiabilă în nici un punct,

deoarece:

1 1u v

x y

2. :f 3f z z este diferenţiabilă pe .

33 3 2 2 2 3 33 3f z z x iy x x iy xi y i y

3 2 2 33 3f z x xy i x y y

3 2, 3u x y x xy 2 3, 3v x y x y y

u v

x y

2 2 2 23 3 3 3x y x y

u v

y x

6 6xy xy

3f z z este diferenţiabilă pe .

3. :f 2

f z z diferenţiabilă numai în 0z .

2 2 2 2 2f z z x iy x y i xy

2 2,u x y x y , 2v x y xy

Analiza Complexa

23

u v

x y

2 2x x 0x

u v

y x

2 2y y 0y

2

f z z diferenţiabilă numai în 0z .