Concursul Gazeta Matematică și ViitoriOlimpici.ro

Concursul Gazeta Matematică și ViitoriOlimpici.ro

Clasa a X-a – Etapa 3 - Problema 4

Enunţ: Fie ∈ℂ, ,x y z cu = = = 1x y z . Demonstraţi că

− + − + − ≥ − ⋅ − ⋅ −x y y z z x x y y z z x .

Soluţie. Fie ∈ℝ, ,α β γ şi ∈ℂ, , ,x y z u . Atunci are loc egalitatea

( ) ( ) ( ) ( )+ + − + + = + + − + − + −

− − − − − −

2 2 2 2

2 22

α β γ u αa βb γc α β γ α u x β u x γ u z

αβ x y αγ x z βγ y z,

vezi articolul: N. Bourbăcuţ, O identitate cu numere complexe şi consecinţele

sale geometrice, Recreaţii Matematice, 2011.

Atunci obţinem

( ) ( )+ + − + − + − ≥ − + − + −2 2 22 2 2α β γ α u x β u y γ u z αβ x y αγ x z βγ y z .

Alegem = 0u şi avem

( )+ + ≥ − + − + −2 2 22α β γ αβ x y αγ x z βγ y z .

Fie = −α y z , = −β x z şi = −γ x y şi obţinem concluzia.