prepa-agreg 2007-2008

Analyse complexe

I Questions de cours

1 Que peut-on dire d’une fonction holomorphe ne prenant que des valeurs reelles?

2 Soit f une fonction holomorphe. Exprimer ∆|f |2 a l’aide de f ′.

3 Soit p ∈ N∗ Determiner le developpement en serie entiere de la fonction z 7→ 1(z−1)p

dans le disque unite D.

4 Montrer que la formule Γ(z) =∫∞

0tz−1e−tdt definit une fonction holomorphe dans

un domaine a preciser.

5 Montrer que la formule ζ(s) =∑∞

11ns

definit une fonction holomorphe dans undomaine a preciser.

6 Soit Ω = z = x + iy ∈ C; |xy| < 1, et soit f : Ω → C une fonction holomorphene s’annulant pas. Montrer qu’il existe une fonction g ∈ H(Ω) telle que g2 = f .

7 Determiner le developpement de Laurent de la fonction z 7→ e1/z

z−1dans la couronne

|z| > 1.8 Soit f : C∗ → C une fonction holomorphe bornee au voisinage de 0. Montrer quef se prolonge en une fonction holomorphe sur C.

9 Montrer que si f est une fonction holomorphe injective, alors f ′ ne s’annule jamais.

10 Calculer l’integrale∫∞

0dt

1+t4.

11 Determiner la transformee de Fourier de la fonction t 7→ 11+t2

.

12 Montrer que l’application z 7→ z+iz−i est une bijection holomorphe du disque unite

D sur un ouvert a preciser.

II Exercices

Exercice 1 Soient f1, ... , fn des fonctions holomorphes sur un ouvert connexe. Onsuppose que la fonction

∑n1 |fi|2 est constante. Montrer que toutes les fi sont con-

stantes.

Exercice 2 Soit k un entier superieur ou egal a 2. Montrer qu’il n’existe pas dedetermination continue de z1/k sur le cercle T.

1

2

Exercice 3 Montrer que pour tout a ∈ C, la fonction t 7→ e−(t+a)2 est integrable surR, et qu’on a ∫ ∞

−∞e−(t+a)2dt =

∫ +∞

−∞e−t

2

dt .

En deduire la transformee de Fourier de la fonction t 7→ e−t2.

Exercice 4 En integrant e−z2

sur le bord des secteurs Reiθ; 0 ≤ θ ≤ π4, R > 0,

montrer que les integrales∫∞

0cos (t2) dt et

∫∞0

sin (t2) dt sont convergentes et calculerces integrales.

Exercice 5 En integrant eiz

zsur le bord des demi-couronnes Im(z) ≥ 0 , ε ≤ |z| ≤

R, 0 < ε < R, calculer l’integrale

I =

∫ ∞0

sinx

xdx .

Exercice 6 Pour z ∈ C\R, on definit Φz : R→ C par

Φz(t) =1

t− z.

1 Montrer que toutes les fonctions Φz appartiennent a L2(R).2 On note U le demi-plan superieur Im(z) > 0. Soit f une fonction holomorpheau voisinage de U . On suppose que f(z) tend vers 0 quand |z| tend vers l’infini,Im(z) > 0, et on suppose aussi que f ∗ := f|R appartient a L2(R). Montrer que pourtout point z ∈ U , on a la formule de reproduction

f(z) = 〈f ∗,Φz〉 ,ou 〈 , 〉 est le produit scalaire usuel sur L2(R).

Exercice 7 Soit ϕ une fonction holomorphe au voisinage d’un segment Γ = [ia ; ib]

de l’axe imaginaire. Pour z ∈ C\Γ, on pose Φ(z) = 12iπ

∫Γϕ(ζ)ζ−z dζ. Montrer que pour

tout point ζ ∈ ]ia ; ib[, on a

ϕ(ζ) = limz→ζ

Re(z)<0

Φ(z)− limz→ζ

Re(z)>0

Φ(z) .

Exercice 8 Soit f(z) =∑∞

0 anzn une fonction holomorphe dans le disque unite D.

1 Montrer qu’on definit une fonction holomorphe dans le demi-plan Re(z) < 1/2en posant

F (z) =1

1− zf

(z

1− z

).

3

2 Montrer que dans le disque D(0 ; 1/2), on a

F (z) =∞∑n=0

(n∑k=0

Ckn ak

)zn .

Exercice 9 (nombres de Fibonacci)

1 Montrer que la fonction f definie par f(z) = 11−z−z2 est holomorphe au voisinage

de 0, et determiner ses coefficients de Taylor an en 0.2 Montrer que la suite (an) verifie la relation de recurrence lineaire

an+2 = an+1 + an .

En deduire que les an sont des entiers positifs. Les an sont appeles les nombres deFibonacci.

Exercice 10 Montrer que si f(z) =∑∞

0 cnzn est une fonction holomorphe dans un

disque D(0, R), alors on a

∞∑n=0

|cn|2r2n+2

2n+ 2=

1

2π

∫D(0,r)

|f |2 dm

pour tout r < R, ou m est la mesure de Lebesgue sur C. En deduire que si f unefonction holomorphe dans un ouvert Ω ⊂ C, alors, pour tout point z ∈ Ω et pourtout entier n ≥ 0, on a

|f (n)(z)| ≤ n!(n+ 1)1/2

√πr(z)n+1 ‖f‖L2(Ω) ,

ou r(z) = d(z, ∂Ω).

Exercice 11 On note m la mesure de Lebesgue sur C. Montrer que si f ∈ H(D),f(z) =

∑∞0 cnz

n, alors∫D|f ′(z)|2

(1− |z|2

)dm(z) =

∞∑0

n

n+ 1|cn|2 .

En deduire qu’on a∞∑n=0

|cn|2 <∞ si et seulement si∫

D |f′(z)|2(1−|z|2) dm(z) < +∞,

et qu’on a alors

1

2

∞∑n=1

|cn|2 ≤∫

D|f ′(z)|2

(1− |z|2

)dm(z) ≤

∞∑n=1

|cn|2 .

4

Exercice 12 Soit f une fonction holomorphe injective dans le disque unite D. Ennotant m la mesure de Lebesgue sur C, montrer qu’on a

m(f(D)) =

∫D|f ′(z)|2 dm(z) .

En deduire une expression de m(f(D)) a l’aide des coefficients de Taylor de f .

Exercice 13 Soit g : D→ C une fonction continue sur D, holomorphe dans D et nes’annulant pas sur D. Montrer qu’on a

Log |g(0)| = 1

2π

∫ 2π

0

Log |g(eiθ)| dθ .

Exercice 14 (formule de Jensen)

A1 Montrer que l’integrale I(t) =∫ 2π

0Log |t−eiθ| dθ est bien definie pour tout t ∈ R+

et depend continument de t.A2 Calculer I(t) pour t > 1, puis pour t ≤ 1.

A3 Pour a ∈ C et r > 0, calculer l’integrale∫ 2π

0Log |a− reiθ| dθ.

B Soit f une fonction holomorphe au voisinage d’un disque ferme D = D(0, r), avecf(0) 6= 0.

1 Montrer que f n’a qu’un nombre fini de zeros dans D.2 On note a1, . . . , aN les zeros de f , comptes avec leur multiplicite. Etablir la formule

1

2π

∫ 2π

0

Log |f(reiθ)| dθ = Log |f(0)|+N∑j=1

Log

∣∣∣∣ raj∣∣∣∣ .

Exercice 15 (inegalite de Borel-Caratheodory)

1 Soit g une fonction holomorphe au voisinage d’un disque ferme D(0, R), et soitv = Re(g). En considerant d’abord les parties reelles, montrer que pour tout z ∈D(0, R), on a

g(z)− g(0) =

∫ 2π

0

2z

Reiθ − zv(Reiθ)

dθ

2π·

2 Soit f une fonction holomorphe au voisinage d’un disque ferme D(0, R). Pourr ≤ R, on pose M(r) = sup |f(z)|; |z| = r et A(r) = sup Re(f(z)); |z| = r. Enappliquant 1 a la fonction f − f(0), montrer que pour tout r < R, on a

M(r) ≤ 2r

R− rA(R) +

R + r

R− r|f(0)| ·

3 Que peut-on dire d’une fonction entiere dont la partie reelle est bornee?

5

Exercice 16 (fonctions entieres de type exponentiel)

On dit qu’une fonction entiere est de type exponentiel s’il existe une constante C telleque f(z) = O(eC|z|) quand |z| tend vers l’infini. La borne inferieure des nombres Cverifiant cette propriete s’appelle le type de la fonction f .

1 Montrer que les fonctions z 7→ ez et z 7→ sin z sont de type exponentiel 1.2 Soit C > 0, et soit f une fonction entiere de type exponentiel strictement inferieura C. On note cn les coefficients de Taylor de f .

a Montrer qu’il existe R > 0 et une constante A tels que |cn|rn ≤ AeCr pour toutr > R.

b En deduire qu’on a |cn| = O(Cen

)n quand n tend vers l’infini.3 Soit f une fonction entiere de type exponentiel C.

a Montrer que la serie entiere∑n!cnz

n+1 a un rayon de convergence au moinsegal a 1/C.

b Pour |z| > C, on pose

g(z) =∞∑0

n!cnzn+1

·

Montrer que pour toute fonction entiere h et pour tout r > C, on a

1

2iπ

∫∂D(0,r)

g(z)h(z) dz =∞∑0

cnh(n)(0) .

c Montrer que pour |z| > C, on peut ecrire

g(z) =1

z

∫ ∞0

f

(t

z

)e−t dt .

d Determiner la fonction g lorsque f(z) = sin(πz).

Exercice 17 Montrer que la suite (tan(nz)) converge uniformement sur tout compactde C\R.

Exercice 18 Montrer que pour tout z ∈ D, on a∞∏0

(1 + z2k) =1

1− z.

Exercice 19 Montrer que la fonction s 7→ ζ(s)− 1s−1

se prolonge holomorphiquement

au demi-plan Re(s) > 0. On pourra ecrire 1s−1

comme une integrale.

Exercice 20 (prolongement meromorphe de Γ)

6

A Montrer que si z ∈ C verifie Re(z) > 0, alors

Γ(z) =∞∑n=0

(−1)n

n!

1

z + n+

∫ ∞1

tz−1e−tdt .

En deduire que la fonction Γ se prolonge en une fonction meromorphe sur C dont lespoles sont les entiers negatifs.

B Redemontrer le resultat de A en utilisant l’identite Γ(z + 1) = zΓ(z).

Exercice 21 Soit a > 0 et soit ϕ : R→ C une fonction de classe C∞ a support dans[−a; a]. Montrer que la formule

F (z) =

∫ +∞

−∞e−itz ϕ(t) dt

definit une fonction entiere, et que pour tout entier n ≥ 0, on a |F (z)| = O(|z|−n ea |Im(z)|)

quand |z| tend vers l’infini.

Exercice 22 Le but de l’exercice est de donner une preuve du theoreme de Monteln’utilisant pas le theoreme d’Ascoli. On fixe donc un ouvert Ω ⊂ C et une suite(fn) ⊂ H(Ω) uniformement bornee sur tout compact, et on cherche a extraire de(fn) une sous-suite qui converge uniformement sur tout compact.

1 On suppose ici que Ω est un disque D(0, R). On note ck(f) les coefficients deTaylor d’une fonction f ∈ H(Ω).

a Pour k ∈ N, on pose ck = supn |ck(fn)|. Montrer que ck est fini pour tout k, etque le rayon de convergence de la serie

∑ckz

k est au moins egal a R.b Montrer que (fn) admet une sous-suite (gn) telle que toutes les suites (ck(gn))n≥0

sont convergentes. On pose ck = limn→∞ ck(gn).c Montrer que la formule g(z) =

∑∞0 ckz

k definit une fonction holomorphe dansΩ et que la suite (gn) converge vers g uniformement sur tout compact de Ω.2 Traiter le cas d’un ouvert Ω quelconque.

Exercice 23 Soit Ω un ouvert de C. La topologie de H(Ω) peut-elle etre definie parune norme?

Exercice 24 Soit Ω un ouvert de C, et soit p ∈ N∗. On pose

H(Ω)p = f ∈ H(Ω); ∃g ∈ H(Ω) : gp = f .Montrer que H(Ω)p est ferme dans H(Ω)

Exercice 25 Soit (fn) une suite de fonctions holomorphes dans un ouvert Ω ⊂ C.On suppose que (fn) converge simplement vers une fonction f .

7

1 En utilisant le theoreme de Baire, montrer qu’il existe un ouvert dense Ω′ ⊂ Ω telque la suite (fn) est uniformement bornee au voisinage de chaque point de Ω′.2 Montrer que f est holomorphe sur Ω′.3 Essayer de trouver un exemple ou Ω′ 6= Ω.

Exercice 26 Pour λ ∈ C, on note eλ la fonction z 7→ eλz.

1 Montrer que si L est une forme lineaire continue sur H(C), alors la fonction Fdefinie par

F (λ) = L(eλ)

est une fonction entiere, et exprimer les derivees de F en 0.2 Soit V un ouvert non vide de C. En utilisant 1 et le theoreme de Hahn-Banach,montrer que l’espace vectoriel engendre par la famille (eλ)λ∈V est dense dans H(C).

Exercice 27 Soit α ∈ ]0 ;π[; on note Sα le secteur |Arg(z)| < α. Montrer que si fest une fonction continue sur Sα ∩ D, holomorphe dans Sα ∩ D, et ne prend que desvaleurs reelles sur Sα ∩ ∂D, alors f se prolonge en une fonction holomorphe sur Sα.

Exercice 28 Soit f une fonction holomorphe dans D+ = D ∩ Im(z) > 0, continuesur D+, et nulle sur ]− 1; 1 [. Montrer que f est identiquement nulle.

Exercice 29 Soit f une fonction holomorphe bornee dans la bande |Im(z)| < 1.On suppose qu’on a limx→+∞ f(x) = 0. Montrer qu’on a limx→+∞ f(x+ iy) = 0 pourtout y ∈ ]− 1; 1[.

Exercice 30 Que peut-on dire d’une fonction ϕ : R→ C continue a support compactdont la transformee de Fourier est egalement a support compact?

Exercice 31 Montrer que la formule

F (z) =

∫ +∞

−∞eitze−t

2

dt

definit une fonction entiere. Calculer ensuite F (ix) pour x ∈ R, et en deduire lavaleur de F (z) pour tout z ∈ C.

Exercice 32 (Fonctions de Bessel)

Pour z ∈ C, on note Fz la fonction holomorphe definie sur C∗ par

Fz(w) = exp

[z

2

(w − 1

w

)]·

8

1 On note Jn(z) le n-ieme coefficient de Laurent de Fz en 0. Montrer que la fonctionJn ainsi definie est une fonction entiere, et exprimer ses coefficients de Taylor en 0.La fonction Jn s’appelle la fonction de Bessel d’indice n.2 Pour n ∈ N, verifier les relations suivantes :

J−n(z) = (−1)nJn(z) ;d

dz

(Jn(z)

zn

)= −Jn+1(z)

zn;d

dz(znJn(z)) = znJn−1(z) .

3 En utilisant le developpement en serie de Fourier de la fonction θ 7→ eiz sin θ, montrerque pour tout n ∈ Z et pour tout z ∈ C, on a

Jn(z) =1

π

∫ π

0

cos (z sin θ − nθ) dθ .

4 Montrer que Jn est solution d’une equation differentielle du second ordre que l’onexplicitera.

Exercice 33 Soit f une fonction entiere non constante. Montrer que f(C) est densedans C.

Exercice 34 Determiner toutes les fonctions entieres f verifiant lim|z|→∞ |f(z)| =+∞.

Exercice 35 (decomposition en elements simples)

Soit f une fonction rationnelle verifiant lim|z|→∞ f(z) = 0. On note S l’ensembledes poles de f , et Ra la partie principale de f en un point a ∈ S. En utilisantconvenablement le theoreme de Liouville, etablir la formule de decomposition enelements simples :

f(z) =∑a∈S

Ra(z) .

Exercice 36 Soient f, g deux fonctions entieres verifiant |f(z)| ≤ |g(z)| pour toutz ∈ C. Montrer que f et g sont proportionnelles.

Exercice 37 Soit f une fonction entiere. Pour α ∈ R+, on pose fα(z) = f(αz).

1 On suppose que les fonctions fα, α ∈ R+ ne sont pas lineairement independantes.Montrer qu’on peut trouver trois constantes C, α, β telles que 0 ≤ α < β et

∀t ≥ 0 : M(βt) ≤ CM(αt) ,

ou on a pose M(r) = sup |f(z)|; |z| = r.2 Montrer que si f n’est pas polynomiale, alors les fonctions fα sont lineairementindependantes.

9

3 Demontrer “a la main” le resultat de 2 dans le cas ou tous les coefficients de Taylorde f en 0 sont tous non nuls.

Exercice 38 (injectivite de la transformation de Fourier)

Soit f : R→ C une fonction integrable dont la transformee de Fourier est identique-ment nulle. Le but de l’exercice est de montrer que f est nulle (presque partout)sans utiliser la formule d’inversion de Fourier.

1 Soit a ∈ R fixe. On note U le demi-plan Im(z) > 0, et pour z ∈ U , on pose

F (z) =

∫ a

−∞f(t) e−iz(t−a)dt .

a Montrer que F est continue bornee sur U et holomorphe sur U .b Determiner limy→+∞ F (iy).

c Observer qu’on a F (x) = −∫ +∞a

f(t) e−ix(t−a)dt pour tout x ∈ R, et en deduireque F se prolonge en une fonction entiere bornee.2 Deduire de 1 qu’on a

∫ a−∞ f(t) dt = 0 pour tout a ∈ R, et conclure.

Exercice 39 (une caracterisation de la fonction Γ)

A1 Montrer que la fonction Γ est bornee dans la bande 1 ≤ Re(z) < 2.A2 Soit f une fonction holomorphe dans le demi-plan Re(z) > 0. On suppose quef verifie les proprietes suivantes :

(i) f(1) = 1;(ii) f(z + 1) = zf(z) pour tout z;

(iii) f est bornee dans la bande 1 ≤ Re(z) < 2.On pose ϕ = f − Γ.

a Montrer que ϕ verifie (ii), et en deduire que ϕ se prolonge en une fonctionmeromorphe sur C, dont les poles eventuels sont entiers negatifs. Montrer enfin queϕ se prolonge en une fonction entiere, notee Φ.

b Montrer que Φ verifie (ii) sur C tout entier, puis montrer que Φ est bornee dansla bande 0 ≤ Re(z) ≤ 1.

c Deduire de b que la fonction z 7→ Φ(z)Φ(1− z) est constante, puis montrer queΦ est identiquement nulle.A3 Conclure que la fonction Γ est la seule fonction holomorphe sur Re(z) > 0verifiant les proprietes (i), (ii) et (iii).

B Montrer que pour tout entier k ≥ 2, on a

k−1∏i=0

Γ

(z +

i

k

)≡ (2π)

12 (k−1) k

12−kz Γ(kz) .

10

Exercice 40 Soit n ∈ N∗; on note Γn ⊂ T l’ensemble des racines (n + 1)-iemes del’unite.

1 Pour k ∈ N, calculer∑

ζ∈Γnζk.

2 Montrer que pour tout polynome P ∈ C[X] de degre inferieur ou egal a n, on a

|P (0)| ≤ sup |P (ζ)|; ζ ∈ Γn .

Exercice 41 (principe du maximum pour un ouvert non borne)

A On note U le demi-plan Re(z) > 0. Trouver une fonction f : U → C continuesur U , holomorphe dans U , bornee sur ∂U , mais non bornee sur U .

B Soit Ω un ouvert de C non borne. Soit f : Ω → C continue sur Ω, holomorphedans Ω et bornee sur Ω.

1 On suppose qu’on a lim|z|→∞ f(z) = 0. Montrer que f est bornee et qu’on asupΩ |f | = sup∂Ω |f |.2 On suppose que Ω ne rencontre pas le disque unite D. En appliquant 2 auxfonctions z 7→ f(z)n/z, montrer qu’on a supΩ |f | = sup∂Ω |f |.3 Montrer que si Ω n’est pas dense dans C, alors supΩ |f | = sup∂Ω |f |.4 Que peut-on dire si Ω est dense dans C?

Exercice 42 (theoreme des 3 droites; theoreme des 3 cercles)

1 Soit Ω = z ∈ C; 0 < Re(z) < 1 et soit g : Ω→ C continue, bornee, holomorphedans Ω. Pour x ∈ [0 ; 1], on pose Mx = supt∈R |g(x + it)|. En utilisant l’exerciceprecedent, montrer que pour tout x ∈ [0 ; 1], on a

Mx ≤M1−x0 Mx

1 .

2 Soient 0 ≤ r1 < r2. On pose V = z ∈ C; r1 < |z| < r2. Soit f : V → C continuesur V et holomorphe dans V . Pour r ∈ [r1; r2], on pose M(r) = sup|f(z)|; |z| = r.En utilisant 1, montrer que si r ∈ [r1; r2] et si θ ∈ [0 ; 1] est tel que Log(r) =

(1− θ) Log(r1) + θ Log(r2), autrement dit θ = Log (r/r1)Log (r2/r1)

, alors

M(r) ≤M(r1)θM(r2)1−θ .

3 Exprimer les resultats de 1 et 2 en termes de fonctions convexes.

Exercice 43 (Phragmen-Lindelof)

On note U le demi-plan Re(z) > 0. Soit f : U → C continue sur U et holomorphedans U . On suppose que f est bornee sur ∂U , et on suppose de plus qu’il existe unnombre α ∈ [0 ; 1[ et une constante C tels que |f(z)| ≤ Ce|z|

αpour tout z ∈ U .

1 Soit β verifiant α < β < 1. Pour ε > 0, on definit fε : U → C par

fε(z) = e−ε(z+1)βf(z) .

11

a Justifier la definition de fε, et montrer qu’on a lim|z|→∞ fε(z) = 0.b Montrer qu’on a supU |fε| = sup∂U |f |

2 Montrer que f est bornee sur U , et qu’on a supU |f |= sup∂U |f |.

Exercice 44 (inegalite de Bernstein)

Pour tout polynome R ∈ C[X], on pose ‖R‖∞ = sup |R(z)|; |z| = 1.1 Soit P ∈ C[X] verifiant ‖P‖∞ = 1; on note n le degre de P .

a En considerant le polynome P ∗ = XnP (1/X) et en appliquant le principe dumaximum, montrer que si |z| ≥ 1, alors |P (z)| ≤ |z|n.

b En deduire que si |λ| > 1, alors Q = P −λXn a toutes ses racines dans le disqueunite D.2 Montrer que si Q ∈ C[X], alors les racines de Q′ sont dans l’enveloppe convexe decelles de Q.3 Deduire de 1 et 2 que pour tout polynome P ∈ C[X] de degre n, on a

‖P ′‖∞ ≤ n ‖P‖∞ .

4 L’inegalite precedente est-elle optimale?

Exercice 45 (Holder)

1 Soit (X,A, µ) un espace mesure, et soient f, g deux fonctions mesurables stricte-ment positives sur X.

a On note V le rectangle z = x + iy; 0 < x < 1 , |y| < 1, et pour z ∈ V , onpose

Φ(z) =

∫f 1−zgz dµ(∫

f dµ)1−z (∫

g dµ)z ·

Montrer que Φ est continue sur V , holomorphe sur V , et qu’on a |Φ(z)| ≤ |Φ(x)|pour tout point z = x+ iy ∈ V .

b En appliquant le principe du maximum, montrer que pour tout x ∈ [0 ; 1], on a∫f 1−xgx dµ ≤

(∫f dµ

)x(∫g dµ

)1−x

.

2 Demontrer l’inegalite de Holder.

Exercice 46 Soit f une fonction holomorphe dans le disque unite D. Pour r < 1,on pose

M(r) = sup |f(z)|; |z| = r ,

I1(r) =

∫ 2π

0

|f(reiθ)| dθ2π

,

12

I2(r) =

(∫ 2π

0

|f(reiθ|2 dθ2π

)1/2

.

1 Montrer qu’on a I1(r) ≤ I2(r) ≤ M(r) pour tout r < 1, et que si r < s < 1, alorsM(r) ≤ s

s−r I1(r).2a Montrer que M(r) et I2(r) sont des fonctions croissantes de r.

2b Montrer que I1(r) est egalement une fonction croissante de r. Etant donnesr < s < 1, on pourra appliquer le principe du maximum a la fonction z 7→∫ϕ(θ)f(zeiθ) dθ pour une fonction ϕ : [0 ; 2π]→ C convenablement choisie.

Exercice 47 (inegalite de von Neumann)

Si E est un C-espace vectoriel, on dit qu’une application R : Cn → E est polynomiales’il existe e1, ... , eN ∈ E et des polynomes R1, ... , RN ∈ C[X1, ... , Xn] tels que

R(z1, ... , zn) ≡∑i

Ri(z1, ... , zn) ei .

Lorsque E est de dimension finie, il revient au meme de dire que les coordonneesde R(z1, ... , zn) dans une base quelconque de E sont des fonctions polynomiales de(z1, ... , zn).

1 Montrer que si R : Cn → C est polynomiale alors

|R(λ1, ... , λn)| ≤ sup(∂D)n

|R(ζ1, ... , ζn)|

pour tout (λ1, ... , λn) ∈ Dn. En deduire, a l’aide du theoreme de Hahn-Banach, que

si (E, ‖ . ‖) est un espace vectoriel norme complexe et si R : Cn → E est polynomiale,alors

supDn‖R(λ1, ... , λn)‖ = sup

(∂D)n‖R(ζ1, ... , ζn)‖ .

2 Soit M ∈ Mn(C); on note λ1, ... , λn les valeurs propres de la matrice√M∗M , ou

M∗ = tM . En utilisant la decomposition polaire, montrer qu’il existe une applicationQ : Cn →Mn(C) verifiant les proprietes suivantes : Q est polynomiale

Q(λ1, ... , λn) = MQ(z1, ... , zn) est unitaire si |z1| = ... = |zn| = 1

3 On note ‖ . ‖ la norme sur Mn(C) subordonnee a la norme hermitienne usuellesur Cn. Montrer que si M ∈ Mn(C) verifie ‖M‖ ≤ 1, alors, pour tout polynomeP ∈ C[X], on a

‖P (M)‖ ≤ sup|P (z)| ; z ∈ D

.

Exercice 48 (principe de subordination)

13

Soient f et F deux fonctions holomorphes dans le disque unite D. On supposequ’on a f(0) = F (0) , f(D) ⊂ F (D), et que F est injective. En utilisant le lemmede Schwarz, montrer que pour tout r < 1, on a f(D(0, r)) ⊂ F (D(0, r)), et doncsup|z|=r |f(z)| ≤ sup|z|=r |F (z)|.

Exercice 49 (automorphismes de D)

A Soit a ∈ D. Pour z 6= 1/a, on pose ϕa(z) =a− z1− az

.

1 Calculer |ϕa(ζ)| pour ζ ∈ ∂D, et en deduire qu’on a ϕa(D) ⊂ D.2 Montrer que la restriction de ϕa a D est une bijection holomorphe de D sur D, etdeterminer sa reciproque.

B Soit ϕ un automorphisme de D, i.e. une bijection holomorphe de D sur D.

1 On suppose qu’on a ϕ(0) = 0. En appliquant le lemme de Schwarz a ϕ et ϕ−1,montrer que ϕ est une rotation : ϕ(z) = λz, ou |λ| = 1.2 Dans le cas general, montrer que ϕ est de la forme ϕ(z) = λϕa(z), ou |λ| = 1 eta ∈ D.

C (forme invariante du lemme de Schwarz)

1 En utilisant le lemme de Schwarz, montrer que si f est une fonction holomorphesur D verifiant f(D) ⊂ D, alors∣∣∣∣∣ f(b)− f(a)

1− f(b)f(a)

∣∣∣∣∣ ≤∣∣∣∣ b− a1− ba

∣∣∣∣pour tous a, b ∈ D, et

|f ′(z)|1− |f(z)|2

≤ 1

1− |z|2

pour tout z ∈ D.

2 Pour a, b ∈ D, on pose

δ(a, b) = |ϕb(a)| =∣∣∣∣ b− a1− ba

∣∣∣∣ .a Montrer que si a, b, c ∈ D, alors δ(ϕc(a), ϕc(b)) = δ(a, b).b En utilisant l’identite

1−∣∣∣∣ b− a1− ba

∣∣∣∣2 =

(1− |b|2

) (1− |a|2

)∣∣1− ba∣∣2 ,

montrer que si a, b ∈ D, alors

δ(a, b) ≤ |a|+ |b|1 + |a||b|

≤ |a|+ |b|

14

c Deduire de a et b que δ est une distance sur D et que les ϕc sont des isometriespour δ. On dit que δ est la distance pseudo-hyperbolique sur le disque D.

d Comment s’enonce le resultat de 1 en termes de distance pseudo-hyperbolique?

Exercice 50 Soit f : D → C continue sur D et holomorphe dans D. On supposequ’on a f(D) ⊂ D, et que f s’annule en a1, ... , an ∈ D avec multiplicites m1, ... ,mn.Montrer qu’on a |f(0)| ≤ |a1|m1 ... |an|mn .

Exercice 51 Trouver le nombre de solutions de l’equation z5+12z3+3z2+20z+3 = 0dans la couronne 1 < |z| < 2.

Exercice 52 Soit a ∈ R, a > e, et soit n ∈ N∗. Montrer que f(z) = azn − ez admetn zeros simples dans le disque unite D.

Exercice 53 Pour n ∈ N, on note Pn le n-ieme polynome de Taylor de la fonctionexponentielle,

Pn(z) =n∑0

zk

k!,

et on note Zn l’ensemble des zeros de Pn.

1 Montrer que Rn = inf |z|; z ∈ Zn tend vers l’infini avec n.2 En appliquant convenablement le theoreme de Rouche, montrer que pour toutn ∈ N, on a

Zn ⊂ D(0, 2n) .

Exercice 54 (fonctions implicites)

A Soit f une fonction holomorphe au voisinage d’un disque D(0, r) et ne s’annulantpas sur ∂D(0, r).1 Soit ϕ une autre fonction holomorphe au voisinage de D(0, r). Exprimer l’integrale

1

2iπ

∫∂D(0,r)

f ′(z)

f(z)ϕ(z) dz

a l’aide des zeros de f situes dans le disque D(0, r).2 On suppose que f admet un seul zero a dans le disque D(0, r), et que ce zero estsimple. Exprimer a par une formule integrale.

B Soit r = 1/√

3, et soit V le disque D(0, 2r/3).1 Montrer que si λ ∈ V , alors il existe un unique z ∈ C verifiant |z| < r et z3 +z = λ.On pose z = f(λ).

15

2 Montrer que pour λ ∈ V , on a

f(λ) =1

2iπ

∫∂D(0,r)

ζ(3ζ2 + 1)

ζ3 + ζ − λdζ .

En deduire que la fonction f est holomorphe dans V , et trouver son developpementen serie entiere.

C Montrer que si λ est assez proche de 1, alors l’equation z4− 5z+λ = 0 admet uneunique solution dans le disque unite D. Montrer que ϕ est holomorphe au voisinagede 1, et trouver son developpement en serie entiere au voisinage de 1.

Exercice 55 (Hurwitz)

Soit Ω un ouvert connexe de C, et soit (fn) une suite de fonctions holomorphes surΩ. On suppose que (fn) converge dans H(Ω) vers une fonction f .

1 Montrer que si les fn ne s’annulent jamais, alors ou bien f ne s’annule jamais, oubien f est identiquement nulle.2 Montrer que si les fn sont injectives, alors ou bien f est injective, ou bien f estconstante.

Exercice 56 Calculer I1 =

∫ ∞0

dx

1 + x6et I2 =

∫ +∞

−∞

dx

(x2 + x+ 1)2·

Exercice 57 Soit n un entier strictement positif . Determiner la transformee de

Fourier de la fonction t 7→ 1

1 + t2n.

Exercice 58 Calculer l’integrale

∫ ∞0

sin2 x

x2dx.

Exercice 59 Soit n un entier au moins egal a 2, et soit α verifiant 1 − n < α < 1.Calculer

I =

∫ ∞0

dx

xα(1 + xn)·

Exercice 60 Pour α ∈ ]− 1 ; 1 [, calculer l’integrale

Iα =

∫ ∞0

xαLogx

x2 − 1dx

apres avoir justifie son existence.

Exercice 61 (calculs de sommes)

16

A Soit F = P/Q une fonction rationnelle n’ayant aucun pole entier, avec de plusdeg(Q) ≥ deg(P ) + 2.

1 Pour n ∈ N, on note Rn le carre de sommets (±(n+ 12) ,±(n+ 1

2)). Montrer qu’on

a

limn→∞

∫∂Rn

F (z)

tan(πz)dz = 0 = lim

n→∞

∫∂Rn

F (z)

sin(πz)dz .

2 On note P l’ensemble des poles de F . Etablir les formules

+∞∑−∞

F (n) = −∑p∈P

Res

(F (z)

tan(πz), p

),

+∞∑−∞

(−1)nF (n) = −∑p∈P

Res

(F (z)

sin(πz), p

).

B Calculer les sommes suivantes.

S1 =∞∑1

1

n2 ; S2 =∞∑0

1

n2 + a2 , 0 < a < 1 ; S3 =+∞∑−∞

(−1)n

n2 + a2 , 0 < a < 1 ;

S4 =∞∑0

1

n2 − a2 , a ∈ C\Z ; S5 =∞∑1

1

n2k= ζ(2k) , k ∈ N∗ .

Exercice 62 (somme binomiale)

1a Montrer que pour k, n ∈ N, k ≤ n, on a

Ckn =

1

2iπ

∫∂D

(1 + z)n

zk+1dz .

1b En deduire la majoration Cn2n ≤ 4n.

2 Calculer l’integrale

I =

∫∂D

dz

z2 − 3z + 1·

3 En utilisant 1 et 2, etablir la formule∞∑0

5−nCn2n =

√5 .

Exercice 63 (sommes de Gauss)

Dans tout l’exercice, n est un entier strictement positif.

17

1 Soient ε ,R verifiant 0 < ε < 1/2 et ε < R. On note Qε,R le rectangle de sommets±iR, n

2± iR, et on pose Kε,R = z ∈ Qε,R; |z| ≥ ε ,

∣∣z − n2

∣∣ ≥ ε. Dessiner Kε,R, etmontrer qu’on a ∫

∂Kε,R

e2iπz2/n

e2iπz − 1dz =

∑0<k<n/2

e2iπk2/n .

2 Comparer les deux sommes∑

0<k<n/2

e2iπk2/n etn−1∑k=0

e2iπk2/n.

3 Deduire de 1 et 2 le calcul de la n-ieme somme de Gauss :n−1∑k=0

e2iπk2/n =√n

1 + (−i)n

1− i·

Exercice 64 (formule des complements)

A Soit α ∈ ]0; 1[. En utilisant le theoreme des residus, etablir la formule∫ ∞0

dt

tα(1 + t)=

π

sin πα·

B En utilisant convenablement le theoreme de changement de variables, montrer quepour tout α ∈ ]0; 1[, on a

Γ(α)Γ(1− α) =

∫ ∞0

dv

v1−α(1 + v)·

C Montrer que pour z ∈ C verifiant 0 < Re(z) < 1, on a

Γ(z)Γ(1− z) =π

sinπα·

Exercice 65 Le but de l’exercice est de montrer que si a est un nombre reel stricte-ment positif, alors, pour Re(z) > 2, on a

1

Γ(z)=

1

2π

∫ +∞

−∞

ea+iu

(a+ iu)zdu .

1 Pour a > 0 et λ ∈ R, on pose

Ia(λ) =

∫ +∞

−∞

eλ(a+iu)

(a+ iu)2du .

a Montrer que Ia(λ) est independant de a.b En utilisant le theoreme des residus, calculer Ia(λ) lorsque λ ≥ 0.c Montrer que si λ < 0, alors Ia(λ) = 0.

18

2 Soit a > 0. Pour Re(z) > 2, montrer qu’on peut ecrire

Γ(z)×∫ +∞

−∞

ea+iu

(a+ iu)zdu = (z − 1)(z − 2)

∫ +∞

−∞

∫ ∞0

tz−3e−(a+iu)t ea+iu

(1 + iu)2dt du ·

3 Conclure.

III Problemes

Probleme 1 (points singuliers d’une serie entiere)

Dans tout le probleme, S =∑

n≥0 cnzn est une serie entiere de rayon de convergence

R fini et non nul. On note f la somme de cette serie dans le disque D(0, R).

A (generalites)

On dit qu’un point ζ ∈ ∂D(0, R) est un point regulier pour S si la fonction f admetun prolongement holomorphe au voisinage de ζ, autrement dit s’il existe un ouvert Ωcontenant D(0, R)∪ζ et une fonction F ∈ H(Ω) telle que F ≡ f dans D(0, R). Unpoint de ∂D(0, R) non regulier pour S est dit singulier. On note Sing(S) l’ensembledes points singuliers pour S.

1 Determiner Sing(S) lorsque S =∑

n≥0 zn et lorsque S =

∑n≥1

(−1)n

nzn. Y-a-t-il un

lien entre la regularite d’un point ζ ∈ ∂D(0, R) et la convergence de la serie∑cnζ

n?2 Montrer que Sing(S) est un ferme de ∂D(0, R).3 Montrer que Sing(S) est toujours non vide.

B Pour a ∈ D(0, R), on note r(a) le rayon de convergence de la serie de Taylor Sa =∑ f (n)(a)n!

(z − a)n, et on definit les points reguliers et singuliers pour Sa exactementcomme en A.

1a Montrer que pour tout a ∈ D(0, R), on a r(a) ≥ R− |a|.1b Montrer que si a 6= 0 et si r(a) = R−|a|, alors tous les points du cercle ∂D(a, r(a))sauf peut-etre ζ = R a

|a| sont reguliers pour la serie Sa. En deduire que pour a 6= 0,

on a r(a) = R− |a| si et seulement si ζ = R a|a| est un point singulier pour la serie S.

2 On suppose que tous les coefficients cn sont positifs.a Montrer que pour tout a ∈ D(0, R), on a r(a) ≥ r(|a|).b En considerant les points du cercle |a| = R/2, en deduire, a l’aide de 1b, que

le point ζ = R est un point singulier pour S (theoreme de Pringhsheim).

C Dans cette partie, on suppose que R est egal a 1. Pour n ∈ N, on pose sn =∑n

0 ck.

1 Montrer que pour tout z ∈ D, on a f(z) = (1− z)∑∞

n=0 snzn.

2 En deduire que si les ck sont reels et si limn→∞ sn = +∞, alors 1 ∈ Sing(S).3 Le resultat de 2 est-il encore valable si on suppose seulement qu’on a limn→∞ |sn| =+∞?

19

D Dans cette partie, S est la serie entiere∑zn!.

1 Montrer que si ζ0 ∈ ∂D est de la forme e2iπα, ou α ∈ Q, alors limr→1− |f(rζ0)| =+∞.2 Montrer que tous les points de ∂D sont singuliers pour S.

E Dans cette partie, on suppose que R = 1 et que S est de la forme S =∑cnz

pn ,ou la suite (pn) est lacunaire, ce qui signifie qu’il existe une constante c > 1 telle quepn+1/pn ≥ c pour tout n ∈ N. On veut montrer que tous les points du cercle T sontsinguliers pour S (theoreme des lacunes d’Hadamard).

1 Montrer qu’il existe un entier M ≥ 1 tel que Mpn+1 > (M + 1)pn pour tout n ≥ 0.2 Soit Q le polynome 1

2(XM +XM+1).

a Montrer qu’on a |Q(z)| < 1 pour tout z ∈ D\1.b On note F la fonction holomorphe definie dans D par F (w) = f(Q(w)), et∑∞0 bmw

m son developpement en serie entiere dans D. En utilisant 1, montrer quepour tout entier n ∈ N, on a l’egalite de polynomes

n∑0

ckQpk =

(M+1)pn∑0

bmXm .

3 On suppose que le point ζ = 1 est un point regulier pour S.a En utilisant 2a, montrer que F se prolonge en une fonction holomorphe au

voisinage de D.b En utilisant 2b, en deduire une contradiction avec l’hypothese faite sur le rayon

de convergence de S.4 Conclure.

Probleme 2 (nombres et polynomes de Bernoulli)

A1 Montrer que la fonction z 7→ zez−1

se prolonge en une fonction holomorphe auvoisinage de 0. On ecrit son developpement de Taylor en 0 sous la forme

z

ez − 1=∞∑n=0

Bn

n!zn .

Les nombres Bn sont appeles les nombres de Bernoulli.A2 Calculer B0, B1, et montrer que pour tout n ≥ 2, on a

n−1∑k=0

Ckn Bk = 0 .

En deduire que les Bn sont rationnels.A3 Verifier l’identite 1

ez−1= −1

2+ i

2cotan iz

2, puis montrer qu’on a B2p+1 = 0 pour

tout p ≥ 1.

20

A4 Montrer que la fonction z 7→ z cotan z se prolonge en une fonction holomorpheau voisinage de 0, et ecrire son developpement de Taylor en 0 a l’aide des nombresde Bernoulli.

B1 Montrer que pour tout point w ∈ C, la fonction z 7→ zewz

ez−1se prolonge en une

fonction holomorphe au voisinage de 0. On ecrit son developpement de Taylor en 0sous la forme

zewz

ez − 1=∞∑0

Pn(w)

n!zn .

B2 Montrer que les Pn sont des fonctions polynomiales a coefficients rationnels; plusprecisement montrer qu’on a

Pn(w) =n∑0

Ckn Bk w

k

pour tout n ≥ 0, ou les Bk sont les nombres de Bernoulli. Les polynomes Pns’appellent les polynomes de Bernoulli .B3 Pour n ∈ N∗, etablir les relations

P ′n = nPn−1 ,

Pn+1(w + 1)− Pn(w) = nwn−1 ,

Pn(1− w) = (−1)nPn(w) .

C (prolongement meromorphe de ζ a C)

1a Quel est le rayon de convergence de la serie entiere∑

Bnn!zn?

1b Montrer que la serie∑

B2n

(2n)!1

z+2n−1converge normalement sur tout compact de

C\1;−1;−3; ..., et que pour z ∈ C verifiant Re(z) > 2, on peut ecrire∫ 1

0

tz−1

et − 1dt =

1

z − 1− 1

2z+∞∑1

B2n

(2n)!

1

z + 2n− 1·

2 Montrer que pour s > 1, on a

ζ(s) Γ(s) =

∫ ∞0

ts−1

et − 1dt .

3 Deduire de 1 et 2 que la fonction ζ se prolonge meromorphiquement a C.

D1 Constater que pour n ≥ 1, on a B2n

(2n)!= Res

(1

z2n(ez−1), 0).

D2 En integrant dzz2n(ez−1)

sur le bord du rectangle RN de sommets ±1± i (2N + 1)π

pour tout N ∈ N∗, montrer que si n ∈ N∗, alors

ζ(2n) = (−1)n−1 22n−1B2n

(2n)!π2n .

21

Probleme 3 (theoreme de McLane)

Le but de l’exercice est de montrer qu’il existe une fonction ϕ ∈ H(C) telle que lasuite (ϕ(n))n≥0 est dense dans H(C).

A Montrer que l’espace H(C) est separable.

B On note T : H(C)→ H(C) l’operateur de derivation, defini par Tf = f ′. D’autrepart, on definit une application S : H(C) → H(C) de la facon suivante : Sf estl’unique primitive de f valant 0 en 0.

1 Montrer que les proprietes suivantes sont verifiees :(i) T nSnf = f pour toute f ∈ H(C) et pour tout entier n ≥ 0;(ii) il existe une partie dense A ⊂ H(C) telle que T nf tend vers 0 dans H(C) pour

toute f ∈ A;(iii) il existe une partie dense B ⊂ H(C) telle que Snf tend vers 0 dans H(C) pour

toute f ∈ B.2 Montrer que si u ∈ A et si v ∈ H(C), alors T n(Snv + u) tend vers v dans H(C).3 Deduire de 2 que si V est un ouvert non vide de H(C), alors l’ensemble

ϕ ∈ H(C); ∃n ≥ 0 T nϕ ∈ V

est un ouvert dense de H(C).

C Demontrer le resultat souhaite.

Probleme 4 (fonctions elliptiques)

A (generalites)

Soient a1, a2 deux nombres complexes non nuls lineairement independants sur R; onnote A le “reseau” Za1 ⊕ Za2. On dit qu’une fonction f meromorphe sur C estelliptique pour le reseau A si on a f(z+a) ≡ f(z) pour tout a ∈ A; autrement dit sif(z+ a1) ≡ f(z) ≡ f(z+ a2). D’autre part, on appelle parallelogramme fondamentalassocie a A tout parallelogramme de sommets z0, z0 + a1, z0 + a1 + a2, z0 + a2, ouz0 ∈ C.

1 Montrer qu’une fonction entiere elliptique pour le reseau A est necessairementconstante.2 Montrer que si f est une fonction elliptique pour le reseau A et si P est unparallelogramme fondamental tel que ∂P ne contient aucun zero et aucun pole de f ,alors

∫∂P f(z) dz = 0.

3 Soit f une fonction non constante elliptique pour le reseau A. En utilisant 2,montrer que si P est un parallelogramme fondamental tel que ∂P ne contient aucunzero et aucun pole de f , alors le nombre de zeros de f dans P est egal au nombre depoles de f dans P .

22

4 Soit f une fonction non constante elliptique pour le reseau A, et soit P un par-allelogramme fondamental defini par un point z0, dont le bord ne contient ni zero nipole de f .

a Montrer que I1 =∫

[z0 ;z0+a1]f ′(z)f(z)

dz et I2 =∫

[z0 ;z0+a2]f ′(z)f(z)

dz sont des multiples

entiers de 2iπ.b Exprimer l’integrale

∫∂P

zf ′(z)f(z)

dz a l’aide de a1, a2, I1 et I2.

c On note Z la somme des zeros de f contenus dans P et P la somme des polesde f contenus dans P , zeros et poles etant comptes selon leur multiplicite. Montrerque Z − P appartient au reseau A.

B (fonction ℘ de Weierstrass)

Soient a1, a2 deux nombres complexes non nuls lineairement independants sur R. Onnote A le reseau Zω1 ⊕ Zω2, et on pose A∗ = A\0.1 Montrer qu’on a

∑a∈A∗

1|a|3 < +∞.

2 Montrer que la formule

℘(z) =1

z2+∑a∈A∗

(1

(z − a)2− 1

a2

)definit une fonction meromorphe dans C dont les poles sont les points de A.3a Montrer que la fonction ℘′ est elliptique pour le reseau A.3b Observer que ℘ est une fonction paire, puis montrer que ℘ elle-meme est elliptiquepour le reseau A.4 Soit P le parallelogramme de sommets ±a1 ± a2. Determiner le nombre de zerosde ℘′ situes a l’interieur du parallelogramme P , puis trouver les zeros en question.5a Montrer qu’il existe deux constantes λ , µ ∈ C telles que

℘(z) =1

z2+ λz2 + µz4 +O(z6)

au voisinage de 0.5b Montrer que ℘′(z)2−4℘(z)3+20λ℘(z) admet une limite en 0 que l’on determinera.5c Montrer que ℘ verifie l’equation differentielle

℘′2 − 4℘3 + 20λ℘+ 28µ = 0 .

Probleme 5 (un theoreme de Paley et Wiener)

A Soit a > 0 et soit ϕ : R → C une fonction de classe C∞ a support dans [−a; a].Montrer que la formule

F (z) =

∫ +∞

−∞e−itz ϕ(t) dt

definit une fonction entiere, et que pour tout entier n ≥ 0, on a

|F (z)| = O(|z|−n ea |Im(z)|)

23

quand |z| tend vers l’infini.

B Soit F une fonction entiere. On suppose qu’il existe un nombre a > 0 tel que pourtout entier n ≥ 0, on a |F (z)| = O

(|z|−n ea |Im(z)|) quand |z| tend vers l’infini. On

veut montrer qu’il existe une fonction ϕ : R → C de classe C∞ et a support dans[−a; a], telle que

F (z) ≡∫ +∞

−∞e−itz ϕ(t) dt .

1 Quel est le seul candidat possible pour ϕ? Montrer que ce candidat est de classeC∞.2 En utilisant convenablement le theoreme de Cauchy, montrer que pour tout b ∈ R,on a

ϕ(t) ≡ 1

2π

∫ +∞

−∞eit (x+ib) F (x+ ib) dx .

3 Deduire de 2 qu’on a ϕ(t) = 0 si |t| > a.4 Conclure.

Probleme 6 (transformation de Laplace)

A Dans toute cette partie, f : R → C est une fonction localement integrable sur Ret nulle sur ]−∞ ; 0 [.1a Soit s0 ∈ C, et soit x0 = Re(s0). On suppose que l’integrale

∫∞0f(t) e−ts0 dt est

absolument convergente. Montrer que si s ∈ C verifie Re(s) > x0, alors l’integrale∫∞0f(t) e−ts dt est absolument convergente.

1b Montrer qu’il existe un unique nombre xa(f) ∈ [−∞; +∞] tel que l’integrale∫∞0f(t) e−ts dt converge absolument pour Re(s) > xa et ne converge pas absolument

pour Re(s) < xa. On dit que xa est l’abscisse de convergence absolue de Laplace dela fonction f .1c Donner un exemple ou xa = +∞.2a Soit s0 ∈ C. On suppose que l’integrale

∫∞0f(t) e−ts0 dt est convergente. En

integrant judicieusement par parties, montrer que si s ∈ C verifie Re(s) > Re(s0),alors l’integrale

∫∞0f(t) e−ts dt est convergente, la convergence etant de plus uniforme

par rapport a s dans tout secteur angulaire du type Sα = s; |Arg(s− s0)| ≤ α, ouα ∈ [0 ;π/2[ est fixe.2b Montrer qu’il existe un unique nombre xc(f) ∈ [−∞; +∞] tel que l’integrale∫∞

0f(t) e−ts dt converge pour Re(s) > xc et diverge pour Re(s) < xc. On dit que xc

est l’abscisse de convergence de Laplace de la fonction f .2c Donner un exemple ou xc = +∞.3 Montrer qu’on a toujours xc ≤ xa. Y a-t-il egalite en general?4 On suppose xc < +∞. Montrer que la fonction Lf definie par

Lf(s) =

∫ ∞0

f(t) e−ts dt

24

est holomorphe dans le demi-plan Re(s) > xc. La fonction Lf s’appelle la trans-formee de Laplace de la fonction f .5a Soit x0 ∈ R. Montrer que si l’integrale

∫∞0f(t) e−tx0 dt converge, alors on a

limx→x+

0

Lf(x) =

∫ ∞0

f(t) e−tx dt .

5b En utilisant a, determiner la valeur de l’integrale I =∫∞

0sin ttdt.

6 Dans cette question, on veut prouver l’injectivite de la transformation de Laplace,autrement dit montrer que si xc < +∞ et si Lf = 0, alors f = 0 presque partout.

a Etablir le resultat sous l’hypothese xa(f) < +∞. On pourra faire intervenir latransformation de Fourier.

b On suppose xc(f) < +∞. Soit F la fonction definie par F (x) =∫ x

0f(t) dt.

Montrer que si s ∈ C verifie Re(s) > Max(0, xc(f)), alors e−sxF (x) tend vers 0quand x tend vers +∞.

c Avec les notations de b montrer qu’on a xa(F ) ≤ Max(0, xc(f)) et que si Re(s) >Max(0, xc(f)), alors

LF (s) =1

sLf(s) .

d Conclure.7 On suppose qu’on a xa < +∞ et qu’il existe un nombre reel b > xa tel que lafonction y 7→ Lf(b+ iy) est integrable sur R. Montrer que pour presque tout t ∈ R,on peut ecrire

f(t) =1

2iπ

∫b+iRLf(z) etz dz .

B Soit f : R → C localement integrable, nulle sur ] −∞ ; 0 [. On suppose qu’on axa(f) < +∞. Montrer que pour tout b > xa fixe, Lf(s) tend vers 0 quand |s| tendvers +∞ et Re(s) ≥ b. On pourra commencer par le cas ou f est de classe C1 asupport compact.

C Soit x0 ∈ R donne, et soit F une fonction holomorphe dans le demi-plan Π =Re(s) > x0. On fait les hypotheses suivantes :

(1) pour tout b > x0 fixe, F (s) tend vers 0 quand |s| tend vers +∞ et Re(s) ≥ b;(2) pour tout b > x0, la fonction y 7→ F (b+ iy) est integrable sur R.

On veut montrer qu’il existe une fonction f : R → C continue, nulle sur ] −∞ ; 0 [,verifiant xa(f) ≤ x0, et telle que Lf ≡ F dans le demi-plan Π.

1a Soit b > x0. Montrer que la formule

fb(t) =1

2iπ

∫b+iR

F (z) etz dz

definit une fonction continue sur R.

25

1b En utilisant le theoreme de Cauchy, montrer que la fonction fb ne depend en faitpas de b > x0. Dans la suite, on ecrira donc f au lieu de fb.2a Soit b > x0. Pour R > 0, on note CR,b le demi-cercle b+Reiθ; −π/2 ≤ θ ≤ π/2.Pour t < 0, determiner la limite de l’integrale

∫CR,b

F (z) etz dz quand R tend vers+∞.2b Montrer que la fonction f est nulle sur ]−∞ ; 0 [.3 Montrer qu’on a xa(f) ≤ x0 et que pour x > b > x0, on peut ecrire∫ ∞

0

f(t) e−tx dt = − 1

2iπ

∫b+iR

F (z)

z − xdz .

4 Conclure.

Probleme 7 (produits infinis et applications)

A Dans cette partie, on demontre le theoreme “standard” concernant les produitsinfinis de fonctions.

1 On note Log la determination principale du logarithme dans C \R−. Montrer que

si h ∈ C verifie |h| < 1, alors |Log(1 + h)| ≤ |h|1−|h| .

2 Soit (fn) une suite de fonctions a valeurs complexes definies sur un meme ensembleX. On suppose que la serie

∑(1− fn) est normalement convergente.

a Montrer qu’il existe un entier N tel que Log(fn) est bien definie pour n > N etla serie

∑n>N Log(fn) est normalement convergente.

b Pour n ∈ N, on pose Pn =∏n

0 fj. Montrer que la suite Pn converge uniformementsur X vers la fonction PNe

S, ou N est choisi comme en a et S =∑

n>N Log(fn).3 Soit Ω ouvert de C, et soit (fn) une suite de fonctions holomorphes sur Ω. Onsuppose que la serie

∑(1− fn) converge normalement sur tout compact.

a Montrer que la fonction f =∏∞

0 fn est bien definie, et qu’elle est holomorphesur Ω.

b On note Z(g) l’ensemble des zeros d’une fonction g ∈ H(Ω). Montrer qu’on aZ(f) =

⋃n≥0 Z(fn), la multiplicite d’un zero a ∈ Z(f) etant egale a la somme de ses

multiplicites comme zero des fn.c Montrer que si les fn ne s’annulent pas, alors f ne s’annule pas et

f ′

f=∞∑0

f ′nfn

,

ou la serie converge uniformement sur les compacts de Ω.

B Le but de cette partie est de montrer que pour tout z ∈ C, on a

sin(πz) = πz

∞∏1

(1− z2

n2

).

26

1 Pour z ∈ C \ Z, on pose

g(z) =+∞∑−∞

1

(z − n)2·

a Justifier la definition et montrer que g est holomorphe et 1-periodique sur C\Z.b Montrer a l’aide d’un developpement limite que (π/sin(πz))2 − 1/z2 admet une

limite en 0.c Montrer que la fonction z 7→ g(z)− (π/sin(πz))2 se prolonge en une fonction Φ

holomorphe sur C et 1-periodique.d Montrer que si z = x + iy, ou x, y sont reels avec |y| > 1 et 0 ≤ x ≤ 1, alors|sin(πz)| > |sh π| et |g(z)| ≤ 2

∑∞0

11+n2 . En deduire que la fonction Φ est bornee sur

la bande 0 ≤ Re(z) ≤ 1.e Montrer que la fonction Φ est constante.f Montrer qu’on a limy→+∞g(iy) = 0 et limy→+∞|sin(πiy)| = +∞.g Conclure que pour tout z ∈ C \ Z, on a

+∞∑−∞

1

(z − n)2=

(π

sin(πz)

)2

.

2a Calculer la derivee de la fonction z 7→ πcotan(πz).2b Montrer que pour tout z ∈ C \ Z, on a

πcotan(πz) =1

z+ 2z

∞∑1

1

z2 − n2.

3 Pour z ∈ C, on pose

f(z) = πz∞∏1

(1− z2

n2

).

a Justifier la definition, montrer que f est holomorphe sur C, et determiner leszeros de f ainsi que leurs multiplicites.

b Pour z ∈ C \ Z, on pose u(z) = f(z)/sin(πz). Montrer que u est holomorphe etcalculer u′(z)/u(z).

c Demontrer la formule souhaitee.

C Soit (λn) une suite de nombres complexes non nuls verifiant limn→∞|λn| = +∞.Le but de cette partie est de montrer qu’il existe une fonction f holomorphe sur Cdont les zeros sont exactement les λn (theoreme de Weierstrass).

1 On pose W0(z) = 1− z, et pour p ∈ N∗, on definit Wp = C→ C par

Wp(z) = (1− z) exp

(p∑1

zk

k

).

a Calculer W ′p(z) pour p ∈ N et z ∈ C.

27

b En utilisant la formule de Taylor, montrer que pour tout p ∈ N, on peut ecrire

1−Wp(z) = zp+1ϕp(z) ,

ou ϕp est une fonction holomorphe sur C dont les coefficients de Taylor en 0 sontpositifs.

c Deduire de b que si |z| ≤ 1, alors

|1−Wp(z)| ≤ |z|p+1 .

2 Montrer que la serie∑

( zλn

)n+1 converge normalement sur tout compact de C.3 Demontrer le resultat souhaite.

Probleme 8 (espace de Bergman)

A Dans cette partie, Ω est un ouvert borne de C et p ∈ [1;∞[ est fixe.

1 Montrer que si f une fonction holomorphe sur Ω et si D = D(z0, r) est un disqueferme contenu dans Ω, alors

f(z0) =1

πr2

∫D

fdm ,

ou m est la mesure de Lebesgue. En deduire que pour tout point z ∈ Ω et pour toutefonction f ∈ H(Ω), on a

|f(z)| ≤ 1

(πd(z, ∂Ω)2)1/p‖f‖p ,

ou on a pose ||f ||p =(∫

Ω|f |pdm

)1/p ≤ +∞.2 On definit l’espace de Bergman Bp(Ω) par

Bp(Ω) =

f ∈ H(Ω);

∫Ω

|f |pdm < +∞.

a En utilisant 1, montrer que si (fn) est une suite de Cauchy dans (Bp(Ω), ‖ . ‖p),alors (fn) est uniformement de Cauchy sur tout compact.

b Montrer que (Bp(Ω), ‖ . ‖p) est un espace de Banach , et que la convergencedans Bp(Ω) entraıne la convergence uniforme sur les compacts.

B dans cette partie, on prend Ω = D et p = 2. D’apres A, B2(D) est un espace deHilbert, le produit scalaire etant donne par

〈f, g〉 =

∫Dfg dm .

1 Montrer que si f ∈ B2(D), f(z) =∑∞

0 cnzn, alors

‖f‖2 =∞∑0

π

n+ 1|cn|2 .

En deduire une autre expression du produit scalaire de B2(D).

28

2 On pose en(z) =√

n+1πzn. Montrer que la suite (en)n∈N est une base hilbertienne

de B2(D).3 Montrer que si a ∈ D, alors il existe une unique fonction Ka ∈ B2(D) telle quepour toute f ∈ B2(D), on ait

f(a) = 〈f,Ka〉 .4 Soit a ∈ D. En utilisant 2, determiner explicitement la fonction Ka.5 Conclure que si f est une fonction holomorphe au voisinage de D, alors, pour toutpoint a ∈ D, on a

f(a) =1

π

∫Df(z)

dm(z)

(1− za)2 ·

C Dans cette partie, on veut retrouver par une autre methode le resultat de B5.

1a Montrer que la fonction z 7→ 1/z est localement integrable sur C.1b On note m la mesure de Lebesgue sur C. En appliquant la formule de Green-Riemann dans des domaines du type z ∈ D; |z − a| ≥ ε, etablir la formule deCauchy-Pompeiu : si ϕ est une fonction de classe C1 au voisinage de D, alors

ϕ(a) =1

2iπ

∫∂D

ϕ(z)

z − adz − 1

π

∫D

∂ϕ

∂z

dm(z)

z − a·

pour tout point a ∈ D.2 Montrer que si f est une fonction de classe C1 au voisinage de D, alors, pour toutpoint a ∈ D, on a

f(a) = − 1

π

∫D

∂f

∂z

1− |z|2

1− zadm(z)

z − a+

1

π

∫Df(z)

dm(z)

(1− za)2 ·

3 Conclure.

Probleme 9 (dynamique holomorphe)

Dans tout le probleme, Ω est un ouvert de C et f est une fonction holomorphe surΩ verifiant f(Ω) ⊂ Ω. Pour n ∈ N∗, on note fn la n-ieme iteree de f :

fn = f ... f .Les trois parties sont independantes. On rappelle que si U et V sont deux ouvertsde C, un biholomorphisme de U sur V est une bijection holomorphe ϕ : U → V . Onsait alors que ϕ−1 est egalement holomorphe.

A dans cette partie, on suppose Ω connexe et borne. On suppose egalement que fpossede un point fixe a ∈ Ω.1 Calculer f ′n(a) pour tout n, et en deduire qu’on a |f ′(a)| ≤ 1.2 On suppose qu’on a f ′(a) = 1.

a Montrer que si f 6= id, alors il existe une constante c 6= 0 et un entier k ≥ 2 telsque, pour tout n ≥ 1, on ait

29

fn(z) = z + nc (z − a)k + o[(z − a)k]au voisinage de a.b Montrer qu’on a f = id.

3 Montrer que si λ ∈ T, alors il existe une suite strictement croissante d’entiers(pn) telle que limn→∞ λ

pn = 1. En deduire que si |f ′(a)| = 1, alors (fn) admet unesous-suite (gn) qui converge vers id uniformement sur tout compact.4 Montrer qu’on a |f ′(a)| = 1 si et seulement si f est un biholomorphisme de Ω surΩ.5 On suppose qu’on a |f ′(a)| < 1.

a Montrer qu’il existe un voisinage V de a tel que fn(z) tend vers a pour toutz ∈ V .

b Montrer que fn(z) tend vers a uniformement sur tout compact de Ω.

6 Etudier les deux cas suivants.

(1) Ω = z; Re(z) > 0, et f(z) = αz + 1−αz

, ou α ∈ ]0 ; 1[ est donne.

(2) Ω = z; |z| < 1, Re(z) > 0, Im(z) > 0 et f(z) = eiπ2z.

B Dans cette partie, on suppose que 0 ∈ Ω et f(0) = 0. On suppose egalement queλ = f ′(0) verifie 0 < |λ| < 1.

1 Pour n ∈ N, on pose ϕn = λ−nfn.a Montrer qu’on peut trouver des constantes δ > 0 et α < |λ|1/2 telles que |fn(z)| ≤

αn|z| pour tout z ∈ D(0, δ) et pour tout n.b Montrer qu’il existe une constante C telle que |ϕn+1(z)−ϕn(z)| ≤ C

|λ|n+1 |fn(z)|2

pour |z| ≤ δ et pour tout n.c Deduire de a et b que la suite (ϕn) converge uniformement sur D(0, δ).

3 Montrer que f est biholomorphiquement conjuguee a l’homothetie z 7→ λz auvoisinage de 0. En d’autres termes, montrer qu’il existe un biholomorphisme ϕ :U → V entre deux voisinages de 0 tel que ϕ f ϕ−1(z) ≡ λz.

C Dans cette partie, on prend Ω = D. On suppose que f(D) est relativement compactdans D. Montrer que f admet un unique point fixe et que la suite des iterees de fconverge vers ce point fixe uniformement sur tout compact. On pourra considerer ladistance pseudo-hyperbolique, introduite dans l’exercice 49.

Probleme 10 (theoreme de Runge)

Dans tout l’exercice, K est un compact de C tel que C \K est connexe.

A1 On note P(K) l’ensemble des fonctions continues f : K → C qui sont limitesuniformes de fonctions polynomiales. Montrer que P(K) est une sous-algebre de(C(K), ‖ . ‖∞).A2 Pour a ∈ C \K, on definit fa : K → C par fa(z) = 1

z−a . On note A l’ensembledes points a ∈ C \K pour lesquels fa ∈ P(K).

a Montrer que si |a| est assez grand, alors a ∈ A.

30

b Montrer que A est un ouvert de C \K.A3 Montrer que fa ∈ P(K) pour tout a ∈ C \K.

B Soit γ : I → C \ K un chemin dans C \ K et soit f une fonction continue

sur γ(I). Montrer que la fonction K 3 z 7→∫γf(ζ)ζ−z dζ est dans l’adherence de

Vect fa; a ∈ C \K.C Montrer que si f est une fonction holomorphe au voisinage de K, alors on peuttrouver une suite de polynomes (Pn) qui converge uniformement vers f sur K.

Probleme 11 (“petit” theoreme de Picard)

Le but de ce probleme est de montrer que si f une fonction entiere telle que C\f(C)contient au moins deux points, alors f est constante.

A Soit f ∈ H(D) verifiant f(0) = 0 et f ′(0) = 1. On suppose que f est bornee, eton pose M = ‖f‖∞.

1 Soit b ∈ C\f(D), et soit h la determination holomorphe de√

1− f(z)b

verifiant

h(0) = 1.a Justifier l’existence de h, et donner les deux premiers termes de son developpement

en serie entiere.b Montrer qu’on a ‖h‖2

∞ ≤ 1 + M|b| , et en deduire, a l’aide de a et de la formule de

Parseval, l’inegalite |b| ≥ 1/4M .2 Montrer que f(D) contient le disque D(0, 1/4M).

B (theoreme de Bloch)

1 Soit f une fonction holomorphe au voisinage de D et verifiant f ′(0) = 1.a Montrer que la fonction ω definie par ω(t) = t sup|f ′(z)|; |z| ≤ 1 − t est

continue sur [0 ; 1]. En deduire l’existence de t0 > 0 et d’un point a ∈ D tels que|a| ≤ 1− t0, |f ′(a)| = 1/t0 et |f ′(z)| < 1/t pour t < t0 et |z| ≤ 1− t.

b Montrer qu’on a |f ′(z)| ≤ 2/t0 dans le disque D(a, t0/2). En deduire que lafonction g definie par g(z) = f(z)− f(a) verifie |g(z)| ≤ 1 dans D(a, t0/2).

c En utilisant A, montrer que f(D) contient le disque D(f(a), 1/16).2 Montrer qu’il existe une constante C > 0 verifiant la propriete suivante : sif ∈ H(D), alors f(D) contient un disque de rayon C|f ′(0)|.C Soit g une fonction entiere non constante. En appliquant B a des fonctions du typeg(λz + b), montrer que g(C) contient des disques de rayons arbitrairement grands.

D Dans cette partie, on demontre le resultat souhaite. Soit donc f une fonctionentiere telle que C \ f(C) contient au moins deux points.

0 Montrer qu’on peut supposer que f ne prend pas les valeurs 0 et 1; c’est ce qu’onfait dans la suite.

31

1 Montrer qu’il existe une fonction entiere g telle que

f(z) ≡ exp[2iπ(ch g(z))2] ,

ou on a pose chw = ew+e−w

2.

2 Montrer que g(C) ne rencontre pas l’ensemble

E =±Log

(√n+ 1−

√n)

+ 2ikπ; n ∈ N, k ∈ Z .

3 Montrer qu’il existe δ > 0 tel que tout disque de rayon δ rencontre E.4 Conclure en utilisant C.