3 Machines Hydrauliques Analyse Dimensionnel Similitude

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Chapitre 3Chapitre 3

Analyse dimensionnelleAnalyse dimensionnelle

SimilitudeSimilitude

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Position du problPosition du problèèmeme

⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎭

H - QP - Q η - Q

Le constructeur fournit à l’utilisateur :

Pour une pompe donnPour une pompe donnéée (e (DD22 fixfixéé))

Pour une vitesse de rotation donnPour une vitesse de rotation donnéée (e (n n fixfixéé))

ProblProblèèmeme : Déterminer les nouvelles caractéristiques quand

•• On modifie la vitesse de rotationOn modifie la vitesse de rotation

AnalyseAnalyse dimensionnelledimensionnelle

•• On rOn rééduit le diamduit le diamèètre de la rouetre de la roue

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Similitude et son rôleSimilitude et son rôle• Déterminer des paramètres sans dimension qui caractérisent le

fonctionnement d’une pompe

• Lois de similitude : Ces paramètres restent constants quand

on modifie n ou D

Pompe P1 Pompe P2

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Similitude géométrique : rapport entre tous les éléments géométriques de 2 pompes constant.

Similitude cinématique : triangles des vitesses semblables entre points homologues des 2 pompes

Similitude dynamique : écoulement semblable dans les rouesdes 2 pompes en similitude géométrique et cinématique

Pompes P1 et P2 semblables

sortie Pompe 22sortie Pompe 11

= constantebD = D b

7 Variables contrôlent le fonctionnement d’une pompe

n : vitesse de rotation de la roueQ : débit pompéH : hauteur manométriqueD : diamètre de la roue

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

g : gravité

ρ, μ : propriétés du fluide

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6 Variables retenues : Q , E , n , D , ρ , μ ( E = g.H )

Unités utilisées :

ThThééororèème des me des ππ6 variables

3 unités ( 6 – 3) paramètres sans dimension π1 , π2 , π3

=

=

= μ

. .

. .

. .

31 2

31 2

31 2

aa a

bb b

cc c

1

2

3

E D . Q

E D . n

E D .

π ρ

π ρ

π ρ

( ) ( ) ( ) = = =1 2 31/2 1/2 1/22 D .

Q n . Dg.H . D g.H g.H

νπ π π

L , M , T

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Nouveaux critères de fonctionnement

( )

( )

.

=

= =

= =

=

14

3

5 2 4

16

2

1/2

3/4

3

n .

Q. D

n . Qg.H

QD

ππ π ν

π π π

ππ π

= = π π7 2 2 22

g .H1n . D

π7 est utilisé pour remplacer un des trois paramètres sans dimension

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Lois de similitudeLois de similitude

1. Nombre de Reynolds

.. = = = e 4 2Q Q DR D D νν

π

• Identité des régimes d’écoulement (laminaire, turbulent) n’est

pas garantie

Re joue sur les pertes de charge à l’intérieur de la pompe hp

Pour une bonne pompe hp 5 % H≈

Re est abandonné dans la similitude

• Identité des profils de vitesse non garantie

Deux pompes semblables : Re constant mais

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2. Vitesse spécifique( )

π =1/2

5 3/4n . Qg . H

Vitesse sans dimension

Vitesse spécifiquen : tr/mn

Q : m3/s

H : m

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

=

1/2s 3/4

n . QH

n

Lois de similitudeLois de similitude

• Pour une pompe : ns ne varie pas avec n

• Pour deux pompes semblables ns est le même

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ImplicationsImplications

• Si n = Cte et Q = Cte : ns grand H faible

=

1/2s 3/4

n . QH

n

• Si n = Cte et H = Cte : ns grand Q grand

• Si Q = Cte et H = Cte : ns grand n grand Pompe petite

Pompes hélicesH faible, Q grand : Ecoulement axial

160 - 360

Pompes hélico-centrifugesH intermédiaire : Ecoulement mixte

90 - 180

Pompes centrifugesH élevée, Q faible : Ecoulement radial

20 - 100

NatureVitesse spécifique

ns

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RemarqueRemarque

ns est calculée au point de

rendement maximal

(White, F. M. (1999), Fluid Mechanics, McGraw-Hill, 4e éd.)

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3. Débit spécifique

3s

Q= n . Dq

π6

Lois de similitudeLois de similitude qs reste constant

• Pour une même pompe (D = Cte)

Quand n varie, le débit Q varie avec n ∝Q n• Pour deux pompes semblables

Si n = Cte

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

3

2 2

11

Q D= DQ

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4. Hauteur spécifique

π7

2 2sg . H= n . Dh

Lois de similitudeLois de similitude hs reste constant

• Pour une même pompe (D = Cte)

Quand n varie, la hauteur H varie avec n2 ∝ 2H n• Pour deux pompes semblables

Si n = Cte

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

2

2 2

1 1

H D=H D

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Utilisation pratique des lois de similitudeUtilisation pratique des lois de similitude

CritCritèères de fonctionnementres de fonctionnement :: qs et hsns caractcaractéérise le type de pomperise le type de pompe

D1

Q2

H2

n2P2

D1

Q1

H1

n1P1

Roue : diamètre sortieDébitHauteur manométriqueVitesse de rotationPuissance absorbée

FonctionnementFonctionnement 22Fonctionnement Fonctionnement 11Description

Une même pompeUne même pompe

1.1. Variation de la vitesseVariation de la vitesse

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•• EgalitEgalitéé des hauteurs spdes hauteurs spéécifiques cifiques

. .

1 22 2 2 21 2

g . H g . H= n D n D

•• EgalitEgalitéé des ddes déébits spbits spéécifiques cifiques

. . 1 2

3 31 2

Q Q= n D n D

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

2

2

2 211

2 2

1 1

2 211

H n= nHH Q= H Q

Q n= nQ

ou

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• Rapport des puissances Rapport des puissances

.

. 2 2 2 2 2

1 11 1 1

P . g Q . H Q H= = .P H . g Q . H Qρρ

même rendementmême rendement

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

32 2

11

P n= nP

Quand n varie ∝Q n ∝ 2H n ∝ 3P n

Pour une même pompe (D = Cte)

Les régimes de fonctionnement semblables quand n varie sont définis par :

2 12 22 1

H H= = CteQ QParaboles d’axe vertical

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A1, A2, A3, A4 Points de fonctionnement semblablesQQ

H

Courbes théoriques d’égal

rendement

n1

n4

n3

A3

A2

A1

A4

n2

Caractéristiques H - Q

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En pratique, le rendement de la pompe ne reste pas constant sur ces paraboles en particulier ηηm ne reste pas le même

Les courbes pratiques sont des courbes semi-elliptiques :

Colline des rendementsP

Point P : sommet de la colline : point de rendement maximum

ns est calculée au

point P

Courbes iso-rendements : Colline des rendements

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2.2. Rognage de la roueRognage de la roue

On dispose de la caractéristique H – Q de la pompe

H – QP : point de fonctionnement désiré

Qp, Hp

Pour réaliser P Réduire le débit et la hauteur de la pompe

SolutionSolution : Rogner la roue : réduire le diamètre de la roue

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Implication cinImplication cinéématiquematique

La vitesse dLa vitesse d’’entraentraîînement nement àà la sortie de la roue est modifila sortie de la roue est modifiééee

2 2 . u = 2 . r nπ . ' '2 2

. u = 2 . r nπ .

2 2

' ' '22 2 2

u r D = = u r D Modification du triangle de vitesse à la sortie

SimilitudeSimilitude Triangles de vitesse semblables

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Pour une roue radiale ou axiale Hth est maximale

2 2uth

. u v H = g

On obtient les relations suivantes :

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

2 2u 2

2 2u

2' ' ' ' 'th

th 2

. .

H u v D H = = = u vH D H même rendement hydraulique

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

2 2m 2 2

2 2m 2

2' ' ' ''

2

2 r v b D H Q = = = 2 r v b D HQ. π . . . . π . . .

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Calcul du rognageCalcul du rognage

On connaOn connaîît la caractt la caractééristique de la roue initiale : ristique de la roue initiale : DiamDiamèètre Dtre D22

On dOn déésire rsire rééaliser un point de fonctionnement (Point P) : aliser un point de fonctionnement (Point P) : QQpp , , HHpp , , DD’’2 2 ??

Roue initiale

H – Q roue rognée

Similitude de fonctionnement entre les points N et P⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

P P 2

2'

2 Q H D = = H DQ

Points N et P situés sur la droite issue de l’origine

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Calcul du diamCalcul du diamèètre tre DD’’22 de la roue rognde la roue rognééee

2 P P'

2 D Q H = = D HQ

Connaissant DD’’22 on construit la caractéristique de la roue rognée

PrPréécautioncaution

Le rognage doit être limité à 15% du diamètre

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ExempleExemple

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Données : Pompe centrifuge, au point de fonctionnement possède les caractéristiques suivantes

n = 1500 tr/mn Q = 1000 l/mn H = 30 m

D2 = 30 cm Pau frein = 8.4 CV

1. On construit une autre roue et on change la vitesse de rotation

n’ = 1750 tr/mn D’2 = 25 cm

On demande de calculer :

1. La hauteur d’élévation totale

2. Le débit d’eau pompé

3. La puissance fournie

2. On rogne la roue et on change la vitesse de rotation

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Lois de similitudeLois de similitude

'

s 3 ' 32 2

. .

Q Q q = = n D n' D s 2 2 2 '2

2 2

. .

g . H g . H' h = = n D n' D

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

3'

' 2

2

Q = Q Dn'n D. .

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

3' Q = 1000 1750 25

1500 30. .

1. Une autre roue avec modification de la vitesse de rotation

= 675.15 l/mn

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

22 '' 2

2

H = H Dn'n D. .

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 2' H = 30 1750 25

1500 30. . = 28.36 m

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

' ''au frein 2

2au frein

53' ' P DQ H n= = nH DP Q . .

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3 5'au frein

P = 8.4 1750 251500 30. .

= 5.36 CV

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Puissance fournie

' ' ' P = Q H = gρ . . . 9.81 * 675.15 * 28.36/60/736 = 4.25 CV

On vOn véérifie que le rendement global des deux pompes reste contantrifie que le rendement global des deux pompes reste contant

P = Q H = gρ . . .

Première pompe

9.81 * 1000 * 30/60/736 = 6.66 CV

Rendement η 6.66 4.25 = = = 0.88.4 5.36

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