3 Machines Hydrauliques Analyse Dimensionnel Similitude

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Chapitre 3 Analyse dimensionnelle Similitude

Pr. Y. AJDOR, EMI

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Position du problmeLe constructeur fournit lutilisateur :

H- Q P-Q -Q

Pour une pompe donne (D2 fix) Pour une vitesse de rotation donne (n fix)

Problme : Dterminer les nouvelles caractristiques quand On modifie la vitesse de rotation On rduit le diamtre de la roue Analyse dimensionnellePr. Y. AJDOR, EMI

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Similitude et son rle Dterminer des paramtres sans dimension qui caractrisent le fonctionnement dune pompe Lois de similitude : Ces paramtres restent constants quand on modifie n ou D

Pompe P1Pr. Y. AJDOR, EMI

Pompe P2

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Pompes P1 et P2 semblablesSimilitude dynamique : coulement semblable dans les roues des 2 pompes en similitude gomtrique et cinmatique Similitude cinmatique : triangles des vitesses semblables entre points homologues des 2 pompes Similitude gomtrique : rapport entre tous les lments gomtriques de 2 pompes constant.

D2 b sortie Pompe 2 = constante = D1 b sortie Pompe 17 Variables contrlent le fonctionnement dune pompe

n : vitesse de rotation de la roue Q : dbit pomp H : hauteur manomtrique D : diamtre de la roue g : gravit

, : proprits du fluide

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6 Variables retenues : Q , E , n , D , , Units utilises : L,M,T Thorme des 6 variables 3 units

( E = g.H )

( 6 3) paramtres sans dimension 1

, 2 , 3

1 = Ea1 . Da2 . a3 . Q 2 = Eb1 . Db2 . b3 . n 3 = Ec1 . Dc2 . c3 . 1Pr. Y. AJDOR, EMI

=

(g.H)

Q1/2

. D2

2

=

n.D 1/2 (g.H)

3

=

1/2 D . ( g.H)

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Nouveaux critres de fonctionnement

4 5 6 7

= =

1 3 2 . 4 1 2 1 2 2

= =

=

=

Q .D n . Q1/2 3/4 (g.H) Q 3 n . (D ) g.H n2 . D2

=

=

7 est utilis pour remplacer un des trois paramtres sans dimension

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Lois de similitude1. Nombre de Reynolds

Re

=

4

=

Q .D

=

Q .D D2

Deux pompes semblables : Re constant mais Identit des rgimes dcoulement (laminaire, turbulent) nest pas garantie Identit des profils de vitesse non garantie Re joue sur les pertes de charge lintrieur de la pompe hp Pour une bonne pompe hp

5%H

Re est abandonn dans la similitude

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2. Vitesse spcifique Vitesse spcifique

5

=

n . Q1/2 3/4 g . H ( )

Vitesse sans dimension

n : tr/mn Q : m3/s H : m

1/2 ns = n . Q 3/4

H

Lois de similitude Pour une pompe : ns ne varie pas avec n Pour deux pompes semblables ns est le mme

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Implications Si n = Cte et Q = Cte Si n = Cte et H = Cte Si Q = Cte et H = CteVitesse spcifique : : :

1/2 ns = n . Q 3/4

H

ns grand ns grand ns grand

H faible Q grand n grandPompe petite Nature

ns20 - 100 90 - 180 160 - 360Pr. Y. AJDOR, EMI

Pompes centrifugesH leve, Q faible : Ecoulement radial

Pompes hlico-centrifugesH intermdiaire : Ecoulement mixte

Pompes hlicesH faible, Q grand : Ecoulement axialwww.almohandiss.com

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Remarque ns est calcule au point de rendement maximal

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(White, F. M. (1999), Fluid Mechanics, McGraw-Hill, 4e d.)www.almohandiss.com

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3. Dbit spcifique

6

qs =

Q n.D3

Lois de similitude Pour une mme pompe (D = Cte)

qs reste constant Q n

Quand n varie, le dbit Q varie avec n Pour deux pompes semblables

Si n = Cte

Q2 D = D Q1

2 1

3

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4. Hauteur spcifique

7

hs =

g.H n2 .D2 hs reste constant

Lois de similitude Pour une mme pompe (D = Cte)

Quand n varie, la hauteur H varie avec n2 Pour deux pompes semblables

H n2

Si n = Cte

H2 D = H1 D

2 1

2

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Utilisation pratique des lois de similitude1. Variation de la vitesse Critres de fonctionnement :

qs et hs Une mme pompe

ns caractrise le type de pompeDescription

Fonctionnement 1

Fonctionnement 2

Roue : diamtre sortie Dbit Hauteur manomtrique Vitesse de rotation Puissance absorbe

D1 Q1 H1 n1 P1

D1 Q2 H2 n2 P2

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Egalit des hauteurs spcifiques

g . H1 g . H2 = 2 . D2 2 n1 n2 D . 2 Egalit des dbits spcifiques

Q1 Q2 = n1 . D3 n2 . D32 n H2 2 = n H1 1

ouQ2 n2 = n Q1 1Pr. Y. AJDOR, EMI

H2 Q = H1 Q

2 1

2

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Rapport des puissances

P2 . g . Q2 . H2 Q2 H2 = = . P1 . g . Q1 . H1 Q1 H13 n P2 2 = n P1 1

mme rendement

Quand n varie

Q n

H n2

P n3

Pour une mme pompe (D = Cte) Les rgimes de fonctionnement semblables quand n varie sont dfinis par :

H2 H1 = = Cte 2 2 Q2 Q1Pr. Y. AJDOR, EMI

Paraboles daxe vertical

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Courbes thoriques dgal rendement H

A4 A3 A2 A1

Caractristiques H - Q

n4 n2 n1 n3

QA1, A2, A3, A4Pr. Y. AJDOR, EMI

Points de fonctionnement semblableswww.almohandiss.com

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En pratique, le rendement de la pompe ne reste pas constant sur ces paraboles en particulier m ne reste pas le mme Les courbes pratiques sont des courbes semi-elliptiques : Courbes iso-rendements : Colline des rendementsPoint P : sommet de la colline : point de rendement maximum

ns est calcule au PColline des rendements

point P

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2. Rognage de la roue On dispose de la caractristique H Q de la pompeHQ

P : point de fonctionnement dsir Qp, Hp

Pour raliser P Solution :

Rduire le dbit et la hauteur de la pompe

Rogner la roue : rduire le diamtre de la roue

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Implication cinmatique La vitesse dentranement la sortie de la roue est modifie

u2 = 2 . . r2 . n' u'2 r2 D'2 = = u2 r2 D2

' .n u'2 = 2 . . r2

Modification du triangle de vitesse la sortie Triangles de vitesse semblables

Similitude

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Pour une roue radiale ou axiale Hth est maximale

Hth =

u2 . v2u g

On obtient les relations suivantes :

Hth

H'th

=

u2 . v2u

u'

2

. v'

2u

=

D' D

2 2

2

H' = H

mme rendement hydraulique

. b2 Q' = 2 . 2 2m = 2 . . r2 . v2m . b2 D Q

. r'

. v'

D'

2 2

2

H' = H

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Calcul du rognage On connat la caractristique de la roue initiale : Diamtre D2 On dsire raliser un point de fonctionnement (Point P) : Qp , Hp , D2 ? Roue initiale H Q roue rogne

Similitude de fonctionnement entre les points N et P

QP H = P = H D Q

D'

2 2

2

Points N et P situs sur la droite issue de lorigine

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Calcul du diamtre D2 de la roue rogne

D'2 = D2

QP Q

=

HP H

Connaissant D2 on construit la caractristique de la roue rogne

Prcaution Le rognage doit tre limit 15% du diamtre

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Exemple

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Donnes : Pompe centrifuge, au point de fonctionnement possde les caractristiques suivantes n = 1500 tr/mn D2 = 30 cm Q = 1000 l/mn H = 30 m

Pau frein = 8.4 CV

1. On construit une autre roue et on change la vitesse de rotation 2. On rogne la roue et on change la vitesse de rotation n = 1750 tr/mn On demande de calculer : 1. La hauteur dlvation totale 2. Le dbit deau pomp 3. La puissance fourniePr. Y. AJDOR, EMI

D2 = 25 cm

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1. Une autre roue avec modification de la vitesse de rotation Lois de similitude

qs = Q

n . D3 2 n . D2

=

n' . D2' 3 n' . D2

Q'

. H' hs = g2. H 2 = g 2 '23 D ' = 1000 . 1750 . 25 = 675.15 l/mn Q' = Q . n' . Q n D2 30 1500 2 2 2 2 ' D ' = 30 . 1750 . 25 n' ' H 2 = 28.36 m H= H. . n 1500 30 D 2

3 ' 2

P'

' n' D . = Q . H = n D Pau frein Q H ' au frein

3

' 2 2

5

P'au frein = 8.4 . 1750

1500

3

. 25