3 Machines Hydrauliques Analyse Dimensionnel Similitude
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Chapitre 3 Analyse dimensionnelle Similitude
Pr. Y. AJDOR, EMI
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Position du problmeLe constructeur fournit lutilisateur :
H- Q P-Q -Q
Pour une pompe donne (D2 fix) Pour une vitesse de rotation donne (n fix)
Problme : Dterminer les nouvelles caractristiques quand On modifie la vitesse de rotation On rduit le diamtre de la roue Analyse dimensionnellePr. Y. AJDOR, EMI
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Similitude et son rle Dterminer des paramtres sans dimension qui caractrisent le fonctionnement dune pompe Lois de similitude : Ces paramtres restent constants quand on modifie n ou D
Pompe P1Pr. Y. AJDOR, EMI
Pompe P2
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Pompes P1 et P2 semblablesSimilitude dynamique : coulement semblable dans les roues des 2 pompes en similitude gomtrique et cinmatique Similitude cinmatique : triangles des vitesses semblables entre points homologues des 2 pompes Similitude gomtrique : rapport entre tous les lments gomtriques de 2 pompes constant.
D2 b sortie Pompe 2 = constante = D1 b sortie Pompe 17 Variables contrlent le fonctionnement dune pompe
n : vitesse de rotation de la roue Q : dbit pomp H : hauteur manomtrique D : diamtre de la roue g : gravit
, : proprits du fluide
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6 Variables retenues : Q , E , n , D , , Units utilises : L,M,T Thorme des 6 variables 3 units
( E = g.H )
( 6 3) paramtres sans dimension 1
, 2 , 3
1 = Ea1 . Da2 . a3 . Q 2 = Eb1 . Db2 . b3 . n 3 = Ec1 . Dc2 . c3 . 1Pr. Y. AJDOR, EMI
=
(g.H)
Q1/2
. D2
2
=
n.D 1/2 (g.H)
3
=
1/2 D . ( g.H)
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Nouveaux critres de fonctionnement
4 5 6 7
= =
1 3 2 . 4 1 2 1 2 2
= =
=
=
Q .D n . Q1/2 3/4 (g.H) Q 3 n . (D ) g.H n2 . D2
=
=
7 est utilis pour remplacer un des trois paramtres sans dimension
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Lois de similitude1. Nombre de Reynolds
Re
=
4
=
Q .D
=
Q .D D2
Deux pompes semblables : Re constant mais Identit des rgimes dcoulement (laminaire, turbulent) nest pas garantie Identit des profils de vitesse non garantie Re joue sur les pertes de charge lintrieur de la pompe hp Pour une bonne pompe hp
5%H
Re est abandonn dans la similitude
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2. Vitesse spcifique Vitesse spcifique
5
=
n . Q1/2 3/4 g . H ( )
Vitesse sans dimension
n : tr/mn Q : m3/s H : m
1/2 ns = n . Q 3/4
H
Lois de similitude Pour une pompe : ns ne varie pas avec n Pour deux pompes semblables ns est le mme
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Implications Si n = Cte et Q = Cte Si n = Cte et H = Cte Si Q = Cte et H = CteVitesse spcifique : : :
1/2 ns = n . Q 3/4
H
ns grand ns grand ns grand
H faible Q grand n grandPompe petite Nature
ns20 - 100 90 - 180 160 - 360Pr. Y. AJDOR, EMI
Pompes centrifugesH leve, Q faible : Ecoulement radial
Pompes hlico-centrifugesH intermdiaire : Ecoulement mixte
Pompes hlicesH faible, Q grand : Ecoulement axialwww.almohandiss.com
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Remarque ns est calcule au point de rendement maximal
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(White, F. M. (1999), Fluid Mechanics, McGraw-Hill, 4e d.)www.almohandiss.com
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3. Dbit spcifique
6
qs =
Q n.D3
Lois de similitude Pour une mme pompe (D = Cte)
qs reste constant Q n
Quand n varie, le dbit Q varie avec n Pour deux pompes semblables
Si n = Cte
Q2 D = D Q1
2 1
3
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4. Hauteur spcifique
7
hs =
g.H n2 .D2 hs reste constant
Lois de similitude Pour une mme pompe (D = Cte)
Quand n varie, la hauteur H varie avec n2 Pour deux pompes semblables
H n2
Si n = Cte
H2 D = H1 D
2 1
2
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Utilisation pratique des lois de similitude1. Variation de la vitesse Critres de fonctionnement :
qs et hs Une mme pompe
ns caractrise le type de pompeDescription
Fonctionnement 1
Fonctionnement 2
Roue : diamtre sortie Dbit Hauteur manomtrique Vitesse de rotation Puissance absorbe
D1 Q1 H1 n1 P1
D1 Q2 H2 n2 P2
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Egalit des hauteurs spcifiques
g . H1 g . H2 = 2 . D2 2 n1 n2 D . 2 Egalit des dbits spcifiques
Q1 Q2 = n1 . D3 n2 . D32 n H2 2 = n H1 1
ouQ2 n2 = n Q1 1Pr. Y. AJDOR, EMI
H2 Q = H1 Q
2 1
2
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Rapport des puissances
P2 . g . Q2 . H2 Q2 H2 = = . P1 . g . Q1 . H1 Q1 H13 n P2 2 = n P1 1
mme rendement
Quand n varie
Q n
H n2
P n3
Pour une mme pompe (D = Cte) Les rgimes de fonctionnement semblables quand n varie sont dfinis par :
H2 H1 = = Cte 2 2 Q2 Q1Pr. Y. AJDOR, EMI
Paraboles daxe vertical
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Courbes thoriques dgal rendement H
A4 A3 A2 A1
Caractristiques H - Q
n4 n2 n1 n3
QA1, A2, A3, A4Pr. Y. AJDOR, EMI
Points de fonctionnement semblableswww.almohandiss.com
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En pratique, le rendement de la pompe ne reste pas constant sur ces paraboles en particulier m ne reste pas le mme Les courbes pratiques sont des courbes semi-elliptiques : Courbes iso-rendements : Colline des rendementsPoint P : sommet de la colline : point de rendement maximum
ns est calcule au PColline des rendements
point P
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2. Rognage de la roue On dispose de la caractristique H Q de la pompeHQ
P : point de fonctionnement dsir Qp, Hp
Pour raliser P Solution :
Rduire le dbit et la hauteur de la pompe
Rogner la roue : rduire le diamtre de la roue
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Implication cinmatique La vitesse dentranement la sortie de la roue est modifie
u2 = 2 . . r2 . n' u'2 r2 D'2 = = u2 r2 D2
' .n u'2 = 2 . . r2
Modification du triangle de vitesse la sortie Triangles de vitesse semblables
Similitude
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Pour une roue radiale ou axiale Hth est maximale
Hth =
u2 . v2u g
On obtient les relations suivantes :
Hth
H'th
=
u2 . v2u
u'
2
. v'
2u
=
D' D
2 2
2
H' = H
mme rendement hydraulique
. b2 Q' = 2 . 2 2m = 2 . . r2 . v2m . b2 D Q
. r'
. v'
D'
2 2
2
H' = H
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Calcul du rognage On connat la caractristique de la roue initiale : Diamtre D2 On dsire raliser un point de fonctionnement (Point P) : Qp , Hp , D2 ? Roue initiale H Q roue rogne
Similitude de fonctionnement entre les points N et P
QP H = P = H D Q
D'
2 2
2
Points N et P situs sur la droite issue de lorigine
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Calcul du diamtre D2 de la roue rogne
D'2 = D2
QP Q
=
HP H
Connaissant D2 on construit la caractristique de la roue rogne
Prcaution Le rognage doit tre limit 15% du diamtre
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Exemple
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Donnes : Pompe centrifuge, au point de fonctionnement possde les caractristiques suivantes n = 1500 tr/mn D2 = 30 cm Q = 1000 l/mn H = 30 m
Pau frein = 8.4 CV
1. On construit une autre roue et on change la vitesse de rotation 2. On rogne la roue et on change la vitesse de rotation n = 1750 tr/mn On demande de calculer : 1. La hauteur dlvation totale 2. Le dbit deau pomp 3. La puissance fourniePr. Y. AJDOR, EMI
D2 = 25 cm
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1. Une autre roue avec modification de la vitesse de rotation Lois de similitude
qs = Q
n . D3 2 n . D2
=
n' . D2' 3 n' . D2
Q'
. H' hs = g2. H 2 = g 2 '23 D ' = 1000 . 1750 . 25 = 675.15 l/mn Q' = Q . n' . Q n D2 30 1500 2 2 2 2 ' D ' = 30 . 1750 . 25 n' ' H 2 = 28.36 m H= H. . n 1500 30 D 2
3 ' 2
P'
' n' D . = Q . H = n D Pau frein Q H ' au frein
3
' 2 2
5
P'au frein = 8.4 . 1750
1500
3
. 25
