FIZICĂFIZIFIZICCĂĂ

Oscilatii mecaniceOscilatii mecanice

ş.l. dr. Marius COSTACHE

2

Oscilaţii mecanice

3.1. OSCILAŢII. Noţiuni generale

ν

Oscilaţia = fenomenul fizic în decursul căruia o anumită mărime fizică prezintă o variaţie periodică sau pseudoperiodică

Mărimea care variază în timpul fenomenului oscilator se numeşte mărime caracteristică. Valoarea la un moment dat a acestei mărimi poartă denumirea de elongaţie, iar valoarea maximă a elongaţiei se numeşte amplitudine

Durata minimă în decursul căreia se efectuează o oscilaţie completă se numeşte perioadă (T). [ T ]SI = 1 s

Frecvenţa( ) = numărul de oscilaţii efectuate în timp de 1 s.

T

1=ν

ν

Hzss

SI ===− 11

][ν

3

Oscilaţii mecanice

3.1. OSCILAŢII. Noţiuni generale

OSCILAŢII

elastice, mecanice electromagnetice ideală, neamortizată reală, amortizată

Pulsaţia:

Def: Oscilaţia se numeşte armonică dacă se desfăşoară sub acţiunea unei forţe elastice care tinde să readucă sistemul în poziţia de echilibru de energie potenţială minimă.

T

πω

2=

s

radSI =][ω

rkF eerr

⋅−= ke= constantă elastică

Obs: Mărimile caracteristice oscilaţiilor armonice se exprimă prin funcţii sin, cos sau funcţii exponenţiale de argument complex.

4

Oscilaţii mecanice3.2. Mişcarea oscilatorie armonică ideală

(oscilaţii libere neamortizate)

Oscilaţii libere nemortizate se produc în absenţa unor forţe de frecare sau de disipare a energiei => energia totală a oscilatorului este constantă în timp.

Obs: Oscilaţiile libere neamortizate sunt oscilaţii ideale.

5

eFamRam =⋅⇒=⋅rr

=>

0=+ ym

ky&&

Notăm:

(pulsaţia proprie a oscilatorului)

• Oscilator mecanic: resort elastic (de constantă elastică k) şi un PM de masă m.

• În absenţa frecărilor (oscilaţii ideale) => mişcare periodică în jurul poziţiei de echilibru

3.2. Mişcarea oscilatorie armonică ideală

(oscilaţii libere neamortizate)

6

3.2. Mişcarea oscilatorie compusă armonică ideală (oscilaţie liberă neamortizate)

02

0 =⋅+ yy ω&&

ti oetyω±

=)(

Soluţiile particulare sunt de forma:

Ecuaţia diferenţială a mişcării corpului:

Obs: Cunoscând condiţiile iniţiale (poziţia şi viteza iniţială) se pot determina A şi φ0

A = amplitudinea mişcării, φ0 = faza iniţială a mişcării,

Soluţia generală este:

)sin( 00 ϕω += tAy

)(tt oo ϕϕω =+ (faza oscilaţiei)

7

3.2. Mişcarea oscilatorie compusă armonică ideală (oscilaţie liberă neamortizate)

)cos()()(v 000 ϕωω +== tAtyt &

ytAtytta2

000

2

0)sin()()(v)( ωϕωω −=+−=== &&&

r

Obs: Viteza maximă vmax se obţine dacă

Viteza oscilatorului:

Acceleraţia oscilatorului:

01)cos( 0000 =+⇒=+ ϕωϕω tt

00)sin( 00 =⇒=+⇒ yt ϕω

Obs: Acceleraţia maximă amax se obţine dacă

1)sin(00

=+ϕω t Ay =⇒ max

8

�Reprezentarea fazorială a oscilaţiei

Lungimea fazorului = modulul vectorului pe care-l reprezintă

Fazor = vector rotitor în sens trigonometric, cu viteza unghiulară ω0

�Reprezentarea grafică a elongaţiei, vitezei şi acceleraţiei oscilatorului ideal în funcţie de timp

9

Energia mecanică a oscilatorului ideal

.22

)(sin

2

)(cos

22

2

00

22

00

222

0

22

constkAtkAtAmkymv

==+

++

=+⇔ϕωϕωω

Obs: energia mecanică a oscilatorului ideal se conservă

E=

Graficul energiei mecanice totale E şi al energiei potenţiale U

10

3.3 Compunerea mişcărilor oscilatorii armonice

1. Compunerea oscilaţiilor paralele

Oscilaţiile armonice independente:

Oscilaţia armonică rezultantă: y(t) = y1 + y2

Not:

Se obţine: y(t) = a(t) sinωt + b(t) cosωt

Elongaţia oscilaţiei rezultante va fi de forma: y(t) = A(t) sin(ωt+φ(t))

=> y(t) = A(t) sin(ωt+φ(t))=A sinωt cosφ + A cosωt sinφ

11

1. Compunerea oscilaţiilor paralele

a(t) = A cos φ

b(t) = A sin φ

a2(t) + b2(t) = A2 =>

Cazuri particulare:

a) Dacă ω1 = ω2 => ∆ω = 0 => tgφ

Pentru φ1- φ2 = 2n.π => A=A1+A2(oscilaţiile sunt în fază)

Pentru ∆ω = 0 şi φ1- φ2 = (2n+1)π => A= l A1-A2 l(oscilaţiile sunt în opoziţie de fază)

12

1. Compunerea oscilaţiilor paralele

Pentru A1 = A2 = A0 =>

b) Dacă ω1 ≠ ω2 dar ∆ω

Elongaţia oscilaţiei rezultante: y(t) = A sin(ωt)

)sin()cos(2)(0

ttAty ωω ⋅∆=

13

1. Compunerea oscilaţiilor paralele

Def: Succesiunea în timp a valorilor max şi min ale amplitudinii mişcării periodice, rezultată prin compunerea a 2 oscilaţii armonice cu pulsaţii

apropiate constituie fenomenul de bătăi.

)sin()cos(2)( 0 ttAty ωω ⋅∆=

14

1. Compunerea oscilaţiilor paralele

2

222

21ωω

π

ω

ππω

−=

∆=⇒=∆ b

b

TT

Pulsaţia şi perioada bătăilor :

Frecvenţa bătăilor :

Pulsaţia şi perioada oscilaţiei rezultante:

2

222

21 ωω

π

ω

ππω

+==⇒= T

T

=> T

15

3.3 Compunerea mişcărilor oscilatorii armonice

2. Compunerea oscilaţiilor perpendiculare de aceeaşi frecvenţă

Ecuaţiile elongaţiilor pe cele 2 direcţii:

� Determinăm traiectoria PM

Ecuaţia traiectoriei PM:

16

3.3 Compunerea mişcărilor oscilatorii armonice2. Compunerea oscilaţiilor perpendiculare de aceeaşi frecvenţă

Traiectoria este o elipsă rotită faţă de axele de coordonate şi înscrisă într-un dreptunghi de laturi 2A1 şi 2A2

Cazuri particulare:

a) =>

=>

Ecuaţia elongaţiei mişcării rezultante:

17

3.3 Compunerea mişcărilor oscilatorii armonice2. Compunerea oscilaţiilor perpendiculare de aceeaşi frecvenţă

Cazuri particulare:

b) => =>

(traiectoria este o dreaptă)

c)

=>

=>

(traiectoria este o elipsă nerotită faţă de axe)

Dacă: (traiectoria este un cerc de rază Ao)

18

BIBLIOGRAFIE� F. BARVINSCHI – “Fizică Generală”,

Ed. Orizonturi Universitare, Timişoara, 2004

www.et.upt.ro>CATEDRE>BFI>CadreDidactice>BarvinschiF>DownloadStudenţi

� M. CRISTEA, D. POPOV, F. BARVINSCHI, I. DAMIAN, I. LUMINOSU, I. ZAHARIE – “Fizică. Elemente fundamentale” ,

Ed. Politehnica, Timişoara, 2006

� I. LUMINOSU – “Fizică. Elemente fundamentale” Ed. Politehnica, Timişoara,2004

� S. PRETORIAN, M. COSTACHE, V. CHIRIŢOIU – “Fizică. Elemente fundamentale. Aplicaţii”, Ed. Politehnica, Timişoara, 2006

� Luminosu I., Pop N., Chiritoiu V., COSTACHE Marius – “Fizică. Teorie, probleme şi teste grilă” , Ed. Politehnica, Timişoara, 2010