Física Geral e Experimental II - Blackboard Learn · 3) A constante angular φ é chamada...

Física Geral e Experimental II

Fenômenos Oscilantes

Material Teórico

Responsável pelo Conteúdo:Prof. Dr. José Agostinho Gonçalves de Medeiros

Revisão Textual:Profa. Esp. Natalia Conti

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A proposta desta aula é informá-lo a respeito dos conceitos de Fenômenos Oscilantes, em especial dos movimentos periódicos harmônicos simples. Serão apresentadas as equações que descrevem o movimento, tais como as equações da posição, velocidade e aceleração.

Ao fim desta aula esperamos que seja capaz de interpretar, conceituar e calcular:

• Movimento harmônico simples;

• Energia do oscilador harmônico simples;

• Comparar o movimento harmônico simples com o movimento circular uniforme;

• Modelar um pêndulo simples;

• Oscilações amortecidas

A leitura do Conteúdo Teórico com atenção é essencial para compreender os conceitos apresentados, é usual encontrarmos conceitos que a princípio divergem do que observamos no dia a dia. Os exemplos e exercícios resolvidos ajudam a consolidar os conceitos estudados.

Não deixe de utilizar todos os recursos disponíveis e acessar os links sugeridos no texto.

Nesta aula voltaremos nossa atenção para os conceitos de Fenômenos Oscilantes, especificamente dos fenômenos harmônicos. Inicialmente será considerado um movimento mais simples, que pode ser descrito por funções periódicas do tipo seno ou cosseno. A partir das equações do movimento e da lei de conservação da energia, são obtidas as relações para o calculo da energia cinética e potencial.

Ao final do texto é abordado um sistema mais realista, considerando sistemas não conservativos.

Apresentaremos também exercícios resolvidos para fixar os conceitos apresentados. Os alunos devem ter especial atenção aos pontos destacados e aos exercícios resolvidos.


· Introdução · Movimento Periódico · Energia do Oscilador Harmônico Simples · Movimento Harmônico Simples versus Movimento Circular Uniforme · Pêndulo Simples · Oscilações Amortecidas · Oscilações Forçadas

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Unidade: Fenômenos Oscilantes

Contextualização


Em todo o universo físico é possível encontrar sistemas oscilantes que se comportam de maneira harmônica, que oscilam em períodos constantes. Mesmo em situações encontradas no cotidiano este tema possui grande importância. Os engenheiros, ao realizar os seus projetos, devem conhecer os fenômenos oscilantes e prever os seus efeitos no projeto final. Projetos de instrumentos musicais, motores, edifícios, pontes, sistemas de transmissão, sistemas elétricos, etc. são exemplos de projetos que devem incluir um estudo de fenômenos oscilantes.

Um clássico exemplo de um projeto que inicialmente não considerou os efeitos dos movimentos oscilantes é a ponte Tacoma. Texto retirado do link abaixo:

http://pt.wikipedia.org/wiki/Ponte_Tacoma_Narrows

“Em 7 de Novembro de 1940, caiu a ponte pênsil de 1600 metros (Tacoma Narrows), apenas poucos meses após a sua inauguração.

De madrugada, os ventos atingiram os 70km/h, fazendo a estrutura oscilar muito, deslizando em alta velocidade. A polícia fechou então a ponte ao tráfego. Às 9h30 a ponte oscila em 8 ou 9 segmentos com amplitude de 0,9m e frequência de 36 ciclos por minuto. Às 10h00 dá-se um afrouxamento da ligação do cabo de suspensão norte ao tabuleiro, o que faz a ponte entrar num modo de vibração torcional a 14 ciclos por minuto. O eixo da via, os dois pilares e o meio da ponte são nodos. A partir daí a situação não se alterou muito durante cerca de uma hora, até que às 11h00 se desprende um primeiro pedaço de pavimento e às 11h10 a ponte entra em colapso, caindo no rio.

Os grandes defeitos da ponte foram a sua enorme falta de rigidez transversal e torcional, pois estava ausente o reticulado por baixo do tabuleiro, e a frente aerodinâmica do perfil. Não houve vítimas deste acidente.

Uma nova ponte foi construída no local, e ainda se encontra em funcionamento.”

Explore

Link, vídeo sobre a ponte de Tacoma:

https://www.youtube.com/watch?v=dvRHK4yA8rc

https://www.youtube.com/watch?v=mfQk6ac4res

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Introdução

Os fenômenos periódicos são assim chamados por serem repetitivos e ocorrerem após um intervalo de tempo fixo. Uma bola; a boias nas ondas do mar; o pêndulo de um relógio são exemplos de movimentos ou eventos repetitivos. Estas repetições são chamadas de oscilações que podem ser simuladas como movimentos chamados harmônicos simples. Estes movimentos podem servir para repetir outros fenômenos baseados em ondas mecânicas que podem ser ondas sonoras, sísmicas (que provocam terremotos), ondas na água.

Figura 1 – Ondas na superfície de água.iStock/Getty Images

Movimento Periódico

O movimento periódico de um objeto é aquele que se repete em intervalos regulares de tempo. O objeto retorna a uma posição após um intervalo de tempo fixo.

Na natureza e no nosso dia a dia há várias situações descritas pelo movimento periódico. A Terra voltando a uma distância na órbita do Sol, nós irmos e voltarmos do trabalho, um ônibus ou metrô que retorna a uma estação. Há outros eventos que não enxergamos e descrevem movimento oscilatório simples, tais como moléculas em sólido, ondas luminosas, ondas de rádio.

Um tipo especial de movimento periódico é aquele de uma força atuando em um objeto que seja proporcional à posição do objeto relativa a alguma posição de equilíbrio.

Font

e: iS

tock

/Get

ty Im

ages

8


(a)

(b)

(c)

FS

x

x

m

x = 0

FS= 0

x

m

x = 0

x

FS

x

m

x = 0

Figura 2 – Sistema mola e objeto descrevendo um movimento periódico(movimento harmônico simples)

Na figura 2, o bloco está conectado a uma mola presa à parede. (a) Quando o bloco se desloca para a direita da posição de equilíbrio a força atua para a esquerda; (b) Quando o bloco se encontra na posição x = 0 a força é nula FS = 0; (c) Quando o bloco se afasta para a esquerda da posição de equilíbrio a força atua para a direita.

Pela lei de Hooke sabemos que a força da mola (força restauradora) é:

FS= – kx

Se esta for a única força atuando na mola, sabemos pela segunda lei de Newton que:

kx= – max

=-x

ka x

m

Esta aceleração é proporcional à posição do bloco e a sua direção é oposta ao deslocamento do equilíbrio. Sistemas que se comportam desta maneira apresentam um movimento harmônico simples. E se quisermos representar matematicamente este movimento sabemos que a aceleração é a derivada da velocidade ou simplesmente a segunda derivada da posição em relação ao tempo:

2

2

2

2

= =

=-

dv d xa

dt dtd x k

xdt m

9

Por razões algébricas, iremos definir a razão k/m como:

2= wkm

e assim temos que:2

22 =-w

d xx

dt

A solução para a equação diferencial acima é uma função x(t), que quando derivada seja ela mesma e multiplicada por 2ω− . Sabe-se que as funções trigonométricas Seno e Cosseno apresentam este comportamento, portanto, pode apresentar a seguinte função como solução da equação abaixo:

( ) ( )x t Acos tω φ= +

onde , A eω φ são constantes. Vejamos se a função acima satisfaz a equação inicialmente proposta:

( ) ( )cos= w +f =-w w +fdx d

A t Asen tdt dt

( ) ( )2

22 =-w w +f =-w w +f

d x dA sen t Acos t

dt dt

isto é, provamos que:2

22 =-w

d xx

dt

As constantes presentes nesta equação são:

1) A, a amplitude do movimento que é o valor máximo da posição da partícula, quer na direção positiva ou na direção negativa de x.

2) ω , que é a frequência angular, cuja unidade é em radianos/segundo (rad/s). É a medida de quão rápido as oscilações estão ocorrendo; a frequência angular depende da constante de elástica da mola k e da massa m.

w =km

3) A constante angular φ é chamada constante de fase ou ângulo de fase inicial, e determina-se quando t=0. Se a partícula estiver na posição máxima em t =0 a fase será nula. A quantidade ( ) tω φ+ é chamada de fase do movimento. Observe que a função x(t) é periódica e, portanto, se repete a cada vez que a quantidade ( )tω + ϕ aumentar de 2π.

10


4) O período T do movimento é o intervalo de tempo em que a partícula completa um ciclo. A cada fase de 2π rad o ciclo se reinicia assim:

( ) ( ) 2t T tω φ ω φ π+ + − + =

2p=

wT

5) A frequência de movimento é o inverso do período. A frequência é o número de oscilações que a partícula sofre por unidade de tempo:

12w

= =p

fT

A unidade em ciclos por segundo é chamada de hertz (Hz). Podemos ainda escrever a frequência e o período em função da constante k e da massa m:

22

1 12

p= = p

w

= =p

mT

k

kf

T m

A partir da equação solução podemos obter a equação da velocidade e da aceleração:

( )

( )2

22

A= =-w w +f

= =-w w +f

dxv sen t

dtd x

a Acos tdt

11

Como é sabido, os valores máximos (mínimos) das funções trigonométricas seno e cosseno são ±1, e assumindo isto temos que os valores máximos da posição, velocidade e aceleração vão ser:

( )

( )

( )

max min

max min

2max min

x A

v A

a A

ω

ω

= ±

= ±

= ±

Podemos substituir pela constante k e a massa m e teremos:

( )

( )

max min

2max min

=±w =

=±w =

kv A A

mk

a A Am

Exemplo: Um objeto oscila seguindo um movimento harmônico simples ao longo do eixo x. Sua posição varia de acordo com a equação:

5,00cos 0,43

æ öp÷ç= + ÷ç ÷çè øx t

Onde x está em metros, t está em segundos e o ângulo em radianos. A amplitude, frequência e período do movimento serão respectivamente:

a) 5,00 m; 0,064 Hz; 15,71 sb) 2,50 m; 0,064 Hz; 1 s

c) 5,00 m; 0,4 Hz; 20 s

d) 5,00 m; 0,064 Hz; 15,71 s

e) 2,50 m; 0,4 Hz; 15,71 s

12


Comparando com a equação:

( ) cosx A tω φ= +

temos que A = 5,00 m e 0,4 /rad sω = , e, portanto, 0,4

0.0636622 2w

= = =p p

f Hz , e

1 115,708 15,71

0.063662= = = »T s

f

Exemplo:

Um objeto oscila seguindo um movimento harmônico simples ao longo do eixo x. Sua posição varia de acordo com a equação:

5,00cos 0,43


Onde x está em metros, t está em segundos e o ângulo em radianos. A sua velocidade e aceleração no instante t = 2 s será de:

a) 1,92 m/s e 0,33 m/s2

b) 0,33 m/s e -1,92 m/s2

c) 1,92 m/s e -0,22 m/s2

d) -1,92 m/s e 0,22 m/s2

e) -1,92 m/s e -0,22 m/s2

A velocidade e aceleração são dadas por:

( )

( )2

22

A= =-w w +f

= =-w w +f

dxv sen t

dtd x

a Acos tdt

Assim,

22

2

0,4 5,00 0,4 2,00 0,43 3

0,4 5,00 0,4 0,8 0,43 3

æ ö æ öp p÷ ÷ç ç= =- ´ + =- +÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø

æ ö æ öp p÷ ÷ç ç= =- ´ + =- +÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø

dxv sen t sen t

dt

d xa cos t cos t

dt

Em t = 2 s:

2

2,00 0,4 2 1,92 /3

0,8 0,4 2 0,22 /3

æ öp÷ç=- ´ + =-÷ç ÷çè øæ öp÷ç=- ´ + =÷ç ÷çè ø

v sen m s

a cos m s

Trocando Ideias

Não esqueça de utilizar a sua calculadora em radianos!

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Exemplo:

Um objeto oscila seguindo um movimento harmônico simples ao longo do eixo x. Sua posição varia de acordo com a equação:

5,00cos 0,43


Onde x está em metros, t está em segundos e o ângulo em radianos. A velocidade e aceleração máximas serão:

a) 5,0 m/s e 0,4 m/s2

b) 2,0 m/s e 0,8 m/s2

c) 3,0 m/s e 0,6 m/s2

d) -2,0 m/s e -0,8 m/s2

e) 1,0 m/s e 0,4 m/s2

A velocidade e a aceleração máximas são dadas por

( )

( )

max min

2 2 2max min

0, 4 5,00 2,0 /

0, 4 5,00 0,8 /

v A m s

a A m s

ω

ω

= = × =

= = × =

Exemplo:

Um bloco de 500 g está conectado a uma mola com constante elástica de 2,5 N/m. O bloco terá um período de oscilação de:

a) 2,5 s

b) 2,6 s

c) 2,7 s

d) 2,8 s

e) 2,9 s

2,52,23607 /

0,52 2

2,82,23607

w = = =

p p= = =

w

k rad s

m

T s

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Energia do Oscilador Harmônico Simples

Vamos assumir uma mola com massa desprezível e determinamos sua energia cinética como:

( )2 2 2 21 12 2

= = w w +fK mv m A sen t

A energia potencial de uma mola esticada de x é:

( )2 2 21 12 2

= = w +fU kx kA cos t

E a energia mecânica vai ser:

( ) ( )2 2 212

é ù= + = w +f + w +fê úë ûE K U kA sen t cos t

Lembrando que tomamos 2 km

ω = e que a identidade trigonométrica

2 2 1sen cosθ θ+ = , a energia final será:

212

=E kA

Isto é, a energia mecânica total de um oscilador harmônico simples é uma constante de movimento e proporcional ao quadrado da amplitude. Note que K e U são sempre positivos e a sua soma sempre é 21

2=E kA .

Energia Cinética (roxo) e Potencial (verde) versus tempo (período) para umoscilador harmônico.

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Exemplo:

Uma carreta de 1,5 kg está conectada a uma mola de constante elástica de 200 N/s. A energia total do sistema para uma oscilação com amplitude máxima de 10 cm é de:

a) 0,1 Jb) 1 Jc) 10 Jd) 5 Je) 0,5 J 2 21 1

200 0,1 12 2

= = ´ =E kA J

Pelo princípio da conservação podemos deduzir a velocidade em função da posição para um oscilador:

( )

2 2 2

2 2 2 2

1 1 12 2 2

= + = + =

=± - =±w -

E K U mv kx kA

kv A x A x

m

A aplicação do modelo do oscilador harmônico simples é muito utilizada em várias áreas da física, e acaba sendo um bom modelo para uma larga variedade de fenômenos físicos. A partir de alguns valores notáveis de tempo em função do período de uma oscilação é possível saber os valores correspondentes de posição, velocidade, aceleração, e energias cinética e potencial.

Tempo (período)

Posição(amplitude)

Velocidade Aceleração Energia Cinética

Energia Potencial

Energia Total

t x v a K U K+U

0 A 0 2 Aω− 0 2½ kA 2½ kA

T/4 0 Aω 0 2½ kA 0 2½ kA

T/2 -A 0 2 Aω− 0 2½ kA 2½ kA

3T/4 0 Aω 0 2½ kA 0 2½ kA

T A 0 2 Aω− 0 2½ kA 2½ kA

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Movimento Harmônico Simples versus Movimento Circular Uniforme

Como mencionado, no nosso dia a dia muitos equipamentos e dispositivos apresentam uma relação entre o movimento oscilatório e o movimento circular.

Por exemplo, os pistões de um motor sobem e descem (oscilação) e ainda assim o movimento resultante é circular.

Figura 3 – Motores a vapor e esquema que mostra a conversão de um motor de ciclos alternativos em movimento de rotação (o “gif” animado encontra-se em http://en.wikipedia.org/wiki/Reciprocating_motion)

Considere uma partícula executando um movimento circular de raio a. Vamos considerar que o sistema de coordenadas cartesiano tenha sua origem no centro do círculo.

A velocidade angular da partícula vai ser ω e podemos verificar que o ângulo θ varia conforme:

tθ ω=e é fácil observar que as coordenadas cartesianas são:

cos

x acos a ty a sen a sen t

θ ωθ ω

= == =

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Se neste movimento, quando t = 0 houver um ângulo inicial ϕ, as equações tornam-se:

( )( )

cos

x a t

y a sen t

ω φ

ω φ

= +

= +

Portanto, o movimento circular uniforme é a combinação de dois movimentos harmônicos simples em x e y.

Exemplo:

Uma partícula faz uma rotação no sentido horário em um círculo de 5,00 m de raio com velocidade angular constante de 12 rad/s. No instante t =0, a partícula encontra-se em x = 3,00 m e está movendo para a direita. A posição de x em t = 4 s será:

a) 0,75 m

b) -0,75 m

c) -1,15 m

d) 1,15 m

e) 5,00 mcos( )

12 /5,005,00cos(12 )

x A tw rad sA mx t

= ω + φ=== + φ

Quando x = 3,00, t = 0 , assim:

1

3,00 5,003,00 53,13 0,9273 5,00

cos

cos ou rad

φ

φ −

=

= = °

Então teremos:

( )5,00 cos 12 0,9273x t= +

e em t = 4 s

( )5,00cos 12 4 0,9273 1,15258 1,15 x m= × + = ≈

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Pêndulo Simples

O pêndulo simples é outro sistema que apresenta movimento periódico. Ele consiste de uma massa m suspensa por um fio de massa desprezível e comprimento L fixo na parte superior. O movimento ocorre no plano vertical e é acionado pela força gravitacional. Quando o ângulo máximo de oscilação for menor que 10o, o movimento se assemelha a um oscilador harmônico simples.

As forças atuantes são a tração T para cima e a força gravitacional mg para baixo. A componente tangencial mgsenθ que sempre restaura a posição da massa presa para a posição em que θ =0, onde a posição é a mais baixa em relação ao solo. Aplicando-se a segunda lei de Newton:

2

2=- q =tan

d sF mgsen m

dt

Como s Lθ= , e L é constante, temos:2

2

q=- q

d gsen

dt L

Mas para pequenos ângulos senθ θ≈ e assim:2

2

q=- q

d gdt L

Esta equação é da mesma estrutura que a do movimento harmônico simples e tem como solução:

( )cosmax tθ θ ω φ= +

Onde maxθ é o ângulo máximo de oscilação e a frequência angular ω :

w =gL

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g é a aceleração da gravidade. O período de oscilação vai ser:

22

p= = p

wL

Tg

O período e frequência de oscilação de um pêndulo depende somente do comprimento da linha (fio) e da aceleração da gravidade.

Oscilações Amortecidas

Os movimentos oscilantes até o momento são aqueles ideais, isto é, a oscilação vai ocorrer indefinidamente pela ação de uma força única e restauradora. Mas, os sistemas reais apresentam forças não conservativas, como o atrito, que retardam o movimento. A força retardadora é proporcional, em geral, à velocidade do objeto:

=-

R bv

onde b é o coeficiente de amortecimento, e novamente aplicando a segunda lei de Newton ao sistema, temos:

2

2

ˆ ˆ ˆ.=- - =

- - =

åF kxi bvi m ai

dx d xkx b m

dt dt

a solução para tal sistema é um pouco avançada, e será apresentada sem prova, porém sua forma não é tão complicada assim:

( )2 cos-

= w +fb

tmx Ae t

onde a frequência angular de oscilação é:

2 22

2 2

æ ö æ ö÷ ÷ç çw = - = w -÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è øo

k b bm m m

onde /w =o k m que é a frequência natural de oscilação sem amortecimento. Vamos perceber que a amplitude de oscilação decai exponencialmente com o tempo e significa que a posição vai tendendo à posição de equilíbrio e a velocidade de oscilação vai diminuindo.

Grá� co de posição versus o tempo para um oscilador amortecido (b=0,08 kg/s, b=0,2 kg/s). As linhas tracejadas (laranja) são chamadas de “envelope”.

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Oscilações Forçadas

Quando os sistemas oscilantes decrescem devido às forças não conservativas, há meios de se compensar a perda de energia ao se aplicar uma força externa ao sistema, de maneira a realizar trabalho sobre o sistema, ou seja, ceder energia, perdida nos desgastes e resistências internas do sistema oscilante. Ao empurrarmos uma criança no balanço, quando este oscila com menor amplitude, é um exemplo de nosso dia a dia. Um exemplo de um oscilador forçado é um oscilador amortecido acionado por uma força externa que varie periodicamente F(t)=Fo sen tω , onde ω é a frequência angular e F0 é uma constante, mais uma vez aplicando a segunda lei de Newton:

2

0 2= ® w - - =å dx d xF ma F sen t b kx m

dt dt

A solução passo a passo também foge do escopo deste curso e apresentaremos tão somente os resultados. Depois que a força atuando no sistema estacionário comece a surtir efeito, a amplitude de oscilações irá aumentar. Depois de um período longo de tempo comparado ao tempo de oscilação, a energia por ciclo adicionada ao sistema irá se equiparar à energia transformada em energia interna em cada ciclo, e um novo estado estacionário será alcançado e as oscilações irão proceder com amplitude constante:

( ) x Acos tω φ= +

e

( )

0

222 2

0

/=

æ öw÷çw -w + ÷ç ÷çè ø

F mA

bm

e 0 /k mω = é a frequência natural do sistema sem amortecimento, isto é, para b=0. O sistema irá oscilar com grandes amplitudes quando a frequência da força atuante for próxima da frequência natural, ou quando 0ω ω≈ . Quando a frequência estiver muito próxima, o sistema entra em ressonância e a amplitude atinge valores muito elevados, o que pode causar danos estruturais ao sistema. Um exemplo muito famoso é o da ponte de Tacoma no estado de Washington, quando em 1940 a força de um vento moderado, mas com frequência muito próxima à da frequência de ressonância da ponte fez com que a mesma entrasse em colapso.

ExplorePonte de Tacoma entrando em colapso, para ver o vídeo acesse:

https://www.youtube.com/watch?v=3mclp9QmCGs

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Material Complementar

Para complementar os conhecimentos adquiridos nesta Unidade, veja os vídeos indicados e consulte a bibliografia indicada.

Textos• Cursos Unicamp - Física Geral II - Oscilações

http://goo.gl/4cSDZQ

Vídeos• Cursos Unicamp - Física Geral II - Oscilações - Parte 1

https://www.youtube.com/watch?v=WBUcT8NVwuk

• Fundação Lemannhttp://goo.gl/nLjfWE

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Referências

ALONSO, M. Física: um curso universitário. – 12a. edição – São Paulo: Edgard Blucher, 2011.

HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J. Fundamentos de física: gravitação, ondas e termodinâmica – 9ª. Edição - Rio de Janeiro: LTC editora, 2012.

LANDULFO, E. Meio Ambiente & Física. São Paulo: Editora Senac, 2005.

NUSSENZVEIG, H. M. Curso de Física básica: fluidos, oscilações e ondas, calor. 4a ed. São Paulo: Edgard Blücher Ltda, 2002.

SEARS; ZEMANSKY. Física II, Termodinâmica e Ondas. – 12a. Edição – São Paulo: Addison Wesley, 2003.

SERWAY, R; JEWETT Jr., J. W. Princípios de Física, Vol.2. São Paulo - THOMPSON Editora; 2004.

TIPLER, P.A. Física para cientistas e engenheiros: mecânica, oscilações e ondas, termodinâmica - 4a Ed. Rio de Janeiro: LTC - Livros Técnicos e Científicos S.A., 2000.

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Anotações

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