1. CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTINUA 1.1. FEM. Se denomina f.e.m. (Fuerza electromotriz) a la energía que genera una fuente externa sobre un circuito para mantener una diferencia de potencial entre dos puntos de ese mismo circuito, se la simboliza como ε. 1.2. Resistores en Serie y en paralelo. Los resistores en serie tienen una misma cantidad de carga que fluye por ellos en el tiempo, de manera que la corriente es la misma para todo el sistema en serie. Los resistores son dispositivos que consumen energía, en ningún caso aportan energía al circuito eléctrico.

Figura 1

Los resistores que se muestran en la figura 1 se encuentran a lo largo de la misma rama, de manera que a lo largo de esa rama pasa la misma corriente, a la que se llama corriente de rama. El circuito cerrado, compuesto por los resistores y la fuente de voltaje, se denomina lazo o malla, de manera que la corriente que fluye por todo el lazo se denomina corriente de malla o de lazo. Los puntos (o alambres o cableado) que conectan dos elementos se denominan uniones o nodos, de modo que en la figura 1 tenemos tres nodos, a, b y c. Los elementos entre los nodos tienen el mismo potencial, si desea tener la diferencia de potencial entre dos nodos simplemente se restan los potenciales equivalentes a esos nodos. De este modo, Vab = Va – Vb. La diferencia de potencial entre dos puntos cualesquiera equivale a la suma algebraica de todas las diferencias de potencial entre los elementos que existen entre los puntos. Por ejemplo, Vac = Vab + Vbc = Va – Vb + Vb – Vc = Va – Vc. Los resistores representados en la figura 2 están en paralelo, y cada uno de ellos tiene la misma diferencia de potencial.

Figura 2

Extendemos aun más el concepto de nodo. Se denomina nodo a todo el alambre o cableado que conecta a varios elementos entre si, sin que otro elemento cruce por el, observe por ejemplo que el nodo a es todo el alambre que conecta a los elementos R1 R2 y la fuente de voltaje.

Figura 3

1.3. Leyes de Kirchoff. La ley de corrientes de Kirchoff indica que la suma algebraica de las corrientes que ingresan y/o salen del un nodo es cero, o dicho de otra manera, la suma de las corrientes que ingresan a un nodo es igual a la suma de las corrientes que salen de el. En la figura 2 se tiene que I = I1 + I2. La ley de voltajes de Kirchoff indica que la suma algebraica de los voltajes en una malla es cero. De este modo, ∆V + VR1 + VR2 = 0. 1.4. Circuitos R – C. Se denominan circuitos R – C a la combinación de circuitos que contienen resistores y capacitares. La carga de un capacitor está dada como sigue.

Figura 4

Para un tiempo t en el que no se ha cerrado el interruptor S, la carga no fluye, de manera que no existe corriente y no se carga el capacitor. Para un tiempo en el que se cierra el interruptor S, t = 0, comienza a fluir la carga y el capacitor comienza a cargarse. En el instante justo que se cierra el interruptor se tiene la ecuación

0

0

=−−

=−−

C

qIR

VV CR

ε

ε

Pero al instante t = 0 la carga q en el capacitor es cero de modo que se tiene que

RI0=ε

Aquí I0 es la corriente inicial al instante de conectar el interruptor. Cuando el tiempo es lo suficiente para que el capacitor se cargue, la corriente cesa de fluir, de manera que el capacitor se comporta como si el circuito se abriera, de esta manera la corriente la podemos tomar como cero en ese instante. Si usamos la misma ecuación inicial, tenemos

CQC

q

ε

ε

=

=

max

Tomando estos datos y reemplazando en la ecuación original tenemos

−=

−=−

−=−=

−=

=−−

−

∫∫

RC

t

tq

eQq

dtRCQq

dq

RC

qQ

RC

qC

dt

dqRC

q

Rdt

dqC

qIR

1

1

0

max

00 max

maxε

ε

ε

Para encontrar una relación de corriente en el tiempo, se deriva la ecuación anterior

RC

t

eII−

= 0

Figura 5

Para la descarga del capacitor consideramos al circuito anterior pero sin la fuente, vea la figura 5.

( ) RC

t

Qetq

C

q

dt

dqR

C

qIR

−=

−=

=−− 0

Y, al derivar la ecuación anterior se tiene

RC

t

eII−

−= 0

2. CAMPOS MAGNÉTICOS 2.1. Campos y fuerzas magnéticas. La fuerza magnética que se ejerce sobre una partícula cargada eléctricamente, y que viaja con una velocidad en ese medio estábamos dada por

( ) BvqF ×=

2.2. Fuerza magnética actuando en un conductor portador de corriente. Si la carga eléctrica se contiene en un conductor, y el mismo reposa en una región en la que actúa un campo magnético, la fuerza que le produce este campo magnético esta dada por la ecuación

( ) BlIF ×=

2.3. Torque en un lazo de corriente dentro de un campo magnético uniforme. Si se ingresa una espira en un campo magnético, esta sufre la acción de un momento de torsión que esta dado por

( ) BAI ×=τ

Al producto IA se lo denomina momento bipolar magnético, µ.

B×= µτ

2.4. Movimiento de una partícula cargada en un campo magnético uniforme. Cuando una partícula cargada ingresa en una región en la que un campo magnético esta actuando se genera un movimiento circular, debido a la acción de la fuerza magnética.

La fuerza magnética aquí es una fuerza centrípeta, y de ello se deducen las siguientes relaciones

R

mvqB =

qB

mT

π2=

Adicionalmente, se puede utilizar el hecho de tener una suma de fuerzas eléctrica y magnética para evitar la desviación de la partícula cargada al ingresar al campo magnético, a este dispositivo se lo denomina selector de velocidades. También se utiliza esta configuración para determinar la masa de ciertos elementos químicos cargados eléctricamente, como los iones. Al dispositivo

en mención se lo denomina espectrógrafo de masas.

3. FUENTES DE CAMPO MAGNETICO. 3.1. La ley de Biot – Savart.

La ley de Biot – Savart presenta una relación directa entre el diferencial o elemento de corriente y el campo magnético que este provoca de manera que, experimentalmente se comprueba

20 ˆ

4 r

rdsIBd

×=π

µ

Cabe aclarar que µ0 = 4π×10 – 7 T m/A, y se denomina coeficiente de permeabilidad,

ds es la trayectoria que sigue la corriente, I, y r̂ es el vector unitario de posición.

3.2. Fuerza magnética entre dos conductores paralelos. La fuerza generada por un conductor de longitud L, en un punto cualquiera, a una distancia a esta dada por

211 lBIF =

Pero el campo magnético generado por la barra por la que fluye corriente I2 es

a

IB

πµ2

20=

la

IIF

πµ2

2101 =

3.3. Ley de Ampere. La ley de Ampere indica que el campo magnético que se genera alrededor de geometrías bastante simétricas están directamente relacionadas con la corriente que se rodea alrededor de una superficie que se denomina Amperiana. Matemáticamente está dada por

IdsB 0µ=•∫

Aquí el vector ds representa la longitud que rodea a la superficie amperiana 3.4. El campo magnético de un solenoide. El solenoide es el conjunto de varias espiras que son enrolladas alrededor de un eje en forma de hélice. Utilizando la ley de Ampere se puede demostrar que el campo magnético en el interior del mismo es

nIIl

NB 00 µµ ==

3.5. Flujo magnético. Al igual que en el campo eléctrico, en el magnetismo se realiza el análisis de las líneas de fuerza magnética que atraviesan a una determinada región, y está dado por la relación matemática

AdBB •=Φ ∫

Se establece también que el flujo magnético a través de una superficie cerrada es cero, esto es,

0=•∫ AdB

4. LEYES DE FARADAY 4.1. Ley de inducción de Faraday. Los experimentos realizados por Michael Faraday acerca de la relación entre campos magnéticos y corrientes variantes en el tiempo entregan las siguientes conclusiones:

1. Cuando no hay corriente en el electroimán, de manera que B = 0, el galvanómetro no muestra corriente. 2. Cuando se conecta el electroimán, hay una corriente transitoria a través del medidor, conforme B aumenta. 3. Cuando B se estabiliza en un valor constante, la corriente decae a cero, no importa que tan grande sea B. 4. Con la bobina en un plano horizontal, se oprime de modo que se reduzca su sección transversal, el medidor detecta

corriente solo durante la deformación, no antes ni después. De igual manera ocurre si se hace girar el área. 5. Si se saca bruscamente la bobina del campo magnético, la aguja del galvanómetro se desvía en la misma dirección

que cuando se disminuyo el área. De igual manera ocurre si se disminuye el número de espiras enrolladas. Todos los experimentos anteriores están relacionados con el flujo magnético, mismo que se definió matemáticamente en la sección anterior. La ley de Faraday indica que: “La fem inducida en un circuito es igual al negativo de la velocidad con que cambia con el tiempo el flujo magnético a través del circuito. En términos matemáticos, la ley de Faraday es

dt

d BΦ−=ε

4.2. FEM de movimiento. Cuando existe un movimiento relativo entre la espira y el campo magnético, se genera lo que se conoce como fem de movimiento

Blx=Φ

( )

Blvdt

dxBlBlx

dt

d

dt

d

=

−=−=Φ−=

ε

ε

4.3. Ley de Lenz. En un circuito cerrado, la corriente inducida aparece en una dirección tal que esta se

opone al cambio que la produce. El signo menos en la ecuación de la ley de Faraday indica este fenómeno. Esta ley se aplica solo a circuitos cerrados. Si el circuito esta abierto, se podría pensar en que sucedería si el circuito estuviera cerrado para indicar la dirección de la fem. La figura a continuación resume lo dicho.

4.4. FEM inducida y campo eléctrico. Cuando un flujo magnetico cambiante a traves de un conductor induce una fem, existe un campo electrico inducido, E, de origen no electrostatico. Este campo es no conservativo, y no se puede asociar con un potencial electrico, y su relacion matematica esta dada por

dt

dldE BΦ

−=•∫

5. INDUCTANCIA 5.1. Auto inductancia. Cuando la corriente, en una bobina, cambia con el tiempo, de acuerdo a la ley de Faraday se induce una fem en la bobina, a esta se la denomina fem auto inducida y está dada por

dt

diL−=ε

En donde L es la Inductancia de la bobina (también llamada auto inductancia). Se define como inductancia a la medida de la oposición que una bobina ofrece a cambios en la corriente de la bobina. Tiene como unidades al Henry, H, y se expresa matemáticamente como sigue

i

NL

Φ=

En la ecuación anterior Φ representa el flujo magnético a través de la bobina, N el número de espiras que tienen la bobina e i es la corriente que esta cambiando en el tiempo.

5.2. Circuitos R – L. Si un resistor y un inductor son conectados en serie a una batería de fem ε, y se abre un interruptor para un tiempo t < 0, y luego cerrado en t = 0, la corriente en el circuito varia en el tiempo de acuerdo a la expresión

−=

− tL

R

eR

i 1ε

Si se reemplaza la batería por un corto circuito (un alambre de resistencia despreciable), la corriente de descarga es

tL

R

eR

i−

= ε

5.3. Energía del campo magnético. La energía almacenada en el camp magnético por el inductor portador de una corriente I esta dado por

2

2

1LIU =

Esta energía es la contraparte de la energía almacenada por un capacitor en el campo eléctrico. La densidad de energia por unidad de volumen es

0

2

µB

uB =

5.4. Inductancia mutua Cuando una corriente cambiante i1 en un circuito crea un flujo magnético cambiante en un segundo circuito, se induce una fem, ε2 en el segundo circuito. De manera análoga, una corriente cambiante i2 en el segundo circuito induce una fem ε1 en el primer circuito. De este modo se puede concluir que la fem inducida en cualquiera de las dos situaciones es proporcional con el cambio en la corriente del otro circuito, y a la constante de proporcionalidad se la denomina inductancia mutua, y es la misma para ambos casos.

2

11

1

22

21

12

i

N

i

NM

dt

diMy

dt

diM

BB Φ=Φ=

−=−= εε

5.5. Circuito L – C. En un circuito L – C ideal (no tiene resistencia y no radia), el valor de la carga en el capacitor y la corriente en el circuito varia en el tiempo de acuerdo a las expresiones

( )( )φωω

φω+−=

+=tsenQI

tQQ

max

max cos

Donde Qmax es la carga máxima del capacitor, φ es la constante de fase y ω es la frecuencia angular de oscilación,

LC

1=ω

La energía en un circuito LC es transferida continuamente entre el capacitor y el inductor. La energía total del circuito LC para un tiempo t cualquiera esta dada por

tsenLI

tC

QU ωω 2

2max2

2max

2cos

2+=

A t = 0 toda la energía es almacenada en el campo eléctrico del capacitor ( )CQU 2/2max= . Eventualmente toda esta

energía es transferida al inductor ( )CLIU /2max= . La energia total permanece constante debido a que el sistema es

ideal. 5.6. Circuito R – L – C En un circuito RLC con una pequeña resistencia, la carga en el capacitor varía en el tiempo de acuerdo a

( )teQQ dLRt ωcos2/

max−= , donde

21

2

2

1

−=L

R

LCdω