BAB III

ISI

4.2 Kepadatan Normal Multivariat dan Sifat-sifatnya

Kepadatan normal multivariat merupakan generalisasi dari kepadatan

normal univariat untuk dimensi p ≥ 2.

2[( ) / ] / 2

2

1( )

2

xf x e µ σ

πσ− −= x−∞ < < ∞ (3-1)

( ) ( ) ( )2

12 .x

x xµ µ σ µ

σ−− = − −

(3-2)

Bentuk (3-2) di atas pada fungsi kepadatan normal univariat menunjukan besaran

jarak yang dikuadratkan darix keµ pada satuan standar deviasi. Bentuk ini dapat

digeneralisasi untuk vektor x ( 1p× ) dari suatu observasi pada beberapa variabel

sebagai

( ) ( )1' −− ∑ −x xµ µ (3-3)

Vektorµdengan 1p× menunjukkan nilai harapan (ekspektasi) dari vektor acak X,

dan matrik∑ denganp p× merupakan varian-covarian matrik. Disini

diasumsikan∑ terbatas positif, sehingga (3-3) merupakan generalisasi jarak yang

dikuadratkan dari x ke µ .

Kepadatan normal multivariat didapat dengan mengganti jarak pada

univariat (3-2)jarak multivariat hasil generalisasi (3-3) pada fungsi kepadatan

(3-1). Saat pergantian terjadi, konstanta normal univariat ( ) ( ) 1/ 21/ 2 22π σ−−

juga

harus diganti dengan konstanta umum yang membuat suatu volume dibawah

permukaan fungsi kepadatan multivariat untuk setiap p. Hal ini diperlukan karena

pada multivariat, probabilitas digambarkan oleh volume dibawah permukaan pada

daerah yang didefinisikan oleh interval dari nilaiix . Konstanta yang

menggantikannya adalah( ) / 2 1/ 22 | |pπ − −∑ , kepadatan normal pada dimensi p untuk

vektor acak 1 2[ , ,..., ] 'pX X X=X memiliki bentuk

( )( )

( ) ( )1' / 2/ 2 1/ 2

1

2 | |pf e

π−− − ∑ −=

∑

x µ x µx (3-4)

dimana ix−∞ < < ∞ , bentuk ini akan diotasikan dengan ( ),pN ∑µ .

Pada persamaan (3-4) jelaslah bahwa alur atau garis edar dari nilai x yang

merupakan konstanta ketinggian untuk kepadatan adalah sebuah elipsoid.

Sehingga kepadatan normal multifariat adalah sebuah konstanta dimana:

Peta kepadatan kemungkinan konstan = {all x ∋ ( ) ( )1 2' c−− ∑ − =x xµ µ }

= permukaan dari elipsoida dengan titik

pusat µ .

Titik-titik pada elipsoid dari suatu kepadatan normal adalah suatu vektor eigen

berarah dari 1−∑ dan panjangnya adalah akar nilai eigen dari ∑ dikali dengan akar

dari c.

Akibat 1. Jika ∑ terbatas positif sehingga terdapat 1−∑ ,

λ∑ =e e menyebabkan 1 1

λ−∑ =e e

jadi( ),eλ adalah pasangan nilai dan vektor eigen dari ∑ yang berhubungan

dengan pasangan ( )1/ ,eλ untuk 1−∑ . Dimana 1−∑ juga terbatas positif.

Proof. Untuk ∑ terbatas positif dan e ≠ 0 adalah vektor eigen, kita punya

0 '< ∑e e = '( )∑e e = '( )λe e = 'λe e = λ . Selain itu e = 1−∑ ∑e = 1 λ−∑ e =

1λ −∑ e dan jika dibagi dengan 0λ > memberikan 1 (1/ )λ−∑ =e e. Sekarang

untuk

( )

1

1

2

1

1' ' '

1' 0

p

i ii i

p

ii i

λ

λ

−

=

=

∑ =

= ≥

∑

∑

x x x e e x

x e

( )21 ' 0i iλ− ≥x e sehingga 'i =x e 0 untuk setiap i jika dan hanya jika =x 0 . Jadi

≠x 0 , menyebabkan ( )( )2

1

1/ 'p

i ii

λ=∑ x e > 0 dan 1−∑ terbatas positif.

Dibawah ini merupakan ringkasan konsep diatas

Contoh soal

Kita harus mendapatkan titik koordinat dari contour probabilitas density

saat 11 22σ σ= dari (3-5) titik yang kita cari diberikan oleh nilai eigen dan vektor

eigen ∑ . Disini 0λ∑− =I menjadi

( )

( ) ( )

211 12 211 12

12 11

11 12 11 12

0σ λ σ

σ λ σσ σ λ

λ σ σ λ σ σ

−= = − −

−

= − − − +

Konsekuensinya, nilai eigennya 1 11 12λ σ σ= + dan 2 11 12λ σ σ= − . Vektor eigennya

didapat dari

( )11 12 1 111 12

12 11 2 2

e e

e e

σ σσ σ

σ σ

= +

atau

( )11 1 12 2 11 12 1e e eσ σ σ σ+ = +

( )12 1 11 2 11 12 2e e eσ σ σ σ+ = +

Persamaan ini mengakibatkan2 1e e= dan setelah normalisasi pasangan nilai eigen

dan vektor eigen adalah

1 11 12λ σ σ= + , 1

1

21

2

e

=

Kontur dari kepadatan konstan untuk distribusi normal pada dimensi p adalah

sebuah elipsoid dengan x variabelnya sehingga

( ) ( )1 2' c−− ∑ − =x xµ µ (3-5)

Ellipsoid ini berpusat pada µ dan memiliki titik kooardinat i ic λ± e dimana

λ∑ =e e,

i = 1, 2, ..., p.

Dengan cara yang sama 1 11 12λ σ σ= − menghasilkan 2' 1 2 , 1 2e = − .

Saat kovarian 12σ (korelasi 12ρ ) bernilai positif, 1 11 12λ σ σ= + adalah nilai

eigen tebesar dan dihubungankan dengan 1' 1 2 , 1 2e = terletak bersama

dalam 450 melewati titik [ ]1 2' ,µ µ=µ . Hal ini aka benar untuk setiap nilai positif

dari kovarian.

11 12c σ σ+

11 12c σ σ−

2µ

1µ 1x

Gambar 1. Kontur untuk distribusi normal bivariat dengan 11 22σ σ= dan 12 0σ >

Untuk merangkumnya, titik pada elips dari suatu kepadatan konstan untuk

distribusi normal bivariat dengan 11 22σ σ= dapat ditentukan oleh

11 22 11 22

1 1

2 2dan

1 1

2 2

c cσ σ σ σ

± + ± − −

Akibat 2. Jika X berdistribusi ( ),pN ∑µ , maka setiap kombinasi

linier dari variabel a’X = 1 1 2 2 ... p pa X a X a X+ + + akan berdistribusi

( ) ( )

[ ]

1 1 2 2

1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1

1

11 1 1

1

' ....

( ) ( )

( ) ( )

, ,...,

'

n nE E a X a X a X

E a X E a X

a E X a E X

a a

a a a

µ µµµ

µ

= + + += += += +

=

=

a X

a µ

M

( )' , 'pN ∑a µ a a . Demikian juga jika a’X berdistribusi ( )' , 'pN ∑a µ a a untuk

setiap a, maka X berdistribusi ( ),pN ∑µ .

Proof. Disini hanya akan dibuktikan untuk ( )1E aX = a'µ

( ) ( )1 1 1E aX aE X aµ= = .

Contoh

[ ]' 1,0,...,0=a

[ ]1

21' 1,0,...,0

p

X

XX

X

= =

a XM

[ ]1

21' 1,0,...,0

p

µµ

µ

µ

= =

a µM

[ ]11 12 1

21 22 211

1 2

1

0' 1,0,...,0

0

p

p

p p pp

σ σ σσ σ σ

σ

σ σ σ

Σ = =

a a

L

L

M M O M M

L

Melalui akibat 2 kita dapatkan bahwa 1X berdistribusi ( )1 11,N µ σ . Hal ini dapat

diperumum jika untuk iX maka distribusinya akan ( ),i iiN µ σ .

Akibat 3. Jika X berdistribusi ( ),pN ∑µ , q kombinasi linier dari

11 1 1

21 1 2

1

1 1

...

...

...

p p

p p

q p p

q qp p

a X a X

a X a X

a X a X

× ×

+ + + + = + +

A XM

akan berdistribusi ( ), 'pN ∑Aµ A A . Begitu juga untuk ( ) ( )1 1p p× ×

+X d , dimana d adalah

vektor konstanta, akan berdistribusi ( ),pN + ∑µ d .

Contoh:

Diberikan X berdistribusi ( )3 ,N ∑µ , cari distribusi untuk

11 2

22 3

3

1 1 0

0 1 1

XX X

XX X

X

− − = = − −

AX

Dari akibat 3, distribusi dari AX adalah normal multivariat dengan rata-rata

11 2

22 3

3

1 1 0

0 1 1

µµ µ

µµ µ

µ

−− = = −−

Aµ

dan kovariannya

11 12 13

12 22 23

13 23 33

11 12 22 12 23 22 13

12 23 22 13 22 23 33

1 01 1 0

1 10 1 1

0 1

2

2

σ σ σσ σ σσ σ σ

σ σ σ σ σ σ σσ σ σ σ σ σ σ

− ∑ = − − −

− + + − − = + − − − +

A A'

Alternatif lainnya kita dapat mencari vektor rata-rata dan covarian kita dapat

mengubah terlebih dahulu dalam bentuk 1 1 2Y X X= − dan 2 2 3Y X X= − .

Akibat 4. Semua subset dari X berdistribusi normal. Jika kits partisi

X, rata-rata dan covariannya akan berbentuk

1 1( 1) ( 1)

1 ( )( 1)

2 2(( ) 1) (( ) 1)

11 12( ) ( ( ))

21 21(( ) ) (( ) ( ))

q q

p p pp

p q p q

q q q p q

p q q p q p q

× ×

× ××

− × − ×

× × − = − − − − = − − − − ∑ = − × − × −

∑ ∑ ∑ ∑

X µ

X µ

X µ

maka iX berdistribusi ( )1 11,pN µ ∑ .

Dari akibat di atas kita punya bahwa semua subset dari vektor acak X yang

berdistribusi normal adalah berdistribusi normal pula.

Contoh

Jika X berdistribusi ( )5 ,N ∑µ , cari distribusi dari 2

4

X

X

. Kita himpun

sebelumnya 21

4

X

X

=

X , 21

4

µµ

µ

=

, dan 22 2411

24 44

σ σσ σ

∑ =

dari ( )5 ,N ∑µ kita punya

X ,µ , dan ∑ yang kemudian akan kita susun kembali dan kita partisi menjadi

22 24 12 23 25

24 44 14 34 45

12 14 11 13 15

23 34 13 33 35

25 45 15 35 55

σ σ σ σ σσ σ σ σ σσ σ σ σ σσ σ σ σ σσ σ σ σ σ

∑ =

2

4

1

3

5

µµµµµ

=

µ

2

4

1

3

5

X

X

X

X

X

=

X ,

atau

( )

( )

12 1

23 1

×

×

=

X

XX

( )

( )

12 1

23 1

×

×

=

µ

µµ

( ) ( )

( ) ( )

11 122 2 2 3

21 223 2 3 3

× ×

× ×

∑ ∑ ∑ = ∑ ∑

dengan menggunakan akibat 4 untuk 21

4

X

X

=

X ,

kita akan memiliki distribusi dengan bentuk

( ) 2 22 242 2 11 2

4 24 44

, ,N Nµ σ σ

µµ σ σ

∑ =

.

Dari contoh disini jelas bahwa untuk setiap bagian (subset) dari distribusi normal

dapat diekspresikan dengan pemilihan yang tepat rata dan kovarian dari µ dan

∑ awal.

Akibat 5.

(a) Jika ( )1

11q ×

X dan ( )2

21q ×

X independen, maka akan selalu benar bahwa

( )1 2,Cov =X X 0 , 1 2q q× menghasilkan matrik nol.

(b) Jika 1

2

− −

X

X

berdistribusi , maka X1 dan

X2 independen jika dan hanya jika 12∑ = 0 .

(c) Jika X1 dan X2 independen dan berdistribusi ( )1 1 11,qN ∑µ dan

( )2 2 22,qN ∑µ , maka 1

2

− −

X

X

merupakan multivariat normal.

1 111 2

2 22

,'q qN +

∑ ∑

µ 0

µ 0

Contoh

Diberikan ( )3 1×X berdistribusi ( )3 ,N ∑µ dengan

4 1 0

1 3 0

0 0 2

∑ =

. Apakah

1X dan 2X independent? Bagaimana dengan ( )1 2,X X dan 3X ?

Karena 1X dan 2X memiliki 12 1σ = , 1X dan 2X tidak independent. Tetapi

1

2

3

X

X

X

=

X ,

1 11 121 2

2 21 22

,q qN +

∑ ∑ ∑ ∑

µ

µ

( ) ( )

( ) ( )

11 122 2 2 1

21 221 2 1 1

4 1 0

1 3 0

0 0 2

× ×

× ×

∑ ∑ ∑ = = ∑ ∑

Kita lihat bahwa 11

2

X

X

=

X dan 3X memiliki matrik kovarian 12

0

0

∑ =

. Hal ini

menyebabkan ( )1 2,X X dan 3X independent menurut akibat 5. Hal ini juga

mengimplikasikan bahwa 3X independent terhadap1X dan 2X .

Akibat 6. Misal 1

2

= − −

X

X

X

berdistribusi ( ),pN ∑µ dengan ,

, dan| | 0∑ > . Maka distribusi bersyarat dari X1, memberikan

X2 = x2, berdistribusi normal dengan

Rata-rata = 11 12 12 1 2( )−+∑ ∑ −µ x µ , dan

Kovaian = 111 12 22 21

−∑ −∑ ∑ ∑

Catat bahwa kovarian tidak tergantung ada nilai 2x dari variabel bersyarat.

Proof. Akan dibuktikan dengan pembuktian tak langsung, ambil

sehingga

dan

1111 12 11 12 22 2112 22

121 22 12 22 22

'−−

−

∑ ∑ ∑ −∑ ∑ ∑ −∑ ∑∑ = = ∑ ∑ −∑ ∑ ∑

I 0 0IA A

I 00 I

Karena ( )11 1 12 22 2 2X Xµ µ−− −∑ ∑ − dan 2 2X µ− memiliki kovarian nol, sehingga

keduanya independent. Lebih lagi ( )11 1 12 22 2 2X Xµ µ−− −∑ ∑ − memiliki distribusi

( )111 12 22 21,qN −∑ −∑ ∑ ∑0 . Diberikan 2 2X x= , ( )1

1 12 22 2 2xµ µ−+∑ ∑ − adalah suatu

konstanta. Karena ( )11 1 12 22 2 2X Xµ µ−− −∑ ∑ − dan 2 2X µ− independent, distribusi

bersyarat dari ( )11 1 12 22 2 2X xµ µ−− −∑ ∑ − adalah sama dengan distribusi tak

11 12

21 22

∑ ∑ ∑ = ∑ ∑

1

2

=

µµ

µ

( ) ( )11 1 1 1 12 22 2 2

2 2 2 2

X X X

X X

µ µ µµ µ

−− − −∑ ∑ − − = = − −

A X µ A

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

112 22

q q q p q

p p

p q p qp q p

−

× × −

×

− × −− ×

−∑ ∑ =

IA

0 I

bersyarat dari ( )11 1 12 22 2 2X Xµ µ−− −∑ ∑ − . Di awal kita sudah tahu bahwa

( )11 1 12 22 2 2X Xµ µ−− −∑ ∑ − berdistribusi ( )1

11 12 22 21,qN −∑ −∑ ∑ ∑0 , sehingga vektor

acak ( )11 1 12 22 2 2X xµ µ−− −∑ ∑ − ada saat 2X memiliki nilai khusus 2x . Hal ini

equivalen juga untuk 1X , sehingga nantinya distribusinya akan berbentuk

( )( )1 11 12 22 2 2 11 12 22 21,qN xµ µ− −+∑ ∑ − ∑ −∑ ∑ ∑

Akibat 7. JikaX berdistribusi ( ),pN ∑µ dengan | | 0∑ > . Maka:

(a) ( ) ( )1' −− ∑ −x xµ µ berdistribu 2pχ dimana 2

pχ dinotasikan berdistribusi

chi-kuadrat dengan derajad kebebasan p.

(b) Distribusi ( ),pN ∑µ memberikan kemungkinan 1 α− untuk elipsoid padat

( )1 2{ : ( ) ' ( ) }pχ α−− ∑ − ≤x x µ x µ , dimana ( )2pχ α menotasikan persentil

ke( )100α dari distribusi 2pχ .

Proof. Kita tahu bahwa 2pχ didefinisikan sebagai distribusi dari jumlah

2 2 21 2 pZ Z Z+ + +K , dimana 1 2, , , pZ Z ZK independent ( )0,1N variabel random.

Selanjutnya, melalui spectral decomposotion [lihat persamaan (2-16) dan (2-21)

dengan = ∑A , dan melihat ke akibat 4.1] 1

1

1'

p

i ii iλ

−

=∑ =∑ e e ,

dimana i i iλ∑ =e e sehingga ( )1 1i i iλ−∑ =e e . Akibatnya,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )

21

1 1

22

1 1

' 1 ' ' 1 '

1 ' , ini untuk singkatnya.

p p

i i i i ii i

p p

i i ii i

Z

λ λ

λ

−

= =

= =

− ∑ − = − − = −

= − =

∑ ∑

∑ ∑

X µ X µ X µ e e X µ e X µ

e X µ

Sekarang ( )Z = A X - µ , dimana ( )

1

2

1,

p

p

Z

Z

Z

×

=

ZM

( )

1

1

2

2

1'

1'

1'

p p

p

p

e

e

e

λ

λ

λ

×

=

A

M

danX µ− berdistribusi ( ),pN ∑0 . Karenanya, dengan menggunakan akibat 3,

( )Z = A X - µ berdistribusi ( ), 'pN ∑0 A A , dimana

( ) ( ) ( )

1

1

2

2 1 21 1 2

1 1

2 21 2

1 2

3 3

1'

1' 1 1 1

' ' ' '

1'

'

' 1 1 1' ' '

'

1

p

i i i pp p p pp p i p

p

p

p

p

e e e

e e e

λ

λ λλ λ λ

λ

λλ

λ λ λλ

× ×× =

∑ =

=

=

∑

e

eA A e e

e

e

e

e

K

M

KM

Oleh akibat 5 1 2, , , pZ Z ZK variabel indeendent normal standar dan kita simpulkan

bahwa ( ) ( )1'X Xµ µ−− ∑ − memiliki distribusi 2pχ .

Sampai sini kita bisa menyimpulkan dari akibat-akibat di atas 2 hal

penting:

1. Menyangkut dengan kemungkinan isi sebuah elipsoid suatu konstanta

kepadatan.

2. Berkenaan dengan bentuk lain dari kombinasi linier.

Distribusi chi-kuadrat dapat menentukan variabilitas dari varian sampel

211s s= untuk sampel yang berasal dari populasi normal univariat. Dasar ini juga

akan memainkan hal penting ada distribusi multivariat.

Akibat 8. Diberikan 1 2, ,..., nX X X saling bebas dengan iX

berdistribusi ( ),p jN ∑µ . (Perhatikan bahwa setiap jX memiliki kovarian matrik

∑ yang sama.) Maka 1 1 1 2 2 ... n nc c c= + + +V X X X

Berdistribusi1 1

, .n n

p j j jj j

N c c= =

∑

∑ ∑µ 1V dan 2 1 1 2 2 ... n nb b b= + + +V X X X juga

merupakan normal multivariat dengan kovarian matrik.

( )

( )

2

1

2

1

'

'

n

jj

n

jj

c

b

=

=

∑ ∑

∑ ∑

∑

∑

b c

b c

Konsekuensinya, 1V dan 2V independent jika 1

' 0n

j jj

c b=

= =∑b c .