ΠροτασιακήΛογικήfotakis/data/PLH20/PLH20_OSS2(color... · 2019-11-30 · ΠΛΗ20,...

ΠΛΗ 20, 2η ΟΣΣ(Προτασιακή Λογική)

Δημήτρης Φωτάκης

Διακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική ΛογικήΠληροφορική

Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο

ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 3 (2019 - 2020) 2η ΟΣΣ (Προτασιακή Λογική) 2

1η Εργασία: Γενική ΕικόναΠολύ καλή εικόνα με πολύ καλή βαθμολογία (μ.ο.: 7.60). Θετικά:

8 άριστες [9.7, 10], 7 πολύ καλές [6.7, 7.6] εργασίες. 21 εργασίες σε σύνολο 22 φοιτητών με υποχρέωση εργασιών!Διάθεση για κατανόηση και προσπάθεια για αναλυτική αιτιολόγηση.

Βοηθά να αποφύγετε τα λάθη!Αρκετές εργασίες έδειχναν μεγάλη προσπάθεια και επένδυση χρόνου.

Τι μπορεί να βελτιωθεί:Όχι αναπάντητα ερωτήματα (π.χ. 4.α και 4.β)!Μεγαλύτερη προσοχή στην κατανόηση του ζητούμενου.

Μην μείνετε στην βαθμολογία!Τα περισσότερα ερωτήματα ήταν εύκολα!«Ποιοτικά» σχόλια αντικατοπτρίζουν εικόνα με ακρίβεια.


Προγραμματισμός –Ενδιάμεση Εξέταση

Προτασιακή Λογική: 2η ΟΣΣ, 2η Εργασία (11.12)Κατηγορηματική Λογική: 3η ΟΣΣ (11.1) και3η Εργασία (ανακοίνωση 30.12, παράδοση 22.1)

30% – 35% στις εξετάσεις – «βαρόμετρο» επιτυχίας!

Ενδιάμεση εξέταση: Σάββατο 8 Φεβρουαρίου, 13:30. Συνδυαστική και Μαθηματική Λογική, 60% συνολικής βαθμολογίας.Α’ μέρος: 6x4 Σ/Λ (χωρίς αιτιολόγηση), 3-4 Λογική, 2-3 Συνδυαστική, 24% συνολικής βαθμολογίας. Β’ μέρος: 3 ασκήσεις (με υποερωτήματα), 36% συνολικής βαθμολ.

Συνδυαστική (βλ. ερ. 1, 2, 3.α και 3.β)Προτασιακή Λογική: ταυτολογίες, ταυτολογικές συνεπαγωγές,απλοποίηση τύπων, εγκυρότητα-πληρότητα, τυπική απόδειξη.Κατηγορηματική Λογική.


Μαθηματική ΛογικήΑντικείμενο: θεμελίωση των μαθηματικών.

Πότε μια πρόταση ισχύει, πότε μια απόδειξη είναι σωστή;

Κανόνες ορθού συλλογισμού και κανόνες για εξαγωγή έγκυρωνσυμπερασμάτων.

Κλασσική Λογική (Αριστοτέλης): φυσική γλώσσα, ανεπαρκής γιαθεμελίωση μαθηματικών (λογικά παράδοξα).Σύγχρονη Μαθηματική Λογική (Frege, Russell, Whitehead):αυστηρή συμβολική (τυπική) γλώσσα, αναπτύχθηκε για θεμελίωσημαθηματικών, πολλές εφαρμογές σε άλλους κλάδους (βλ. Πληροφορική).


Μαθηματική ΛογικήΣημασιολογική προσέγγιση: όταν συμπέρασμα έπεται αναγκαίααπό υποθέσεις.

Ενδιαφέρει, δεν ελέγχεται αποδοτικά με μηχανιστικό τρόπο.

Συντακτική προσέγγιση: όταν στην αποδεικτική διαδικασίαεφαρμόζουμε σωστά συγκεκριμένους κανόνες (συντακτικήςφύσης).

Διατύπωση με νοημοσύνη – «μηχανιστικός» έλεγχος.

Ζητούμενο ισοδυναμία: σωστές «συντακτικά» αποδείξειςθεμελιώνουν (όλες και μόνο αυτές) «σημασιολογικά» σωστέςπροτάσεις.

Εγκυρότητα – Πληρότητα.


Μαθηματική ΛογικήΜερικά ενδιαφέροντα βιβλία:

Δοξιάδης, Παπαδημητρίου. Logicomix. Δοξιάδης. Θείος Πέτρος και Εικασία του Γκόλντμπαχ.

Δομή κεφαλαίου – ατζέντα:Γλώσσα Προτασιακής Λογικής: πλαίσιο διατύπωσης επιχειρημάτων.(Μαθηματική επαγωγή).Σημασιολογική προσέγγιση: πίνακες αλήθειας, ιδιότητες λογικώνσυνδέσμων, ταυτολογία, ταυτολογική συνεπαγωγή.Συντακτική προσέγγιση: αξιώματα, modus ponens, συντακτικήαντικατάσταση ⇒ (τυπικά) θεωρήματα. Ισοδυναμία προσεγγίσεων: εγκυρότητα – πληρότητα.

Εγκυρότητα: τυπικά αποδείξιμο ⇒ σημασιολογικά σωστό. Πληρότητα: σημασιολογικά σωστό ⇒ αποδείξιμο.


Μαθηματικές Προτάσεις(Μαθηματική) πρόταση: δήλωση που μπορεί να είναιαληθής ή ψευδής (όχι και τα δύο).

Το όνομά μου είναι Δημήτρης.Χθες είχε λιακάδα στην Αθήνα. Ο Σεφέρης τιμήθηκε με το Νόμπελ Λογοτεχνίας.Ο Καζαντζάκης τιμήθηκε με το Νόμπελ Λογοτεχνίας.

Άλλα όχι:Τι ώρα είναι;Κάνετε ησυχία παρακαλώ.Σχεδόν κάθε μέρα βρέχει (χωρίς το σχεδόν;)


Μαθηματικές ΠροτάσειςΠροτάσεις συνδυάζονται λογικά:

Αν χιονίσει, θα πάω για σκι ή θα παίξω χιονοπόλεμο.Ο Δ είναι καλός ή ο Δ δεν είναι καλός. Θα διαβάζω τα μαθήματά μου στις 17:00 καιθα παίζω μπάσκετ στις 17:00.


Γλώσσα Προτασιακής ΛογικήςΣτοιχειώδεις προτάσεις: προτασιακές μεταβλητές p, q, r.

Βασικά δομικά στοιχεία. Διακριτές τιμές Α ή Ψ (1 ή 0).

Συνδυασμός προτάσεων με (λογικούς) συνδέσμους:¬ , ∧ , ∨ , → , ↔, ⊕ .Προτασιακός τύπος:

(Βάση:) Είτε προτασιακή μεταβλητή p, q, r, …(Βήμα:) Είτε (¬φ), (φ ∧ψ), (φ ∨ ψ), (φ → ψ), (φ ↔ ψ), όπου φ, ψ ήδη σχηματισμένοι προτασιακοί τύποι.

Επαγωγικός (ή αναδρομικός) ορισμός:Δομή αναπαρίσταται με (μοναδικό) δενδροδιάγραμμα που εξηγεί πωςπ.τ. προκύπτει με εφαρμογή του ορισμού (Θ2.3 – μοναδική αναγν.). Ιδιότητες με μαθηματική επαγωγή στην πολυπλοκότητα των π.τ.


Γλώσσα Προτασιακής ΛογικήςΑπλοποίηση παρενθέσεων: αποφεύγουμε άσκοπη πολλαπλήχρήση παρενθέσεων που καθιστά τους τύπουςδυσανάγνωστους:Διαγράφουμε εξωτερικές παρενθέσεις.Ορίζουμε προτεραιότητα μεταξύ των συνδέσμων:

{ ¬ }, { ∧ , ∨ }, { → , ↔ } Σύνδεσμοι { ∧ , ∨ } έχουν ίδια προτεραιότητα. Ομοίως { → , ↔ } Διαγράφουμε παρενθέσεις που δεν είναι απαραίτητες βάσειπροτεραιότητας.


ΔενδροδιαγράμματαΗ δομή ενός προτασιακού τύπου μπορεί να απεικονιστεί με τηβοήθεια ενός δενδροδιαγράμματος.Παράδειγμα: Ο προτασιακός τύπος ¬(p → q) ∧ (r ∨ s) μπορεί ναπαρασταθεί με το δενδροδιάγραμμα:

¬(p→ q)∧ (r ∨ s)

¬(p→ q) r ∨ s

p→ q

p q

r s


Μαθηματική ΕπαγωγήΑποδεικνύουμε ότι «Ρ(n) αληθεύει για κάθε φυσικό n ≥ n0».

Δομική επαγωγή: όλα τα στοιχεία (αριθμήσιμα) άπειρου συνόλουπου ορίζεται επαγωγικά (αναδρομικά) έχουν ιδιότητα Ρ.

Αρχή Μαθηματικής ΕπαγωγήςΈστω P(n) μια πρόταση που εξαρτάται από φυσικό αριθμό n.Για νδο Ρ(n) αληθεύει για κάθε φυσικό n ≥ n0, αρκεί νδο:

Βάση: το Ρ(n0) αληθεύει.Βήμα: για κάθε n ≥ n0, αν Ρ(n) αληθεύει, τότε P(n+1) αληθεύει.

Αρχή Ισχυρής Μαθηματικής ΕπαγωγήςΓια νδο Ρ(n) αληθεύει για κάθε n ≥ n0, αρκεί νδο:

Βάση: το Ρ(n0) αληθεύει.Βήμα: για κάθε n ≥ n0, αν P(k) αληθεύει για κάθε k ∈ {n0, …, n},τότε P(n+1) αληθεύει.


Παράδειγμα: ΔιαιρετότηταΝα δείξετε ότι για κάθε n ≥ 1, το n3+2n διαιρείται από το 3.

Βάση: Αληθεύει για n = 1: Το 3 διαιρείται από το 3. Επαγωγική υπόθεση: Έστω ότι για (αυθαίρετα επιλεγμένο) n ≥ 1,το n3 + 2n διαιρείται από το 3.Επαγωγικό βήμα: Θδο το (n+1)3 + 2(n+1) διαιρείται από το 3.Πράγματι,

όπου και οι δύο όροι διαιρούνται από το 3 (ο 1ος λόγω τηςεπαγωγικής υπόθεσης).


Ερώτημα 4.α, 1η Εργ. 2012-2013Νδο σε κάθε σύνολο S = {α1, …, αn} με n ≥ 1 αριθμούς τ.ω.0 < α1 < … < αn και 2αi ≤ αi+1, για κάθε i, ισχύει ότι:

(Ιδ1) άθρ(S) < 2αn.

Βάση: Αληθεύει για n = 1: S = {α1} και 0 < α1 < 2α1.Επαγωγική υπόθεση: Έστω ότι για (αυθαίρετο) n ≥ 1,κάθε τέτοιο σύνολο S με n στοιχεία έχει Ιδ1.Επαγωγικό βήμα: Θδο κάθε τέτοιο S, |S| = n+1 έχει Ιδ1.

Έστω S = {α1, …, αn, αn+1}. Απόδειξη Ιδ1:


Ερώτημα 4.α, 1η Εργ. 2012-2013Νδο σε κάθε σύνολο S = {α1, …, αn} με n ≥ 1 αριθμούς τ.ω.0 < α1 < … < αn και 2αi ≤ αi+1, για κάθε i, ισχύει ότι:

(Ιδ2) ∀Α, Β ⊆ S, με A ≠ B, άθρ(Α) ≠ άθρ(B).

Βάση: Αληθεύει για n = 1: S = {α1}.Επαγωγική υπόθεση: Έστω ότι για (αυθαίρετο) n ≥ 1,κάθε τέτοιο σύνολο S με n στοιχεία έχει Ιδ2.Επαγωγικό βήμα: Θδο κάθε τέτοιο S με n+1 στοιχεία έχει Ιδ2.

Έστω S = {α1, …, αn, αn+1}, και A, Β ⊆ S, με A ≠ B. Αν Α και Β δεν περιέχουν αn+1, άθρ(Α) ≠ άθρ(B), από επαγ. υπόθ.Αν Α και Β περιέχουν αn+1, άθρ(Α) ≠ άθρ(B), από επαγ. υπόθ., γιατί άθρ(Α – {αn+1})≠ άθρ(B – {αn+1}). Αν Α περιέχει αn+1, και Β δεν περιέχει αn+1, άθρ(Α) ≠ άθρ(B)γιατί άθρ(Α) ≥ αn+1 ≥ 2αn > α1 + … +αn ≥ άθρ(B), λόγω Ιδ1.


ΠαράδειγμαΈστω Τ∧ σύνολο π.τ. που είναι:

(Βάση:) είτε προτασιακές μεταβλητές, (Βήμα:) είτε της μορφής φ ∧ ψ, όπου φ, ψ π.τ. του Τ∧.

Νδ (με μαθ. επαγωγή) ότι το Τ∧ δεν περιέχει ταυτολογίες.Βάση: προτασιακή μεταβλητή p δεν είναι ταυτολογία. Επαγ. υπόθεση: έστω φ, ψ ∈ Τ∧ που δεν είναι ταυτολογίες. Επαγ. βήμα: θεωρούμε χ ≡ φ ∧ ψ. Θδο χ δεν είναι ταυτολογία.

φ όχι ταυτολογία: υπάρχει αποτίμηση α που δεν ικανοποιεί φ.Αποτίμηση α δεν ικανοποιεί χ ≡ φ ∧ ψ.Άρα ο χ δεν είναι ταυτολογία.


Ερωτ. 1.α, 2η Εργ. 13-14Έστω Τ1 σύνολο όλων π.τ. χωρίς άρνηση. Δηλ. στοιχεία Τ1 είναι:

(Βάση:) είτε μία προτασιακή μεταβλητή (π.χ. p), (Βήμα:) είτε της μορφής φ ∧ ψ, φ ∨ ψ, φ → ψ, φ↔ ψ,

όπου φ, ψ ήδη κατασκευασμένοι π.τ. του Τ1.

Θδ (με μαθ. επαγωγή) ότι κάθε π.τ. στο Τ1 ικανοποιείται απόαποτίμηση αΑ που θέτει όλες τις προτ. μεταβλητές Α.

Βάση: προτασιακή μεταβλητή p ικανοποιείται από αΑ. Επαγ. υπόθεση: έστω ότι π.τ. φ, ψ ∈ Τ1 που ικανοποιούνται από αΑ. Επαγ. βήμα: από πίνακες αλήθειας λογικών συνδέσμων καιεπαγ. υπόθεση, φ ∧ ψ, φ ∨ ψ, φ → ψ, φ↔ ψ ικανοποιούνται από αΑ.


Σημασιολογική ΠροσέγγισηΑποτίμηση: ανάθεση τιμών αλήθειας στις μεταβλητές ενός π.τ.

Από τιμές αλήθειας μεταβλητών, δενδροδιάγραμμα, και πίνακεςαλήθειας λογικών συνδέσμων, υπολογίζουμε τιμή αλήθειας π.τ. Λογικοί σύνδεσμοι ορίζονται με πίνακες αλήθειας.

p q ¬ p p ∧ q p ∨ q p ⊕ q p → q p ↔ q

Α Α Ψ Α Α Ψ Α Α

Α Ψ Ψ Ψ Α Α Ψ Ψ

Ψ Α Α Ψ Α Α Α Ψ

Ψ Ψ Α Ψ Ψ Ψ Α Α


Λογική ΣυνεπαγωγήΑν αληθεύει το p, τότε αληθεύει το q :p → q . p q

p → q (≡ ¬ p ∨ q)

Α Α Α

Α Ψ Ψ

Ψ Α Α

Ψ Ψ Α


Σημασιολογική ΠροσέγγισηΑποτίμηση της τιμής αληθείας ενός τύπου εφαρμόζεταισταδιακά στο δενδροδιάγραμμα: Ξεκινάμε από προτασιακές μεταβλητέςΠροχωράμε στο επόμενο επίπεδο με πίνακα αληθείας. Παράδειγμα. Έστωα(p) = α(s) = Ακαι α(q) = α(r) = Ψ.Για ¬(p → q) ∧ (r ∨ s)έχουμε:

Α

Α

Ψ

ΨΨ

ΑΑ

Α¬(p→ q)∧ (r ∨ s)

¬(p→ q) r ∨ s

p→ q

p q

r s


Σημασιολογική ΠροσέγγισηΤαυτολογική ισοδυναμία φ ≡ ψ

Για κάθε αποτίμηση, φ και ψ έχουν ίδια τιμή αλήθειας.Απόδειξη είτε με πίνακα αλήθειας είτε με ιδιότητεςλογικών συνδέσμων. Π.χ.

Πίνακες αλήθειας:Πόσες διαφορετικές γραμμές / αποτιμήσεις έχει έναςπίνακας αλήθειας με n προτασιακές μεταβλητές;Πόσοι διαφορετικοί (δηλ. όχι ταυτολογικά ισοδύναμοι) προτασιακοί τύποι μπορούν να οριστούν με n μεταβλητές;


Σημασιολογική ΠροσέγγισηΤαυτολογία φ: φ πάντα Α (για κάθε αποτίμηση).

φ αντίφαση ανν ¬φ ταυτολογία. Π.χ., p ∨ ¬p ταυτολογία, p ∧ ¬p αντίφαση.

Ικανοποιήσιμος φ: φ δεν είναι αντίφαση. Τ = {φ1, ..., φk} ικανοποιήσιμο: φ1 ∧ ... ∧φk ικανοποιήσιμος.

Υπάρχει αποτίμηση που ικανοποιεί (ταυτόχρονα) όλους τουςτύπους του Τ.


ΠαραδείγματαΝδο ταυτολογία.

Αν p = Α, τότε Α(αληθές συμπέρασμα).Αν p = Ψ, τότε Α(ψευδής υπόθεση).

Νδο ταυτολογία. Κάθε π.τ. με ίδια συντακτική μορφή φ ∧ (φ → ψ) → ψ(για κάθε φ, ψ) είναι ταυτολογία!

p q p → q (p → q) → p ((p → q) → p) → p

Α Α Α Α Α

Α Ψ Ψ Α Α

Ψ Α A Ψ Α

Ψ Ψ A Ψ Α

24

ΠαραδείγματαΝδοικανοποιήσιμος, όχι ταυτολογία.

Ικανοποιήσιμος φ: π.χ. p = q = r = Α ή p = q = Α και r = Ψ.Όχι ταυτολογία φ: r = Ψ και είτε p = A, q = Ψ είτε p = ψ, q = Α.

p q r p ∧ q p ∨ q (p ∧ q) → r (p ∨ q) → r φ

Α Α Α Α Α Α Α Α

Α A Ψ Α Α Ψ Ψ Α

Α Ψ Α Ψ Α Α Α Α

Α Ψ Ψ Ψ Α Α Ψ Ψ

Ψ Α Α Ψ Α Α Α Α

Ψ Α Ψ Ψ Α Α Ψ Ψ

Ψ Ψ Α Ψ Ψ Α Α Α

Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Α Α Α


Ταυτολογίες και ΑντιφάσειςΠοιοι από τους παρακάτω τύπους είναι ταυτολογίες και ποιοιαντιφάσεις;


Ταυτολογική ΣυνεπαγωγήΣύνολο π.τ. Τ συνεπάγεται ταυτολογικά π.τ. φ, Τ |= φ :

Κάθε αποτίμηση που ικανοποιεί το Τ ικανοποιεί και τον φ.(φ έπεται αναγκαία από υποθέσεις στο Τ).

∅ |= φ (ή απλά |= φ ) δηλώνει ότι φ ταυτολογία.Αν Τ μη ικανοποιήσιμο, τότε Τ |= φ για κάθε π.τ. φ!

Θ2.5: Τ |= φ ανν Τ ∪ {¬φ} μη ικανοποιήσιμο. Θεώρημα Συμπάγειας (2.6):

Τ άπειρο σύνολο π.τ. Αν κάθε πεπερασμένο υποσύνολο τουείναι Τ ικανοποιήσιμο, τότε το Τ είναι ικανοποιήσιμο.


Ταυτολογική ΣυνεπαγωγήΝδο: {¬p ↔ q, p → ¬q} |= p ∨ q

p q ¬p ↔ q p → ¬q p ∨ qΑ Α Ψ Ψ ΑΑ Ψ Α Α ΑΨ Α Α Α ΑΨ Ψ Ψ Α Ψ

Κάθε αποτίμησηπου ικανοποιείτις υποθέσεις…

… ικανοποιεί καιτο συμπέρασμα.


Σημασιολογική ΠροσέγγισηΠοιές ταυτολογικές συνεπαγωγές ισχύουν:

Παρατηρήσεις για ταυτολογικές συνεπαγωγές:μη ικανοποιήσιμο |= οτιδήποτεοτιδήποτε |= ταυτολογίαταυτολογία |= μόνο ταυτολογίαμόνο μη ικανοποιήσιμο |= αντίφαση


Σημασιολογική ΠροσέγγισηΠοιες από τις παρακάτω ταυτολογικές συνεπαγωγές ισχύουν;


Ιδιότητες Λογικών Συνδέσμων (I)

Αντιμεταθετική p ∧ q ≡ q ∧ p p ∨ q ≡ q ∨ p

Προσεταιριστική p ∧ (q ∧ r) ≡ (p ∧ q) ∧ r p ∨ (q ∨ r) ≡ (p ∨ q) ∨ r

Επιμεριστική p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)

Διπλή άρνηση ¬ ¬ p ≡ p

Αντικατάσταση συνεπαγωγής

p → q ≡ ¬p ∨ q


Ιδιότητες Λογικών Συνδέσμων (II)

Αποκλεισμός τρίτου p ∨ ¬p ≡ Α

Αντιθετοαναστροφή p → q ≡ ¬q → ¬p

Εξαγωγή p ∧ q → r ≡ p → (q → r)

De Morgan ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q

Άρνηση συνεπαγωγής ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬ q


ΠαράδειγμαΑπλοποίηση προτασιακού τύπου:


Παράδειγμα (ερ. 2.2, 2η εργ. 07-08)

Ύποπτος δηλώνει: «Λέω την αλήθεια ανν είμαι ένοχος».Γνωρίζουμε ότι είτε λέει πάντα αλήθεια είτε πάντα ψέματα.Μπορούμε να αποφανθούμε αν είναι ένοχος;

p ≡ «λέει αλήθεια»q ≡ «είναι ένοχος»

Δήλωση: p ↔ q.

Πρέπει να αληθεύει ότι: p ↔ (p ↔ q)

p q p ↔ q p ↔ (p ↔ q)

Α Α Α Α

Α Ψ Ψ Ψ

Ψ Α Ψ Α

Ψ Ψ Α Ψ


ΠαράδειγμαΎποπτοι Α, Β και Γ δίνουν τις εξής καταθέσεις: Α: «o B είναι ένοχος και ο Γ είναι αθώος»Β: «αν o Α είναι ένοχος τότε και ο Γ είναι ένοχος»Γ: «είμαι αθώος και τουλάχιστον ένας από τους άλλους είναι ένοχος»

1. Μπορούν οι τρεις καταθέσεις να είναι ταυτόχρονα αληθείς; Ανναι, τότε ποιος είναι αθώος και ποιος είναι ένοχος;

2. Αν υποθέσουμε ότι και οι τρεις ύποπτοι είναι αθώοι, ποιοςέδωσε ψευδή και ποιος αληθή κατάθεση;

3. Αν υποθέσουμε ότι ο αθώος λέει την αλήθεια και ο ένοχος λέειψέματα, τότε ποιος είναι αθώος και ποιος ένοχος;


Παράδειγμα

Κωδικοποίηση: p ≡ «Α αθώος», «q ≡ Β αθώος», r ≡ «Γ αθώος»Κατάθεση Α: φ = ¬q ∧ rΚατάθεση Β: χ = ¬p → ¬rΚατάθεση Γ: ψ = r ∧ (¬p ∨ ¬q)

p q r φ χ ψΑ Α Α Ψ Α ΨΑ Α Ψ Ψ Α ΨΑ Ψ Α Α Α ΑΑ Ψ Ψ Ψ Α ΨΨ Α Α Ψ Ψ ΑΨ Α Ψ Ψ Α ΨΨ Ψ Α Α Ψ ΑΨ Ψ Ψ Ψ Α Ψ

Α Ψ Α Α Α Α

Α Α Α Ψ Α Ψ

Ψ Α Ψ Ψ Α Ψ

Ερώτημα 3:Εφόσον οι αθώοιλένε αλήθεια, καιοι ένοχοι ψέματα, οι τιμές αληθείαςτων p, q, r, πρέπεινα συμπίπτουν μετις τιμές των φ, χ, ψ, αντίστοιχα. Συνεπώς, οι Α, Γείναι ένοχοι, ενώ

ο Β αθώος.

Ερώτημα 1: Οιτρεις καταθέσειςφ, χ, ψ είναι

αληθείς, οπότε οιτιμές των p, q, rδείχνουν ότι οιΑ,Γ είναι αθώοι, ενώ ο Β ένοχος.

Ερώτημα 2: Οιτρεις ύποπτοι

είναι αθώοι, άραοι τιμές των p, q, rείναι αληθείς. Άρα οι Α, Γ λένεψέματα, ενώ ο Β

αλήθεια.


Κανονικές ΜορφέςΤύπος σε κανονική διαζευκτική μορφή (ΚΔΜ), αν είναι στημορφή φ1 ∨ φ2 ∨ … ∨ φn όπου n ≥ 1 και κάθε φi είναι τηςμορφής θ1 ∧ θ2 ∧ … ∧ θm , όπου m ≥ 1 και τα θj είναι προτασιακέςμεταβλητές ή αρνήσεις προτασιακών μεταβλητών.Τύπος σε κανονική συζευκτική μορφή (ΚΣΜ), αν είναι στημορφή φ1 ∧ φ2 ∧ … ∧ φn όπου n ≥ 1 και φi είναι τηςμορφής θ1 ∨ θ2 ∨ … ∨ θm , όπου m ≥ 1 και τα θj είναι προτασιακέςμεταβλητές ή αρνήσεις προτασιακών μεταβλητών.Αποδεικνύεται ότι:Για κάθε π.τ. φ, υπάρχει τύπος φ* σε ΚΔΜ, τέτοιος ώστε φ ≡ φ*.Για κάθε π.τ. φ, υπάρχει τύπος φ** σε ΚΣΜ, τέτοιος ώστε φ ≡ φ**.

Η αναγωγή ενός τυχόντος τύπου φ στην ΚΔΜ ή στην ΚΣΜ του μπορείνα επιτευχθεί με κατάλληλη εφαρμογή των νόμων της ΠΛ.


Πλήρη Σύνολα ΣυνδέσμωνΈνα σύνολο συνδέσμων C, ονομάζεται πλήρες, ανν κάθεπροτασιακός τύπος είναι ταυτολογικά ισοδύναμος με έναπροτασιακό τύπο που περιέχει μόνο συνδέσμους από το C.Πλήρη σύνολα συνδέσμων: {¬, ∧}, {¬, ∨}, {¬, →}, {NAND}, {NOR}, …

p q p NAND q p NOR rΑ Α Ψ ΨΑ Ψ Α ΨΨ Α Α ΨΨ Ψ Α Α


Πλήρη Σύνολα ΣυνδέσμωνΝδο {↑} πλήρες (με επαγωγή στην πολυπλοκότητα των π.τ.)

{↑} πλήρες αν για κάθε φ, υπάρχει φ*: (α) φ ≡ φ* και(β) φ* χρησιμοποιεί μόνο τον σύνδεσμο ↑.Βάση: προτασιακή μεταβλητή p. (α) και (β) ισχύουν τετριμμένα. Επαγ. υπόθεση: Έστω ότι για αυθαίρετα επιλεγμένους π.τ. ψ και χ,υπάρχουν ψ* και χ*: (α) ψ ≡ ψ* και χ ≡ χ*, και (β) ψ* και χ*

χρησιμοποιούν μόνο τον σύνδεσμό ↑.Επαγ. βήμα: Πρέπει νδο ζητούμενο ισχύει όταν φ ≡ ¬ψ, φ ≡ ψ ∧ χ, φ ≡ ψ ∨ χ, φ ≡ ψ → χ, φ ≡ ψ ↔ χ.

Π.χ. όταν φ ≡ ψ ∧ χ, θέτουμε:φ* ≡ (ψ* ↑ χ*) ↑ (ψ* ↑ χ*) (επαγ. υπόθεση)

≡ (ψ ↑ χ) ↑ (ψ ↑ χ) (αντικατάσταση ↑).≡ ψ ∧ χ ≡ φ

Πράγματι, (α) φ ≡ φ* και (β) φ* χρησιμοποιεί μόνο ↑, αφούλόγω (β) επαγ. υπόθεσης, ψ* και χ* χρησιμοποιούν μόνο ↑.


Συντακτική Προσέγγιση –Προτασιακός Λογισμός

Αξιωματικό Σύστημα (όχι μοναδικό):ΑΣ1:ΑΣ2:ΑΣ3:

Αποδεικτικός κανόνας Modus Ponens:Ξεκινώντας από αξιώματα (ή υποθέσεις), και μόνο με συντακτική αντικατάσταση και MP,αποδεικνύουμε τυπικά θεωρήματα.

|– φ : φ είναι τυπικό θεώρημα.Τ |– φ : φ αποδεικνύεται τυπικά από υποθέσεις Τ.


Ανήκει στιςυποθέσεις;ΌΧΙ

Τυπικές ΑποδείξειςΠαράδειγμα. Να δειχθεί ότι φ → ψ |– ¬χ →(φ → ψ).

1. φ → ψ Υπόθεση……

n. ¬χ →(φ → ψ) ΣυμπέρασμαΜοναδικήυπόθεση: φ → ψ

Άρα, πρέπει ναπροκύπτει απότην εφαρμογήτου ΜΡ.

Είναιαποτέλεσμα

αντικατάστασηςστα ΑΣ1-3;ΌΧΙ

Για να προκύψει το ζητούμενο από τηνεφαρμογή του ΜΡ, θα πρέπει να

εμφανιστούν οι τύποι:

• ξ• ξ → (¬χ →(φ → ψ))

Ώστε να «αποσπάσουμε» τοσυμπέρασμα

¬χ →(φ → ψ)

Ποιος θαμπορούσε ναείναι ο τύπος ξ;Ο τύπος ξ, θα πρέπει να είναι

τέτοιος που, αφενός θαμπορεί «να σταθεί από μόνοςτου», αφετέρου, θα πρέπεινα δικαιολογεί την παρουσία

του τύπουξ → (¬χ →(φ → ψ)).

Ο μόνος τύπος ξ, με αυτές τιςιδιότητες είναι ο φ → ψ.

• Ο φ → ψ είναι υπόθεση• (φ → ψ) → ( ¬χ →(φ → ψ)) προκύπτει από το ΑΣ1!


Τυπικές ΑποδείξειςΠαράδειγμα. Να δειχθεί ότι φ → ψ ⊢ ¬χ →(φ → ψ).

1. φ → ψ Υπόθεση2. (φ → ψ) →(¬χ →(φ → ψ)) ΑΣ1, όπου θέσαμε

φ → ψ στη θέση του φκαι ¬χ στη θέση του ψ.

3. ¬χ →(φ → ψ) 1,2 ΜΡ


Τυπικές ΑποδείξειςΤυπική απόδειξη για |– φ → φ1. φ → ((φ → φ) → φ) ΑΣ1 με (φ, φ), (ψ, φ → φ)2. (φ → ((φ → φ) → φ)) → ((φ → (φ → φ)) → (φ → φ))

ΑΣ2 με (φ, φ), (ψ, φ → φ), και (χ, φ)3. (φ → (φ → φ)) → (φ → φ) 2, 1, ΜΡ4. φ → (φ → φ) ΑΣ1 με (φ, φ), (ψ, φ)5. φ → φ 3, 4, ΜΡ


Τυπικές ΑποδείξειςΤυπική απόδειξη για ¬φ |– (¬ψ → φ) → ψ1. (¬ψ → ¬φ) → ((¬ψ → φ) → ψ) ΑΣ3 με (φ, ψ) και (ψ, φ)2. ¬φ → (¬ψ → ¬φ) ΑΣ1 με (φ, ¬φ) και (ψ, ¬ψ)3. ¬φ Υπόθεση4. ¬ψ → ¬φ 2, 3, ΜΡ5. (¬ψ → φ) → ψ 1, 4, ΜΡ

Ποιά από τα παρακάτω προκύπτουν άμεσα από αξιώματα;φ → φχ → (χ → χ)φ → (ψ → χ)(φ → ¬ψ) → ((φ → ψ) → ¬φ)


Τυπικές ΑποδείξειςΕίναι σωστή τυπική απόδειξη για ψ |– (¬φ → ¬ψ) → φ1. ψ Υπόθεση2. ψ → (¬φ → ψ) ΑΣ1 με (φ, ψ) και (ψ, ¬φ)3. ¬φ → ψ 2, 1, ΜΡ4. (¬φ → ψ) → ((¬φ → ¬ψ) → φ) ΑΣ3 με (φ, φ) και (ψ, ¬ψ)5. (¬φ → ¬ψ) → φ 4, 3, ΜΡ

Το βήμα 4 είναι λάθος!!!


Τυπικές ΑποδείξειςΣωστή τυπική απόδειξη για ¬¬ψ |– (¬φ → ¬ψ) → φ1. ¬¬ψ Υπόθεση2. ¬¬ψ → (¬φ → ¬¬ψ) ΑΣ1 με (φ, ¬¬ψ) και (ψ, ¬φ)3. ¬φ → ¬¬ψ 2, 1, ΜΡ4. (¬φ → ¬¬ψ) → ((¬φ → ¬ψ) → φ) ΑΣ3 με (φ, φ) και (ψ, ¬ψ)5. (¬φ → ¬ψ) → φ 4, 3, ΜΡ

Με χρήση του |– ψ → ¬¬ψ μπορούμε να αποδείξουμεκαι ότι ψ |– (¬φ → ¬ψ) → φ


Συντακτική vsΣημασιολογική Προσέγγιση

Εγκυρότητα: Πληρότητα:

Σημασιολογική Προσέγγιση– ταυτολογία: |= φ

– ταυτολ. συνεπαγωγή Τ |= φ

– ικανοποιήσιμο Τ

– μη ικανοποιήσιμο Τ

– αν Τ μη ικανοποιήσιμο, τότε Τ |= φ, για κάθε φ.

Συντακτική Προσέγγιση– τυπικό θεώρημα: |– φ

– απόδειξη με υποθέσεις Τ |– φ

– συνεπές Τ:

– αντιφατικό Τ:

– αν Τ αντιφατικό, τότε Τ |– φ, για κάθε φ.


ΜεταθεωρήματαΘεώρημα Απαγωγής:Θ. Αντιθετοαναστροφής:

Τυπική απόδειξη για |– φ → ¬¬φ

Θ. Απαγωγής σε Άτοπο: Αν Τ ∪ {φ} αντιφατικό, Τ |– ¬φ

Ισχύει και ότι αν Τ |– φ → ψ, τότε Τ ∪ {φ} |– ψ(αλλά χρειάζεται απόδειξη, όχι δύσκολη!).


ΠαραδείγματαΓια νδο |– (φ → χ) → ((φ → (χ → ψ)) → (φ → ψ)) ...

... αρκεί νδο { φ → χ, φ → (χ → ψ), φ } |– ψ.1. φ Υπόθεση2. φ → (χ → ψ) Υπόθεση3. χ → ψ 2, 1, ΜΡ4. φ → χ Υπόθεση5. χ 4, 1 ΜΡ6. ψ 3, 5, ΜΡ


Ερωτ. 4.β, 2η Εργ. 11-12Ερ. 4.β: νδο {χ → ¬ψ, φ} |– χ → ¬(φ → ψ)

Από Θ. Απαγωγής, αρκεί νδο {χ → ¬ψ, φ, χ} |– ¬(φ → ψ)Από Θ. Απαγωγής σε Άτοπο, αρκεί νδοτο {χ → ¬ψ, φ, χ, φ → ψ} είναι αντιφατικό. Το {χ → ¬ψ, φ, χ, φ → ψ} είναι αντιφατικό, γιατί:

{χ, χ → ¬ψ, φ, φ → ψ} |– ψ, και{χ, χ → ¬ψ, φ, φ → ψ} |– ¬ψ.

Νδο {φ, ¬(ψ → φ)} είναι αντιφατικό. Υπόθεση φ, ΑΣ1 και MP αποδεικνύουν ψ → φ.

Νδο {φ → ψ, φ → ¬ψ} |– ¬φΑπό Θ. Απαγωγής σε Άτοπο, αρκεί νδοτο {φ → ψ, φ → ¬ψ, φ} είναι αντιφατικό.


Παράδειγμα Επαγωγήςμε Τυπική Απόδειξη

Ακολουθία π.τ. ψn : ψ0 ≡ φ → φ, και ψn ≡ φ → ψn–1Νδο για κάθε φυσικό n, |– ψn .

Βάση: Για n = 0, πράγματι |– φ → φ (γνωστό τυπικό θεώρημα).Επαγ. υπόθεση: Έστω ότι για αυθαίρετο n, |– ψn .Επαγ. βήμα: Πρέπει νδο |– ψn+1 .

Εξ’ ορισμού: ψn+1 ≡ φ → ψn

Προκύπτει ευθέως από επαγ. υπόθεση και Θ. Απαγωγής.Εναλλακτικά:

1. ψn Τυπικό Θεώρημα (επαγ. υπόθεση)2. ψn → (φ → ψn) ΑΣ13. φ → ψn 1,2, ΜΡ


Άσκηση«Αντιφατικό» και «μη ικανοποιήσιμο» ισοδύναμες αλλάόχι ταυτόσημες έννοιες: ισοδυναμία χρειάζεται απόδειξη. Νδο σύνολο π.τ. Τ είναι αντιφατικό ανν είναι μη ικανοποιήσιμο.

Τ αντιφατικό ⇒⇒ T |– φ για κάποια αντίφαση φ (άμεση συνέπεια ορισμού)⇒ Τ |= φ για κάποια αντίφαση φ (Θ. Εγκυρότητας)⇒ Τ ∪ {¬φ} μη ικανοποιήσιμο (Θ. 2.5)⇒ Τ μη ικανοποιήσιμο (¬φ ταυτολογία)Τ μη ικανοποιήσιμο ⇒⇒ για κάθε π.τ. φ: Τ ∪ {¬φ} και Τ ∪ {¬¬φ} μη ικανοποιήσιμα⇒ για κάθε π.τ. φ: Τ |= φ και Τ |= ¬φ (Θ. 2.5)⇒ για κάθε π.τ. φ: Τ |– φ και Τ |– ¬φ (Θ. Πληρότητας)⇒ Τ αντιφατικό (εξ’ ορισμού)

ΠροτασιακήΛογικήfotakis/data/PLH20/PLH20_OSS2(color... · 2019-11-30 · ΠΛΗ20,...

Documents

Transcript of ΠροτασιακήΛογικήfotakis/data/PLH20/PLH20_OSS2(color... · 2019-11-30 · ΠΛΗ20,...